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【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版)选修2-2练习:第3章 2 第2课时 最大值、最小值问题]


第三章

§2

第 2 课时

一、选择题 1.函数 f(x)=x(1-x2)在[0,1]上的最大值为( 2 3 A. 9 3 2 C. 9 [答案] A [解析] f(x)=x-x3,f′(x)=1-3x2,令 f′(x)=0 得 x= 得最大值为 f( 3 2 3 )= . 3 9 3 3 (x=- 舍去),计算比较 3 3 2 2 B. 9 3 D. 8 )

2.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比,已知在速度为每小时 10 km 时燃料费是每小时 6 元 ,而其他与速度无关的费用是每小时 96 元,则此轮船的速度为 ______km/h 航行时,能使行驶每公里的费用总和最小( A.20 C.40 [答案] A [解析] 设船速为每小时 x(x>0)公里,燃料费为 Q 元,则 Q=kx3, 由已知得:6=k· 103, 3 3 ∴k= ,即 Q= x3. 500 500 记行驶每公里的费用总和为 y 元,则 3 1 3 96 y=( x3+96)·= x2+ 500 x 500 x 3 96 3 96 y′= x- 2 ,令 y′=0,即 x- 2 =0, 250 x 250 x 解之得:x=20. 这就是说,该函数在定义域(0,+∞)内有唯一的极值点,该极值必有所求的最小值, 即当船速为每小时 20 公里时,航行每公里的总费用最小,最小值为 7.2 元. 1 3.已知函数 f(x)= x4-2x3+3m,x∈R,若 f(x)+9≥0 恒成立,则实数 m 的取值范围 2 是( ) 3 A.m≥ 2 3 B.m> 2 B.30 D.60 )

3 C.m≤ 2 [答案] A

3 D.m< 2

[解析] 由 f ′(x)=2x3-6x2=0 得,x=0 或 x=3, 经检验知 x=3 是函数的一个最小值点, 27 所以函数的最小值为 f(3)=3m- , 2 不等式 f(x)+9≥0 恒成立,即 f(x)≥-9 恒成立, 27 3 所以 3m- ≥-9,解得 m≥ . 2 2 二、填空题 4.下列结论中正确的有________. ①在区间[a,b]上,函数的极大值就是最大值; ②在区间[a,b]上,函数的极小值就是最小值; ③在区间[a,b]上,函数的最大值、最小值在 x=a 和 x=b 处取到; ④在区间[a,b]上,函数的极大(小)值有可能就是最大(小)值. [答案] ④ [解析] 由函数最值的定义知,①②③均不正确,④正确.故填④. 5 .函数 f(x) = ax4 - 4ax3 + b(a>0) 在 [1,4] 上的最大值为 3 ,最小值为- 6 ,则 a + b = ________. [答案] 10 3

[解析] f′(x)=4ax3-12ax2(a>0,x∈[1,4]). 由 f′(x)=0,得 x=0(舍),或 x=3,可得 x=3 时,f(x)取得最小值为 b-27a. 又 f(1)=b-3a,f(4)=b, ∴f(4)为最大值.

? ? ?a= , ?b=3, 由? 解得? 3 ?b-27a=-6, ? ?
三、解答题

1

?b=3,

10 ∴a+b= . 3

6.(2014· 福州市八县联考)永泰某景区为提高经济效益,现对某一景点进行改造升级, 从而扩大内需,提高旅游增加值,经过市场调查,旅游增加值 y 万元与投入 x(x≥10)万元之 101 x 间满足:y=f(x)=ax2+ x-bln ,a,b 为常数.当 x=10 万元时,y=19.2 万元;当 x= 50 10 30 万元时,y=50.5 万元.(参考数据:ln2=0.7,ln3=1.1,ln5=1.6). (1)求 f(x)的解析式; (2)求该景点改造升级后旅游利润 T(x)的最大值.(利润=旅游增加值-投入).

[解析] (1)由条件可得

?a×10 + 50 ×10-bln1=19.2, ? 101 ?a×30 + 50 ×30-bln3=50.5,
2 2

101

解得 a=-

1 ,b=1, 100

x2 101 x 则 f(x)=- + x-ln (x≥10). 100 50 10 x2 51 x (2)T(x)=f(x)-x=- + x-ln (x≥10), 100 50 10 -x 51 1 ?x-1??x-50? 则 T′(x)= + - =- , 50 50 x 50x 令 T′(x)=0,则 x=1(舍)或 x=50, 当 x∈(10,50)时,T′(x)>0,因此 T(x)在(10,50)上是增函数; 当 x∈(50,+∞)时,T′(x)<0,因此 T(x)在(50,+∞)上是减函数, ∴当 x=50 时,T(x)取最大值. 502 51 50 T(50)=- + ×50-ln =24.4(万元). 100 50 10 即该景点改造升级后旅游利润 T(x)的最大值为 24.4 万元.

一、选择题 1.设底面为正三角形的直棱柱的体积为 V,那么其表面积最小时,底面边长为( 3 A. V 3 C. 4V [答案] C 1 [解析] 设底面边长为 x,侧棱长为 l,则 V= x2· sin60° · l, 2 ∴l= 4V 3 4 3V 2 sin60° +3· x· l= x2+ . 2.∴S 表=2S 底+3S 侧=x · 2 x 3x 3 B . 2V 3 D.2 V )

4 3V ∴S 表′= 3x- 2 =0 x 3 3 3 ∴x3=4V,即 x= 4V,又当 x∈(0, 4V)时,S 表′<0;当 x∈( 4V,V)时,S 表′>0 3 ∴当 x= 4V时,表面积最小. 1 2.若函数 f(x)=- x3+x 在(a,10-a2)上有最大值,则实数 a 的取值范围为( 3 )

A.[-1,1) C.[-2,-1) [答案] B

B.[-2,1) D.(-2,+∞)

[解析] 由于 f′(x)=-x2+1 ,易知函数在(-∞,-1]上递减,在[-1,1]上递增,[1,
?-1≤a<1 ? + ∞) 上递减,故若函数在 (a,10 - a2) 上存在最大值的条件为 ? ? - 1≤a < 1 或 2 ? ?10-a >1

a<-1 ? ? ?10-a2>1?-2≤a<-1, ? ?f?1?≥f?a?

综上可知 a 的取值范围为[-2,1).

3.设直线 x=t 与函数 f(x)=x2,g(x)=lnx 的图像分别交于点 M,N,则当|MN|达到最小 时 t 的值为( A.1 C. 5 2 ) 1 B. 2 D. 2 2

[答案] D [解析] 本小题考查内容为导数的应用——求函数的最小值. 1 令 F(x)=f(x)-g(x)=x2-lnx,∴F′(x)=2x- . x 令 F′(x)=0,∴x= 2 2 ,∴F(x) 在 x= 处最小. 2 2 )

ln?kx? 1 4.已知不等式 ≤ 对任意的正实数 x 恒成立,则实数 k 的取值范围是( x e A.(0,1] C.[0,2] [答案] A B.(-∞,1] D.(0,2]

1-ln?kx? ln?kx? e [解析] 令 y= ,则 y′= ,可以验证当 y′=0 即 kx=e,x= 时,ymax x x2 k lne k = = , e e k 1 k 1 又 y≤ 对于 x>0 恒成立∴ ≤ ,得 k≤1 e e e 又 kx>0,x>0,∴k>0,∴0<k≤1. a 5. (2014· 江西文, 10)在同一直角坐标系中, 函数 y=ax2-x+ 与 y=a2x3-2ax2+x+a(a 2 ∈R)的图像不可能 的是( ... )

[答案] B [解析] 若 a=0 时,两函数分别为 y=-x 和 y=x,选项 D 此时合适, a 若 a≠0 时,设 f1(x)=ax2-x+ ,设 f2(x)=a2x3-2ax2+x+a 2 f2′(x)=3a2x2-4ax+1=(3ax-1)(ax-1), 1 4 1 ①若 a>0,易知 f2(x)的极大值为 f( )= +a,极小值为 f( )=a,而 f1(x)图象此时开 3a 27a a 1 1 a 口向上,对称轴为 x= >0 且 f1( )=f1(0)= ,f2(0)=a,A、C 均适合. 2a a 2 1 1 a 1 (2)若 a<0,f1(x)图象开口向下,对称轴为 x= <0 ,f( )=f1(0)= <0,而 f2( )>a<0,比 2a a 2 a a 1 1 较知 0> >a,也就是说当 x= 时函数 f2(x)图象为极大值而此时 f1(x)图象对应的点应该在( , 2 a a 1 f2( ))上方,而 B 选项中显然右下方,因而 B 不可能. a 二、填空题 6.设函数 f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意 x∈[-1,1],都有 f(x)≥0 成立,则实数 a 的值为__________________. [答案] 4 [解析] 本小题考查函数单调性的综合运用.若 x=0,则不论 a 取何值,f(x)≥0 显然成 立; 3 1 当 x>0 即 x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0 可化为 a≥ 2- 3, x x 3?1-2x? 3 1 设 g(x)= 2- 3,则 g′(x)= , x x x4 1 1 0, ?上单调递增,在区间? ,1?上单调递减, 所以 g(x)在区间? ? 2? ?2 ? 1? 因此 g(x) max=g? ?2?=4,从而 a≥4;

3 1 当 x<0 即 x∈[-1,0],f(x)=ax3-3x+1≥0 可化为 a≤ 2- 3, x x g(x)在区间[-1,0)上单调递增, 因此 g(x)min=g(-1)=4,从而 a≤4,综上 a=4. 7.已知函数 f(x)=loga ____________. [答案] 1<a≤4 2 [解析] 要使得当 x∈[1,4]时,f(x)≥2 恒成立,只需保证当 x∈[1,4]时,f(x)min≥2 即可, 因此问题转化为先求函数 f(x)=loga ?2x+4?2 在区间[1,4]上的最小值,再结合不等式求得 a 的 x ?2x+4?2 ,当 x∈[1,4]时,f(x)≥2 恒成立,则 a 的取值范围是 x

?2x+4?2 取值范围.考虑到 f(x)=loga 的导数不好求,可以先采用换元的办法,利用导数法求 x 出真数的最值,再考虑函数 f(x)的最小值,但要注意对底数 a 加以讨论. ?2x+4?2 16 令 h(x)= =4x+ +16,x∈[1,4]. x x 16 4?x-2??x+2? ∵h′(x)=4- 2 = ,x∈[1,4]. x x2 ∴当 1≤x<2 时,h′(x)<0,当 2<x≤4 时,h′(x)>0. ∴h(x)在[1,2]上是单调减函数,在[2,4]上是单调增函数, ∴h(x)min=h(2)=32,∴h(x)max=h(1)=h(4)=36. ∴当 0<a<1 时,有 f(x)min=loga36, 当 a>1 时,有 f(x)min=loga32. ∵当 x∈[1,4]时,f(x)≥2 恒成立, ∴f(x)min≥2. ∴满足条件的 a 的值满足下列不等式组:
? ? ?0<a<1, ?a>1, ? ①或? ?loga36≥2, ? ? ?loga32≥2,



不等式组①的解集为空集,解不等式组②得 1<a≤4 2. 综上所述,满足条件的 a 的取值范围是:1<a≤4 2. 三、解答题 8.(2014· 三峡名校联盟联考)时下,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为 学生们课外学习的一种趋势, 假设某网校的套题每日的销售量 y(单位: 千套)与销售价格 x(单 位:元/套)满足的关系式 y= m +4(x-6)2,其中 2<x<6,m 为常数.已知销售价格为 4 元/ x-2

套时,每日可售出套题 21 千套.

(1)求 m 的值; (2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题 2 元(只考虑销售出的套数),试 确定销售价格 x 的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留 1 位小数) [解析] (1)因为 x=4 时,y=21, m m 代入关系式 y= +4(x-6)2,得 +16=21, 2 x-2 解得 m=10. 10 (2)由(1)可知,套题每日的销售量 y= +4(x-6)2, x-2 所以每日销售套题所获得的利润 10 f(x)=(x-2)[ +4(x-6)2]=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240x-278(2<x<6), x-2 从而 f ′(x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2<x<6). 10 10 10 令 f ′(x)=0,得 x= ,且在(0, )上,f ′(x)>0,函数 f(x)单调递增;在( ,6)上, 3 3 3 f ′(x)<0,函数 f(x)单调递减, 10 所以 x= 是函数 f(x)在(2,6)内的极大值点,也是最大值点, 3 10 所以当 x= ≈3.3 时,函数 f(x)取得最大值. 3 故当销售价格为 3.3 元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大. ax 9.(2014· 全国大纲,22)函数 f(x)=ln(x+1)- (a>1).讨论 f(x)的单调性; x+a x[x-?a2-2a?] [解析] f(x)的定义域为(-1,+∞),f′(x)= . ?x+1??x+a?2 ①当 1<a<2 时,若 x∈(-1,a2-2a),则 f′(x)>0,f(x)在(-1,a2-2a)是增函数; 若 x∈(a2-2a,0),则 f′(x)<0,f(x)在(a2-2a,0)是减函数; 若 x∈(0,+∞),则 f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)是增函数. ②当 a=2 时,f′(x)≥0,f′(x)=0 成立当且仅当 x=0,f(x)在(-1,+∞)是增函数. ③当 a>2 时,若 x∈(-1,0),则 f′(x)>0,f(x)在(-1,0)是增函数; 若 x∈(0,a2-2a),则 f′(x)<0,f(x)在(0,a2-2a)是减函数; 若 x∈(a2-2a,+∞),则 f′(x)>0,f(x)在(a2-2a,+∞)是增函数. 10.设 f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x). (1)求 g(x)的单调区间和最小值; 1 (2)讨论 g(x)与 g( )的大小关系; x 1 (3)求 a 的取值范围,使得 g(a)-g(x)< 对任意 x>0 成立. a

[分析] (1)先求 f′(x),写出 g(x),对 g(x)求导,g′(x)>0 求得增区间,g′(x)<0 求得减 区间; 1 (2)作差构造函数 h(x)=g(x)-g( ),对 h(x)求导,判定其单调性,进一步求出最值,与 0 x 比较大小; (3)利用(1)的结论求解. 1 1 [解析] (1)f(x)=lnx,∴f′(x)= ,g(x)=lnx+ . x x x-1 ∴g′(x)= 2 ,令 g′(x)=0 得 x=1, x 当 x∈(0,1)时,g′(x)<0,∴(0,1)是 g(x)的单调减区间 当 x∈(1,+∞)时,g′(x)>0.∴(1,+∞)是 g(x)的单调增区间 因此当 x=1 时 g(x)取极小值,且 x=1 是唯一极值点,从而是最小值点. 所以 g(x)最小值为 g(1)=1. 1 (2)g( )=-lnx+x x ?x-1?2 1 1 令 h(x)=g(x)-g( )=2lnx-x+ ,h′(x)=- , x x x2 1 当 x=1 时,h(1)=0,即 g(x)=g( ), x 当 x∈(0,1)∪(1,+∞)时 h′(x)<0,h′(1)=0,所以 h(x)在(0,+∞)单调递减 1 当 x∈(0,1)时,h(x)>h(1)=0,即 g(x)>g( ) x 1 当 x∈(1,+∞)时,h(x)<h(1)=0,即 g(x)<g( ) x 1 综上知,当 x∈(0,1)时,g(x)>g( ), x 1 当 x=1 时,g(x)=g( ) x 1 当 x∈(1,+∞)时,g(x)<g( ) x (3)由(1)可知 g(x)最小值为 1, 1 1 所以 g(a)-g(x)< 对任意 x>0 成立等价于 g(a)-1< ,即 lna<1,解得 0<a<e. a a 所以 a 的取值范围是(0,e) [点评] 本题考查了求导公式、导数应用、不等式恒成立等知识以及分类计论思想、转 化与化归思想等.


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