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1.3.2利用导数研究函数的极值(高中数学人教A选修2-2)


1.3.2 函数的极值与导数
学习目标
1.结合函数的图象,了解函数在某点处取得极值 的必要条件和充分条件. 2.会用导数求最高次幂不超过三次的多项式函数 的极大值、极小值.

复习:

单调性的判断方法有哪些? 单调性与导数有何关系?
y
y=f(x)
f '(x)>0

r />
y

y=f(x)

f '(x)<0

o a o a b x b x 如果在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x)为常数.

设函数y=f(x)在某个区间内可导,
?如果f ′(x)>0,则f(x)在此区间为增函数; ?如果f ′(x)<0,则f(x)在此区间为减函数; ?如果f ′(x)=0,则f(x)在此区间为常数函数; 练习:判断函数f(x)=2x3-6x2+7的单调性。

观察图像: 函数 y=f (x)在点x1 、x2 、x3 、x4处的
函数值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4),与它们左右 近旁各点处的函数值,相比有什么特点?
y f (x1)

f ( x3 )

y?f(x)

f(x2) O a x1

f(x4) b x

x2

x3 x4

y
f ? ( x) ? 0
极小值 f(a)

f ?(b) ? 0
极大值f(b)

y

f ? ( x) ? 0

f ? ( x) ? 0

y ? f ? x?

a o
f ?( a) ? 0

b

y ? f ? x?

x

(图一)

cd

e
o f
(图二)

g

h

x

点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. 点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 极小值点、极大值点统称极值点,极大值和极小值统称为极值.

观察与思考:极值与导数有何关系?
y
y?f(x)

Oa

x1

x2

x3

f ?(x1)?0 f ?(x2)?0 f ?(x3)?0

cx b f ?(b)=0

在极值点处,曲线如果有切线,则切线是水平的。
结论:设x=x0是y=f(x)的极值点,且f(x)在 x=x0是可导的,则必有f ?(x0)=0

二、判断函数极值的方法 ?导数为0的点不一定是极值点;
y y?f(x)

?若极值点处的导数存在,则一定为0
f ?(x)>0 f ?(x)>0 x1 x2 b x f ?(x)<0

f ?(x)<0 O a

已知函数f(x)在点x0处是连续的,且 f ?(x0)=0则
1、如果在x0附近的左侧f ’(x)>0,右侧f
’(x)<0,

则f (x0)是极大值;

2、如果在x0附近的左侧f ’(x)<0,右侧f ’(x)>0, 则f (x0)是极小值; 点评:可导函数

y ? f ( x) 在点x0取得极值的充分必要条件是 f ?( xo) ? 0, 且在点x0左侧和右侧, f ’(x)异号.

y

f ( x3 )
f ( x4 )

f ( x1 )

f ( x2 )
O

a

x1

x2

x3

x4

b

x

观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值, 并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.

2.下列函数存在极值的是( (A)y= 1
x

) (C)y=2 (D)y=x3

(B)y=x-ex
x

提示:选B.y= 1 在定义域上不连续,且x>0时单调递减,x<0时 也单调递减,因此y= 1 不存在极值;y=x3是单调函数也不存在极 值.
x

例.判断下面4个命题,其中是真命题序号为 ②
①可导函数必有极值; ②函数的极值点必在定义域内; ③函数的极小值一定小于极大值。 (设极小值、极大值都存在);



如y ? 2 x

④函数的极小值(或极大值)不会多于一个。

注意:函数极值是在某一点附近的小区间内定义
的,是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间 上可能有多个极大值或极小值,并对同一个函数来 说,在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。

1 3 例1 求函数 y ? x ? 4x ? 4的极值。 3 解:定义域为R,y′=x2-4 由y′=0可得x=-2或 x=2
当x变化时,y′, y的变化情况如下表:

因此,当x=-2时, y极大值==28/3 当x=2时, y极小值=-4/3

+

x y′ y

(-∞,-2)

-2 0
极大值 28/3

(-2,2)



2 0
极小值 -4/3

(2,+∞) +

1、求可导函数f(x)极值的步骤:
(1) 确定函数的定义域; (2)求导数f ’(x); (3)求方程f ’(x)=0的根,得到极值点的可疑点; (4)把定义域划分为部分区间,并列成表格 检查f ’(x)在方程根左右的符号—— ?如果左正右负(+ ~ -), 那么f(x)在这个根处取得极大值 ?如果左负右正(- ~ +), 那么f(x)在这个根处取得极小值;

练习1
求下列函数的极值:

(1) f ( x) ? 6 x ? x ? 2;
2

(2) f ( x) ? x ? 27 x;
3

解: 1 (1) f ?( x) ? 12 x ? 1, 令 f ?( x) ? 0, 解得 x ? . 列表: 12
x f ’(x)

1 (??, ) 12


1 12 0

1 ( ,??) 12 +

f (x)

单调递减

49 ? 24

单调递增

1 49 1 所以, 当 x ? 时, f (x)有极小值 f ( ) ? ? . 12 24 12

练习2
求下列函数的极值:

(1) f ( x) ? 6 x ? x ? 2;
2

(2) f ( x) ? x ? 27 x;
3

解: (2) 令f ?( x) ? 3x 2 ? 27 ? 0, 解得 x1 ? 3, x2 ? ?3.列表:
x
(–∞, –3) –3 (–3, 3) – 单调递减

3 0

( 3, +∞)

f ?(x)

+

0

+
单调递增

f (x) 单调递增

54

? 54

所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .

小结
1、可导函数的极值点概念及与导数的关系。 2、求极值的方法步骤。 3、极值与最值的联系与区别。 4、求最值的方法步骤。 5、注意:不可导函数也可能有极值点.例如 函数y=|x|,它在点x=0处不可导,但x=0是 函数的极小值点.故函数f(x)在极值点处不 一定存在导数.

3.函数f(x)=x3+x2+x+a的极值点个数为( (A )0 (B )1 (C )2 (D )3



【解析】选A.因为f′(x)=3x2+2x+1>0,所以f(x)在R上 是增函数,故f(x)不存在极值点.

例2 求函数 y=(x2-1)3+1 的极值。 解:定义域为R, y′=6x(x2-1)2。 由y′=0可得x1=-1, x2=0 ,x3=1 当x变化时,y′ , y的变化情况如下表: x (-∞,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 y′ y - 0
无极值

(1,+∞) +



0
极小值 0

+

0
无极 值

因此,当x=0时, y极小值=0
点评:可导函数

y ? f ( x) 在点x0取得极值的充分必要条 件是 f ?( xo) ? 0, 且在点x0左侧和右侧, f ’(x)异号。
练习:课本30页A 2(2)


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