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集合经典例题讲解


例题 1、已知 A={x| m ? 1 ? x ? 2m ? 1 },B={x| ?2 ? x ? 5 },若 A ? B,求实数 的取值范围.

例题 3、A={x|x<-2 或 x>10},B={x|x<1-m 或 x>1+m}且 B ? A,求 m 的范围.

例 4、已知集合 于 ( )

>P ? y y ? ? x 2 ? 2, x ? R

?

?,Q ? ?x y ? ?x ? 2, x ? R?,那么 P ? Q 等
C. {1,2} D.

A.(0,2),(1,1)

B.{(0,2),(1,1)}

?y y ? 2?

集合与方程 A ? x x 2 ? ( p ? 2) x ? 1 ? 0, x ? R , A ? R ? ? ? 例 1、已知 ,求实数 p 的取值范围。

?

?

A ? ?x, y ? x 2 ? mx ? y ? 2 ? 0 和B ? ??x, y ? x ? y ? 1 ? 0,0 ? x ? 2? 例 2、已知集合 , 如果 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围。

?

?

? ? y ?3 A ? ??x, y ? ? a ? 1?, B ? ?x, y ? (a 2 ? 1) x ? (a ? 1) y ? 30 x?2 ? ? 例 3、已知集合 ,若 A ? B ? ? ,求实数 a 的值。

?

?

1

一、混淆集合中元素的形成 例 集合 A ? ?( x,y) | x ? y ? 0? , B ? ?( x,y) | x ? y ? 2? ,则 A ? B ?

忽视空集的特殊性 例 已知 A ? ?x | (m ? 1) x ? 1 ? 0? ,
B ? ?x | x2 ? 2x ? 3 ? 0?

,若 A ? B ,则 m 的值为

没有弄清全集的含义 例 设全集
S ? ?2, 3 ,a2 ? 2a ? 3?,A ? ? 2a ? 1, 2?

, CS A ? ?5? ,求 a 的值

没有弄清事物的本质

例 若 A ? ?x | x ? 2n,n ? Z? , B ? ?x | x ? 2n ? 2,n ? Z? ,试问 A,B 是否相等.

等价转化思想
2 2 例 已知 M ={(x,y)| y = x+a},N ={(x,y)| x +y = 2},求使得 M ? N = ? 成立的实数 a 的取值范围。

分类讨论思想 解答集合问题时常常遇到这样的情况:解题过程中,解到某一步时,不能再以统 一的方法、 统一的形式继续进行,因为这时被研究的数学对象已包含了多种可能 的情形, 必须选定一个标准, 根据这个标准划分成几个能用不同形式去解决的小 问题,将这些小问题一一加以解决,从而使问题得到解决,这就是分类讨论的思 想方法. 2 2 2 例 设集合 A = {x | x +4x = 0,x ? R},B = {x | x +2(a+1)x+a -1= 0, a ? R,x ? R },若 B ? A ,求实数 a 的取值范围。

开放思想 例 设集合 A = {(x,y)|y -x-1= 0 },集合 B ={(x,y)| 4x +2x-2y+5 = 0 },集合 C ={(x,y)| y = kx+b },是否存在 k,b ? N,使得 ( A ? B) ? C ? ? ? 若存在,请求出 k,b 的值;若不存在,请说明理由.
2 2

2

四种命题形式

A ? x x 2 ? 4ax ? 4a ? 3 ? 0, x ? R 例 6.设 U=R,集合 , 2 2 2 B ? x x ? (a ? 1) x ? a ? 0, x ? R C ? x x ? 2ax ? 2a ? 0, x ? R , ,若 A,B,C 中至少一个不是空集,求实数 a 的取值范围。

?

?

?

?

?

?

在集合运算中,大家都知道这样一个性质: A ? (CU A) ? U ,可是你知道它到 底有何作用呢?本文将通过几个例题与大家谈谈其作用。 例 1 已知集合 A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y2-6y+8≤0},若 A∩B≠ φ ,求实数 a 的取值范围。

例 2、若下列三个方程:x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0 中至少 有一个方程有实根,试求实数 a 的取值范围。

例 3、若 x、y、z 均为实数,且 求证:a、b、c 中至少有一个大于 0.

a ? x2 ? 2y ?

?
2

, b ? y 2 ? 2z ?

?
3

, c ? z 2 ? 2x ?

?
6,

3


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