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2016-2017学年高中数学北师大版选修2-1课件:第三章 圆锥曲线与方程 2.2


阶 段 1

阶 段 3

2.2

抛物线的简单性质
学 业 分 层 测 评

阶 段 2

1.了解抛物线的轴、顶点、离心率、通径的概念.(重点) 2.掌握抛物线上的点的坐标的取值范围、抛物线的对称性、顶点、离心 率等简单性质.(重点) 3.会用顶点及通径的端点画抛物线的草图.(难点)

[基础· 初探] 教材整理 抛物线的简单性质 阅读教材P74~P79的部分,完成下列问题.
类型 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)

图形

焦点 准线

?p ? ? ,0? ?2 ?

? p ? ?- ,0? ? 2 ?

? p? ?0, ? 2? ?

? p? ?0,- ? 2? ?

性质

范围

p x=-2 x≥0,y∈R

p x=2 x≤0,y∈R

p y=-2 x∈R,y≥0

p y=2 x∈R,y≤0

对称 轴
顶点

x轴 (0,0) e=1 向右 向左 |AB|=2p 向上

y轴

离心 率
开口 方向 通径

向下

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)抛物线是中心对称图形.( 3 (2)抛物线的离心率可以是2.( (3)抛物线的通径为p.( ) ) )

【解析】 (1)抛物线是轴对称图形,不是中心对称图形. (2)抛物线的离心率e=1. (3)通径为2p.
【答案】 (1)× (2)× (3)×

2.抛物线y2=8x的焦点到直线x- 3y=0的距离是( A.2 3 C. 3 B.2 D.1

)

【解析】 抛物线y2=8x的焦点为F(2,0), |2- 3×0| 则d= 2 2=1.故选D. 1 +?- 3?
【答案】 D

3.顶点在原点,对称轴为y轴且过(1,4)的抛物线方程是________. 【导学号:32550077】

【解析】 由题意知抛物线开口向上,设标准方程为x2=2py, 1 1 2 ∴1=2p· 4,∴2p=4,∴x =4y.
1 【答案】 x =4y.
2

4.求顶点在原点,焦点在x轴上,且通径长为6的抛物线方程.

【解】 因为抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,所以设所求抛物线的方 程为y2=mx(m≠0).因为通径长为6,所以m=± 6,故抛物线方程为y2=6x或y2= -6x.

[质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:________________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________________ 疑问 2:________________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________________ 疑问 3:________________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________________

[小组合作型]

抛物线的性质及应用
(1)等腰直角△ABO内接于抛物线y2=2px(p>0),O为抛物线的顶 点,OA⊥OB,则△ABO的面积是( A.8p2 C.2p2 ) B.4p2 D.p2

【自主解答】 OA的方程为y=x.
? ?y=x, 由? 2 ? ?y =2px,

设点A在x轴上方,则由抛物线的对称性及OA⊥OB知,直线

得A(2p,2p).∴B(2p,-2p),|AB|=4p.

1 ∴S△ABO=2×4p×2p=4p2.

【答案】 B

(2)(2014· 全国卷Ⅰ)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点, → =4FQ → ,则|QF|=( Q是直线PF与C的一个交点.若FP 7 A.2 5 C.2 B.3 D.2 )

【自主解答】

如图,由抛物线的定义知焦点到准线的距离p=|FM|=4.

过Q作QH⊥l于H,则|QH|=|QF|. 由题意,得△PHQ∽△PMF, |HQ| |PQ| 3 则有|MF|= |PF| =4, ∴|HQ|=3.∴|QF|=3.

【答案】 B

(3)对称轴是x轴,焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程为________. 【导学号:32550078】 【自主解答】 由题意知p=4,对称轴为x轴, ∴标准方程为y2=8x或y2=-8x.

【答案】 y2=8x或y2=-8x

1.求抛物线的标准方程的步骤可用如下框图表示:

2.需对焦点在直线上、焦点为椭圆的焦点、准线过椭圆的焦点等予以关注,此时,可能有两 个焦点或准线方程,相应的抛物线的标准方程也就有两个.

[再练一题] 1.边长为1的等边三角形AOB,O为原点,AB⊥x轴,以O为顶点且过A,B的 抛物线方程是( 3 A.y = 6 x
2

) 3 B.y =- 6 x
2

3 C.y =± 6 x
2

3 D.y =± 3 x
2

【解析】

当抛物线焦点在x轴正半轴上时,如图所示,

∵△OAB为等边三角形,且边长为1.
? ∴A? ? ?

3 1? ? . , ? 2 2?

设抛物线方程为y2=2px(p>0), 1 3 3 ∴4=2p·2 ,∴p= 12 , 3 ∴抛物线方程为y = 6 x,
2

3 同理,当抛物线的焦点在x轴负半轴上时,方程为y =- 6 x. 【答案】 C
2

抛物线焦点弦问题

斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线相交于A,B 两点,求线段AB的长.

【精彩点拨】 运用数形结合的方法,将焦点弦长|AB|转化为p与点A,B的横 坐标之和.

【自主解答】

设A(x1,y1),B(x2,y2),则抛物线y2=2px(p>0)中,|AB|=p

+(x1+x2).由于抛物线y2=4x中,p=2,于是|AB|=x1+x2+2.因为抛物线y2=4x 的焦点为F(1,0),且直线AB的斜率为1,所以直线AB的方程为y=x-1 ①.将①代

入方程y2=4x得(x-1)2=4x,即x2-6x+1=0,解得x1=3+2 2 ,x2=3-2 2 .于 是|AB|=x1+x2+2=8. 所以,线段AB的长是8.

1.抛物线y2=2px(p>0)的焦点是F,点A(x0,y0)是抛物线上任一点,则|AF|= p x0+2. 2.与抛物线的焦点弦长有关的问题,可直接应用公式求解.解题时,需依 据抛物线的标准方程,确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定,是 p与交点坐标的和还是交点坐标的差.这是正确解题的关键.

[再练一题] 2.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),如果x1+x2 =8,则|AB|的值为( A.10 C.6 ) B.8 D.4

【解析】

∵y2=4x,∵2p=4,p=2.

∴由抛物线定义知:|AF|=x1+1,|BF|=x2+1, ∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8+2=10.

【答案】 A

抛物线中的最值问题
(1)已知P是抛物线y2=4x上一点,F为抛物线的焦点,求点P到点 A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值; (2)求抛物线y=4x2上一点,使它到直线l:4x-y-5=0的距离最短,并求此 距离.

【精彩点拨】 (1)中点A(-1,1)在抛物线外,利用抛物线的定义和几何性质 将其转化为两点间的最短距离问题.(2)中的直线与抛物线相离,因此平移直线至 与抛物线相切时得切点,切点到直线4x-y-5=0的距离最短.

【自主解答】

(1)抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),准线方程为 x=-1.

∵点 P 到直线 x=-1 的距离等于点 P 到焦点 F(1,0)的距离, ∴点 P 到点 A(- 1,1)的距离与点 P 到直线 x=-1 的距离之和等于点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到焦点 F(1,0)的距离之和.

显然,当点P为直线AF与抛物线的交点时,和取得最小值,最小值为|AF|= ?1+1?2+1= 5. (2)法一:设与直线4x-y-5=0平行的直线方程为y=4x+b,与抛物线方程y =4x2联立并消去y,得4x2-4x-b=0. 由Δ=(-4)2-4×4×(-b)=16+16b=0,得b=-1, ∴切线方程为y=4x-1.

1 1 再由4x -4x+1=0,得x=2,y=4×2-1=1.
2

?1 ? 故切点坐标为?2,1?,最短距离为 ? ?

? ? 1 ?4× -1-5? 2 ? ?

42+12

4 17 = 17 .

2 法二:设P(x0,4x2 0)是抛物线y=4x 上任一点,

则点P到直线4x-y-5=0的距离 |4x0-4x2 |4x2 ?2x0-1?2+4 4 4 17 0-5| 0-4x0+5| d= = = ≥ = 17 2 2 17 17 17 4 +1
?1 ? 1 当2x0-1=0,即x0=2时取“=”号,此时P?2,1?. ? ? ?1 ? 4 17 ? ? ∴点P 2,1 即为所求的点,此时最短距离为 17 . ? ?

(1)若曲线与直线相离,在曲线上求一点到直线的距离的最小问题,可找与已 知直线平行的直线,使其与曲线相切,则切点为所要求的点.(2)利用抛物线的定 义将问题转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决,这 种方法在解题中有着广泛的应用,要深刻体会.

[再练一题] 3.已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),求 |PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时P点的坐标.

【解】

将x=3代入抛物线方程y2=2x,得y=± 6.

∵ 6>2,∴A在抛物线内部.

1 设抛物线上点P到准线l:x=-2的距离为d,由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d. 7 由图可知,当PA⊥l时,|PA|+d最小,最小值为 2 ,即|PA|+|PF|的最小值为 7 2 ,此时 P 点的纵坐标为 2 ,代入 y =2x,得x=2,∴点P坐标为(2,2). 2

[探究共研型]

抛物线的特征

探究1 怎么快速、准确地画出抛物线的简图?

【提示】

画抛物线时,首先要确定抛物线的焦点和准线的

位置,其次是确定过焦点且与抛物线的轴垂直的直线与抛物线 两交点的坐标,依据这四个要素,即可画出较为准确的抛物 线.对于抛物线 y
2

?p ? ?p ? =2px(p>0),如图,A?2,p?,B?2,-p?. ? ? ? ?

探究2 抛物线y2=2px(p>0)是有界曲线吗?

【提示】 不是.当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线y2=2px(p>0)位 于半个坐标平面内,且抛物线向右上方和右下方无限延伸,因此,抛物线是无界 曲线.

抛物线的焦半径与焦点弦公式
探究1 抛物线上的点P(x0,y0)与焦点F之间的线段称为焦半径,记作r=|PF|. 根据抛物线的定义,你能写出焦半径公式吗?
【提示】 焦半径公式如下: p 2 (1)y =2px(p>0),r=x0+2; p (2)y =-2px(p>0),r=-x0+2; p 2 (3)x =2py(p>0),r=y0+2; p 2 (4)x =-2py(p>0),r=-y0+2.
2

探究2 设AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦,其中A(x1,y1),B(x2, y2).你能总结有关焦点弦的结论吗?

【提示】

p2 (1)x1x2= 4 ;

(2)y1y2=-p2; (3)弦长|AB|=x1+x2+p,x1+x2≥2 x1x2 =p,即当x1=x2时,焦点弦最短,是 通径,为2p; 2p (4)弦长|AB|=sin2α(α为AB的倾斜角); (5)以AB为直径的圆必与准线l相切; 1 1 2 (6)|AF|+|BF|=p.

探究3 过抛物线焦点的直线一定会与抛物线相交形成焦点弦吗?

【提示】 由于抛物线的焦点一定在抛物线的轴上,因此抛物线的轴也是过 抛物线焦点的直线,此时二者只有一个交点,即抛物线的顶点,不存在焦点 弦.由此可知,与抛物线的轴平行或重合的直线和抛物线都只有一个交点.

1 探究4 已知抛物线y =2x,则弦长为定值1的焦点弦有几条?
2

【提示】 因为通径的长2p为焦点弦长的最小值,所以给定弦长a,若a> 2p,则焦点弦存在两条;若a=2p,则焦点弦存在一条;若a<2p,则焦点弦不存 1 1 1 1 在.由y = 2 x知p= 4 ,则通径长2p= 2 ,因为1> 2 ,所以弦长为定值1的焦点弦有
2

两条.

已知抛物线y A,B两点.

2

?p ? =2px(p>0),直线l过抛物线焦点F ?2,0? 与抛物线交于 ? ?

求证:以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
【精彩点拨】 解答本题可设出A,B两点坐标,并用A,B的坐标表示圆心 坐标,然后证明圆心到准线的距离为圆的半径.

【自主解答】

设直线l与抛物线两交点A,B坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),

?x1+x2 y1+y2? ? 则中点M? , ? 2 ?. 2 ? ?

p p 而|AB|=|AF|+|BF|=x1+2+x2+2 =x1+x2+p. p 设圆心M到准线x=-2的距离为d, x1+x2 p x1+x2+p 则d= 2 +2= , 2

|AB| ∴d= 2 , p 即圆心到准线 x=-2的距离等于圆的半径. ∴以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.

[构建· 体系]

1.过抛物线 y2=4x 的焦点作一直线与抛物线交于 A、B 两点,且|AB|=5,则 这样的直线( ) B.有且只有两条 D.不存在

A.有且只有一条 C.有无穷多条

【解析】 抛物线的焦点弦中最短的是通径,长为 2p=4<5,所以这样的直 线有两条.

【答案】 B

2.将两个顶点在抛物线 y2=2px(p>0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三 角个数记为 n,则( A.n=0 C.n=2
【解析】

) B.n=1 D.n≥3

3 3 结合图像可知,过焦点的斜率为 3 和- 3 的直线与抛物线各有两

个交点,所以能够构成两个正三角形.

【答案】 C

3.抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴上,其通径的两端与顶点连成的三角形 的面积为 4,则此抛物线的方程是( A.y2=8 2x C.y2=± 4x
2

) B.y2=± 4 2x D.y2=± 8 2x

1 a 【解析】 设抛物线的方程为 y =2ax, 根据题意知2×|2a|×|2|=4, ∴|a|=2 2, a=± 2 2. ∴抛物线方程为 y2=± 4 2x.
【答案】 B

4.若点 P 在抛物线 y2=x 上,点 Q 在圆(x-3)2+y2=1 上,则|PQ|的最小值为 ________. 【导学号:32550079】

【解析】

由题意得抛物线与圆不相交,且圆的圆心为 A(3,0),则|PQ|≥|PA|

-|AQ|=|PA|-1,当且仅当 P,Q,A 三点共线时取等号,所以当|PA|取得最小值时,
2 2 2 |PQ| 最 小 . 设 P(x0 , y0) , 则 y 2 = x , | PA | = ? x - 3 ? + y = x 0 0 0 0 0-6x+9+x0 =

? 5?2 11 5 ?x0- ? + ,当且仅当 x0= 时,|PA|取得最小值 2? 4 2 ?

11 11 2 ,此时|PQ|取得最小值 2

-1.

【答案】

11 2 -1

5.定长为 3 的线段 AB 的端点 A、B 在抛物线 y2=x 上移动,求 AB 的中点 M 到 y 轴的距离的最小值,并求出此时 AB 中点 M 的坐标.

【解】 如图,F 是抛物线 y2=x 的焦点,A、B 两点到准线的垂线分别是 AC、 1 BD,过 AB 的中点 M 作准线的垂线 MN,C、D、N 为垂足,则|MN|=2(|AC|+|BD|).

由抛物线的定义可知|AF|=|AC|,|BD|=|BF|, 1 1 3 ∴|MN|=2(|AF|+|BF|)≥2|AB|=2. 1 设 M 点的坐标为(x,y),则|MN|=x+4. 3 又|MN|≥2, 3 1 5 ∴x≥2-4=4,当且仅当 AB 过抛物线的焦点时等号成立.此时点 M 到 y 轴 5 的距离的最小值为4.

5 1 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=2x,当 x=4时,y1y2=-p =-4. ∴ ( y 1 + y2 ) y 1 +y 2 2 2 =± 2 . ∴中点 M
?5 的坐标为? ?4, ? ? 2? 2? ? ?5 ? 或 . ,- ? 2? 2? ? ?4 ?
2

1 2 2 =y1+y2+2y1y2=x1+x2+2y1y2=2x- =2.∴y1+y2=± 2

2,即 y=

我还有这些不足: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________

我的课下提升方案: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________

学业分层测评(十六)

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