当前位置:首页 >> 数学 >>

抛物线


抛物线的简单几何性质
1.抛物线的几何性质 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)

图形

范围 性 对称轴 质 顶点 离心率 x轴 (0,0) e= x轴 y轴 y轴

2.焦点弦 直线过抛物线 y2=2px (p

>0)的焦点 F,与抛物线交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点, p p 由抛物线的定义知,|AF|=x1+ ,|BF|=x2+ ,故|AB|= 2 2 3.直线与抛物线的位置关系 直线 y=kx+b 与抛物线 y2=2px(p>0)的交点个数 关于 x 的方程 的解的个数. 当 k≠0 时,若 Δ>0,则直线与抛物线有 个不同的公共点; 当 Δ=0 时,直线与抛物线有 个公共点; 当 Δ<0 时,直线与抛物线 公共点. 当 k=0 时,直线与抛物线的轴 ,此时直线与抛物线有

个公共点.

【问题探究】
探究点一 抛物线的几何性质 例 1 若抛物线 y2=x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离, 则点 P 的坐标为 ( 1 2 A.? ,± ? 4? ?4 跟踪训练 y 2 = 2 px ( p >0) 上 一 点 M 的 纵 坐 标 为 -4 2, 这点到准线的距离为 6, 则方程为________ 1 2 B.? ,± ? 4? ?8 1 2 C.? , ? ?4 4 ? 1 2 D.? , ? ?8 4 ? )

探究点二 抛物线的焦点弦问题 例 2 已知直线 l 经过抛物线 y2=6x 的焦点 F,且与抛物线相交于 A、B 两点. (1)若直线 l 的倾斜角为 60° ,求|AB|的值; (2)若|AB|=9,求线段 AB 的中点 M 到准线的距离.

跟踪训练.已知过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的弦长为 36,求弦所在的直线方程.

探究点三 直线与抛物线的位置关系 例3 已知抛物线的方程为 y2=4x,直线 l 过定点 P(-2,1),斜率为 k,k 为何值时, 直线 l 与抛物线 y2=4x:只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点?

跟踪训练 3 过点(-3,2)的直线与抛物线 y2=4x 只有一个公共点,求此直线方程.

【当堂检测】
1.设 AB 为过抛物线 y2=2px (p>0)的焦点的弦,则|AB|的最小值为 ( p A. 2 B .p C.2p ) D.无法确定

2.设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点, 则直线 l 的斜率的取值范围是( ) 1 1 - , ? A.? ? 2 2? B.[-2,2] C.[-1,1] D.[-4,4] )

3.抛物线 y=4x2 上一点到直线 y=4x-5 的距离最短,则该点坐标为 ( A.(1,2) B.(0,0) 1 ? C.? ?2,1? D.(1,4)

4. 已知过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、 B 两点, |AF|=2, 则|BF|=_______

【拓展提升】
x 2 16 y 2 1.若双曲线 ? 2 ? 1 的左焦点在抛物线 y 2 ? 2 px 的准线上,则 p 的值为 3 p
A.2 B.3 C.4 D.4 2

2.设 O 为坐标原点, F 为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点, A 为抛物线上的一点, 若 OA ? AF ? ?4 ,则点 A 的坐标为( A. (2,?2 2 ) B. (1,?2) ) C. (1,2) D. (2,2 2 )

3.直线 l:y=-x+1 和抛物线 C: y 2 ? 4 x ,设直线与抛物线的交点为 A、B , 求 AB 的长。
巩固练习 1.以抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦半径 PF 为直径的圆与 y 轴位置关系为(
2



A、 相交 B、 相离 C、 相切 D、 不确定 2.抛物线方程为 7x+8y2=0,则焦点坐标为( ) 7 7 7 7 A.( ,0) B.(- ,0) C.(0,- ) D.(0,- ) 16 32 32 16 3.抛物线 y=-x2 上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是 4 A. 3 7 B. 5 8 C. 5 D.3 ( )

4.已知抛物线的对称轴为 x 轴,顶点在原点,焦点在直线 2x-4y+11=0 上, 则此抛物线的方程是( ) 2 A.y =-11x B.y2=11x 2 C.y =-22x D.y2=22x 5.若抛物线 y2=2x 上有两点 A,B,且 AB 垂直于 x 轴,若|AB|=2 2, 则抛物线的焦点到直线 AB 的距离为( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 4 6 8 6.已知直线 x-y-1=0 与抛物线 y=ax2 相切,则 a=________ 7.抛物线顶点在坐标原点,以 y 轴为对称轴,过焦点且与 y 轴垂直的弦长为 16, 则抛物线方程为________.

8.求适合下列条件的抛物线的标准方程: (1)顶点在原点,对称轴为坐标轴,顶点到准线的距离为 4;

(2)顶点是双曲线 16x2-9y2=144 的中心,准线过双曲线的左顶点,且垂直于坐标轴

(3)求以原点为顶点,坐标轴为对称轴,且过点P(2,-4)的抛物线的方程.

高考题型 1.双曲线

y2 x2 ? ? 1 上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 7,那么 P 到另一个焦点的距 16 25
) B. 3 C. 15 ) D.-2<m<3 D.17

离等于 ( A. 1 或 15

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 m 的取值范围是( 2.若方程 3?m m? 2
A.m<-2 B.m>3 C.m<-2 或 m>3

3. 设 F1 , F2 是椭圆 E :

x2 y 2 3a ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直线 x ? 上一点, 2 2 a b

△F2 PF1 是底角为 30 的等腰三角形,则 E 的离心率为
4.已知 F1 , F2 为双曲线 x ? y ? 2 的左、右焦点,点 P 在 C 上, | PF 1 |? 2 | PF 2 |,
2 2

则 cos ?F 1PF2 ?

5.已知双曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2.若抛物线 C2 : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦 a 2 b2
) D. x2 ? 16 y

点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为( A. x 2 ?
8 3 y 3

B. x 2 ?

16 3 y 3

C. x 2 ? 8 y

x2 y 2 6. 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别是 A, B ,左、右焦点分别是 F1 , F2 .若 a b

| AF 1 |,| F 1F 2 |,| F 2 B |成等比数列,则此椭圆的离心率为
7. 设 F1 , F2 是椭圆 E :

x2 y 2 3a ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直线 x ? 上一点, 2 2 a b

△F2 PF1 是底角为 30 的等腰三角形,则 E 的离心率为
8.等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y 2 ? 16x 的准线交于 A, B 两 点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为


相关文章:
抛物线经典例题
抛物线经典例题_数学_高中教育_教育专区。抛物线习题精选精讲(1)抛物线——二次曲线的和谐线 椭圆与双曲线都有两种定义方法,可抛物线只有一种:到一个定点和一条定...
抛物线知识点归纳总结
?2 py ( p ? 0) y l 抛物线 l y O F x F O x O F x l O F x 定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,...
2014高考数学专题——抛物线
3.设抛物线的顶点在原点,焦点 F 在 y 轴上,且抛物线上的点 P(k,-2)到点 F 的距离为 4,则 k 的值为 ___. p 解:由题意可设抛物线的方程为 x2=...
高考复习中抛物线(几个常见结论及其应用)
高考复习中抛物线(几个常见结论及其应用)_数学_高中教育_教育专区。较为常用的五个性质 抛物线的几个常见结论抛物线中有一些常见、常用的结论,了解这些结论后在做...
2014年高考抛物线专题做题技巧与方法总结
2014年高考抛物线专题做题技巧与方法总结_高考_高中教育_教育专区。最具有权威的14年高考复习资料,答案很详细2014 年高考抛物线专题做题技巧与方法总结知识点梳理: 1....
高二数学抛物线知识精讲
填空题 6. 一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分,它的方程为 x 2 = 2 y (0 ≤ y ≤ 20) ,在杯内放一个小球,使球触及酒杯底部,则小球半径的范围为___...
抛物线教案
抛物线教案_初二数学_数学_初中教育_教育专区。§2.4.1 抛物线及其标准方程(新授课教案) 高三(I)数学 冯波 2007-11-19 ●教学目标 1.掌握抛物线的定义及其标准方...
抛物线的几个常见结论及其用
抛物线的几个常见结论及其用_数学_高中教育_教育专区。1/3 抛物线的几个常见结论及其应用 抛物线中有一些常见、常用的结论,了解这些结论后在做选择题、填空题时可...
抛物线知识点归纳总结与金典习题
直线与抛物线的位置关系 直线 ,抛物线 , ,消 y 得: (1)当 k=0 时,直线 l 与抛物线的对称轴平行,有一个交点; (2)当 k≠0 时, Δ>0,直线 l 与...
求抛物线解析式常用的三种方法
抛物线解析式常用的三种方法_数学_初中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 求抛物线解析式常用的三种方法_数学_初中教育_教育专区。...
更多相关标签:
抛物线y=ax2+bx+c | 抛物线方程 | 抛物线焦点 | 抛物线准线 | 抛物线公式 | 完美微笑公式 | 抛物线顶点坐标公式 | 抛物线歌词 |