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2016辽源职业技术学院单招数学模拟试题及答案


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2016 辽源职业技术学院单招数学模拟试题及答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的. 1. 已知 A.

A ? ?y y ? 2 x, x ? R?, B ? y y ? x 2 , x ? R
B.
<

br />?

?,则 A ? B ?

?(0,0), (2,4)?

?0,4?

C. [0,??)

D. R

2. 已知 ? 为第二象限的角,且

sin ? ?

3 ? cos( ? ? ) ? 5 ,则 4

7 2 A. 10 ?

7 2 B. 10

2 C. 10 ?

2 D. 10

3. 设 0 ? b ? a ? 1 ,则下列不等式成立的是
2 A. ab ? b ? 1 B.
b a

log 1 b ? log 1 a ? 0
2
2

2

y

C. 2 ? 2 ? 2 D. a ? ab ? 1
3 2 f ' ( x) 的图象如右图, 4. 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ,其导数

0

1

2

x

则函数

f ( x) 的极小值是
B. 8a ? 4b ? c C. 3a ? 2b D. c

(第 4 题 图)

A. a ? b ? c

a b c ? ? 5. 在△ ABC 中,若 cos A cos B cos C ,则 ?ABC 是
A.直角三角形 C.钝角三角形 6. 函数 B. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 在(-2,0)上是单调递增的,则此函数在 C.先增后减 D.先减后增

y ? loga x ? 2

(??,?2) 上是

A.单调递增

B.单调递减

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7. 为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→ 明文(解密),已知加密规则为:明文 a , b , c 对应密文 3a ? 2b , b ? 4c , 2c .例如, 明文 1,2,3 对应密文 7,14,6. 当 接收方收到密文 16,30,14 时,则解密得到的 明文为 A.2,4,7B.2,7,4 C.4,2,7D.7,4,2

8. 数列

?an ? 中, a1 ? 1,
B.

a n ?1 ?

1 an ? an ? 1 a 4 ,则 7 = 257 C. 4096 4 777 D. 4096 4

3337 A. 4096 3

3

3841 4096

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9. 已知命题

p : ?x ? R , cos x ? 1 ,则 ?p:

.

sin ? ? cos ? ? 10. 已知 tan ? ? 2 ,则 sin ? ? cos ?

.

11. 数列

{an } 中, a2 ? 2, a6 ? 0 ,且数列

{

1 } an ? 1

是等差数列,则

a4

=___________.

12. 已知函数 y ? a sin 2 x ? b cos2 x ? 2 (ab ? 0) 的一条对称轴方程为

x?

?
6 ,则函数
.

y ? a sin 2 x ? b cos2 x ? 2 的位于对称轴
13. 给出下列四个命题: ①函数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1 )与函数
x

x?

?
6 左边的第一个对称中心为

y ? loga a x

( a ? 0 且 a ? 1 )的定义域相同;

②函数 y ? x 与 y ? 3 的值域相同;
3 x

③函数

y?

1 1 (1 ? 2 x ) 2 ? x y? 2 2 ?1 与 x ? 2 x 都是奇函数;
2 x ?1

④函数 y ? ( x ?1) 与 y ? 2

在区间 [0,??) 上都是增函数,

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其中正确命题的序号是 .(把你认为正确的命题序号都填上)

14. 对于函数

f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? (2 ? a ) x ? b 3 ,若 f ( x) 有六个不同的单调区间,则
.

a 的取值范围为

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 12 分)

f ( x) ? cos x ? cos( x ? ), x ? R 2 已知函数
(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调增区间;

?

(Ⅲ)若

f (? ) ?

3 4 ,求 sin 2? 的值.

16. (本小题满分 12 分)

已知数列 (Ⅰ)求

?an ? 的前 n 项和为 S n ,
a1 , a 2
;(Ⅱ)求数列

Sn ?

1 (a n ? 1)( n ? N *) 4 .

?an ? 的通项公式.

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17. (本小题满分 14 分)

y 设函数 f ( x) 的定义域为 R ,对任意实数 x 、 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,当

x ? 0 时 f ( x) ? 0 且 f (2) ? 6 .
(Ⅰ) 求证:函数 (Ⅱ) 证明函数

f ( x) 为奇函数;

f ( x) 在 R 上是增函数; f ( x) 的最值.

(Ⅲ) 在区间[-4,4]上,求

18. (本小题满分 14 分) 为庆祝东莞中学 105 周年,教师足球队与学生足球队进行一场足球对抗赛. 学生甲带着 球,以 9 米/秒的速度向正南方向走,看到学生乙正好在他的正南方 21 米处,此时学 生乙以 6 米/秒的速度向南偏东 60 ? 方向走,学生甲想离学生乙最近的时候把球传给他. 问经过多少时间后,两位学生相距最近,并求出两位学生的最近距离.

19. (本小题满分 14 分)

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x1 , x 2

是函数

f ( x) ?

a 3 b 2 x ? x ? a 2 x(a ? 0) | x ? x2 |? 2 3 2 的两个极值点,且 1 .

(Ⅰ)求 a 的取值范围; (Ⅱ)求 b 的最大值.

20. (本小题满分 14 分) 已知等差数列

?an ? 满足 a12 ? a32 ? 10 ,等比数列 ?bn ? 前 n 项和 Tn ? 2n ? a 。 ?bn ? 的通项公式;

(Ⅰ) 求 a 的值以及数列 (Ⅱ)试求 (Ⅲ)若

S ? a3 ? a4 ? a5 的最大值以及 S 最大时数列 ?an ? 的通项公式;

cn ? anbn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和.

参考答案
一、选择题 1. C 2. A 3. C 4. D 5.D 6. B 7. C 8. B 二、填空题 9. ?x ? R , cos x ? 1 三、解答题

1 10. 3

1 11. 2

12.

(?

?
12

, 2)

13.①③

14.(1,2)

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15. 解:

f ( x) ? cos x ? cos( x ?

?
2

) ? cos x ? sin x

1分

? 2(

2 2 cos x ? sin x) 2 2

2分

? 2 cos( x ?

?
4

)

―――3 分

(Ⅰ) f ( x) 的最小正周期为

T?

2? ? 2? 1 ;
, k ?Z

―――6 分

(Ⅱ)由

? ? 2k? ? x ?

?
4

? 2? ? 2k?

7分

3? 7? ? 2k? ? x ? ? 2k? 4 得 4 , k ?Z 3? 7? ? 2k? , ? 2k? ], k ? Z f ( x) 的单调增区间为 4 4 [ f (? ) ? 3 3 cos ? ? sin ? ? 4 ,即 4

8分

―――9 分

(Ⅲ)因为

10 分

1 ? 2 sin ? cos ? ? 7 16

9 16

11 分

? sin 2? ?

―――12 分

16.解:(Ⅰ)∵

Sn ?

1 (a n ? 1)( n ? N *) 4 a1 ? 1 (a1 ? 1) 4

a ? S1 得 ∴当 n ? 1 时,则 1
a1 ? ? 1 3

1分

解得

―――3 分

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当 n ? 2 时,则由

S 2 ? a1 ? a2 ?

1 (a2 ? 1) 4

4分

解得

a2 ?

1 9

――6 分

(Ⅱ) 当 n ? 2 时,

an ? Sn ? Sn ?1 ?

1 1 (an ? 1) ? (an ?1 ? 1) 4 4

―――7 分

1 ? an ? ? an ?1 (n ? 2) 3

―――8 分

? a1 ? ?

1 3 ,?{an } 中各项不为零

―――9 分

?

an 1 ? ? (n ? 2) an ?1 3
?

―――10 分

1 1 ? ?{an } 是以 3 为首项, 3 为公比的数列 1 ? an ? (? ) n 3

―――11 分

―――12 分

17. (Ⅰ) 证明:∵ ?x,y ? R , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ∴令 ∴ 令 即

x ? y ? 0 ,得 f (0) ? f (0) ? f (0)
―――2 分

―――1 分

f (0) ? 0
y ? ?x
,得

f (0) ? f ( x) ? f (? x)

―――3 分

f ( ? x) ? ? f ( x) f ( x) 为奇函数
―――4 分 ,且

∴函数

(Ⅱ) 证明:设

?x1 , x2 ? R

x1 ? x 2

―――5 分

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f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x2 ? x1 )

―――6 分 ―――7 分

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 0 又∵当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ∴


f ( x2 ) ? f ( x1 )

―――8 分 ―――9 分

∴函数 f ( x) 在 R 上是增函数 (Ⅲ) ∵函数

f ( x) 在 R 上是增函数
―――10 分 ―――11 分 ―――12 分 ―――13 分 ―――14 分

∴函数 f ( x) 在区间[-4,4]上也是增函数 ∴函数 f ( x) 的最大值为 f (4) ,最小值为 f (?4) ∵ f (2) ? 6 ∴ f (4) ? f (2 ? 2) ? f (2) ? f (2) ? 12 ∵函数

f ( x) 为奇函数



f (?4) ? ? f (4) ? ?12

故,函数

f ( x) 的最大值为 12,最小值为 ? 12 .

18. 解:设甲现在所在位置为 A,乙现在所在位置为 B,运动 t 秒后分别到达位置 C、D, 如图可知 CD 即为甲乙的距离.

AC ? 9t , BD ? 6t , AB ? 21 ――1 分

1当

?

t?

7 ? 3 时, BC ? 21 ? 9t, BD ? 6t, ?CBD ? 120

――2 分

?CD2 ? BC 2 ? BD2 ? 2BC ?BD cos120?
1 ? (21 ? 9t ) 2 ? (6t ) 2 ? 2 ? (21 ? 9t ) ? 6t ? (? ) 2

――3 分

? 63t 2 ? 252t ? 441 ? 63(t ? 2)2 ? 189
? t ? 2 时, CDmin ? 189 ? 3 21

――5 分 ――7 分

2 当

?

t?

7 7 ? CD ? BD ? 6 ? ? 14 ? 3 21 3 时,C、B 重合, 3

――9 分

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3 当
?

t?

7 ? 3 时, BC ? 9t ? 21, BD ? 6t , ?CBD ? 60
――10 分

?CD2 ? BC 2 ? BD2 ? 2BC ?BD cos 60?
1 ? (9t ? 21) 2 ? (6t ) 2 ? 2 ? (9t ? 21) ? 6t ? ( ) 2

? 63t 2 ? 252t ? 441 ? 63(t ? 2)2 ? 189 ? 189

――12 分

?CDmin ? 3 21

――13 分

综上所述:经过 2 秒后两人距离最近为 3 21m . ――14 分

' 2 2 19. 解证:(I)易得 f ( x) ? ax ? bx ? a

―――1 分

? x1 , x2是f ( x)

的两个极值点

? x1 , x2是f ' ( x) ? 0 的两个实根,又 a ? 0
x1 x 2 ? ?a ? 0, x1 ? x 2 ? ? b a

―――3 分

∴ ∵

| x1 ? x2 |?
| x1 ? x2 |? 2

b2 ? 4a a2

―――5 分

b2 ? 2 ? 4a ? 4,即b 2 ? 4a 2 ? 4a 3 ? 4a 2 (1 ? a) a
?b2 ? 0?0 ? a ? 1
2 2 3 (Ⅱ)设 b ? g (a) ? 4a ? 4a , 则

―――6 分 ―――8 分

g ' (a) ? 8a ? 12a 2 ? 4a(2 ? 3a)

―――10 分

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g ' (a) ? 0, 得0 ? a ?

2 2 ,由g ' (a) ? 0得 ? a ? 1 3 3

―――11 分

2 2 ? g (a)在(0, )在单调递增,在 ( , 1) 3 3 上单调递减

―――12 分

2 16 ? [ g (a )] max ? g ( ) ? 3 27

―――13 分

∴ b 的最大值是

b?

4 3 9

―――14 分

20.解:(Ⅰ)当 n ? 2 时,

Tn?1 ? 2n?1 ? a



?bn ? Tn ? Tn?1 ? 2n?1 (n ? 2)
―――2 分

,―――1 分

? 数列 ?bn ? 为等比数列, b1 ? T1 ? 2 ? a ? 1 ,故 a ? 1
?bn ? 2n?1
(Ⅱ)设数列 ―――3 分

?an ? 公差 d ,
a12 ? a32 ? 2a12 ? 4a1d ? 4d 2 ? 10
, ―――4 分

根据题意有: 即:

a12 ? 2a1d ? 2d 2 ? 5
a1 ? S ? 3d 3 ,代入上式有:

S ? a3 ? a4 ? a5 ? 3? a1 ? 3d ?
2



―――5 分

S2 4 ?S ? ?S ? 2 ? Sd ? 5d 2 ? 5 ? ? 3d ? ? 2 ? ? 3d ? d ? 2d ? 9 3 ?3 ? ?3 ? ,
2 2 即关于 d 不等式 45d ? 12Sd ? S ? 45 ? 0 有解

―――7 分

?? ? 144S 2 ? 180 ? S 2 ? 45 ? ? 0

―――8 分

? S 2 ? 225, S ? 15

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2 2 2 当 S ? 15 时, 45d ?12 ?15d ? 15 ? 45 ? 0 ? (d ? 2) ? 0 ? d ? 2

a1 ?

S ? 3d ? ?1 3

―――9 分 ―――10 分 ,记

?an ? 2n ? 3
(Ⅲ)

?cn ? anbn ? ? 2n ? 3? 2n?1

{cn } 前 n 项和为 Sn

―――11 分

? S n ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn?1 ? cn ? (?1)20 ? 1? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? (2n ? 5) ? 2n?2 ? (2n ? 3) ? 2n?1 2S n ? (?1)21 ? 1? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (2n ? 5) ? 2n?1 ? (2n ? 3) ? 2n
? S n ? 1 ? (?2)(21 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ?1 ) ? (2n ? 3) ? 2 n 2(1 ? 2 n ?1 ) ? 1 ? (?2) ? (2n ? 3) ? 2 n 1? 2 ? 5 ? (n ? 1)2 n ?1 ? 3 ? 2 n ?1
―――12 分

―――13 分 ―――14 分

?Sn ? 5 ? ? n ?1? 2n?1 ? 3 ? 2n


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