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2016-2017学年高中数学北师大版选修2-1课件:第三章 圆锥曲线与方程 2.1


阶 段 1

§ 2 2.1

抛物线

阶 段 3

抛物线及其标准方程
学 业 分 层 测 评

阶 段 2

1.理解抛物线的定义及其标准方程的形式.(重点) 2.了解抛物线的焦点、准线.(重点) 3.掌握抛物线标准方程的四种形式,并能说出各自的特点,从而培养用 数形结合的方法处理问题的能力及分类讨论的数学思想.(难点)

[基础· 初探] 教材整理1 抛物线的定义 阅读教材P71“动手实践”与“思考交流”之间的部分,完成下列问题. 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离

相等

的点的集合叫

作 抛物线 ,定点F叫作抛物线的 焦点 ,定直线l叫作抛物线的 准线 .

到直线x=2与定点P(2,0)的距离相等的点的轨迹是( A.抛物线 C.椭圆 B.双曲线 D.直线

)

【解析】 ∵点(2,0)在直线x=2上,∴所求的点的轨迹应是一条直线. 【答案】 D

教材整理2 抛物线的标准方程 阅读教材P71“思考交流”以下~P72“例1”以上的部分 ,完成下列问题.

图形

标准 方程
焦点 坐标 准线 方程

y2=2px (p>0)
?p ? ? ,0? ?2 ?

y2=-2px (p>0)
? p ? ?- ,0? ? 2 ?

x2=2py (p>0)
? p? ?0, ? 2? ?

x2=-2py (p>0)
? p? ?0,- ? 2? ?

p x=-2

p x=2

p y=-2

p y=2

1.抛物线x2=-3y的准线方程是( 3 A.y=-4 1 C.x=-12

)

3 B.y=4 1 D.x=12

【解析】

3 由已知得p=2,又∵该抛物线开品向下,

3 ∴其准线方程为y=4.

【答案】 B

2.焦点坐标为(0,-1)的抛物线的标准方程为________. 【导学号:32550073】

p 【解析】 由题意知2=1,开口向下, ∴抛物线方程为x2=-4y.
【答案】 x2=-4y

[质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:________________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________________ 疑问 2:________________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________________ 疑问 3:________________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________________

[小组合作型]

求抛物线的标准方程
求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)过点(-3,2); (2)焦点在直线x-2y-4=0上; (3)已知抛物线焦点在y轴上,焦点到准线的距离为3.

【精彩点拨】 确定p的值和抛物线的开口方向,写出标准方程.

【自主解答】 0),∵过点(-3,2),

(1)设所求的抛物线方程为y2=-2p1x(p1>0)或x2=2p2y(p2>

∴4=-2p1(-3)或9=2p2· 2. 2 9 ∴p1=3或p2=4. 4 9 2 故所求的抛物线方程为y =-3x或x =2y.
2

(2)令x=0得y=-2,令y=0得x=4, ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2). p 当焦点为(4,0)时,2=4, ∴p=8,此时抛物线方程y2=16x; p 当焦点为(0,-2)时,2=|-2|, ∴p=4,此时抛物线方程为x2=-8y. 故所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=-8y.

(3)由题意知,抛物线标准方程为x2=2py(p>0)或x2=-2py(p>0)且p=3,∴ 抛物线标准方程为x2=6y或x2=-6y.

求抛物线标准方程的方法有: (1)定义法,求出焦点到准线的距离p,写出方程. (2)待定系数法,若已知抛物线的焦点位置,则可设出抛物线的标准方程,求 出p值即可,若抛物线的焦点位置不确定,则要分情况讨论.另外,焦点在x轴上 的抛物线方程可统一设成y2=ax(a≠0),焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2 =ay(a≠0).

[再练一题] 1.(1)过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为( A.圆 C.直线 B.椭圆 D.抛物线 )

【解析】

如图,设P为满足条件的一点,不难得出结论:点P到点A的距离

等于点P到y轴的距离,故点P在以点A为焦点,以y轴为准线的抛物线上,故点P的 轨迹为抛物线,即所求圆心的轨迹为抛物线.

【答案】 D

2 (2)已知抛物线的准线方程为y=3.则抛物线的标准方程为________.
【解析】 p 2 ∵准线在y轴正半轴上且2=3

4 8 2 ∴p=3,∴标准方程为x =-3y.

8 【答案】 x =-3y
2

抛物线的焦点坐标和准线

求下列抛物线的焦点坐标和准线方程. (1)y2=4x; (3)4x+5y2=0; (2)x2=-3y; (4)x=ay2(a≠0).

【精彩点拨】 (1)(2)由抛物线方程确定开口方向及p值;(3)(4)需将方程化为 标准方程,再求解.

【自主解答】

(1)抛物线y2=4x的开口向右,且2p=4,则p=2,所以抛物线

的焦点坐标为(1,0),准线方程为x=-1. 3 (2)抛物线x =-3y的开口向下,且2p=3,则p= 2 ,所以抛物线的焦点坐标为
2

? 3? 3 ?0,- ?,准线方程为y= . 4? 4 ?

4 4 (3)将抛物线方程化为标准方程y =-5x,可知抛物线的开口向左,且2p=5,
2

? 1 ? 2 1 ? ? - , 0 则p=5,所以抛物线的焦点坐标为 5 ,准线方程为x=5. ? ?

1 (4)将抛物线方程化为标准方程y =ax,
2

?1 ? 1 ? ? 其焦点坐标为 4a,0 ,准线方程为x=-4a. ? ?

已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时,先看抛物线方程是否是标准方 程,若不是,需化方程为标准方程. 依据标准方程,(1)由一次项的符号确定抛物线的开口方向,可得焦点和准线 p 的位置;(2)由一次项的系数确定2p(大于0)的值,求出p,进而得到2.由此可得焦 点坐标和准线方程.

[再练一题] 2.将本例(4)的方程改为“x2=ay(a≠0)”, 求其焦点坐标和准线方程.
? a? a ? ? 0 , =ay(a≠0)的焦点为 4?,准线方程为y=-4. ?

【解】 抛物线x

2

抛物线的实际应用

一辆卡车高3 m,宽1.6 m,欲通过断面为抛物线型的隧道,已知拱 口宽恰好是拱高的4倍,若拱口宽为a m,求使卡车通过的a的最小整数值.

【精彩点拨】 本题主要考查抛物线知识的实际应用.解答本题首先建系, 转化成抛物线的问题,再利用解抛物线的方法解决问题.

【自主解答】 以隧道顶点为原点,拱高所在直线为y轴建立直角坐标系,
?a a? 则点B的坐标为?2,-4?,如图所示. ? ?

设隧道所在抛物线方程为x2=my,
?a? ? a? 2 ?- ?,∴m=-a. 则?2? =m· ? ? ? 4?

即抛物线方程为x2=-ay. 将(0.8,y)代入抛物线方程,得0.82=-ay, 0.82 即y=- a .
? a? a 0.82 欲使卡车通过隧道,应有y-?-4?>3,即4- a >3. ? ?

∵a>0,∴a>12.21.∴a应取13.

1.解答本题的关键是把实际问题转化为数学问题,利用数学模型,通过数 学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题. 2.在建立抛物线的标准方程时,以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一 条坐标轴建立坐标系.这样可使得标准方程不仅具有对称性,而且曲线过原点, 方程不含常数项,形式更为简单,便于应用.

[再练一题] 3.某抛物线形拱桥跨度是20米,拱桥高度是4米,在建桥时,每4米需用一 根支柱支撑,求其中最长支柱的长.

【解】

如图,建立直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>0).

依题意知,点P(10,-4)在抛物线上, ∴100=-2p×(-4),2p=25.

依题意知,点P(10,-4)在抛物线上, ∴100=-2p×(-4),2p=25. 即抛物线方程为x2=-25y. ∵每4米需用一根支柱支撑,∴支柱横坐标分别为-6、-2、2、6. 由图知,AB是最长的支柱之一,点B的坐标为(2,yB),代入x2=-25y,得yB 4 =-25. 4 ∴|AB|=4-25=3.84,即最长支柱的长为3.84米.

[探究共研型]

抛物线的定义与标准方程
探究1 在抛物线的定义中,如果去掉条件“l不经过点F”,点的轨迹还是抛 物线吗? 【提示】 不一定是抛物线.当直线l经过点F时,点的轨迹是过定点F且垂 直于定直线l的一条直线;当l不经过点F时,点的轨迹是抛物线.

探究2 抛物线的定义经常被归纳为“一动三定”,其指的是什么?

【提示】 一个动点,设为M;一个定点F(抛物线的焦点);一条定直线(抛 物线的准线);一个定值(点M到点F的距离与它到定直线的距离之比等于1),定值 实现了距离间的转化.即涉及到抛物线上的点与焦点之间的距离可转化为到准线 的距离;抛物线上的点到准线的距离可化为与焦点之间的距离,这样可使问题简 单化.

探究3 抛物线标准方程中的参数P的几何意义是什么?它有什么作用?

【提示】 (1)抛物线标准方程中参数P的几何意义是:抛物线的焦点到准线 的距离.所以参数P称为焦准距或焦参数,P的值永远大于0.当抛物线标准方程中 一次项的系数为负值时,不要出现P<0的情况. (2)可根据P求出抛物线的焦点坐标和准线方程;求抛物线的标准方程时,也 只需确定参数P.

探究4 如何记忆抛物线的四种标准方程?
【提示】 (1)方程特点:焦点在x轴上,x是一次项,y是平方项;焦点在y轴

上,y是一次项,x是平方项. (2)一次项表明焦点所在轴,它的符号表明开口方向,有如下口诀: 焦点轴一次项,符号确定开口向; 若y是一次项,负时向下正向上; 若x是一次项,负时向左正向右.

(3)焦点在x轴上的抛物线方程为y2=mx(m≠0),m>0时焦点在x轴正半轴上, m<0时焦点在x轴负半轴上. (4)焦点在y轴上的抛物线方程为x2=my(m≠0),m>0时焦点在y轴正半轴上, m<0时焦点在y轴负半轴上.

平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1,求动点P的 轨迹方程.

【精彩点拨】 设P(x,y)则|PF|=|x|+1,直接化简求解或转化为距离相等, 利用抛物线定义求解.

【自主解答】

法一:设P点的坐标为(x,y),

则有 ?x-1?2+y2=|x|+1. 两边平方并化简得y2=2x+2|x|. ∴y
2

? ?4x,x≥0, =? ? ?0,x<0.

即点P的轨迹方程为y2=4x(x≥0)或y=0(x<0).

法二:由题意,动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,由于点F(1,0) 到y轴的距离为1,故当x<0时,直线y=0上的点适合条件;当x≥0时,原命题等 价于点P到点F(1,0)与到直线x=-1的距离相等,故点P的轨迹是以F为焦点,x= -1为准线的抛物线,方程为y2=4x. 故所求动点P的轨迹方程为y2=4x(x≥0)或y=0(x<0).

[构建· 体系]

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)标准方程y2=2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离.( (2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定.( ) ) )

(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线.(

【解析】 (1)由定义知p的几何意义是焦点到准线的距离. (2)√. (3)若定点在定直线上其轨迹是直线而不是抛物线.
【答案】 (1)√ (2)√ (3)×

2.(2016· 长春高二检测)抛物线y=2x2的焦点坐标是( A.(1,0)
?1 ? C.?4,0? ? ? ? 1? B.?0,4? ? ? ? 1? D.?0,8? ? ?

)

【解析】

1 把y=2x 化为x =2y,
2 2

? 1? ∴焦点坐标为?0,8?. ? ?

【答案】 D

3.(2015· 石家庄调研)若抛物线y2=2px上一点P(2,y0)到其准线的距离为4, 则抛物线的标准方程为( A.y2=4x C.y2=8x ) B.y2=6x D.y2=10x

p 【解析】 由题意得2+2=4,∴p=4,故抛物线的标准方程为y2=8x.
【答案】 C

4.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值是________. 【导学号:32550074】
【解析】 1 把抛物线方程y=ax 化为标准方程x =ay,
2 2

1 1 ∴-4a=2,∴a=-8.

1 【答案】 -8

5.分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)焦点在直线x+3y+15=0上. 5 (2)焦点到准线的距离为2.
【解】 (1)令x=0,得y=-5;令y=0,得x=-15. ∴抛物线的焦点为(0,-5)或(-15,0). ∴所求抛物线的标准方程为x2=-20y或y2=-60x.

5 5 (2)由焦点到准线的距离为2,可知p=2. ∴所求抛物线的标准方程为y2=5x或y2=-5x或x2=5y或x2=-5y.

我还有这些不足: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________

我的课下提升方案: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________

学业分层测评(十五)

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