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2.5 等比数列的前n项和


2.5 2.5.1

等比数列的前 n 项和?

等比数列前 n 项和公式的推导与应用?
从容说课

师生将共同分析探究等比数列的前 n 项和公式.公式的推导以教材中的“错位相减法” 为最基本的方法,“错位相减法”也是一种算法,其设计的思路是“消除差别”,从而达到 化简的目的.? 等比数列前 n 项和公式的推导

还有许多方法,可启发、引导学生进行探索.例如,根据 等比数列的定义可得

an a a a ? n?1 ? ... ? 3 ? 2 ? q ,? an?1 an?2 a2 a1
a ?a q S n ? a1 ? q ,整理得 S n ? 1 n (q ? 1) .? 1? q S n ? an

再由分式性质,得

教学中应充分利用信息和多媒体技术,还应 给予学生充分的探索空间.? 教学重点 1.等比数列前 n 项和公式的推导;? 2.等比数列前 n 项和公式的应用.? 教学难点 等比数列前 n 项和公式的推导.? 教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等?? 三维目标 一、知识与技能? 1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题;? 2.探索并掌握等比数列前 n 项和公式;? 3.用方程的思想认识等比数列前 n 项和公式,利用公式知三求一;? 4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想.?? 二、过程与方法? 1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学;? 2.发挥学生的主体作用,作好探究性活动.?? 三、情感态度与价值观? 1.通过生活中有趣的实例, 鼓励学生积极思考, 激发学生对知识的探究精神和严肃认真 的科学态度,培养学生的类比、归纳的能力;? 2.在探究活动中学会思考,学会解决问题的方法;?

3.通过对有关实际问题的解决, 体现数学与实际生活的密切联系, 激发学生学习的兴趣. 教学过程 导入新课 师 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗? 生 知道一些,踊跃发言.? 师 “请在第一个格子里放上 1 颗麦粒,第二个格子里放上 2 颗麦粒,第三个格子里放上 4 颗麦粒,以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的 2 倍.直到第 64 个 格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求.?? 师 假定千粒麦子的质量为 40 g,按目前世界小麦年度产量约 60 亿吨计.你认为国王能不能 满足他的要求?? 生 各持己见.动笔,列式,计算.? 生 能列出式子:麦粒的总数为? 1+2+2 +?+2 =?? 师 这是一个什么样的问题?你们计算出结果了吗?让我们一起来分析一下. 课件展示:? 1+2+2 +?+2 =? 师 我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列, 那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项 是 1,公比是 2,求第 1 个格子到第 64 个格子所放的麦粒数总和,就是求这个等比数列的前 64 项的和.? 现在我们来思考一下这个式子的计算方法:? 记 S=1+2+2 +2 +?+2 ,式中有 64 项,后项与前项的比为公比 2,当每一项都乘以 2 后,中 间有 62 项是对应相等的,作差可以相互抵消. 课件展示:? S=1+2+2 +2 +?+2 ,①? 2S=2+2 +2 +?+2 +2 ,②? ②-①得? 2S-S=2 -1.? 2 -1 这个数很大,超过了 1.84×10 ,假定千粒麦子的质量为 40 g,那么麦粒的总质量超 过了 7 000 亿吨.而目前世界年度小麦产量约 60 亿吨,因此,国王不能实现他的诺言. 师 国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺,导致了一个很不幸的后果的发生,这都是
64 19 64 2 3 63 64 2 3 63 2 3 63 2 63 2 63

他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识,正是我们这节课所 要探究的知识.? 推进新课 [合作探究]? 师 在对一般形式推导之前,我们先思考一个特殊的简单情形:1+q+q +?+q =?? 师 这个式子更突出表现了等比数列的特征,请同学们注意观察.? 生 观察、独立思考、合作交流、自主探究.? 师 若将上式左边的每一项乘以公比 q,就出现了什么样的结果呢?? 生 q+q +?+q +q
2 2

n

n

n+1

.?

生 每一项就成了它后面相邻的一项.? 师 对上面的问题的解决有什么帮助吗?? 师 生共同探索:? 如果记 Sn=1+q+q +?+q ,? 那么 qSn=q+q +?+q +q
2 2

n

n

n+1

.?
n

要想得到 Sn,只要将两式相减,就立即有(1-q)Sn=1-q .? 师 提问学生如何处理,适时提醒学生注意 q 的取值.? 生 如果 q≠1,则有 S ?

1? qn .? 1? q

师 当然,我们还要考虑一下如果 q=1 问题是什么样的结果.? 生 如果 q=1,那么 Sn=n.? 师 上面我们先思考了一个特殊的简单情形, 那么, 对于等比数列的一般情形我们怎样思考? 课件展示:?

a1+a2+a3+?+an=?
[教师精讲]? 师 在上面的特殊简单情形解决过程中,蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法,那就 是“错位相减,消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”.? 师 在解决等比数列的一般情形时,我们还可以使用“错位相减法”.? 如果记 Sn=a1+a2+a3+?+an,? 那么 qSn=a1q+a2q+a3q+?+anq,? 要想得到 Sn,只要将两式相减,就立即有(1-q)Sn=a1-anq.?

师 再次 提醒学生注意 q 的取值.? 如果 q≠1,则有 S n ?

a1 ? an q .? 1? q

师 上述过程如果我们略加变化一下,还可以得到如下的过程:? 如果记 Sn=a1+a1q+a1q +?+a1q
2 2

n-1

,?

那么 qSn=a1q+a1q +?+a1q +a1q ,? 要想得到 Sn,只要将两式相减,就立即有(1-q)Sn=a1-a1q .? 如果 q≠1,则有 S n ?
n

n-1

n

a1 (1 ? q n ) .? 1? q

师 上述推导过程,只是形式上的不同,其本质没有什么差别,都是用的“错位相减法”. 形式上,前一个出现的是等比数列的五个基本量:a1,q,an,Sn,n 中 a1,q,an,Sn 四个;后者出 现的是 a1,q,Sn,n 四个,这将为我们今后运用公式求等比数列的前 n 项的和提供了选择的余 地. 值得重视的是:上述结论都是在“如果 q≠1”的前提下得到的.言下之意,就是只有当等比 数列的公比 q≠1 时,我们才能用上述公式.? 师 现在请同学们想一想,对于等比数列的一般情形,如果 q=1 问题是 什么样的结果呢? 生 独立思考、合作交流.? 生 如果 q=1,Sn=na1.? 师 完全正确.? 如果 q=1,那么 Sn=nan.正确吗?怎么解释?? 生 正确.q=1 时,等比数列的各项相等,它的前 n 项的和等于它的任一项的 n 倍.? 师 对了,这就是认清了问题的本质.? 师 等比数列的前 n 项和公式的推导还有其他的方法,下面我们一起再来探讨一下:?? [合作探究]? 思路一:根据等比数列的定义,我们有:

a a2 a3 a4 ? ? ? ... ? n ? q ,? a1 a2 a3 an?1

再由合比定理,则得

a2 ? a3 ? a4 ? ... ? an ? q ,? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an?1



S n ? a1 ? q ,? S n ? an

从而就有(1-q)Sn=a1-anq.? (以下从略)? 思路二:由 Sn=a1+a2+a3+?+an 得? Sn=a1+a1q+a2q+?+a
n-1

q=a1+q(a1+a2+?+a n-1)=a1+q(Sn-an),?

从而得(1-q)Sn=a1-anq.? (以下从 略)? 师 探究中我们们应该发现,Sn-S n-1?=an 是一个非常有用的关系,应该引起大家足够的重视. 在这个关系式中,n 的取值应该满足什么条件?? 生 n>1.? 师 对的,请同学们今后多多关注这个关系式:Sn-S n-1=an,n>1.? 师 综合上面的探究过程,我们得出:?

?na1 , q ? 1, ?na1 , q ? 1, ? ? n S n ? ? a1 (1 ? q ) 或者 ? a1 ? an q q ? 1 ? 1? q , q ? 1 ? 1? q , ? ?
[例题剖析]? 【例题 1】 求下列等比数列的前 8 项的和:?

1 1 1 , , ,?;? 2 4 8 1 (2)a1=27,a9= ,q<0.? 243
(1) [合作探究]? 师生共同分析:?

1 1 , q ? ,求 n=8 时的和,直接用公式即可.? 2 2 1 由 (2) 所给条件,需要从 a 9 ? 中获取求和的条件,才能进一步求 n = 8 时的和 . 而 243
由(1)所给条件,可得 a1 ? ?a9=a1q ,所以由条件可得 q = 公式就可以了.? 生 写出解答:?
8 8

a9 1 1 = ,再由 q<0,可得 q ? ? ,将所得的值代入 3 a1 243 ? 27

1 1 [1 ? ( ) 8 1 1 2 ? 255 .? (1)因为 a1 ? , q ? ,所以当 n=8 时, S 8 ? 2 1 2 2 256 1? 2

(2)由 a1=27, a 9 ?

a 1 1 8 ,可得 q ? 9 ? ,? 243 a1 243? 27

1 3 1 1 (1 ? ) 1640 27 243 ? 27 于是当 n=8 时, S 8 ? .? ? 1 81 1 ? (? ) 3
又由 q<0,可得 q ? ? ,? 【例题 2】 某商场今年销售计算机 5 000 台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增 加 10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到 30 000 台(结果保留到个位)?? 师 根据题意,从中发现等比关系,从中抽象出等比数列,并明确这是一个已知 Sn=30 000 求 n 的问题.? 生 理解题意,从中发现等比关系,并找出等比数列中的基本量,列式,计算.? 解:根据题意,每年的销售量比上一年增加的百分率相同,所以,从今年起,每年销售量组 成一个等比数列{an},其中 a1=5 000,q=1+10%=1.1,Sn=30 000.?

5000 (1 ? 1.1n ) ? 30000,? 于是得到 1 ? 1.1
整理得 1.1 =1.6,? 两边取对数,得 nlg1.1=lg1.6,? 用计算器算得 n ?
n

0.2 lg1.6 ≈ ≈5(年).? lg1.1 0.041

答:大约 5 年可以使总销售量达到 30 000 台.? 练习:? 教材第 66 页,练习第 1、2、3 题.?? 课堂小结 本节学习了如下内容:? 1.等比数列前 n 项和公式的推导;特别是在推导过程中,学到了“错位相减法”.? 2.等比数列前 n 项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的 4 个量,一般需要 知道其中的 3 个,才能求出另外一个量.另外应该注意的是,由于公式有两个形式,在应用 中应该根据题意所给的条件,适当选择运用哪一个公式.? 在使用等比数列求和公式时, 注意 q 的取值是至关重要的一个环节, 需要放在第一位来思考. 布置作业

课本第 69 页习题 2.5 A 组第 1、2、3 题.?? 板书设计 等比数列前 n 项和公式的推导与应用 等比数列的前 n 项和公式? 情境问题的推导 一般情形的推导? 练习:( 学生板演) 例1 例2 练习:(学生板演) 习题详解 (课本第 66 页练习)? 1.(1) S 6 ?

a1 (1 ? q 6 ) 3(1 ? 2 6 ) ? ? 189.? 1 ?1 1? 2

(2) S n ?

a1 ? an q ? 1? q

? 2.7 ?

1 1 ? (? ) 90 3 ? ? 91 .? 1 45 1 ? (? ) 3
5 5

2.设这个等比数列的公比为 q,? S10=(a1+a2+?+a5)+(a6+a7+?+a10)=S5+q S5=S5(1+q )=50,①? 同理,S15=S10+q S5.②? 因为 S5=10,所以由①得 q =
10 5 10

S10 10 -1=4 ? q =16,? S5

代入②,得 S15=S10+q S5=50+16×10=210.? 另解:因为等比数列中,S5,S10-S5,S15-S10 也成等比数列,? 已知 S5=10,S10-S5=50-10=40,? 所以 S15-S10=

(S10 ? S5 ) 2 402 ? ? 160 ,? S5 10

S15=160+50=210.? 3.该市近 10 年内每年的国内生产总值构成一个等比数列,首项 a1=2 000,公比 q=1.1, 设近 10 年内每年的国内生产总值是 S 10,则?

2000 (1 ? 1.110 ) 4 S10= ≈3.187×10 (亿元).?? 1 ? 1.1
备课资料

数学神童维纳的年龄? 20 世纪著名数学家诺伯特·维纳,从小就智力超常,三岁时就能读写,十四岁时就大 学毕业了.几年后,他又通过了博士论文答辩,成为美国哈佛大学的科学博士.? 在博士学位的授予仪式上,执行主席看到一脸稚气的维纳,颇为惊讶,于是就当面询问 他的年龄.维纳不愧为数学神童,他的回答十分巧妙:“我今年岁数的立方是个四位数,岁 数的四次方是个六位数,这两个数,刚好把十个数字 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 全都 用上了,不重不漏.这意味着全体数字都向我俯首称臣,预祝我将来在数学领域里一定能干 出一番惊天动地的大事业.”? 维纳此言一出,四座皆惊,大家都被他的这道妙题深深地吸引住了.整个会场上的人, 都在议论他的年龄问题.? 其实这个问题不难解答,但是需要一点数字“灵感”.不难发现,21 的立方是四位数, 而 22 的立方已经是五位数了,所以维纳的年龄最多是 21 岁;同样道理,18 的四次方是六 位数,而 17 的四次方则是五位数了,所以维纳的年龄至少是 18 岁.这样,维纳的年龄只可 能是 18、19、20、21 这四个数中的一个.? 剩下的工作就是“一一筛选”了.20 的立方是 8 000,有 3 个重复数字 0,不合题意.同 理,19 的四次方 等于 130 321,21 的四次方等于 194 481,都不合题意.最后只剩下一个 18, 是不是正确答案呢?验算一下,18 的立方等于 5 832,四次方等于 104 976,恰好“不重不 漏”地用完了十个阿拉伯数字,多么完美的组合!? 这个年仅 18 岁的少年博士,后来果然成就了一番大事业:他成为信息论的前驱和控制 论的奠基人.? 数学王子——高斯?

高斯(1777~1855),高斯是德国数学家,也是科学家,他和牛顿、阿基米德,被誉为有 史以来的三大数学家.高斯是近代数学奠基者之一,在历史上影响之大,可以和阿基米德、 牛顿、欧拉并列,有“数学王子”之称.? 他幼年时就表现出超人的数学天才.1795 年进入格丁根大学学习.第二年他就发现正十 七边形的尺规作图法.并给出可用尺规作出的正多边形的条件,解决了欧几里得以来悬而未

决的问题.? 高斯的数学研究几乎遍及所有领域,在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何 等方面都作出了开创性的贡献.他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究,发明 了最小二乘法原理.高斯的数论研究,总结在《算术研究》(1801)中,这本书奠定了近代数 论的基础,它不仅是数论方面的划时代之作,也是数学史上不可多得的经典著作之一.高斯 对代数学的重要贡献是证明了代数基本定理,他的存在性证明开创了数学研究的新途径.高 斯在 1816 年左右就得到非欧几何的原理.他还深入研究复变函数,建立了一些基本概念,发 现了著名的柯西积分定理.他还发现椭圆函数的双周期性,但这些工作在他生前都没发表出 来.1828 年高斯出版了《关 于曲面的一般研究》 ,全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学, 并提出内蕴曲面理论.高斯的曲面理论后来由黎曼发展.高斯一生共发表 155 篇论文, 他对待 学问十分严谨,只是把他自己认为是十分成熟的作品发表出来.其著作还有《地磁概念》和 《论与距离平方成反比的引力和斥力的普遍定律》等.? 高斯最出名的故事就是他十岁时,小学老 师出了一道算术难题:“计算 1+2+3+?+ 100=?”.这可难为初学算术的学生, 但是高斯却在几秒后将答案解了出来, 他利用算术级 数(等差级数)的对称性, 然后就像求得一般算术级数和的过程一样, 把数目一对对的凑在一 起:1+100,2+99,3+98,?,49+52,50+51,而这样的组合有 50 组,所以答案很快的 就可以求出是:101×50=5 050.? 1801 年高斯有机会戏剧性地施展他的优势的计算技巧.那年的元旦,有一个后来被证为 小行星并被命名为谷神星的天体被发现,当时它好像在向太阳靠近,天文学家虽然有?40 天?的时间可以观察它,但还不能计算出它的轨道.高斯只作了 3 次观测就提出了一种计算 轨道参数的方法, 而且达到的精确度使得天文学家在 1801 年末和 1802 年初能够毫无困难地 再确定谷神星的位置.高斯在这一计算方法中用到了他大约在 1794 年创造的最 小二乘法(一 种可从特定计算得到最小的方差和中求出最佳估值的方法),在天文学中这一成就立即得到 公认.他在《天体运动理论》中叙述的方法今天仍在使用,只要稍作修改就能适应现代计算 机的要求.高斯在小行星“智神星”的测算方面也获得类似的成功.? 由于高斯在数学、天文学、大地测量学和物理学中的杰出研究成果,他被选为许多科学 院和学术团体的成员.“数 学之王”的称号是对他一生恰如其分的赞颂.?


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