当前位置:首页 >> 数学 >>

双曲线练习题


圆锥曲线与方程(双曲线练习题)
一、选择题

1.已知方程 A. 2.双曲线
2

x2 y2 ? ? 1 的图象是双曲线,那么 的取值范围是( 2 ? k k ?1



B.
2

C.

D.

x y ? 2= 1(a ? 0,b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 ,F2 ,P 是双曲线上一点,满足 | PF2 ? F1F2 | , 2 a b

直线 PF1 与圆 x2 ? y 2 ? a2 相切,则双曲线的离心率为( A.
5 4



B. 3

C.

2 3 3

D.

5 3

3.过双曲线 x2 ?

y2 ? 1 的右焦点作直线交双曲线于两点,若,则这样的直线有( 2



A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 2 2 2 2 4.等轴双曲线 C:x ? y ? a 与抛物线 y ? 16x 的准线交于 A,B 两点, AB = 4 3 ,则双曲线 C 的实 轴长等于( ) A. 2 5.已知双曲线 ( ) A.2 B. 2 2 C.4 D.8

5 x2 y 2 x ,则双曲线的焦点到直线的距离为 = 1 的一条渐近线的方程为 y = 3 9 m

B.

C.

D. )

6.若直线过点 (3,0) 与双曲线 4 x2 - 9 y 2 = 36 只有一个公共点,则这样的直线有( A.1 条
2

B.2 条
2

C.3 条

D.4 条 )

7.方程

x y ? = 1(k ? R ) 表示双曲线的充要条件是( k ?2 k ?3 A. k ? 2 或 k ? ?3 B. k ? ?3 C. k ? 2 D. ?3 ? k ? 2

二、填空题 8.过原点的直线,如果它与双曲线 9.设为双曲线 10.过双曲线
a

y 2 x2 ? ? 1 相交,则直线的斜率的取值范围是 3 4

. .

x2 - y 2 = 1 上一动点, 为坐标原点, 为线段的中点, 则点的轨迹方程是 4
2 y2 b2
2

x2

= 1( a , b > 0) 的左焦点作垂直于轴的直线与双曲线相交于两点,以为直径的

圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于
2

.

11.已知双曲线

x y ? 2 ? 1(a ? 0 ,b ? 0) 的渐近线与圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 ? 0 有交点,则该双曲线的离 2 a b

心率的取值范围是 . 三、解答题(本题共 3 小题,共 41 分) 12.求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)焦点在轴上,虚轴长为 12,离心率为 ; (2)顶点间的距离为 6,渐近线方程为 y = ? 13.已知双曲线
x2 y 2 ? = 1 ( a >0, b >0)的右焦点为 F (c,0) . a 2 b2
5 4

3 x 2

(1)若双曲线的一条渐近线方程为 y ? x 且 c ? 2 ,求双曲线的方程; (2)以原点 O 为圆心, c 为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为 A ,过 A 作圆的切 线,斜率为 ? 3 ,求双曲线的离心率. 14.已知双曲线 离是
3 . 2

x2 y2 2 3 ,原点 O 到过点 A( a ,0), B(0,- b) 的直线的距 = 1(a > 0, b > 0) 的离心率 e = 3 a2 b2

(1)求双曲线的方程; (2)已知直线 y = kx + 5(k ? 0) 交双曲线于不同的两点,且都在以为圆心的圆上,求的值

一、选择题 1.C 2.D 解析:设 PF1 与圆相切于点 M ,因为 PF2 ? F1F2 ,所以 △PF1F2 为等腰三角形,
1 1 2 2 PF1 .又因为在直角 △F1MO 中, F ? a2 ? c2 ? a2 ,所以 F1M ? b ? PF1 . 1M ? FO 1 4 4 c 5 ? . a 3

所以 F1M ?

①又 PF1 ? PF2 ? 2a ? 2c ? 2a ,② c 2 ? a 2 ? b 2 ,③由①②③解得

3.C 解析:由题意知,. 当只与双曲线右支相交时,的最小值是通径长,长度为,此时只有一条直线符合条件; 当与双曲线的两支都相交时,的最小值是实轴两顶点间的距离,长度为,无最大值, 结合双曲线的对称性,可得此时有 2 条直线符合条件. 综上可得,有 3 条直线符合条件. 4.C 解析:设等轴双曲线 C 的方程为 x2 ? y 2 ? ? .①
p ? 4 .∴ 抛物线的准线方程为 x ? ?4 . 2

∵ 抛物线 y 2 ? 16x, 2 p ? 16,p ? 8 ,∴

设等轴双曲线与抛物线的准线 x ? ?4 的两个交点为 A( ? 4, y),B( ? 4,? y)(y ? 0) , 则 AB ?| y ? ( ? y) |? 2 y ? 4 3 ,∴ y ? 2 3 . 将 x ? ?4 , y ? 2 3 代入①,得 ( ? 4)2 ? (2 3)2 ? ? ,∴ ? ? 4 . ∴ 等轴双曲线 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 ,即 5.C 解析:双曲线
x2 y2 ? = 1 .∴ 双曲线 C 的实轴长为 4. 4 4

m 5 x2 y 2 x? x ,即.不妨设双曲线的右焦 ? ? 1 的一条渐近线方程为 y ? 3 3 9 m

点为,则焦点到直线 l 的距离为 d ?

5 ? 14 3 ? 5? ? ? 3 ? ? ?1 ? ?
2

? 5.

6.C

解析: 将双曲线化为标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 则点(3,0)为双曲线的右顶点.过点(3,0)与 x 9 4

轴垂直的直线满足题意,过点(3,0)与双曲线渐近线平行的两条直线也满足题意,因此这样 的直线共有 3 条. 7.A
x2 y2 当且仅当 (k ? 2)(k ? 3)>0 , ∴ k ? 2 或 k ? ?3 . ? = 1(k ? R) 表示双曲线, k ?2 k ?3 x2 y2 反之,当 k ? 2 或 k ? ?3 时,双曲线方程中分母同号,方程 ? = 1(k ? R) 表示双曲线. k ?2 k ?3

解析: 方程

二、填空题 8. ? ? ?∞, ?
? ? ? 3? ? 3 ? , ? ∞ ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 2 ?

解析:双曲线

3 y 2 x2 x .若直线 l 与双曲 ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? 2 3 4

线相交,则 k ?

3 3 或k ? ? . 2 2
x0 2 ,y= y0 2

9.解析:设,,则 x = 10.2

,即,.将代入双曲线方程,得点的轨迹方程为

4 x2 - 4 y 2 = 1 ,即. 4

解析:设双曲线的左焦点为右顶点为又因为 MN 为圆的直径且点 A 在圆上,所以 F 为
b2 c2 ? a2 c ? c ? a ,即 ? c ? a .由 e ? ,得 e 2 ? e a a a

圆的圆心,且所以 11. (1,2]

0) ,半径 r ? 2 . 解析:由圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 ? 0 化为 (x ? 2)2 ? y 2 ? 2 ,得到圆心 (2,
x2 y 2 b ? ? 1(a ? 0 ,b ? 0) 的渐近线 y=? x 与圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 ? 0 有交点, a 2 b2 a

∵ 双曲线 ∴
2b

c b2 ≤ 2 ,∴ b 2 ≤ a 2 .∴ 1<e= = 1 ? 2 ≤ 2 .∴取值范围是 (1,2] . a a a 2 ? b2
x2 y 2 =1 (a > 0, b > 0). a 2 b2

三、解答题 12.解: (1)焦点在轴上,设所求双曲线的标准方程为
?2b ? 12, ?c 5 ?a ? 8, 由题意,得 ? 解得 ? ? ? , ?b ? 6. ?a 4 2 2 2 ? ?a ? b ? c ,

所以双曲线的标准方程为

x2 y 2 = 1. 64 36
x2 y 2 ? =1 (a ? 0, b ? 0) a 2 b2

(2)方法一:当焦点在轴上时,设所求双曲线的标准方程为 由题意,得 ? ?b
? 2a ? 6, ?a ? 3, ? 解得 ? 3 9 ? , b? , ? ? ? 2 ?a 2
x2 y 2 = 1. 9 81 4
y 2 x2 = 1. 9 4

所以焦点在轴上的双曲线的标准方程为

同理可求焦点在轴上的双曲线的标准方程为 方法二:设以 y = ?

3 x2 y 2 x 为渐近线的双曲线的方程为 = λ( λ ? 0). 2 4 9

9 x2 y 2 = 1. .此时,所求的双曲线的标准方程为 9 81 4 4 2 2 y x 当 λ <时, 2 - 9 λ = 6 ,解得 λ .此时,所求的双曲线的标准方程为 - = 1 . 9 4

当 λ >时, 2 4 λ = 6 ,解得 λ

13.解: (1)∵ 双曲线

x2 y 2 b ? 2= 1 的渐近线方程为 y ? ? x , 2 a b a b ∴ 若双曲线的一条渐近线方程为 y ? x ,可得 ? 1 ,解得 a ? b . a

∵ c ? a2 ? b2 ? 2 ,∴ a ? b ? 2 . 由此可得双曲线的方程为
x2 y2 ? = 1. 2 2

(2)设点 A 的坐标为 (m,n) ,可得直线 AO 的斜率满足 k ? ∵ 以点 O 为圆心, c 为半径的圆方程为 x 2 ? y 2 ? c 2 , ∴ 将①代入圆方程,得 3n2 ? n2 ? c 2 ,解得 n ? c , m ?
2

n ?1 ? ,即 m ? 3n .① m ? 3

1 2

3 c. 2

? 3 ? ? 1 ?2 c? ? c? ? 2 ? ? ?1 3 ? 2 ? ? 将点 A ? 代入双曲线方程,得 ? = 1. 2 ? 2 c, 2 c ? ? a b2 ? ? 3 1 化简,得 c2b2 ? c2a 2 ? a 2b2 . 4 4

∵ c 2 ? a 2 ? b 2 ,∴ 将 b 2 ? c 2 ? a 2 代入上式,化简、整理,得 c4 ? 2c2a2 ? a4 ? 0 . 两边都除以 a 4 ,整理,得 3e4 ? 8e2 ? 4 ? 0 ,解得 e2 ? 或 e 2 ? 2 . ∵ 双曲线的离心率 e ? 1 ,∴ 该双曲线的离心率 e ? 2 (负值舍去). 14.解: (1)因为 ?
c a 2 3 ,原点 O 到直线:的距离 d = 3
x2 - y 2 = 1. 3
3k 2 )x2 - 30kx - 78 = 0 .

3 4

2 3

ab a +b
2 2

=

ab 3 = , c 2

所以 b = 1, a = 3. 故所求双曲线的方程为

(2)把 y = kx + 5 代入 x2 - 3 y2 = 3 中,消去,整理,得 (1 设 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ), CD 的中点是 E ,则 x0 = (x0 , y0)
k BE = y0 + 1 x0 =-

x1 + x2 2

=

15k 1 - 3k
2

,y0 = kx0 + 5 =

5 1 - 3k 2

.

15k 5k 1 所以 x0 + ky0 + k = 0, 即 ? ?k ?0. , k 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

又,所以,即


赞助商链接
相关文章:
双曲线及其标准方程练习题
双曲线及其标准方程练习题_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档双曲线及其标准方程练习题_数学_高中教育_教育专区。课时作业(十) [学业...
双曲线练习题带答案,知识点总结(提高版)
双曲线练习题带答案,知识点总结(提高版) - 双曲线重难点复习 一.知识点总结 双曲线: 平面内与两个定点 F (其中 2a ? F F2 的距离的差的绝对值等于常数 ...
双曲线基础练习题
双曲线基础练习题_财会/金融考试_资格考试/认证_教育专区。双曲线基础练习题一、1.已知 a=3,c=5,并且焦点在 x 轴上,则双曲线的标准程是( A. ) x2 y2...
双曲线练习题(含答案)-
双曲线练习题(含答案)- - 双曲线及其标准方程习题 一、 单选题(每道小题 4 分共 56 分 ) 1. 命题甲:动点 P 到两定点 A、B 距离之差│|PA|?|PB|...
双曲线经典过关练习及答案
双曲线经典过关练习及答案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。圆锥曲线习题——双...| F2 M | 的值为___ 三、解答题 17. 如图,在以点 O 为圆心,| AB...
2017选修2-1《双曲线》练习题经典(含答案)
2017选修2-1《双曲线练习题经典(含答案) - 《双曲线练习题 一、选择题: 1.已知焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程是 y=± 4x,则该双曲线的离心率是...
双曲线习题及答案
6页 免费 椭圆和双曲线练习题及答案 6页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...
双曲线练习题带答案,知识点总结(基础版)
双曲线练习题带答案,知识点总结(基础版) - 双曲线重难点复习 一.知识点总结 双曲线: 平面内与两个定点 F (其中 2a ? F F2 的距离的差的绝对值等于常数 ...
双曲线习题及答案
双曲线习题及答案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。圆锥曲线习题——双曲线 1...高二双曲线练习题及答案... 1页 免费 圆锥曲线--双曲线习题和... 8页 5...
椭圆和双曲线基础题练习题及答案
椭圆和双曲线基础题练习题及答案_数学_高中教育_教育专区。圆锥曲线基础测试题一、选择题( 60 ) x2 y2 ? 1 (a ? 5) 的两个焦点为 F1 、 F2 ,且 | ...
更多相关标签: