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第6讲 等差数列


第 6 讲 数列教案
一、数列的概念

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(1)数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列; 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作 an ,在数列第一个位置的项叫第 1 项(或首项) ,在第二个位置的 叫第 2 项,??,序号为 n 的项叫第 n 项(也叫通项)记作 an ; 数列的一般形

式: a1 , a 2 , a3 ,??, an ,??,简记作 例:判断下列各组元素能否构成数列 (1)a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; (2)2010 年各省参加高考的考生人数。 (2)通项公式的定义:如果数列 {an } 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个 数列的通项公式。 例如:①:1 ,2 ,3 ,4, 5 ,? ②: 1, , , , ? 数列①的通项公式是 an = n ( n ? 7, n ? N ? ) , 数列②的通项公式是 an = 说明:

?an ? 。

1 1 1 1 2 3 4 5

1 ( n ? N? ) 。 n

① ?an ? 表示数列, an 表示数列中的第 n 项, an = f ? n ? 表示数列的通项公式; ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如, an = (?1) = ?
n

??1, n ? 2k ? 1 (k ? Z ) ; ??1, n ? 2k

③不是每个数列都有通项公式。例如,1,1.4,1.41,1.414,?? (3)数列的函数特征与图象表示: 序号:1 2 3 4 5 6 项 :4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看,数列实质 上是定义域为正整数集 N ? (或它的有限子集)的函数 f ( n) 当自变量 n 从 1 开始依次取值时对应的一系列函数值

f (1), f (2), f (3), ??, f (n) ,??.通常用 an 来代替 f ? n ? ,其图象是一群孤立点。
例:画出数列 a n ? 2n ? 1 的图像.

(4)数列分类:①按数列项数是有限还是无限分:有穷数列和无穷数列;②按数列项与项之间的大小关系分: 单调数列(递增数列、递减数列) 、常数列和摆动数列。 例:下列的数列,哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列? (1)1,2,3,4,5,6,? (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, ? (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, ? (4)a, a, a, a, a,?

(5)数列{ a n }的前 n 项和 S n 与通项 a n 的关系: an
2

(n ? 1) ?S1 ?? ?Sn ? Sn?1 (n ≥ 2)

例:已知数列 {an } 的前 n 项和 sn ? 2n ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式

1

练习: 1.根据数列前 4 项,写出它的通项公式: (1)1,3,5,7??;

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22 ? 1 32 ? 1 42 ? 1 5 2 ? 1 , , , ; 2 3 4 5 1 1 1 1 ( 3) ? , ,? , 。 1* 2 2 *3 3* 4 4 *5
( 2) (4)9,99,999,9999? (5)7,77,777,7777,? (6)8, 88, 888, 8888? 2.数列 ?an ? 中,已知 an ?

n2 ? n ? 1 (n ? N ? ) 3

(1)写出 a1, , a2 , a3 , an ?1 , an2 ; (2) 79

2 是否是数列中的项?若是,是第几项? 3

3. (2003 京春理 14,文 15)在某报《自测健康状况》的报道中,自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表 中数据的特点,用适当的数填入表中空白(_____)内。

4、由前几项猜想通项: 根据下面的图形及相应的点数,在空格及括号中分别填上适当的图形和数,写出点数的通项公式.

(1)

(4)

(7)







) ) ,其通项公式

5. 观 察 下 列 各 图 , 并 阅 读 下 面 的 文 字 , 像 这 样 , 10 条 直 线 相 交 , 交 点 的 个 数 最 多 是 ( 为 A.40 个 . B.45 个 C.50 个 D.55 个

2 条直线相 交,最多有 1 个交点

3 条直线相 交,最多有 3 个交点
2

4 条直线相 交,最多有 6 个交点

二、等差数列

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题型一、等差数列定义:一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数 列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示。用递推公式表示为 an ? an?1 ? d (n ? 2) 或

an?1 ? an ? d (n ? 1) 。 例:等差数列 a n ? 2n ? 1 , an ? an?1 ? 题型二、等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d ; 说明:等差数列(通常可称为 A P 数列)的单调性: d ? 0 为递增数列, d ? 0 为常数列, d ? 0 为递减数列。 例:1.已知等差数列 ?an ? 中, a7 ? a9 ? 16 ) ,a4 ? 1 ,则a12 等于(
A.15 B.30 C.31 D.64 2. {an } 是首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 3 的等差数列,如果 an ? 2005 ,则序号 n 等于 (A)667 (B)668 (C)669 (D)670

3.等差数列 an ? 2n ? 1, bn ? ?2n ? 1 ,则 an 为 数列” ) 题型三、等差中项的概念:

bn 为
a?b 2

(填“递增数列”或“递减

定义:如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。其中 A ?

a , A , b 成等差数列 ? A ?
A. 120

例:1. (06 全国 I)设 ?an ? 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2 a3 ? 80 ,则 a11 ? a12 ? a 13 ? ( B. 105 C. 90 D. 75 ) 2.设数列 {an } 是单调递增的等差数列,前三项的和为 12,前三项的积为 48,则它的首项是( A.1 B.2 C.4 D.8

a?b 2

即: 2an?1 ? an ? an?2

( 2an ? an?m ? an?m ) )

(1)在等差数列 ?an ? 中,从第 2 项起,每一项是它相邻二项的等差中项; (2)在等差数列 ?an ? 中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列; (3)在等差数列 ?an ? 中,对任意 m , n ? N ? , an ? am ? (n ? m)d , d ?

题型四、等差数列的性质:

an ? am (m ? n) ; n?m

(4)在等差数列 ?an ? 中,若 m , n , p , q ? N ? 且 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq ; 题型五、等差数列的前 n 和的求和公式: S n ? ( S n ? An ? Bn
2

n(a1 ? an ) d d n(n ? 1) (a1 ? )n 。 ? na1 ? d ? n2 ? 2 2 2 2

( A, B为常数) ? ?an ? 是等差数列 )
(a1 ? a n )n (a m ? a n?( m?1) )n ? 2 2

递推公式: S n ?

例:1.如果等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? ... ? a7 ? (A)14 (B)21 (C)28
3

(D)35

2.(2009 湖南卷文)设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a2 ? 3 , a6 ? 11 ,则 S7 等于( A.13 B.35 C.49 D. 63

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)

3.(2009 全国卷Ⅰ理) 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S9 ? 72 ,则 a2 ? a4 ? a9 = 4.(2010 重庆文) (2)在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a9 ? 10 ,则 a5 的值为( (A)5 (B)6 (C)8 (D)10 ) )

5.若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个数列有( A.13 项 B.12 项 C.11 项 D.10 项 6.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S12 ? 21 ,则a2 ? a5 ? a8 ? a11 ? 7.(2009 全国卷Ⅱ理)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a5 ? 5a3 则 8. (全国)已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+?+b10=100. (Ⅰ)求数列{bn}的通项 bn; 9.已知 ?an ? 数列是等差数列, a10 ? 10 ,其前 10 项的和 S10 ? 70 ,则其公差 d 等于(

S9 ? S5

)

A. ?

2 3

B. ?

1 3

C.

1 3

D.

2 3

10.(2009 陕西卷文)设等差数列

?an ? 的前 n 项和为 sn ,若 a6 ? s3 ? 12 ,则 an ?
Sn }的前 n n

11. (00 全国)设{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75,Tn 为数列{ 项和,求 Tn。

,a20 ? 50 12.等差数列 ?an ? 的前 n 项和记为 S n ,已知 a10 ? 30
①求通项 an ;②若 S n =242,求 n

13. 在等差数列 {an } 中, ( 1 )已知 S8 ? 48, S12 ? 168, 求a1和d ; ( 2 )已知 a6 ? 10, S5 ? 5,求a8和 S8 ; (3) 已知

a3 ? a15 ? 40,求S17

4

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题型六.对于一个等差数列:

S奇 a ? n ; S偶 an ?1 S n (2)若项数为奇数,设共有 2 n ? 1 项,则① S 奇 ? S 偶 ? an ? a中 ;② 奇 ? 。 S偶 n ? 1
(1)若项数为偶数,设共有 2 n 项,则① S 偶 ? S 奇 ? nd ; ② 题型七.对与一个等差数列, S n , S 2n ? S n , S 3n ? S 2n 仍成等差数列。 例:1.等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为( A.130 B.170 C.210 D.260 2.一个等差数列前 n 项的和为 48,前 2 n 项的和为 60,则前 3 n 项的和为 3.已知等差数列 ?an ? 的前 10 项和为 100,前 100 项和为 10,则前 110 项和为 4.设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S 4 ? 14 ,S10 ? S 7 ? 30,则S9 = 5. (06 全国 II)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 ) 。

S3 1 S = ,则 6 = S6 3 S12
D.

A.

3 10

B.

1 3

C.

1 8

1 9

题型八.判断或证明一个数列是等差数列的方法: ①定义法:

an?1 ? an ? d (常数)(n ? N ?) ? ?an ? 是等差数列
②中项法:

2an?1 ? an ? an?2
③通项公式法:

(n ? N ? ) ? ?an ? 是等差数列

an ? kn ? b

(k , b为常数) ? ?an ? 是等差数列

④前 n 项和公式法:

S n ? An2 ? Bn

( A, B为常数) ? ?an ? 是等差数列

例:1.已知数列 {an } 满足 an ? an?1 ? 2 ,则数列 {an } 为 ( A.等差数列 B.等比数列

) D.无法判断

C.既不是等差数列也不是等比数列 )

2.已知数列 {an } 的通项为 an ? 2n ? 5 ,则数列 {an } 为 ( A.等差数列 A.等差数列 B.等比数列 B.等比数列
2

C.既不是等差数列也不是等比数列 ) C.既不是等差数列也不是等比数列
5

D.无法判断 D.无法判断

3.已知一个数列 {an } 的前 n 项和 sn ? 2n ? 4 ,则数列 {an } 为(

4.已知一个数列 {an } 的前 n 项和 sn ? 2n 2 ,则数列 {an } 为(



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D.无法判断 ) D.无法判断
?

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 5.已知一个数列 {an } 满足 an?2 ? 2an?1 ? an ? 0 ,则数列 {an } 为( A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列

6.数列 ?an ? 满足 a 1 =8, a4 ? 2,且an?2 ? 2an?1 ? an ? 0 ( n ? N ) ①求数列 ?an ? 的通项公式;

7. (01 天津理,2)设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 Sn=n ,则{an}是( ) A.等比数列,但不是等差数列 B.等差数列,但不是等比数列 C.等差数列,而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列

2

题型九.数列最值 (1) a1 ? 0 , d ? 0 时, Sn 有最大值; a1 ? 0 , d ? 0 时, Sn 有最小值; (2) Sn 最值的求法:①若已知 Sn , Sn 的最值可求二次函数 Sn ? an ? bn 的最值;
2

可用二次函数最值的求法( n ? N ? ) ;②或者求出 ?an ? 中的正、负分界项,即: 若已知 an ,则 Sn 最值时 n 的值( n ? N ? )可如下确定 ? 例:1.等差数列 ?an ? 中, a1 ? 0,S 9 ? S12 ,则前 2.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知

?an ? 0 ?an ? 0 或? 。 ?an ?1 ? 0 ?an ?1 ? 0
项的和最大。

a3 ? 12,S12 ? 0,S13 ? 0
①求出公差 d 的范围,

?,S12 中哪一个值最大,并说明理由。 ②指出 S1,S 2,

6

http://www.ms2004.com 3. (02 上海)设 {an} (n∈N ) 是等差数列, Sn 是其前 n 项的和,且 S5<S6,S6= S7>S8,则下列结论错误 的是 ( ..
*



A.d<0

B.a7=0

C.S9>S5

D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值
?

4.已知数列 ?an ? 的通项

n ? 98 n ? 99

(n? N ) ,则数列 ?an ? 的前 30 项中最大项和最小项分别是

5.已知 {an } 是等差数列,其中 a1 ? 31 ,公差 d ? ?8 。 (1)数列 {an } 从哪一项开始小于 0? (2)求数列 {an } 前 n 项和的最大值,并求出对应 n 的值.

6.已知 {an } 是各项不为零的等差数列,其中 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 ,若 S10 ? 0 ,求数列 {an } 前 n 项和的最大值. 7.在等差数列 {an } 中, a1 ? 25 , S17 ? S9 ,求 Sn 的最大值.

题型十.利用 an ? ?

(n ? 1) ?S1 求通项. S ? S ( n ? 2) n ?1 ? n

1.数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 1 . (1)试写出数列的前 5 项; (2)数列 {an } 是等差数列吗?(3)你能写出数列 {an } 的通项公式吗? 2.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? n ? 4n ? 1 则 ,
2

3.(2005 湖北卷)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn=2n ,求数列 {an } 的通项公式;
2

4.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3, 前 n 和 Sn ? ①求证:数列 ?an ? 是等差数列 ②求数列 ?an ? 的通项公式

1 (n ? 1)( a n ? 1) ? 1 2

5.(2010 安徽文)设数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n ,则 a8 的值为( )
2

(A) 15

(B)

16

(C)

49
7

(D)64


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