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第8讲 等比数列基本问题(答案)


2016 年暑期作业(高二数学,第八讲)

第八讲

等比数列基本问题

【复习要求】 1. 掌握等比数列的通项与求和公式; 2. 会用等比数列的通项与求和公式求等比数列中的基本量; 3. 利用等比数列的基本性质解题. 【复习重难点】 1. 求等比数列中的基本量; 2. 等比数列的基本性质及其应用.

知识梳理:
1.等比数列的定义:

an ?1 ? (n? N ) ? q (非零常数) an

等比中项的定义:如果 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项, 且 G=± ab(ab>0). 2.等比数列的判定: (1)定义 (2)等比中项公式 (3) an ? c ? qn 3.等比数列的通项公式: an ? a1 ? qn?1

等比数列的前 n 项求和公式:

?na1 , q ? 1 ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q , q ? 1 ?

4.三条基本性质: ?an ? 为等比数列 (1) an ? am ? qn?m . (2)若 m ? n ? p ? q (m, n, p, q ? N ) ,则有 am ? an ? a p ? aq . (3)当 ?an ? 的公比不为-1 时, Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m ,?成等比数列. 一、 【基础训练】 1.在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 且 a4 a6 ? 4a7 ,则 a3 的值是
2
?

. 1

2.在各项都为正数的等比数列 {a n } 中,首项为 3,前 3 项和为 21,则 a 3

? a 4 ? a5 ?

.84

3.等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a5a6 ? a4 a7 =18,则 log 3 a1 ?log 3 a2 ? ??log 3 a 10 = .10

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2016 年暑期作业(高二数学,第八讲)

4.若数列 1, a1 , a2 ,9 是等差数列,数列 1, b1, b2 , b3 ,9 是等比数列,则 5.设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若

b2 = a1 ? a2


.

3 10

S6 S =3,则 9 = S3 S6

7 3

6.设等比数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n ? a ,等差数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ? n2 ? 2n ? b , 则a ?b =
7.在等比数列

. ?1

?an ?中,若 a7 ? a8 ? a9 ? a10 ? 15 ,
8
. ?

9 a8 ? a9 ? ? ,则 8

1 1 1 1 ? ? ? ? a7 a8 a9 a10
二、 【思维拓展】

5 3

例 1:在等比数列 ?an ? 中, a2 ? 8, a5 ? 64 ,则其通项公式为 答案: an ? 4 ? 2n?1 , n ? N ?



变题:已知数列 {an } 中, a3 =1, a6 =15,若 { 答案:127 例 2:等比数列 {an } 中,前 n 项和为 Sn , a3 ? 答案: an ?

1 } 为等比数列,则 a9 = an ? 1



1 3 , S 3 ? ,求 {an } 的通项公式. 2 2

1 1 n ?1 ? 或 an ? 2 ? (? ) , n ? N 2 2

变题:设等比数列 {an } 的公比为 q ,前 n 项和为 Sn ,若 Sn?1 , Sn , Sn?2 成等差数列,则 q 的 值为 答案: ?2 .

例 3:已知各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, 3a1 , 答案: 27

a ?a 1 a3 ,2a 2 成等差数列,则 11 13 = 2 a8 ? a10



变题:⑴ 等差数列 {an } 中, a1 ? 2 ,且 a1 , a3 , a 11 恰好是某等比数列的前三项,那么该等比 数列公比等于 .

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答案:1 或 4 ⑵ a1 , a2 , a3 , a4 是各项不为零的等差数列,且公差 d ? 0 ,若将此数列删去某一项 得到的数列(按原来的顺序)是等比数列, 则 答案: ?4 或 1 例 4:已知数列 {an } 中, a1 ? 3,(?n, an?1 ? 2an ) 在直线 y ? x 上,其中 n ? 1, 2,3? ⑴ 令 bn ? an ? n ? 1, 求证:数列 {bn } 是等比数列; ⑵ 求:数列 {an } 的通项公式. 答案: (1)用定义证明

a1 的值为 d



bn?1 ? 2 且 b1 ? 0 bn

(2) an ? 2n?1 ? n ? 1, n ? N ?

变题:设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,其中 an ? 0 , a1 为常数,且 ? a1 、 Sn 、an ?1 成等差数列. ⑴ 求: {an } 的通项公式; ⑵ 设 bn ? 1 ? Sn ,问:是否存在 a1 ,使数列 {bn } 为等比数列?若存在,求出 a1 的值; 若不存在,请说明理由. 答案: (1) an ? a1 ? 3n?1, n ? N ? (2)存在 a1 ? ?2 使 {bn } 是公比为 3 的等比数列 三、 【能力提升】 1.已知等比数列 ?an ? 的各项都为正数,它的前三项依次为 1, a ? 1 , 2a ? 5 则数列 ?an ? 的 通项公式是 an = .3
n ?1

2.设等比数列 {an } 的各项均为正数,其前 n 项和为 Sn .若 a1 ? 1 , a3 ? 4 , Sk ? 63 ,则

k?

.6

3 . 若 等 比 数 列

?an ?

的 各 项 均 为 正 数 , 且 a10 a11 ? a9 a12 ? 2e

5

, 则

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ln a1 ? ln a2 ? ?? ? ln a20 ?

. 50
n

4.等比数列 {an } 中,已知对任意正整数 n , a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ? 2 ?1 ,则
2 2 2 a12 ? a2 ? a3 ? ?? an 等于



4n ? 1 3
的前 n 项和,若 9S3 ? S6 ,则数

5.数列

?an ? 是首项为 1,且公比 q ? 0 的等比数列, Sn 是?an ?


列?

?1? ? 的前 5 项和为 ? an ?

31 16

6.已知正项等比数列 ?an ? 满足: a7 ? a6 ? 2a5 ,若存在两项 am , an 使得 am an ? 4a1 ,则

1 4 ? 的最小值为 m n
第一个数是 .3



3 2

7.将数列{3n-1}按“第 n 组有 n 个数”的规则分组如下:(1),(3,9),(27,81,243),则第 100 组中的
4950

详细答案如下:

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