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广东省13市2015届高三上学期期末考试数学文试题分类汇编立体几何


广东省 13 市 2015 届高三上学期期末考试数学文试题分类汇 编 立体几何
一、选择题 1、 (潮州市 2015 届高三)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是





A.

2 3 ?? 3

B.

2 3 ? 2? 3

/>
C. 2 3 ? ?

D. 2 3 ? 2?

2、 (东莞市2015届高三)一个侧棱与底面垂直的四棱柱的正视图和俯视图如图所示,该四棱 柱的体积为( )

A.

3 2

B.

3 2

C.

3 3 2

D.

9 4

3、 (佛山市 2015 届高三)在空间中,有如下四个命题: ①平行于同一个平面的两条直线是平行直线; ②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面; ③若平面 ? 内有不共线的三个点到平面 ? 距离相等,则 ? ∥ ? ; ④过平面 ? 的一条斜线有且只有一个平面与平面 ? 垂直. 其中正确的两个命题是( ) A.①③ D.②③ 4、 (广州市 2015 届高三)用 a , b , c 表示空间中三条不同的直线, ? 表示平面, 给出下列 命题: ① 若a ? b, b ? c, 则a∥c; ② 若 a ∥b , a ∥c , 则b ∥c ; ③ 若 a ∥? , b ∥? , 则 a ∥b ; ④ 若 a ? ? , b ? ? , 则 a ∥b . 其中真命题的序号是 B.②④ C . ① ④

A.① ② B.② ③ C.① ④ D.② ④ 5、 (惠州市 2015 届高三)下列命题正确的是( ) A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 6、 (江门市 2015 届高三)某三棱锥的三视图如图 1 所示,这个三棱锥最长棱的棱长是

A. 1

B. 2

C. 3

D. 2


7、 (清远市 2015 届高三)一几何体三视图如图所示,则该几何体的体积是(

A、32-

16? 学科网 3

B、32-

32? 3

C、32- 16?

D、32- 32?

8、 (汕头市 2015 届高三)如图是某几何体的三视图,其中正视图和侧视图是半径为 1 的半 圆,俯视图是个圆,则该几何体的全面积为( )

A. ?

B. 2?

C. 3?

D. 4? )

9、 (汕尾市 2015 届高三) 某空间几何体的三视图如图 (1 ) 所示, 则该几何体的体积为 (

A.180

B.144

C.48

D.60 ) ② a ? ? , b ? ? ,? // ? ? a ? b ; ④ ? // ? , a // b, a ? ? ? b ? ? .

10、 (韶关市 2015 届高三)已知两条直线 a , b ,两个平面 ? , ? .给出下面四个命题: ( ① a // b, a // ? ? b // ? ; ③ a ? ? , a // b, b // ? ? ? // ? ;

其中正确的命题序号为 ( ) A.①② B.②③ C.①④ D.②④ 11、 (深圳市 2015 届高三)如图 2,三棱锥 A-BCD 中,AB ? 平面 BCD,BC ? CD,若 AB=BC=CD=2,则该三棱锥的侧视图(投影线平行于 BD)的面积为( )

A、 2

B、2

C、 2 2

D、 2 3

12、 (肇庆市 2015 届高三)设 l 为直线,?,?是两个不同的平面,下列命题中正确的是 A.若 l//?,l//?,则?//? B.若?//?,l//?,则 l//? C.若 l??,l//?,则??? D.若???,l//?,则 l?? 13、 (珠海市 2015 届高三)某几何体的三视图如图所示,则其体积为 A、

2? 3

B、

? 3

C、 ?

D、

? 6

14、 (惠州市 2015 届高三)右图是某个四面体的三视图,该四面体的体积为(



A.72

B.36

C.24

D.12

15、 (汕头市 2015 届高三)设 l , m 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,则下列命 题中正确的是( ) A.若 l //? , ? ? ? m ,则 l //m B.若 l //? , m ? l ,则 m ? ? C.若 l //? , m //? ,则 l //m D.若 l ? ? , l //? ,则 ? ? ? 16、 (汕尾市 2015 届高三)已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,则下列四个结

论: ①若 ? / / ? ,则 l ? m ③若 l / / m ,则 ? ? ? ②若 ? ? ? ,则 l / / m ④若 l ? m ,则 ? / / ? ) C.①③ D.②③

其中正确的结论的序号是( A.①④ B.②④

17、 (肇庆市 2015 届高三)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图 是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形,则该几何 体的外接球的表面积为 A. 12 3? B. 12? C. 4 3? D. 3? 俯视图 正视图 侧视图

二、解答题 1、 (潮州市 2015 届高三)如图,三棱柱 ??C ? ?1?1C1 中, C? ? C? , ?? ? ??1 ,

?1? 证明: ?? ? ?1C ; ? 2 ? 若 ?? ? C? ? 2 , ?1C ?

????1 ? 60 .

6 ,求三棱锥 C ? ??C1 的体积.

2、 (东莞市2015届高三)在如图所示的多面体中,四边形AB1B 1A 和ACC1 A1 都为矩形,

AA1 =1,AC = 2 ,AB =2,设D , E 分别是线段BC , CC 1的中点.
(1)若 AC ⊥ BC ,证明:直线BC ⊥平面ACC1A1; (2)设点M 为线段 AB的中点,证明:直线DE // 平面A 1MC ; (3)在(1)条件下,求点 D 到平面 A 1B1 E 的距离.

3、 (佛山市 2015 届高三)如图 6 ,四棱锥 P ? ABCD ,侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形, 且与底面垂直,底面 ABCD 是 ?ABC ? 60? 的菱形, M 为 PC 的中点. (Ⅰ) 求证: PC ? AD ; (Ⅱ) 在棱 PB 上是否存在一点 Q ,使得 A, Q, M , D 四点共面?若存在,指出点 Q 的位置 并证明;若不存在,请说明理由; (Ⅲ) 求点 D 到平面 PAM 的距离.

4、 (广州市 2015 届高三) 如图 3, 在多面体 ABCDEF 中,DE ? 平面 ABCD ,AD ∥BC , 平面 BCEF
? 平面 ADEF ? EF , ?BAD ? 60 , AB ? 2 , DE ? EF ? 1 .

(1)求证: BC ∥EF ; (2)求三棱锥 B ? DEF 的体积.

E

F D C

A

B

5、 (惠州市 2015 届高三)如图,在直三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中, AB ? BC , E 、 F 分别 是A 1B , AC1 的中点. (1)求证: EF ∥平面 ABC ; (2)求证:平面 AEF ? 平面 AA 1B 1B ; (3)若 AB ? BC ? a , A1 A ? 2a , 求三棱锥 F ? ABC 的体积.
B?1

A?1
E F

A

B

C?1

C

(第 18 题)

6、 (江门市 2015 届高三)如图 3,AB 是⊙O 的直径,PA 垂直于⊙O 所在的平面,C 是

圆周上不同于 A、B 的一点.

⑴求证:平面 PAC⊥平面 PBC; ⑵若 PA=AB=2,∠ABC=30°,求三棱锥 P-ABC 的体积.

7、 (清远市 2015 届高三)在等腰直角△BCP 中,BC=PC=4,∠BCP=90°,A 是边 BP 的中点, 现沿 CA 把△ACP 折起,使 PB=4,如图 1 所示.

(1)在三棱锥 P-ABC 中,求证:直线 PA⊥平面 ABC; (2)在三棱锥 P-ABC 中,M、N、F 分别是 PC、BC、AC 的中点,Q 为 MN 上任取一点,求证: 直线 FQ∥平面 PAB; 8、 (汕头市 2015 届高三)如图,已知 ?F ? 平面 ?? CD ,四边形 ???F 为矩形,四边形

?? CD 为直角梯形, ?D?? ? 90 , ?? //CD , ?D ? ?F ? CD ? 2 , ?? ? 4 . ?1? 求证: ?F// 平面 ? C? ;

? 2 ? 求证: ?C ? 平面 ? C? ; ? 3? 求三棱锥 ? ? ?CF 的体积.

9、 (汕尾市 2015 届高三)如图(4) ,在三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,侧面 ABB 1A 1 , ACC1 A 1均 为正方形, AB ? AC ? 1,

?BAC ? 90 ,点 D 是棱 B1C1 的中点。

(1) 求证: AD1 ? 平面 BB1C1C ; (2) 求证: AB / / 平面 A 1 DC ; (3)求三棱锥 C1 ? ACD 的体积 V 。 1

ABCD 是边长为 3 的正方形, 10、 (韶关市 2015 届高三) 如图, 平面 ABCD ? ABEF 是矩形, , 平面 ABEF G 为 EC 的中点. (1)求证: AC //平面 BFG ;
(2)若三棱锥 C ? DGB 的体积为

9 ,求三棱柱 ADF ? BCE 的体积. 4

D

C

G A B

F

E

11、 (深圳市 2015 届高三)如图 5,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, 侧 SBC 是正三角形,点 E 是 SB 的中点,且 AE ? 平面ABC 。 (1)证明: SD // 平面ACE ; (2)若 AB ? AS , BC ? 2 ,求 点 S 到平面 ABC 的距离。

12、 (肇庆市 2015 届高三)如图,已知 PA?⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,AB=2,C 是⊙O 上一点,且 AC=BC=PA,E 是 PC 的中点,F 是 PB 的中点. (1)求证:EF//平面 ABC;
F E A O C B P

(2)求证:EF?平面 PAC; (3)求三棱锥 B—PAC 的体积.

o 13、 (珠海市 2015 届高三)已知平行四边形 ABCD , AB ? 4 , AD ? 2 , ?DAB ? 60 ,

? 4 , F 是线段 AC E 为 AB 的中点,把三角形 ADE 沿 DE 折起至 A1DE 位置,使得 AC 1 1
的中点. (1)求证: BF // 面A 1DE ; (2)求证:面 A1DE ? 面 DEBC ; (3)求四棱锥 A 1 ? DEBC 的体积.

A1 F

D

C D

C

A

E

B
(第 18 题图)

E

B

参考答案
一、选择题 1、C 2、D 3、B 7、A 8、C 9、C 13、B 14、D 15、D 二、解答题 1、 (1)证明:取 AB 的中点 O ,连接 CO , OA1 , A1 B . 4、D 10、D 16、C 5、C 6、C 11、A 12、C 17、D

CA ? CB ,故 CO ? AB ,…………………………………………. 2 分
又 AB ? AA1 , ?BAA1 ? 60o .

??A1 AB 为等边三角形. ? A1O ? AB ,…………………………………………………….…….4 分
又因为 CO ? 平面 COA1 , A1O ? 平面 COA1 , CO

A1O ? O .

? AB ? 平面 COA1 .………………………………………..………….6 分
又 A1C ? 平面 COA1 ,因此 AB ? A1C ;…………………………….7 分 (2)解:在等边 ?ABC 中 CO ? 2 ?

3 3 ? 3 ,在等边 ?A1 AB 中 A1O ? 2 ? ? 3; 2 2

在 ?A1OC 中 OC 2 ? A1O 2 ? 3 ? 3 ? 6 ? A1C 2 .

? ?A1OC 是直角三角形,且 学科网?A1OC ? 90o ,故 OC ? A1O .……….….9 分
又 OC 、 AB ? 平面 ABC , OC

AB ? O ,

? A1O ? 平面 ABC .
故 A1O 是三棱锥 A1 ? ABC 的高.……………………………..…………….10 分

1 ? 2 ? 2sin 60o ? 3 . 2 1 1 ? 三棱锥 A1 ? ABC 的体积 V ? S ?ABC ? A1O ? ? 3 ? 3 ? 1 . 3 3
又 S ?ABC ?

? 三棱锥 C ? ABC1 的体积为 1.…………………………………………….13 分
2、 (1)因为四边形 ABB1 A 1 和 ACC1 A 1 都是矩形, 所以 AA 1 ? AB, AA 1 ? AC . 因为 AB, AC 为平面 ABC 内的两条相交直线, 所以 AA1 ? 平面 ABC .因为直线 BC ? 平面 ABC 内,所以 AA1 ? BC . 分 又由已知, AC ? BC, AA 1 , AC 为平面 ACC1 A 1 内的两条相交直线, 所以, BC ? 平面 ACC1 A1 . …………5 分 (2)因为点 M 为线段 AB 的中点,连接 A 1M , MC, AC 1 , AC1 ,连接 OM , …………3 ……………1 分

O 为 AC1 的中 设 O 为 AC 1 , AC1 的交点.由已知,
点. ………………6 分 连接 MD, OE ,则 MD, OE 分别为 ?ABC, ?ACC1 的中位线.

所以, MD // AC, OE // AC 且 MD ?

所以 MD // OE 且 MD ? OE ……………8 分 从而四边形 MDEO 为平行四边形,则 DE // MO . 因为直线 DE ? 平面 A1MC ,MO ? 平面 A1MC , 所以直线 DE // 平面 A1MC 9分 (3)由(1) BC ? 平面 ACC1 A1 ,所以 BC ? A1C1 , 又 CC1 ? A1C1 , CC1 ? BC ? C 所以 A1C1 ? 面BCC1 B1 , 由题意 VD? A1B1E ? VA1 ? B1DE ,所以

1 1 AC , OE ? AC , 2 2

………………7 分

……

………………10 分

1 1 S ?A1B1E ? h ? S ?B1DE ? A1C1 ……………11 分 3 3 1 3 1 5 5 …………… ? A1 E ? B1 E ? ( 2 ) 2 ? ( ) 2 ? ,所以 S ?A1B1E ? ? 2 ? 2 2 2 2 2

12 分

S ?B1DE ? S BCC1B1 ? S ?B1C1E ? S ?BB1D ? S ?DCE ? 2 ?
……13 分 所以

2 2 2 3 2 , ? ? ? 4 4 8 8

……

1 5 1 3 2 ? ?h ? ? ? 2, 3 2 3 8 3 5 3 5 所以 h ? ,点 D 到平面 A1 B1 E 的距离为 10 10

………………14

分 3、 【解析】(Ⅰ)方法一:取 AD 中点 O ,连结 OP, OC , AC ,依题意可知△ PAD ,△ ACD 均 为正三角形, 所以 OC ? AD , OP ? AD ,又 OC

OP ? O , OC ? 平面 POC , OP ? 平面 POC ,
P

所以 AD ? 平面 POC ,又 PC ? 平面 POC ,所以 PC ? AD .………………4 分 方法二:连结 AC ,依题意可知△ PAD ,△ ACD 均为正三角形, 又 M 为 PC 的中点,所以 AM ? PC , DM ? PC , 又 AM
Q A B C

M O D

DM ? M , AM ? 平面 AMD , DM ? 平面 AMD ,

所以 PC ? 平面 AMD , 又 AD ? 平面 AMD ,所以 PC ? AD .………………4 分

(Ⅱ)当点 Q 为棱 PB 的中点时, A, Q, M , D 四点共面,证明如下:………………6 分 取棱 PB 的中点 Q ,连结 QM , QA ,又 M 为 PC 的中点,所以 QM // BC , 在菱形 ABCD 中 AD // BC ,所以 QM // AD ,所以 A, Q, M , D 四点共面.……………… 8分 (Ⅲ)点 D 到平面 PAM 的距离即点 D 到平面 PAC 的距离, 由(Ⅰ)可知 PO ? AD ,又平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD 高.………………9 分 在 Rt?POC 中, PO ? OC ? 3 , PC ? 6 , 平面 ABCD ? AD ,

PO ? 平 面 PAD , 所 以 PO ? 平 面 A B C D , 即 PO 为 三 棱 锥 P ? ACD 的 体

在 ?PAC 中, PA ? AC ? 2 , PC ? 6 ,边 PC 上的高 AM ? 所以 ?PAC 的面积 S?PAC ?

PA2 ? PM 2 ?

10 , 2

1 1 10 15 ,………………10 分 PC ? AM ? ? 6 ? ? 2 2 2 2 设点 D 到平面 PAC 的距离为 h ,由 VD? PAC ? VP? ACD 得………………11 分
1 1 S?PAC ? h ? S ?ACD ? PO 3 3
, 又

S?ACD ?

3 2 ?2 ? 3 4

,





1 1 5 1 ? ? h ? ? 3 ? 3 ,……13 分 3 2 3
解得 h ?

2 15 , 5 2 15 .………………14 分 5

所以点 D 到平面 PAM 的距离为

4、 (1)证明:∵ AD ∥BC , AD ? 平面 ADEF , BC ? 平面 ADEF , ∴ BC ∥ 平面 ADEF . …………………2 分 又 BC ? 平面 BCEF ,平面 BCEF ∴BC ∥EF . 平面 ADEF ? EF ,

………………………………4 分

(2)解: 在平面 ABCD 内作 BH ? AD 于点 H , ∵DE ? 平面 ABCD , BH ? 平面 ABCD , ∴DE ? BH . ………………………………5 分 ∵ AD ? 平面 ADEF , DE ? 平面 ADEF , AD ∴BH ? 平面 ADEF . 分 ∴BH 是三棱锥 B ? DEF 的高. 在 Rt△ ABH 中, ?BAD ? 60o , AB ? 2 ,故 BH ? 3 . 分 ∵ DE ? 平面 ABCD , AD ? 平面 ABCD , ∴ DE ? AD . 分 由(1)知, BC ∥EF ,且 AD ∥BC , ∴ AD ∥EF . 分 ∴ DE ? EF . 分 ………………………………12 ……………………………… 11 ……………………10 ………………8 分 ……………………9

DE ? D ,
……………………7

1 1 1 3 ∴ 三棱锥 B ? DEF 的体积 V ? ? S?DEF ? BH ? ? ? 1? 1? 3 ? . …………14 3 3 2 6
分 5、证明: (1)连结 A1C , 因为直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中,四边形 AA1C1C 是矩形, 故点 F 在 A1C 上,且 F 为 A1C 的中点. 在 ?A1 BC 中,因为 E,F 分别是 A1 B , A1C 的中点, 故 EF // BC . 分 又因 BC ? 平面 ABC , EF ? 平面 ABC ,所以 EF // 平面 ABC 分 (其它方法参照给分) (2)在直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, B1 B ? 平面 ABC ,所以 B1 B ? EF 分 由(1)知 EF // BC ,且 AB ? BC ,则 EF ? AB 因 B1 B I AB ? B ,故 EF ? 平面 ABB1 A1 9分 又 EF ? 平面 AEF ,故平面 AEF ? 平面 ABB1 A1 10 分 ……………………………… ……………………………… ………………6 ………………4 ……………2

1 1 1 (3) VF ? ABC ? VA1 ? ABC ? ? ? S ?ABC ? AA1 2 2 3


………………………………12

1 1 1 a3 ? ? ? a 2 ? 2a ? 2 3 2 6
分 (其它方法参照给分) 6、证明与求解:⑴设⊙O 所在的平面为 ? ,

………………………………14

依题意,PA ? ? ,BC ? ? ,∴PA ? BC……2 分 ∵AB 是⊙O 的直径,C 是圆周上不同于 A、B 的一点,∴AC ? BC……3 分 ∵PA∩AC=A,∴BC ? 平面 PAC……5 分 ∵BC ? 平面 PBC,∴平面 PAC⊥平面 PBC……7 分

1 ⑵∵PA ? ? ,∴三棱锥 P-ABC 的体积 V ? S ?ABC ? PA ……9 分 3
∵AB=2,∠ABC=30°,AC ? BC,∴AC=1,BC= 3 ……11 分

S ?ABC ? V?

1 3 ? AC ? BC ? ……13 分 2 2

1 1 3 3 S ?ABC ? PA ? ? ?2? ……14 分 3 3 2 3
…………2 分 …………4 分

7、解: (1)在三棱锥 P-ABC 中,依题意可知: PA ? AC
2 2 2 ∵PA=AB= 2 2 ,PB=4? PA ? PB ? PB ,则 PA ? AB

又AB ?AC ? A ,…………5 分

∴PA⊥平面 ABC…………6 分

(2)证法一:∵M、N、F 分别是 PC、BC、AC 的中点,连 FN、MF,得平面 FMN,……7 分 ∴直线 MN∥直线 PB,…………8 分 直线 FN∥直线 AB,…………9 分

又∵直线 MN∩直线 FN=N, 直线 PB∩直线 AB=B,…………11 分 ∴平面 PAB∥平面 MNF,…………12 分(或者证明两相交线与面平行) 又∵FQ ? 平面 MNF, ∴直线 FQ∥平面平面 PAB …………14 分 证法二:连 CQ 延长交 PB 于 K,连 AK,…………7 分 ∵M、N 分别是 PC、BC 的中点,∴直线 MN∥直线 PB 且 MN=

1 PB,…………9 分 2

∴Q 为 CK 的中点,……10 分 又∵F 是 AC 的中点, 连 AK,∴直线 FQ∥直线 AK,…12 分 ∵FQ ? 平面 PAB,∴FQ∥平面 PAB,…………14 分 8、解: (1)因为四边形 ABEF 为矩形, 所以 AF // BE, BE ? 平面 BCE , AF ? 平面 BCE , 所以 AF // 平面 BCE .…… 3 分 (2)过 C 作 CM ? AB ,垂足为 M , 因为 AD ? DC, 所以四边形 ADCM 为矩形.
D C A F E

M
B

所以 AM ? MB ? 2 ,又因为 AD ? 2, AB ? 4 所以 AC ? 2 2 , CM ? 2 , BC ? 2 2
2 2 2 所以 AC ? BC ? AB ,所以 AC ? BC ;……

5分

因为 AF ? 平面 ABCD , AF // BE, 所以 BE ? 平面 ABCD ,所以 BE ? AC ,……7 分 又因为 BE ? 平面 BCE , BC ? 平面 BCE , BE ? BC ? B 所以 AC ? 平面 BCE . ……9 分 10 分

(3)因为 AF ? 平面 ABCD ,所以 AF ? CM ,……

又因为 CM ? AB , AF ? 平面 ABEF , AB ? 平面 ABEF , AF ? AB ? A

所以 CM ? 平面 ABEF .……

12 分

EF

1 1 1 1 8 …13 分 VE ? BCF ? VC ? BEF ? S? ? ? BE ? EF ? CM ? ? 2 ? 4 ? 2 ? BEF ? CM ? 3 3 2 6 3 1 1 1 1 8 ? S ?BEF ? CM ? ? ? BE ? EF ? CM ? ? 2 ? 4 ? 2 ? …14 分 3 3 2 6 3
9、

10、

11、

12、证明: (1)在?PBC 中,E 是 PC 的中点,F 是 PB 的中点,所以 EF//BC. (2 分) 又 BC?平面 ABC,EF?平面 ABC,所以 EF//平面 ABC. (4 分)
P F E A O C B

(2)因为 PA?平面 ABC,BC?平面 ABC,所以 PA?BC. (5 分) 因为 AB 是⊙O 的直径,所以 BC?AC. 又 PA∩AC=A,所以 BC?平面 PAC. (6 分) (7 分)

由(1)知 EF//BC,所以 EF?平面 PAC.

(8 分)

(3)解:在 Rt?ABC 中,AB=2,AC=BC,所以 AC ? BC ? 所以 PA ?

2.

(9 分)

2.

因为 PA?平面 ABC,AC?平面 ABC,所以 PA?AC. 所以 S ?PAC ?

1 PA ? AC ? 1 . 2

(10 分)

由(2)知 BC?平面 PAC,所以 VB ? PAC ?

1 2 . S ?PAC ? BC ? 3 3

(12 分)

13、解:(1)证明:取 DA1 的中点 G ,连接 FG、GE

A1 G D F C

F 为 A1C 中点
1 2 E 为平行四边形 ABCD 边 AB 的中点 1 ? EB // DC ,且 EB ? DC 2 ? EB // GF ,且 EB ? GF ?四边形 BFGE 是平行四边形 ? BF // EG

? GF // DC ,且 GF ? DC

E

B

EG ? 平面 A1DE , BF ? 平面 A1DE

? BF // 平面 A1DE ……………………………………………………4 分
(2)取 DE 的中点 H ,连接 A1H、CH

A1 F D H E
1 ? 13 在 ?A1 HC 中 , 2

AB ? 4 , AD ? 2 , ?DAB ? 60o , E 为 AB 的中点

? ?DAE 为等边三角形,即折叠后 ?DA1E 也为等边三角形 ? A1H ? DE ,且 A1H ? 3
o 在 ?DHC 中, DH ? 1 , DC ? 4 , ?HDC ? 60

C

B

根据余弦定理,可得

HC 2 ? DH 2 ? DC 2 ? 2 DH ? DC cos 60o ? 12 ? 42 ? 2 ?1? 4 ?

? 4, A1H ? 3 , HC ? 13 , AC 1

2 ? A1H 2 ? HC 2 ,即 A1H ? HC ? AC 1



? A1 H ? DE ? A H ? HC 1 ? ? ? DE ? 面DEBC ,所以 A1H ? 面DEBC ? HC ? 面DEBC ? ? ? DE HC ? H



A1H ? 面A1DE

?面 A1DE ? 面 DEBC ……………………………………………………………………10 分
(3)由第(2)问知 A 1H ? 面DEBC

1 1 1 VA1 ? DEBC ? S底面DEBC ? h ? ? (2 ? 4) ? 3 ? 3 ? 63 ………………………………14 分 3 3 2


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