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1.3.1函数的单调性与最大(小)值 (共3课时)


1.3.1

函数的单调性与最大(小)值

第一课时

函数单调性的概念

问题提出

德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯,对人类 的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试,得 到了以下一些数据:
时间间隔 刚记 20分 60分 8-9 1天 2天 6天 一个 t 后 后

月后 忆完 钟后 钟后 小时 后 毕 后 记忆量y 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1 (百分比)

以上数据表明,记忆量y是时间 间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这 些数据描绘出了著名的“艾宾浩 斯遗忘曲线”,如图.

y
100 80

60 40
20

o

1

2

3

t

思考1:当时间间隔t逐渐增 y 大你能看出对应的函数值y 100 80 有什么变化趋势?通过这个 60 试验,你打算以后如何对待 40 20 刚学过的知识? o 思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线” 从左至右是逐渐下降的,对此, 我们如何用数学观点进行解释?

1

2

3

t

知识探究(一)

考察下列两个函数:

(1)

f ( x) ? x ; (2) f ( x) ? x ( x ? 0)
2

y

y

o

x o x

思考1:这两个函数的图象分别是什么?二者有何 共同特征? 思考2:如果一个函数的图象从左至右逐渐上升, 那么当自变量x从小到大依次取值时,函数值y的 变化情况如何?

思考3:如图为函数 f ( x) 在定义域 I内某个区间D上的图象,对于该 区间上任意两个自变量x1和x2, x1 f ( x1 ) f ( x2 ) 当 ? x2 时, 与 的大 小关系如何?

y

y ? f ( x)
f ( x2 )
f ( x1 )

o

x1

x2

x

思考4:我们把具有上述特点的函数称为增函数, 那么怎样定义“函数f ( x) 在区间D上是增函数”?
f (x)

对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 x1 , x2 的值,若当 x1 < x2 时,都有 f ( x1 ) < f ( x2 ) , 则称函数 f ( x) 在区间D上是增函数.

知识探究(二)

考察下列两个函数:

(1)

f ( x) ? ? x ; (2) f ( x) ? x ( x ? 0)
2

y

y

o

x

o

x

思考1:这两个函数的图象分别是什么?二者有何 共同特征?

思考2:我们把具有上述特点的 函数称为减函数,那么怎样定 义“函数 f ( x) 在区间D上是减 函数”?
f (x)

y

y ? f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
x2 x

o

x1

对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 x1 , x2 的值,若当 x1 < x2 时,都有 f ( x1 ) > f ( x2 ) , 则称函数 f ( x) 在区间D上是减函数.

f ( x1 ) ? f ( x2 )

思考3:对于函数定义域I内某个区间D上的任意两 个自变量 x1 , x2 的值,若当 x1 ? x2 时,都有
,则函数 f ( x)在区间D上是增函数还是

减函数?

思考4:如果函数y=f(x)在区间D上是增函 数或减函数,则称函数 f ( x)在这一区间具有 (严格的)单调性,区间D叫做函数 f ( x) 的 单调区间.那么二次函数在R上具有单调性吗? 2 函数 f ( x) ? ( x ?1) 的单调区间如何?

理论迁移

例1 如图是定义在闭区间 [-5,6]上的函数y ? f ( x) 的图象,根据图象说出 y ? f ( x)的单调区间,以 及在每一单调区间上, 函数 y ? f ( x)是增函数还 是减函数.

y

-3 -5 o 1 3 6

x

k 例2 物理学中的玻意耳定律 P ? (k为正常数) V

告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V 减小时,压强p将增大. 试用函数的单调性 证明.

上的单调性.

x ?1 例3 试确定函数 f ( x ) ? 在区间 (0, ??) x

小结

利用定义确定或证明函数f(x)在给定的 区间D上的单调性的一般步骤:
1.设元:任取x1,x2∈D,且x1<x2; 2.作差:f(x1)-f(x2); 3.变形:通常是因式分解和配方; 4.定号:判断差f(x1)-f(x2)的正负; 5.小结:指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性.

作业:
P32 练习:1,2,3,4.

1.3.1

函数的单调性与最大(小)值

第二课时

函数单调性的性质

问题提出

1. 函数在区间D上是增函数、减函数的定义是什 么? 2. 增函数、减函数的图象分别有何特征? 3. 增函数、减函数有那些基本性质?

知识探究(一)

对于函数 f ( x)定义域内某个区间D上的任意两 个自变量的值 x1 , x2 ,若当 x1 ? x2 时,都有 (1)f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则称函数 f ( x) 在区间D上是 增函数; (2)f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则称函数 f ( x) 在区间D上是 减函数.
f (x)

思考1:对于函数 f ( x)定义域内某个区间D上的任意 两个自变量的值 x1 , x2 ( x1 ? x2 ),若 f ( x ) ? f ( x ) ? 0 ,
1 2

则函数 若

f ( x )在区间D上的单调性如何?

x1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 呢? x1 ? x2

f ( x) a?0 思考2:若函数 在区间D上为增函数, a ? f ( x) af ( x) 为常数,则函数 、 的单调性如何?

思考3:若函数 f ( x)、g ( x) 在区间D上都是增函数, 则函数 f ( x) ? g ( x) 、f ( x) ? g ( x) 在区间D上的单调性 能否确定? 思考4:若函数 f ( x)在区间D上是增函数,则函数 在区间D上是增函数吗?函数 1 在区间D f ( x) f ( x) 上是减函数?

知识探究(二)

如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则 称函数 f ( x)在这一区间具有(严格的)单调性,区 间D叫做函数 f ( x)的单调区间,此时也说函数 f ( x) 在这一区间上是单调函数. 思考1:函数 f ( x) ? kx ? b 是单调函数吗? 思考2:函数 f ( x) ?| x | 在R上具有单调性吗? 其单调区间如何? 思考3:一个函数在其定义域内,就单调性而言 有哪几种可能情形?

思考4:若函数 f (x)在区间D上具有单调性, A ? D ? B ,那么 f (x)分别在区间A、B上具有单 调性吗? 思考5:下列图象表示的函数是增函数吗?
y
y

o 图1

x

o 图2

x

思考6:一般地,若函数 f (x) 在区间A、B上是 单调函数,那么 f (x) 在区间 A ? B上是单调函 数吗?

理论迁移

f ( x ? 2) ? 1的解集.

2x ?1 例 已知函数 f ( x) ? ,求不等式 x

作业: P39 习题1.3A组:1,2,4.

1.3.1

函数的单调性与最大(小)值

第三课时

函数的最值

问题提出

1.确定函数的单调性有哪些手段和方法?

f ( x)

2.函数图象上升与下降反映了函数的单调性, 如果函数的图象存在最高点或最低点,它又 反映了函数的什么性质?

知识探究(一)

观察下列两个函数的图象:
y
M
M

y

x

o

x0
图1

o
图2

x0

x

思考1:这两个函数图象有何共同特征?

函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称?
思考2:设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M, 则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小 关系如何?

思考3:设函数 f ( x) ? 1 ? x ,则 f ( x) ? 2 成立吗? f ( x) 的最大值是2吗?为什么?
2

思考4:怎样定义函数 f ( x) 的最大值?用什么符号 表示?
一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为I,如果存在 实数M满足: (1)对于任意的 x ? I , 都有 f ( x) ? M; (2)存在 x0 ? I,使得 f ( x0 ) ? M. 那么称M是函数 y ? f ( x) 的最大值,记作
f ( x)max ? M

思考5:函数的最大值是函数值域中的一个元 素吗?如果函数 f ( x) 的值域是(a,b),则函 数 f ( x) 存在最大值吗?

思考6:函数 y ? ?2 x ? 1, x ? (?1, ??) 有最大 值吗?为什么?

知识探究(二)

观察下列两个函数的图象:
y y

m

m

o

x0
图1

x

x0

o
图2

x

思考1:这两个函数图象各有一个最低点,函数图 象上最低点的纵坐标叫什么名称? 思考2:仿照函数最大值的定义,怎样定义函数 f ( x) 的最小值?

一般地,设函数 y ? f ( x)的定义域为I, 如果存在实数m满足: (1)对于任意的 x ? I , 都有 f ( x) ? m; (2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? m . 那么称m是函数 y ? f ( x)的最小值,记作

f ( x)min ? m

知识探究(三)

思考1:如果在函数 f ( x)定义域内存在x1和 x2, 使对定义域内任意x都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成立,由此你能得到什么结论? 思考2:对一个函数就最大值和最小值的存在性而 言,有哪几种可能情况?

思考3:如果函数 f ( x)存在最大值,那么有几个?
思考4:如果函数 f ( x) 的最大值是b,最小值是a, 那么函数 f ( x) 的值域是[a,b]吗?

理论迁移 1、利用函数单调性的求函数的最大(小)值

2 , x ? ? 2,6? ,求函数 f ( x) 例1已知函数 f ? x ? ? x ?1

的最大值和最小值.
单调法求函数最值:先判断函数的单调性,再利用其 单调性求最值;常用到以下一些结论: ①如果函数y=f(X)在区间(a,b]上单调递增,在区间 [b,c)上单调递减,则函数y=f(X)在x=b处有最大值f(b).

②如果函数y=f(X)在区间(a,b]上单调递减,在区间 [b,c)上单调递增,则函数y=f(X)在x=b处有最小值f(b).
③如果函数y=f(X)在区间[a,b]上单调递增,则函数函数 y=f(X)在x=b处有最大值f(b).在x=a处有最小值f(a).

2、利用二次函数的性质(配方法)求函数的最 大(小)值 例 2 “菊花”烟花是最壮观 的烟 花之一。制造时一般是期望在它 达到最高点时爆裂,

如果烟花 距地面的
高度h m与时间t s之间的关系为

h(t)=-4.9t2+14.7t+18 ,那么烟花冲出后什么时候是
它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少? (精确到1m)

解:作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18 的图象,如图,显然, 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是烟 花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距地面的高度。
h 30 25 20 15 10 5 0

1

2

3

4

t

由二次函数的知识,对于函数h(t)=-4.9t2 +14.7t+18 , 4 ? (?4.9) ?18 ? 14.7 我们有:当 h? ? 29时,函数有最大值
2

4 ? (?4.9)

14.7 t?? ? 1.5 2 ? (?4.9)
于是,烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的 高度约为29m

3、利用图象求函数的最大(小)值
-2x+1 x≤-1

例3、求函数f(x)= 3
2x-1

-1<x<2 的最值
x≥2

例4
(1)设 b ? 1 为常数,如果当 x ? [1, b] 时,函
1 2 3 数 f ( x) ? x ? x ? 的值域也是[1,b],求 b 2 2

的值.
(2)二次函数
yx2x?? 2x ? 33 ?2 2 2 x ? y?

在区间 ?0, m? 上的

值域为 ? 2, 3? ,求

m 的范围.

课堂小结:
(1)函数的最大(小)值的概念 (2)求函数的最大(小)值一般方法
①对于熟悉的 一次函数、二次函数、反比例函数等 函数可以先画出其图象,根据函数的性质来求最大 (小)值 ②对于不熟悉的函数或者比较复杂的函数可以先画 出其图象,观察出其单调性,再用定义证明,然后利 用单调性求出函数的最值

作业

P39 习题1.3A组:5 B组:1,2.


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