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北京市海淀区2014届高三上学期期末考试数学文试题(WORD版)


海淀区高三年级第一学期期末练习 数学(文科) 2014.01
本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 1.复数 i(i ? 1) 等于 A. 1 ? i B. ?1 ? i C. 1 ? i D. ?1 ? i

2.已知直线 l1 : x ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 l2 : mx ? y ? 0 平行,则实数 m 的取值为

1 1 A. ? B. C. 2 D. ?2 2 2
3.为了估计某水池中鱼的尾数,先从水池中捕出 2000 尾鱼,并给每尾鱼做上标记(不影响存活), 然后放回水池,经过适当的时间,再从水池中捕出 500 尾鱼,其中有标记的鱼为 40 尾,根据上述 数据估计该水池中鱼的尾数为 A.10000B.20000 C.25000D.30000
开始

4.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的 S 值为 A.15B.14 C. 7D.6 5.已知 a ? log2 3 , b ? log4 6 , c ? log4 9 ,则 A . a ? b ? c B. a ? b ? c C. a ? c ? b D . a ? c ? b S<10



a=1,S=1

a=2a

S=S+a

? 2 , x ? 2, ? 6. 已知函数 f ( x ) ? ? x 若关于 x 的方程 f ( x ) ? k 有 2 ? x ? 3, x ? 2, ?
不等的实根,则实数 k 的取值范围是 A. ( ?3,1) B. (0,1) C. ( ?2,2) D. (0, ??)

输出 S
结束

三 个

7.在 ?ABC 中,若 a ? 2b ,面积记作 S ,则下列结论中一定 成立的是 .. A. B ? 30? B. A ? 2B C. c ? b D. S ? b2

8.如图所示,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1 , BD ? AC ? O ,

D1 N

C1 B1 M

M 是线段 D1O 上的动点,过点 M 做平面 ACD1 的垂线交平面
A1B1C1D1 于点 N ,则点 N 到点 A 距离的最小值为
A . 2 B.

A1

D O A B

C

2 3 6 C. D. 1 3 2

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9.双曲线 x 2 ?

y2 ? 1 的离心率为___. 3
4

10.某四棱锥的三视图如右图所示,则该四棱锥的体积为__.

? x ? y ? 4 ? 0, ? 11.已知点 P( x, y) 的坐标满足 ?1 ? x ? 2, 则 z ? x ? 2 y 的最 ? y ? 0, ?
________.

4
正视图

3
左视图

大 值 为

俯视图

12. 已 知 等 差 数 列 {an } 和 等 比 数 列 {bn } 满 足

a1 ? b1 ? 2?, a2 ? b2 ,则满足 4 ? an ? bn 的 n 的所有取值构成的集合是______.
13. 某企业三个分厂生产同一种电子产品 , 三个分厂产量分 布如图所示 , 现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该 产品中共抽取 100 件做使用寿命的测试,则第一分厂应抽 取的件数为___;由所得样品的测试结果计算出一、二、 三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为 1020 小 时,980 小时, 1030 小时,估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为___小时. 1 4 . 直 线 x ? 1 与 抛 物 线 C : y2 ? 4x 交 于 M , N 两 点 , 点 P 是 抛 物 线 C 准 线 上 的 一 点 ,
第二分厂 20% 第三分厂 30%

第一分厂 50%

??? ? ???? ? ???? 记 OP ? aOM ? bON (a, b ? R) ,其中 O 为抛物线 C 的顶点.
??? ? ???? (1)当 OP 与 ON 平行时, b ? ________;
(2)给出下列命题: ① ?a, b ? R , ?PMN 不是等边三角形;

??? ? ???? ② ? a ? 0 且 b ? 0 ,使得 OP 与 ON 垂直;
③无论点 P 在准线上如何运动, a ? b ? ?1 总成立.

其中,所有正确命题的序号是___. 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。 15.(本小题共 13 分) 函数 f ( x ) ?

cos2 x ? 2sin x . sin x ? cos x

π (Ⅰ)求 f ( ) 的值; 4
(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及其图象的所有对称轴的方程.

16.(本小题共 13 分) 根据以往的成绩记录,甲、乙两名队员射击击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示
频率

频率
0.35

0.45

0.30 0.25

0.29 0.19

0.20 0.15 0.10

a
0.01

0.05

O

甲击中环数

O

乙击中环数

(Ⅰ)求上图中 a 的值; (Ⅱ)甲队员进行一次射击,求命中环数大于 7 环的概率(频率当作概率使用); (Ⅲ)由上图判断甲、乙两名队员中,哪一名队员的射击成绩更稳定(结论不需证明).

17.(本小题共 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, 且侧面 PAB ? 平面 ABCD , 点 E 是棱 AB 的中 PA ? PB , (Ⅰ)求证: CD // 平面 PAB ; (Ⅱ)求证: PE ? AD ; (Ⅲ)若 CA ? CB ,求证:平面 PEC ? 平面 PAB .

P
点.

C

D
A

E

B

18.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) ? ( x ? a )e x ,其中 a 为常数. (Ⅰ)若函数 f ( x ) 是区间 [?3, ??) 上的增函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若 f ( x) ? e 2 在 x ? [0,2] 时恒成立,求实数 a 的取值范围.

19.(本小题共 14 分) 已知椭圆 C :

1 x2 y2 ,右焦点为 F ,右顶点 A 在 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 2 2 a b

圆 F : ( x ? 1)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 上. (Ⅰ)求椭圆 C 和圆 F 的方程; (Ⅱ)已知过点 A 的直线 l 与椭圆 C 交于另一点 B ,与圆 F 交于另一点 P .请判断是否存在斜率不为 0 的直线 l ,使点 P 恰好为线段 AB 的中点,若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

20.(本小题共 13 分) 如 果 函 数 f ( x ) 满 足 在 集 合 N* 上 的 值 域 仍 是 集 合 N* , 则 把 函 数 f ( x ) 称 为 N 函 数 . 例如: f ( x ) ? x 就是 N 函数. (Ⅰ)判断下列函数:① y ? x 2 ,② y ? 2 x ? 1 ,③ y ? [ x ] 中,哪些是 N 函数?(只需写出判断结 果); (Ⅱ)判断函数 g ( x) ? [ln x] ? 1 是否为 N 函数,并证明你的结论; (Ⅲ)证明:对于任意实数 a, b ,函数 f ( x) ? [b ? a x ] 都不是 N 函数. (注:“ [ x ] ”表示不超过 x 的最大整数)

海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学 (文) 2014.1

参考答案及评分标准
阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 A 5 C 6 B 7 D

8 B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分, 共 30 分) 9. 2 12. {1,2,4} 10. 16 13. 50,1015 11. 7 14. ?1 ;①②③

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15.(本小题共 13 分)

π cos π π 0 2 ? 2sin ? ? 2 ? 2 . ------------------------3 分 解:(Ⅰ) f ( ) ? π π 4 4 2 2 sin ? cos ? 4 4 2 2
(Ⅱ)由 sin x ? cos x ? 0 得 x ? kπ ? 因为 f ( x ) ?

π ,k ?Z . 4

cos2 x ? 2sin x sin x ? cos x cos2 x ? sin 2 x ? ? 2sin x sin x ? cos x

------------------------------------5 分

? cosx ? sin x
π ? 2 sin( x ? ) , 4
所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? 2π . 因为函数 y ? sin x 的对称轴为 x ? kπ+ -------------------------------------7 分 -------------------------------------9 分

π , k ? Z , ------------------------------11 分 2 π π π 又由 x ? ? kπ+ , k ? Z ,得 x ? kπ+ , k ? Z , 4 2 4 π 所以 f ( x ) 的对称轴的方程为 x ? kπ+ , k ? Z .-----------------------------------13 分 4

16.(本小题共 13 分) 解:(Ⅰ)由上图可得 0.01 ? a ? 0.19 ? 0.29 ? 0.45 ?1 , 所以 a ? 0.06 . ----------------------------------4 分

(Ⅱ)设事件 A 为“甲队员射击,命中环数大于 7 环”,它包含三个两两互斥的事件:甲队员射 击,命中环数为 8 环,9 环,10 环. 所以 P( A) ? 0.29 ? 0.45 ? 0.01 ? 0.75 . (Ⅲ)甲队员的射击成绩更稳定. 17.(本小题共 14 分) 解:(Ⅰ)因为底面 ABCD 是菱形, 所以 CD // AB . ----------------------------1 分 ----------------------------------9 分 ---------------------------------13 分

P

又因为 CD ? 平面 PAB , -------------------3 分 所以 CD // 平面 PAB . --------------------------4 分 (Ⅱ)因为 PA ? PB ,点 E 是棱 AB 的中点, 所以 PE ? AB .

C

D
A

E

B

----------------------------------5 分

因为平面 PAB ? 平面 ABCD ,平面 PAB ? 平面 ABCD ? AB , PE ? 平面 PAB , ----------------------------------7 分 所以 PE ? 平面 ABCD , 因为 AD ? 平面 ABCD , 所以 PE ? AD . (Ⅲ)因为 CA ? CB ,点 E 是棱 AB 的中点, 所以 CE ? AB . 由(Ⅱ)可得 PE ? AB , 所以 AB ? 平面 PEC , 又因为 AB ? 平面 PAB , 所以平面 PAB ? 平面 PEC . 18.(本小题共 13 分) 解:(Ⅰ) f '( x) ? ( x ? a ? 1)e x , x ? R . 因为函数 f ( x ) 是区间 [?3, ??) 上的增函数, -------------------------------2 分 --------------------------------14 分 --------------------------------10 分 ---------------------------------11 分 --------------------------------13 分 ------------------------------------9 分 ------------------------------------8 分

所以 f '( x) ? 0 ,即 x ? a ? 1 ? 0 在 [?3, ??) 上恒成立.------------------------------3 分 因为 y ? x ? a ? 1 是增函数, 所以满足题意只需 ?3 ? a ? 1 ? 0 ,即 a ? 2 . (Ⅱ)令 f '( x) ? 0 ,解得 x ? ?a ? 1 -------------------------------5 分 -------------------------------6 分

f ( x ) , f ' (x的情况如下: )

x
f '( x ) f ( x)

( ??, ?a ? 1)
?


?a ? 1
0 极小值

( ?a ? 1, ??)

?


--------------------------------------10 分 ①当 ?a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时, f ( x ) 在 [0,2] 上的最小值为 f (0) , 若满足题意只需 f (0) ? e2 ,解得 a ? e ,
2

所以此时, a ? e ;
2

--------------------------------------11 分

②当 0 ? ?a ? 1 ? 2 ,即 ?3 ? a ? ?1 时, f ( x ) 在 [0,2] 上的最小值为 f ( ?a ? 1) , 若满足题意只需 f ( ?a ? 1) ? e2 ,求解可得此不等式无解, 所以 a 不存在; ------------------------12 分

③当 ?a ? 1 ? 2 ,即 a ? ?3 时, f ( x ) 在 [0,2] 上的最小值为 f (2) , 若满足题意只需 f (2) ? e2 ,解得 a ? ?1 , 所以此时, a 不存在. 综上讨论,所求实数 a 的取值范围为 [e 2 , ??) . 19. (本小题共 14 分) 解:(Ⅰ)由题意可得 c ? 1 , 又由题意可得 所以 a ? 2 , 所以 b ? a ? c ? 3 ,
2 2 2

------------------------------13 分

----------------------------------1 分

c 1 ? , a 2
----------------------------------2 分 ----------------------------------3 分 ---------------------------------4 分

所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

所以椭圆 C 的右顶点 A(2,0) , 代入圆 F 的方程,可得 r 2 ? 1 , 所以圆 F 的方程为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 . (Ⅱ)法 1: 假设存在直线 l : y ? k ( x ? 2) (k ? 0) 满足条件,

--------------------------------5 分

------------------------------6 分

-----------------------------7 分

? y ? k ( x ? 2), ? 由 ? x2 y 2 得 (4k 2 ? 3) x 2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 12 ? 0 ----------------------------8 分 ? ?1 ? 3 ? 4

16k 2 , ---------------------------------9 分 4k 2 ? 3 8k 2 ?6k 可得中点 P( 2 --------------------------------11 分 , 2 ), 4k ? 3 4k ? 3 8k 2 ?6k 2 由点 P 在圆 F 上可得 ( 2 ? 1)2 ? ( 2 ) ?1 4k ? 3 4k ? 3
设 B( x1 , y1 ) ,则 2 ? x1 ? 化简整理得 k 2 ? 0 又因为 k ? 0 , 所以不存在满足条件的直线 l . (Ⅱ)法 2: 假设存在直线 l 满足题意. 由(Ⅰ)可得 OA 是圆 F 的直径, 所以 OP ? AB . 由点 P 是 AB 中点,可得 | OB |?| OA |? 2 . 设点 B( x1 , y1 ) ,则由题意可得 -----------------------------7 分 ------------------------------8 分 --------------------------------9 分 --------------------------------10 分 -------------------------------11 分 --------------------------------14 分 --------------------------------13 分

x12 y12 ? ? 1. 4 3

又因为直线 l 的斜率不为 0,所以 x12 ? 4 , 所以 | OB |2 ? x12 ? y12 ? x12 ? 3(1 ?

x12 x2 ) ? 3 ? 1 ? 4 ,-------------------------------13 分 4 4

这与 | OA |?| OB | 矛盾,所以不存在满足条件的直线 l . --------------------------14 分 20. (本小题共 13 分) 解:(Ⅰ)只有 y ? [ x ] 是 N 函数. (Ⅱ)函数 g ( x) ? [ln x] ? 1 是 N 函数. 证明如下: ----------------------------3 分

显然, ?x ? N* , g ( x) ? [ln x] ? 1 ? N* . 不妨设 [ln x] ? 1 ? k , k ? N* , 由 [ln x] ? 1 ? k 可得 k ? 1 ? ln x ? k , 即 1 ? ek ?1 ? x ? ek .

---------------------------------------4 分

因为 ?k ? N* ,恒有 ek ? ek ?1 ? ek ?1 (e ? 1) ? 1 成立, 所以一定存在 x ? N* ,满足 ek ?1 ? x ? ek , 所以设 ?k ? N* ,总存在 x ? N* 满足 [ln x] ? 1 ? k , 所以函数 g ( x) ? [ln x] ?1 是 N 函数. (Ⅲ)(1)当 b ? 0 时,有 f (2) ? [b ? a 2 ] ? 0 , 所以函数 f ( x) ? [b ? a x ] 都不是 N 函数. (2)当 b ? 0 时,① 若 a ? 0 ,有 f (1) ? [b ? a] ? 0 , 所以函数 f ( x) ? [b ? a x ] 都不是 N 函数. ------------------10 分 ② 若 0 ? a ? 1 ,由指数函数性质易得 ---------------------------9 分 ---------------------------------------8 分

b ? ax ? b ? a ,
所以 ?x ? N* ,都有 f ( x) ? [b ? a x ] ? [b ? a] 所以函数 f ( x) ? [b ? a x ] 都不是 N 函数. -----------------11 分 ③ 若 a ? 1 ,令 b ? a m?1 ? b ? a m ? 2 ,则 m ? log a

2 , b ? (a ? 1)

所以一定存在正整数 k 使得 b ? ak ?1 ? b ? ak ? 2 , 所以 ?n1 , n2 ? N* ,使得 b ? a k ? n1 ? n2 ? b ? a k ?1 , 所以 f (k ) ? n1 ? n2 ? f (k ? 1) . 又因为当 x ? k 时, b ? a x ? b ? a k ,所以 f ( x) ? f (k ) ; 当 x ? k ? 1 时, b ? a x ? b ? ak ?1 ,所以 f ( x) ? f (k ? 1) , 所以 ?x ? N* ,都有 n1 ?{ f ( x ) | x ? N*} , 所以函数 f ( x) ? [b ? a x ] 都不是 N 函数.------------------13 分

综上所述,对于任意实数 a, b ,函数 f ( x) ? [b ? a x ] 都不是 N 函数.


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