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任意角的三角函数、两角和与差的三角函数单元测试题


高一数学家庭作业
任意角的三角函数 、两角和与差的三角函数
高一数学组 2011.6.9
一、选择题: 1.tan300°+

cos 405 0 的值是 sin 405 0

A.1+

3

B.1-

3

C.-1-

3

D.-1+

3

2.在△ABC 中,已知 2sinAcosB=sinC,则△ABC 一定是 ( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 3.若 cos(p ? x) = ?
A. 3 , x ∈ [0, 2p ] ,则 x等于 2 B.


C.
p 11p 或 6 6


p 5p 或 3 3

π
6

π

3 π 3 π 4.已知 α ∈( , π ),sin α = , 则 tan( α + )等于 2 5 4
( )
B .7

D.

1 A. 7

C.-

1 7

D.-7

5.若 α, β ∈(0, ) , cos(α ?

π

β
2

2

)= 1 2

3 α 1 , sin( ? β ) = ? ,则 cos(α + β ) 的值等于 2 2 2
C.

A. ?

3 2


B. ?

1 2

D.

3 2

6 . 如 果 θ ∈ (0,2π ), 则使 cosθ < sin θ < tgθ < ctgθ

成 立 的 θ 所 在 区 间 是



A. (0, π ) 4

B. ( π , π )
4 2

C. (π ,

5π ) 4

D. (

5π 3π , ) 4 2

7 . 已 知 函 数 f ( x ) 是 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 区 间 [0,+∞) 上 是 增 函 数 . 令

2π ? 5π ? 5π ? ? ? ? a = f ? sin ?, b = f ? cos ?, c = f ? tan ? ,则 ( 7 ? 7 ? 7 ? ? ? ?
A.


D.

b<a<c

B.

c<b<a
1

C.

b<c<a

a<b<c

8. 若 sin(α ? β ) cos α ? cos(α ? β )sin α = m , β 为第三象限角, cos β 的值为 且 则 ( A. 1 ? m 2 B. ? 1 ? m 2 C.



m2 ? 1

D. ? m 2 ? 1

9 . 已 知 sin( θ + π ) < 0 , cos( θ - π ) > 0 , 则 下 列 不 等 关 系 中 必 定 成 立 的 是 ( ) θ θ θ θ θ θ θ θ A.tan <cot , B.tan >cot , C.sin <cos , D.sin >cos . 2 2 2 2 2 2 2 2 π α α 5 π 10.已知 0<α< ,tan +cos = ,则 sin(α- )的值为 2 2 2 3 2 ( ) 4-3 3 B. 10 3 3-4 C. 10 4+3 3 D.- 10 4+3 3 A. 10

3 11.已知α.β是锐角,sinα=x,cosβ=y,cos(α+β)=- ,则 y 与 x 的函数关系式 5 为( ) 3 ( <x<1= 5 3 (0<x< = 5 B.y=― 3 4 1―x2+ x 5 5 (0<x<1= (0<x<1= 3 4 A.y=― 1―x2+ x 5 5 C.y=― 3 4 1―x2― x 5 5

3 4 D.y=― 1―x2― x 5 5

12.在△ABC 中,已知 tan ( )

A+B =sinC,则以下四个命题中正确的是 2

(1)tanA·cotB=1. (2)1<sinA+sinB≤ 2. 2 2 (3)sin A+cos B=1. (4)cos2A+cos2B=sin2C. A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 。 13.如果 cosα =

14.设 tan ? α +

? ?

8π 7

1 π ,且 α 是第四象限的角,那么 cos(α + ) = 5 2 13π ? ? 15π ? ? sin ? + α ? + 3cos ? α ? ?
? 7 ? 7 ? ? ? = m ,则 22π ? 20π ? ? ? sin ? ? α ? + cos ? α + 7 ? 7 ? ?
?= ? ? ?

3 3 p 15.已知 cos q = ? ,且 p < q < p ,则 tan(q ? ) = 5 2 4



16. cot 20° cos10° + 3 sin 10° tan 70° ? 2 cos 40° =

2

三、解答题: 17. (12 分) 求值 1 ? csc 30° sin 1085° sin( ?2075°) .
cos 5° ? 1 ? sin 2 95°

π? ? sin ? α + ? 5 4? ? 18. (12 分) 已知 α 是第一象限的角,且 cos α = ,求 的值。 13 cos ( 2α + 4π )

19. (12 分)已知

3π <α <π, 4 (Ⅰ)求 tan α 的值;

tan α + cot α = ?

10 3

5sin 2
(Ⅱ)求

α

2

+ 8sin

α
2

cos

α
2

+ 11cos 2

α
2

?8
的值。

π? ? 2 sin ? α ? ? 2? ?

3

20. (12 分)已知 tan α + cot α =

5 π ?π π? , α ∈ ? , ? .求 cos 2α 和 sin(2α + ) 的值. 2 4 ?4 2?

?π ? 21. (12 分) 已知:tan ? + α ? = 2,求: ?4 ? (Ⅰ)tan α 的值;

(Ⅱ)sin2 α + sin 2 α + cos 2α 的值.

22. (14 分)已知 tan a , tan b 是方程 x 2 ? 4 px ? 3 = 0 ( p 为常数) 的两个根. (Ⅰ) 求 tan(a + b ) ; (Ⅱ) 求 2cos 2a cos 2b + 2sin 2 (a ? b )

4

参考答案
一、选择题: 1.B 解析: tan300°+

cos 405 0 cos(360 0 + 45 0 ) =tan(360°-60°)+ = sin 405 0 sin(360 0 + 45 0 )

-tan60°+

cos 45 0 =1- 3 。 sin 45 0
3 3 应用诱导公式,可得 cos x = .又因为 x ∈ [0, 2p ] , 2 2

2.B 解析:由 2sinAcosB=sin(A+B) ? sin(B-A)=0 ? B=A. 3. C 解析: 对 cos(p ? x) = ? 所以 x =
p 11p 或x= . 6 6

4.A 解析:由 α ∈ (

π

3 3 π 1 + tan α 1 , π ), sin α = , 则 tan α = ? , tan(α + ) = = . 2 5 4 4 1 ? tan α 7

5.B 解析:由 α , β ∈ (0,

π

2

) ,则 α-

β

, -β ∈ , ∈ (- , ) (- , ) 2 4 2 2 2 4

π π

α

π π

又 cos(α ?

β
2

)=

3 α 1 β π α π , sin( ? β ) = ? ,所以 α- = ± , -β=- 2 2 2 2 6 2 6 1 。 2
2

解得 α=β=
6 .C

π
3

,所以 cos(α + β ) = ?

解析:要 tgθ , ctg θ 有意义,θ ≠ π 、π、 3π .
2

若 θ ∈ (0, π ),由 cosθ < sin θ ? θ ∈ ( π , π ). 但这时, tgθ > 1, ctgθ < 1,∴θ ? (0, π ); 2 4 2 2 若 θ ∈ ( π , π ), 则 sin θ > 0, tgθ < 0. ∴θ ? ( π , π ). 2 2 若 θ ∈ (π , 3π ),由 cos θ < sin θ ? θ ∈ (π , 5π ). 这时,
2 4

tgθ < 1, ctgθ > 1,∴ 有 cos θ < sin θ < tgθ < ctgθ ;

若 θ ∈ ( 3π ,2π )时, cos θ > 0 、sinθ、tgθ、ctgθ<0, 2 综上所述,能使原式成立的 θ ∈ (π , 5π ). . 4
7.A 解析: b = f ( ? cos

5π 2π 5π 2π ) = f (cos ) , c = f ( ? tan ) = f (tan ) 7 7 7 7
5

2π π 2π 2π 2π ,所以 b < a < c ,选 A. < ,所以 0 < cos < sin < 1 < tan 4 7 2 7 7 7 8.B 解析: sin(α ? β ) cos α ? cos(α ? β )sin α = sin[(α ? β ) ? α ] = ? sin β = m ,
因为

π

<

∴ sin β = ? m ,∵ β 为第三象限角,∴ cos β < 0 ,∴ cos β = ? 1 ? sin 2 β = ? 1 ? m 2 θ θ sin cos 2 2 θ θ 2cosθ 9.B 解析:∵sinθ>0,cosθ<0,tan -cot = - =- >0. 2 2 θ θ sinθ cos sin 2 2 θ θ ∴tan >cot . 2 2 α α 2 5 4 3 10.B 解析: tan +cot = = .∴sinα= .cosα= . 2 2 sinα 2 5 5 4-3 3 π 1 3 . sin(α- )= sinα- cosα= 2 10 3 2 11.A 解析: y=cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sin α 3 4 3 =― 1―x2+ x>0 ? 4x>3 1―x2 ? <x<1. 5 5 5 A+B 1-cos(A+B) 1+cosC 12.B 解析: 解:由 tan = = =sinC sinC 2 sin(A+B) π ∴cosC=0,C= . 2 π π ∴A+B= .故①式=tan2A≠1。②式=sinA+cosA= 2sin(A+ )∈(1, 2], 4 2 ③式=2sin2A≠1,④式=cos2A+sin2A=1=sin2C. 二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 。 13.解析:已知 ? cos(α + π ) = ? sin α = ?( ? 1? cos 2 α ) = 2 6 ;

2

5

14.解析: tan ? α +

? ?

8π 7

π? ? ? ? = m ? tan ? α + ? = m , 7? ? ?

13π ? π? ? 15π ? ? ? sin ? + α ? + 3cos ? α ? ? tan ? α + ? + 3 m + 3 7 7 ? 7? ? ? = 原式= ? = ? 22π ? π? m ?1 ? 20π ? ? ? sin ? ? α ? + cos ? α + ? tan ? α + ? ? 1 7 ? 7? ? 7 ? ? ?
3 3 4 4 15.解析:由 cos q = ? ,且 p < q < p ,得 sin q = ? , tan q = . 5 2 5 3
6

p tan q ? 1 1 所以 tan(q ? ) = = 4 1 + tan q 7

16.解析:本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值

cot 200 cos100 + 3 sin100 tan 700 ? 2 cos 400 cos 200 cos100 3 sin100 sin 700 = + ? 2 cos 400 0 0 sin 20 cos 70 0 0 cos 20 cos10 + 3 sin100 cos 200 = ? 2 cos 400 0 sin 20

cos 200 (cos100 + 3 sin100 ) ? 2cos 400 sin 200 2 cos 200 (cos100 sin 300 + sin100 cos 300 ) = ? 2 cos 400 0 sin 20 0 0 2 cos 20 sin 40 ? 2sin 200 cos 400 = sin 200 =2 =
三、 解答题: 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 (本大题共 6 个大题, 74 分) 共 。 17.解:∵ csc 30° =
1 = 2, sin 1085 ° = sin( 3 × 360° + 5°) = sin 5° sin 30°

sin( ?2075 °) = sin( ?6 × 360 ° + 85 °) = sin 85 ° = cos 5° ,

sin 95° = cos5°

∴ 1 ? sin 2 95° = 1 ? cos 2 5° = sin 5°.
2 2 ∴原式 = 1 ? 2 sin 5° cos 5° = sin 5° ? 2 sin 5° cos 5° + cos 5° = cos 5° ? sin 5° = 1.

cos 5° ? sin 5°

cos 5° ? sin 5°

cos 5° ? sin 5°

2 2 (cos α + sin α ) (cos α + sin α ) 2 1 4 = 2 2 18.解: = = ? 2 2 cos(2α + 4π ) cos 2α 2 cos α ? sin α cos α ? sin α

sin(α +

π

)

由已知可得 sin α =

12 , 13

∴原式=

2 1 13 2 × =? . 5 12 2 14 ? 13 13
10 得 3 tan 2 α + 10 tan α + 3 = 0 , 3
7

19.解: (Ⅰ)由 tan α + cot α = ?

即 tan α = ?3或 tan α = ? ,又 所以 tan α = ? (

1 3

3π <α <π , 4

1 为所求。 3
Ⅱ )

1- cos α 1+ cos α α α α α + 4sin α + 11 ?8 5sin 2 + 8sin cos + 11cos 2 ? 8 5 2 2 2 2 2 2 = π? ? ? 2 cos α 2 sin ? α ? ? 2? ? 5 ? 5 cos α + 8sin α + 11 + 11cos α ? 16 8sin α + 6 cos α 8 tan α + 6 5 2 = = =? = 6 ?2 2 cos α ?2 2 ?2 2 cos α
。 20. 解法一:由 tan α + cot α = 得

sin α cos α 5 + = , cos α sin α 2 2 5 4 则 = ,sin 2α = . sin 2α 2 5

5 , 2

因为 α ∈ (

, ), 所以 2α ∈ ( , π ), 4 2 2 3 cos 2α = ? 1 ? sin 2 2α = , 5

π π

π

π π π 4 2 3 2 2 sin(2α + ) = sin 2α .cos + cos 2α .sin = × ? × = . 4 4 4 5 2 5 2 10
解法二:由 tan α + cot α = 解得 tan α = 2 或 tan α = 由已知 α ∈ (

5 1 5 , 得 tan α + = , 2 tan α 2

, ), 4 2 1 故舍去 tan α = , 得 2 2 5 5 , cos α = . 那么 5 5

π π

1 . 2

tan α = 2.

因此, sin α =

3 cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α = ? , 5
8

且 sin 2α = 2sin α cos α = 故 sin(2α +

4 , 5

π
4

) = sin 2α .cos

π
4

+ cos 2α .sin

π

4 2 3 2 2 = × ? × = . 4 5 2 5 2 10

1 ?π ? 1 + tan α 21.解: (Ⅰ) tan ? + α ? = = 2,∴tan α = . 3 ?4 ? 1 ? tan α (Ⅱ)解法一: sin2 α +sin2 α + cos2 α = sin2 α + sin2 α + cos2 α – sin2 α

= 2sin α cos α + cos2 α =
2 sin α cosα + cos α 2 sin α cosα + cos α = 1 sin 2 α + cos 2 α 2 tan α + 1 3 = . = tan 2 α + 1 2
2 2

(8 分)

(Ⅱ)解法二: sin2 α + sin2 α + cos2 α = sin2 α + sin2 α + cos2 α – sin2 α
= 2sin α cos α + cos2 α (1)
1 ∵tan α = ,∴ α 为第一象限或第三象限角. 3 1 3 当 α 为第一象限角时,sin α = ,cos α = ,代入(1)得 10 10

2sin α cos α + cos2 α =

3 ; 2

当 α 为第三象限角时,sin α = ?
2sin α cos α + cos2 α =
3 . 2

1 10

,cos α = ?

1 10

,代入(1)得

综上所述:sin2 α + sin2 α + cos2 α =

3 . 2

22.解: (Ⅰ)∵ tan a , tan b 是方程 x 2 ? 4 px ? 3 = 0 的两个根,

∴ tan a + tan b = 4 p, tan a tan b = ?3 . ∴ tan(a + b ) =
tan a + tan b 4p = = p. 1 ? tan a tan b 1 ? ( ?3)

(Ⅱ) 2cos 2a cos 2b + 2sin 2 (a ? b )
= 2cos 2a cos 2b + 1 ? cos 2(a ? b )

= cos 2a cos 2b ? sin 2a sin 2b + 1 = cos 2(a + b ) + 1
9

= 2cos2 (a + b ) .
∵ tan(a + b ) = p ,∴ sin(a + b ) = p cos(a + b ) . ∴ sin 2 (a + b ) = p 2 cos2 (a + b ), 1 ? cos 2 (a + b ) = p 2 cos 2 (a + b ) . 即 cos 2 (a + b ) =
1 . 1 + p2 2 . 1 + p2

∴ 2 cos 2a cos 2b + 2sin 2 (a ? b ) =

10


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