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高一数学期末考试知识复习大纲


高一数学期末考试知识复习大纲
必修 1 各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性: (1) 元素的确定性如:世界上最高的山 (2) 元素的互异性如:由 HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{ ? } 如:

{我校的篮球队员},{太平洋,大西 洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。 ? 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 1) 列举法:{a,b,c??} 2) 描述法: 将集合中的元素的公共属性描述出来, 写在大括号内 表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4) Venn 图: 4、集合的分类: (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 2 (3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x =-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意: A ? B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分,(2)A 与 B 是同 ; 一集合。
? 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A ? B
? 或 B? A 2. “相等”关系:A=B (5≥5,且 5≤5,则 5=5) 2 实例: 设 A={x|x -1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记

作 A B(或 B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 n n-1 ? 有 n 个元素的集合,含有 2 个子集,2 个真子集 三、集合的运算
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运算 类型 定 义













由所有属于 A 且属 于 B 的元素所组成 的集合,叫做 A,B 的 交集. 记作 A ? B 读 ( 作‘A 交 B’ ,即 ) A ? B={x|x ? A,且 x ? B} .

由所有属于集合 A 或 属于集合 B 的元素所 组成的集合, 叫做 A,B 的并集.记作:A ? B (读作‘A 并 B’,即 ) A ? B ={x|x ? A,或 x ? B}).

设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集,由 S 中 所有不属于 A 的元素组 成的集合,叫做 S 中子 集 A 的补集(或余集) 记作 C S A ,即 CSA= { x | x ? S , 且 x ? A} S A

韦 恩 图 示 性

A

B

A

B

图1

图2



A ? A=A A ? Φ =Φ A ? B=B ? A A? B? A A? B? B

A? A? A? A? A?

A=A Φ =A B=B ? A B? A B? B

(CuA) ? (CuB) = Cu (A ? B) (CuA) ? (CuB) = Cu(A ? B) A ? (CuA)=U A ? (CuA)= Φ .

二、函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对 应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一 确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的 取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数 值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意: 1. 定义域: 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么, 它 的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零,
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(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ? 相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数 值的字母无关) ;②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例 2) 2.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象. 上每一点的坐标(x, 均满足函数关系 C y) y=f(x),反过来,以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标 的点(x,y),均在 C 上 . (2) 画法 A、 描点法: B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示. 5.映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对 应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯 一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A ? B 为从集合 A 到 集合 B 的一个映射。记作“f(对应关系) :A(原象) ? B(象) ” 对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (1)集合 A 中的每一个元素, 在集合 B 中都有象, 并且象是唯一的; (2)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集, 值域是各段值域的并 集. 补充:复合函数 如 果 y=f(u)(u ∈ M),u=g(x)(x ∈ A), 则 y=f[g(x)]=F(x)(x ∈ A) 称为 f、g 的复合函数。 二.函数的性质 1.函数的单调性(局部性质)
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(1)增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那 么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区 间. 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时, 都有 f(x1)>f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2) 图象的特点 如果函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数 的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 ○ 2 ○ 3 ○ 4 ○ 5 ○ 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; 作差 f(x1)-f(x2); 变形(通常是因式分解和配方) ; 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) .

(B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x), y=f(u)的 单调性密切相关,其规律: “同增异减” 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调 性相同的区间和在一起写成其并集. 8.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(- x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. (2) .奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)= —f(x),那么 f(x)就叫做奇函数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1 ○首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; 2 ○确定 f(-x)与 f(x)的关系; 3 ○作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0, 则 f(x)是偶函数;若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数.
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注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条 件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是 非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x) ± f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3)利用定理, 或借助函数的 图象判定 . 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间 的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函 数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10.函数最大(小)值(定义见课本 p36 页) 1 ○ 2 ○ 3 ○ 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 利用图象求函数的最大(小)值 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:

如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调 递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调 递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b); 第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1. 根式的概念: 一般地, 如果 x * 其中 n >1,且 n ∈ N . ?
n

? a, 那么 x 叫做 a 的 n 次方根,

负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 。
n n

当 n 是奇数时, a

? a , n 是偶数时, a 当
n

n

?a ? | a |? ? ?? a

(a ? 0) (a ? 0)

2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:
m

a
a

n

?
m n

n

a

m

( a ? 0 , m , n ? N , n ? 1)
*


*

?

?

1
m

?
n

1 a
m

( a ? 0 , m , n ? N , n ? 1)

a

n

?

0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义

3.实数指数幂的运算性质
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(1) a · a ? a
r

r

r?s

(a ? 0, r , s ? R ) ;

(2) ( a ) ? a
r s r

rs

(a ? 0, r , s ? R ) ;
s

(3) ( ab ) ? a a (二)指数函数及其性质
r

(a ? 0, r , s ? R ) .
x

1、指数函数的概念:一般地,函数 y ? a ( a ? 0 , 且 a ? 1) 叫做指 数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1
6 6 5 5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递增 非奇非偶函数 函数图象都过定 点(0,1)

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 函数图象都过定 点(0,1)

注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1) 在[a,b]上,f ( x ) ? a ( a ? 0 且 a ? 1) 值域是 [ f ( a ), f ( b )] 或
x

[ f ( b ), f ( a )] ;

(2) x ? 0 , f ( x ) ? 1 ;f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ; 若 则 (3)对于指数函数 f ( x ) ? a ( a ? 0 且 a ? 1) ,总有 f (1) ? a ; 二、对数函数 (一)对数
x

1. 对数的概念: 一般地, 如果 a

x

? N ( a ? 0 , a ? 1) , 那么数 x 叫
a

做以 a 为底 N 的对数,记作: x ? log . .. 数, log
a

N ( a — 底数, N — 真

N — 对数式)

说明:○ 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ; 1 2 ○ 3 ○
a
x

? N ? log

a

N ? x;

注意对数的书写格式.

log

a

N

两个重要对数:
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1 ○ 2 ○ ?

常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; 自然对数: 以无理数 e ? 2 . 71828 ? 为底的对数的对数 ln N . 指数式与对数式的互化 幂值
b

真数

a = N ? lo g a N = b

底数 指数 对数 (二)对数的运算性质 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: 1 ○ log a ( M · N ) ? log a M + log a N ; 2 ○ log 3 ○ log
M
a

? log
n

N
M

a

M - log
a

a

N ;

a

? n log

M

(n ? R ) .

注意:换底公式
log
a

b ?

log log

c c

b a
n m

( a ? 0 , a ? 1 ;c ? 0 , c ? 1 ;b ? 0 ) 且 且 .

利用换底公式推导下面的结论 (1) log
a
m

b

n

?

log

a

(2) log b;

a

b ?

1 log
b


a

(二)对数函数 1、对数函数的概念:函数 y ? log

a

x ( a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数

函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞) . 注意:○ 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注 1 意辨别。如: y ? 2 log 称其为对数型函数. 2 ○ 对数函数对底数的限制: ( a ? 0 ,且 a ? 1) . 0<a<1
3 2.5 2 1.5

2

x

,y

? log

x
5

都不是对数函数,而只能

5

2、对数函数的性质: a>1
3 2.5 2 1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

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定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递增 函数图象都过 定点(1,0) (三)幂函数

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递减 函数图象都过定点 (1,0)

1、 幂函数定义: 一般地, 形如 y ? x ( a ? R ) 的函数称为幂函数, 其中 ? 为常数. 2、幂函数性质归纳. (1) 所有的幂函数在 (0, +∞) 都有定义并且图象都过点 (1, ; 1) (2)? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [ 0 , ?? ) 上是 增函数. 特别地, ? ? 1 时, 当 幂函数的图象下凸; 0 ? ? ? 1 时, 当 幂函数的图象上凸; (3)? ? 0 时,幂函数的图象在区间 ( 0 , ?? ) 上是减函数.在第一 象限内, x 从右边趋向原点时, 当 图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴 正半轴,当 x 趋于 ? ? 时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半 轴. 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数 y ? f ( x )( x ? D ) ,把使 f ( x ) ? 0 成立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x )( x ? D ) 的零点。 2、函数零点的意义:函数 y ? f ( x ) 的零点就是方程 f ( x ) ? 0 实 数根,亦即函数 y ? f ( x ) 的图象与 x 轴交点的横坐标。 即:方程 f ( x ) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x ) 的图象与 x 轴有交 点 ? 函数 y ? f ( x ) 有零点. 3、函数零点的求法: 1 ○ 2 ○ (代数法)求方程 f ( x ) ? 0 的实数根; (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数

?

y ? f ( x ) 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.

4、二次函数的零点: 二次函数 y ? ax
2

? bx ? c ( a ? 0 ) .
2

(1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的 图象与 x 轴有两个交点,二次函数有两个零点. (2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实根,二次函数的 图象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
2

(3) △<0, 方程 ax ? bx ? c ? 0 无实根, 二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点.
2

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5.函数的模型 收集数据

画散点图

不 符 合 实 际

选择函数模型

求函数模型

检验 符合实际 用函数模型解释实际问题

高一数学必修 4 知识点
?正 角 :按 逆 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角 ? 1 、 任 意 角 ?负 角 : 按 顺 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角 ? ?零 角 :不 作 任 何 旋 转 形 成 的 角

2、 ? 的顶点与原点重合, 角 角的始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边落在第几象限, 则称 ? 为第几象限角. 第一象限角的集合为 ?? k ? 3 6 0 ? ? ? k ? 3 6 0 ? 9 0 , k ? ? ?
? ? ?

第二象限角的集合为 ?? k ? 3 6 0 ? 9 0 ? k ? 3 6 0 ? 1 8 0 , k ? ? ?
? ? ? ?

第三象限角的集合为 ?? k ? 3 6 0 ? 1 8 0 ? ? ? k ? 3 6 0 ? 2 7 0 , k ? ? ?
? ? ? ?

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第四象限角的集合为 ?? k ? 3 6 0 ? 2 7 0 ? ? ? k ? 3 6 0 ? 3 6 0 , k ? ? ?
? ? ? ?

终边在 x 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 1 8 0 , k ? ? ?
?

终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 1 8 0 ? 9 0 , k ? ? ?
? ?

终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 9 0 , k ? ? ?
?

3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ? ? ? ? k ? 3 6 0 ? ? , k ? ? ?
?

4、已知 ? 是第几象限角,确定

?
n

? n ? ? ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再
*

从 x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来是第几象限对应 的标号即为
?
n

终边所落在的区域.

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度. 6、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ?
? 180 ? ? 7、弧度制与角度制的换算公式: 2 ? ? 3 6 0 , 1 ? ,1 ? ? ? ? 5 7 .3 . 180 ? ? ?
?
?

l r



?

?

8、若扇形的圆心角为 ? ? ? 为 弧 度 制 ? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,则
l ? r ? ,C ? 2r ? l , S ?

1 2

lr ?

1 2

? r .
2

9、设 ? 是一个任意大小的角, ? 的终边上任意一点 ? 的坐标是 ? x , y ? ,它与原点的距离 是r r ?

?

x ? y
2

2

? 0 ,则 s in ? ?

?

y r

, cos ? ?

x r

, ta n ? ?

y x

?x

? 0?.

10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正(全正) ,第二象限正弦为正(S 正) ,第 三象限正切为正(T 正) ,第四象限余弦为正(C正) . y sin ? ? ? ? , co s ? ? ? ? , tan ? ? ? ? . 11、三角函数线: 12、同角三角函数的基本关系: ? 1 ? sin ? ? co s ? ? 1
2 2

? sin

2

? ? 1 ? c o s ? , c o s ? ? 1 ? sin ? ? ; ? 2 ?
2 2 2

s in ? cos ?

P T v O M A x

? ta n ?

s in ? ? ? ? s in ? ? ta n ? c o s ? , c o s ? ? ?. ta n ? ? ?
第 10 页 共 16 页

13、三角函数的诱导公式:

? 1 ? sin ? 2 k ? ? 2 ? sin ? ?

??

? ? sin ? , co s ? 2 k ?
? sin ? , co s ? ? ? ?

??

??

co s ? , tan ? 2 k ? ? ?

??

tan ? ? k ? ? ? .

??

??

??

? co s ? , tan ? ? ? ?

??

tan ? .

? 3 ? sin ? ? ? ? ? ? 4 ? sin ? ?
??

? sin ? , co s ? ? ?

??
??

co s ? , tan ? ? ?

??

? tan ? .

? ? sin ? , c o s ? ?

??

? c o s ? , tan ? ? ? ?

??

? tan ? .

(1)至(4)口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5 ? s in ?

? ?? ? ? ? ? ? c o s ? , c o s ? ? ? ? ? s in ? . ? 2 ? ? 2 ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? c o s ? , c o s ? ? ? ? ? ? s in ? . ? 2 ? ? 2 ? ??

? 6 ? s in ?

(5)(6)口诀:函数名称改变,符号看象限 (6) 总(1)至(6) 口诀:奇变偶不变,符号看象限 即写成?

?? ?

?
2

?k

14、 “先平移后伸缩” (1) :函数 y ? s in x 的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度, 得到函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长 (缩短)到原来的
1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数 y ? sin ? ? x ? ? ? 的图象;再将函数

y ? sin ? ? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变) ,得

到函数 y ? ? sin ? ? x ? ? ? 的图象. (2) “先伸缩后平移” :函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数 y ? sin ? x 的图象;再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向
? ?

左 (右) 平移

个单位长度, 得到函数 y ? sin ? ? x ? ? ? 的图象; 再将函数 y ? sin ? ? x ? ? ?

的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变) 得到函数 ,
y ? ? sin ? ? x ? ? ? 的图象.

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(3)函数 y ? ? sin ? ? x ? ? ? ? ? ? 0, ? ? 0 ? 的性质: ①振幅: ? ;②周期: ? ?
2?

?

;③频率: f ?

1 ?

?

?
2?

;④相位:? x ? ? ;⑤初相:? .

函数 y ? ? sin ? ? x ? ? ? ? ? ,当 x ? x1 时,取得最小值为 y m in ;当 x ? x 2 时,取得最大 值为 y m a x ,则 ? ?
1 2

? y m ax

? y m in ? , ? ?

1 2

? y m ax

? y m in ? ,

? 2

? x 2 ? x1 ? x1 ? x 2 ? .

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: 性 函 质 数
y ? s in x

y ? co s x

y ? tan x

图 象

定 义 域 值 域

R

R

? ? ? ,k ? ?? ? x x ? k? ? 2 ? ?

? ? 1,1 ?
当 x ? 2k? ? 时 ,
?
2

? ? 1,1 ?
?k ? ??
; 当 当 x ? 2 k ? ? k ? ? ? 时,
y m a x ? 1 ;当 x ? 2 k ? ? ?

R

最 值

y m ax ? 1

x ? 2k? ?

?
2

既无最大值也无最小值

? k ? ? ? 时, y m in
? ?1 .
2?

? ?1 .

? k ? ? ? 时, y m in
周 期 性 奇 偶 性
2?

?

奇函数

偶函数

奇函数

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在 ?2k? ?
?

?

?
2

, 2k? ?

? ?
2? ?

在 ?2k? ? ? , 2k? ? ? k ? ? ? 上 是增函数; ? 2 k ? , 2 k ? ? ? 在

单 调 性

? k ? ? ? 上是增函数;在

?

在? k? ?
?

?

?
2

, k? ?

? ?
? 2 ?

? 3? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? 2 2 ? ? ?

? k ? ? ? 上是减函数.

? k ? ? ? 上是增函数.

? k ? ? ? 上是减函数.
对称中心 ? k ? , 0 ? ? k ? ? ? 对 称 性 对
x ? k? ?







心 对称中心 ? 无对称轴
? k? ? ,0 ??k ? ?? ? 2 ?


?
2



?k ? ??

? ? ? ,0 ??k ? ?? ? k? ? 2 ? ?

对称轴 x ? k ? ? k ? ? ?

16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点.

⑶三角形不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b . ⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ;②结合律: ? a ? b ? ? c ? a ? ?b ? c ? ;③
? ? ? ? ? a?0 ? 0?a ? a.
C

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⑸ 坐 标 运 算 : 设 a ? ? x1 , y 1 ?

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, b ? ? x2 , y2 ?

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, 则

? a

? b
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? ? ? ? ? ? a ? b ? ?C ?

? ? ? ? ?

? ? a ? b ? ? x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ? .

18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设 a ? ? x1 , y 1 ? , b ? ? x 2 , y 2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ? . 设 ? 、 ? 两点的坐标分别为 ? x1 , y 1 ? , ? x 2 , y 2 ? ,则 ? ? ? ? x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ? . 19、向量数乘运算: ? ? ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ① ? a ? ? a ;②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;当 ? ? 0 时, ? a ? 0 . ⑵运算律:① ? ? ? a ? ? ? ? ? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ? a ? ? a ;③ ? ? a ? b ? ? ? a ? ? b . ⑶坐标运算:设 a ? ? x , y ? ,则 ? a ? ? ? x , y ? ? ? ? x , ? y ? . 20、向量共线定理:向量 a ? a ? 0 ? 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a . 设 a ? ? x1 , y 1 ? , b ? ? x 2 , y 2 ? ,其中 b ? 0 ,则当且仅当 x1 y 2 ? x 2 y 1 ? 0 时,向量 a 、
? ? ? b b ? 0 共线. ? ? ?
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21、平面向量基本定理:如果 e1 、 e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面 内的任意向量 a ,有且只有一对实数 ? 1 、 ? 2 ,使 a ? ? 1 e1 ? ?2 e2 . (不共线的向量 e1 、 e 2 作为这一平面内所有向量的一组基底) 22、 分点坐标公式: 设点 ? 是线段 ? 1 ? 2 上的一点,? 1 、? 2 的坐标分别是 ? x1 , y 1 ? ,? x 2 , y 2 ? , 当 ? 1 ? ? ? ? ? 2 时,点 ? 的坐标是 ?
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? x1 ? ? x 2 1? ?

,

y1 ? ? y 2 ? ?. 1? ? ?

23、平面向量的数量积: ⑴ a ? b ? a b co s ? ? a ? 0 , b ? 0 , 0 ? ? ? 1 8 0
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? .零向量与任一向量的数量积为 0 .
? ? ?
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⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ? b ? a ?b ? 0 .②当 a 与 b 同向时,
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? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a b ;当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? a b ; a ? a ? a ? a

2

或 a ?

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? ? a ? a .③

? ? ? ? a ?b ? a b .

⑶运算律:① a ? b ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? ? a ? b ? ? a ? ? ? b ? ;③ ? a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c . ⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1 , y 1 ? , b ? ? x 2 , y 2 ? ,则 a ? b ? x1 x 2 ? y 1 y 2 . 若 a ? ? x , y ? ,则 a
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2

? 2 2 ? x ? y ,或 a ?
? ?

x ? y .
2 2

设 a ? ? x1 , y 1 ? , b ? ? x 2 , y 2 ? ,则 a ? b ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 . 设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a ? ? x1 , y 1 ? , b ? ? x 2 , y 2 ? , ? 是 a 与 b 的 夹 角 , 则
? ? a ?b cos ? ? ? ? ? a b x1 x 2 ? y 1 y 2 x1 ? y 1
2 2

?

?

?

?

?

?


2

x2 ? y2
2

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ co s ? ? ? ? ? ? co s ? co s ? ? sin ? sin ? ; ⑵ co s ? ? ? ? ? ? co s ? co s ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ? ? ? ? ? ? sin ? co s ? ? co s ? sin ? ; ⑷ sin ? ? ? ? ? ? sin ? co s ? ? co s ? sin ? ; ⑸ tan ? ? ? ? ? ?
tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

( tan ? ? tan ? ? tan ? ? ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ? ? ) ;

⑹ tan ? ? ? ? ? ?

( tan ? ? tan ? ? tan ? ? ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ? ? ) .

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2 ? ? 2 sin ? co s ? . ⑵
2

co s 2 ? ? co s ? ? sin ? ? 2 co s ? ? 1 ? 1 ? 2 sin ?
2 2 2 2



cos ? ?
2

c o s 2? ? 1 2



s in ? ?

1 ? c o s 2? 2

) .

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⑶ ta n 2 ? ?

2 ta n ? 1 ? ta n ?
2


? ? ? sin ? ? ? ? ? ,其中 ta n ? ?
2 2

26、 ? sin ? ? ? co s ? ?

? ?



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