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立体几何的解题技巧


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授课老师; 沈源

立体几何大题的解题技巧 ——综合提升
【命题分析】高考中立体几何命题特点: 1.线面位置关系突出平行和垂直,将侧重于垂直关系. 2.空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现. 3.多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题,填空题出现. 4.有关三棱柱、

四棱柱、三棱锥的问题,特别是与球有关的问题将是高考命题的热点. 此类题目分值一般在 17---22 分之间,题型一般为 1 个选择题,1 个填空题,1 个解答题. 【考点分析】掌握两条直线所成的角和距离的概念,对于异面直线的距离,只要求会计算已 给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离 的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念.

【高考考查的重难点*状元总结】空间距离和角:

“六个距离” :
1 两点间距离

d ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? ( z1 ? z 2 ) 2

2 点 P 到线 l 的距离 d ?

PQ * u u
(Q 是直线 l 上任意一点,u 为过点 P 的直线 l 法向量)

3 两异面直线的距离 d ?

PQ * u u
PQ * u u
(Q 是平面上任意一点,u 为平面法向量) (P、Q 分别是两直线上任意两点 u 为两直线公共法向量)

4 点 P 到平面的距离 d ?

5 直线与平面的距离【同上】 6 平行平面间的距离【同上】

“三个角度” :
1 异面直线角【0,

v1v2 ? 】cos ? = 2 v1 v2

【辨】直线倾斜角范围【0, ? )

2 线面角

【0,

vn ? 】sin ? = cos v, n ? 或者解三角形 2 vn

3 二面角

【0, ? 】cos ? ? ?

n1n2 n1 n2

或者找垂直线,解三角形

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不论是求空间距离还是空间角,都要按照“一作,二证,三算”的步骤来完成,即 寓证明于运算之中,正是本专题的一大特色. 求解空间距离和角的方法有两种:一是利用传统的几何方法,二是利用空间向量。 其中,利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定,是解决立体几何问题这套 强有力的工具时,使得高考题具有很强的套路性。 【例题解析】 考点 1 点到平面的距离 求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度,其关键在于确定点在平面内的垂 足,当然别忘了转化法与等体积法的应用. 典型例题 例 1(福建卷)如图,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都为 2 , D 为 CC1 中点. (Ⅰ)求证: AB1 ⊥平面 A1BD ; (Ⅱ)求二面角 A ? A1D ? B 的大小; (Ⅲ)求点 C 到平面 A1BD 的距离. 考查目的:本小题主要考查直线与平面的位置关系,二面角的 B 大小,点到平面的距离等知识,考查空间想象能力、逻辑思维 能力和运算能力. A 解:解法一: (Ⅰ)取 BC 中点 O ,连结 AO . ?△ ABC 为正三角形,? AO ⊥ BC . C D A

A1

C1 B1 A1

? 正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,平面 ABC ⊥ 平面 BCC1B1 ,
? AO ⊥ 平面 BCC1B1 .

F C O B D

C1 B1

连结 B1O ,在正方形 BB1C1C 中, O,D 分别为
BC,CC1 的中点, ? B1O ⊥ BD , ? AB1 ⊥ BD .

在正方形 ABB1 A1 中, AB1 ⊥ A1B , ? AB1 ⊥平面 A1BD . (Ⅱ) 设 AB1 与 A1 B 交于点 G , 在平面 A1BD 中, 作 GF ⊥ A1D 于 F , 连结 AF , 由 (Ⅰ) 得 AB1 ⊥ 平面 A1BD .
? AF ⊥ A1D , ?∠AFG 为二面角 A ? A1D ? B 的平面角.

在 △AA1D 中,由等面积法可求得 AF ? 4 5 ,
5
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又? AG ? 1 AB1 ? 2 , ? sin ∠AFG ? AG ? 2 ? 10 . 2 AF 4 5 4 5 所以二面角 A ? A1D ? B 的大小为 arcsin 10 .
4

(Ⅲ) △A1BD 中, BD ? A1D ? 5,A1B ? 2 2, ? S△ A1BD ? 6 , S△BCD ? 1 . 在正三棱柱中, A1 到平面 BCC1B1 的距离为 3 . 设点 C 到平面 A1BD 的距离为 d . 由 VA ?BCD ? VC ? A BD ,得 1 S△ BCD ? 3 ? 1 S△ A BD ?d ,
1 1

3

3

1

?d ?

3S△BCD 2. ? S△ A1BD 2

? 点 C 到平面 A1BD 的距离为 2 .
2

解法二: (Ⅰ)取 BC 中点 O ,连结 AO . ?△ ABC 为正三角形,? AO ⊥ BC .

? 在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,平面 ABC ⊥ 平面 BCC1B1 ,
? AD ⊥ 平面 BCC1B1 .

??? ? ???? ? ? ??? 取 B1C1 中点 O1 ,以 O 为原点, OB , OO1 , OA 的方向为 x,y,z 轴的正方向建立空间直角坐

标系,则 B(1, 0, 0) , D(?11 , , 0) , A1 (0, 0,3) , B1 (1, 2, 0) , 2,3) , A(0,
???? ???? ??? ? 1, 0) , BA1 ? (?1 ? AB1 ? (1 , 2, ? 3) , BD ? (?2, , 2,3) .
???? ??? ? ???? ???? ? AB1 ?BD ? ?2 ? 2 ? 0 ? 0 , AB1 ?BA1 ? ?1? 4 ? 3 ? 0 ,

z A F C O B x D

A1

???? ??? ? ???? ???? ? AB1 ⊥ BD , AB1 ⊥ BA1 .
? AB1 ⊥平面 A1BD .

C1
y

B1

(Ⅱ)设平面 A1 AD 的法向量为 n ? ( x,y,z ) .
???? ???? ???? ???? AD ? (?11 , , ? 3) , AA1 ? (0, 2, 0) . ? n ⊥ AD , n ⊥ AA1 ,
???? ? ?? x ? y ? 3z ? 0, ? ? y ? 0, ?n?AD ? 0, ? ?? ?? ? ? ???? ? ?2 y ? 0, ? x ? ? 3 z. ? ?n?AA1 ? 0, ?

令 z ? 1得 n ? (? 3, 0, 1) 为平面 A1 AD 的一个法向量.
3

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由(Ⅰ)知 AB1 ⊥平面 A1BD ,
???? ? AB1 为平面 A1BD 的法向量.
???? ???? ? 3? 3 6. 1 cos ? n , AB ?? n?AB ? ?? ???? 1 4 2?2 2 n ? AB1

? 二面角 A ? A1D ? B 的大小为 arccos 6 .
4
???? (Ⅲ)由(Ⅱ) , AB1 为平面 A1BD 法向量,

??? ? ???? ? BC ? (?2, 0,, 0) AB1 ? (1 , 2, ? 3) .
??? ? ???? BC ?AB1 ? 点 C 到平面 A1BD 的距离 d ? ???? ? ?2 ? 2 . 2 2 2 AB1

小结:本例中(Ⅲ)采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法, 把不易直接求的 B 点到平面 AMB1 的距离转化为容易求的点 K 到平面 AMB1 的距离的计算 方法,这是数学解题中常用的方法;解法一采用了等体积法,这种方法可以避免复杂的几何 作图,显得更简单些,因此可优先考虑使用这一种方法. 考点 2 异面直线的距离 考查异目主面直线的距离的概念及其求法 考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离. 例 2 已知三棱锥 S ? ABC ,底面是边长为 4 2 的正三角形,棱 SC 的长为 2,且垂直于底 面. E、D 分别为 BC 、AB 的中点,求 CD 与 SE 间的距离. 思路启迪:由于异面直线 CD 与 SE 的公垂线不易寻找,所以设法 将所求异面直线的距离,转化成求直线与平面的距离,再进一步 转化成求点到平面的距离. 解: 如图所示,取 BD 的中点 F,连结 EF,SF,CF,

? EF 为 ?BCD 的中位线,? EF ∥ CD,? CD ∥面 SEF ,
? CD 到平面 SEF 的距离即为两异面直线间的距离. 又? 线面之间的距离可转化为线 CD 上一点 C 到平面 SEF
的距离,设其为 h,由题意知, BC ? 4 2 ,D、E、F 分别是 AB、BC、BD 的中点,

? CD ? 2 6 , EF ?

1 CD ? 6 , DF ? 2 , SC ? 2 2

1 1 1 1 2 3 ?VS ?CEF ? ? ? EF ? DF ? SC ? ? ? 6 ? 2 ? 2 ? 3 2 3 2 3
4

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在 Rt ?SCE 中, SE ? 在 Rt ?SCF 中, SF ?

SC2 ? CE 2 ? 2 3 SC2 ? CF 2 ? 4 ? 24 ? 2 ? 30

又? EF ? 6, ? S ?SEF ? 3 由于 VC ? SEF ? VS ?CEF ?

1 1 2 3 2 3 ? S ?SEF ? h ,即 ? 3 ? h ? ,解得 h ? 3 3 3 3

故 CD 与 SE 间的距离为

2 3 . 3

小结:通过本例我们可以看到求空间距离的过程,就是一个不断转化的过程. 考点 3 直线到平面的距离 偶尔会再加上平行平面间的距离,主要考查点面、线面、面面距离间的转化. 例 3. 如图,在棱长为 2 的正方体 AC1 中,G 是 AA1 的中点,求 BD 到平面 GB1 D1 的距离. 思路启迪:把线面距离转化为点面距离,再用点到平面距离 的方法求解. 解: 解法一 ? BD ∥平面 GB1 D1 ,

D1 A1
H G D A

O1

C1 B1

? BD上任意一点到平面 GB1 D1 的距离皆为所求,以下求
点 O 平面 GB1 D1 的距离,

C O B

? B1 D1 ? A1C1 , B1 D1 ? A1 A ,? B1 D1 ? 平面 A1 ACC1 ,
又? B1 D1 ? 平面 GB1 D1

? 平面 A1 ACC1 ? GB1 D1 ,两个平面的交线是 O1G ,
作 OH ? O1G 于 H,则有 OH ? 平面 GB1 D1 ,即 OH 是 O 点到平面 GB1 D1 的距离. 在 ?O1OG 中, S ?O1OG ? 又 S ?O1OG ?

1 1 ? O1O ? AO ? ? 2 ? 2 ? 2 . 2 2

1 1 2 6 . ? OH ? O1G ? ? 3 ? OH ? 2 ,? OH ? 2 2 3
2 6 . 3

即 BD 到平面 GB1 D1 的距离等于 解法二 ? BD ∥平面 GB1 D1 ,

5

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? BD上任意一点到平面 GB1 D1 的距离皆为所求,以下求点 B 平面 GB1 D1 的距离.
设点 B 到平面 GB1 D1 的距离为 h,将它视为三棱锥 B ? GB1 D1 的高,则

VB ?GB1D1 ? VD1 ?GBB1 ,由于 S ?GB1D1 ? V D1 ?GBB1 ?

1 ? 2 2 ? 3 ? 6, 2

1 1 4 4 2 6 ? ? 2? 2? 2 ? , ?h ? ? , 3 2 3 3 6

即 BD 到平面 GB1 D1 的距离等于

2 6 . 3

小结:当直线与平面平行时,直线上的每一点到平面的距离都相等,都是线面距离.所以求 线面距离关键是选准恰当的点,转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离; 解析二是等体积法求出点面距离. 考点 4 异面直线所成的角【重难点】 此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角,然后通过解三角形来求角. 典型例题 例4 如图,在 Rt△ AOB 中, ?OAB ? π ,斜边 AB ? 4 . Rt△ AOC 可以通过
6

A

Rt△ AOB 以直线 AO 为轴旋转得到,且二面角 B ? AO ? C 的直二面

D

角. D 是 AB 的中点. (I)求证:平面 COD ? 平面 AOB ; (II)求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小. 思路启迪: (II)的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内. 解:解法 1: (I)由题意, CO ? AO , BO ? AO , ??BOC 是二面角 B ? AO ? C 是直二面角, ? CO ? BO ,又? AO ? BO ? O ,

O C

E

B

? CO ? 平面 AOB , 又 CO ? 平面 COD . ? 平面 COD ? 平面 AOB . (II)作 DE ? OB ,垂足为 E ,连结 CE (如图) ,则 DE ∥ AO , AO CD 与 所成的角. ??CDE 是异面直线
在 Rt△COE 中, CO ? BO ? 2 , OE ? 1 BO ? 1 ,
2

z

A D

?CE ? CO2 ? OE 2 ? 5 .

又 DE ? 1 AO ? 3 .
2

? 在 Rt△CDE 中, tan CDE ? CE ? 5 ? 15 .
DE 3 3

? 异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为 arctan 15 . 3
6

x

O
C

B y

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解法 2: (I)同解法 1. (II)建立空间直角坐标系 O ? xyz ,如图,则 O(0, 0, 0) , A(0, 0, 0) , D(0, 0, 2 3) , C (2, 1 ,3) ,
??? ? ??? ? 1 ,3) , ?OA ? (0, 0, 2 3) , CD ? (?2,

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 6 6. OA? CD ? ? cos ? OA, CD ?? ??? ? ??? ? ? 4 OA ?CD 2 3 ?2 2

? 异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为 arccos 6 .
4

小结: 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形,作法有:①平移法:在异面直 线中的一条直线上选择“特殊点” ,作另一条直线的平行线,如解析一,或利用中位线,如 解析二;②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线间的 关系,如解析三.一般来说,平移法是最常用的,应作为求异面直线所成的角的首选方法.同
??. 时要特别注意异面直线所成的角的范围: ? ? 0,
? 2? ?

考点 5 直线和平面所成的角 此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算. 线面角在空间角中占有重要地位,是高考的常考内容. 典型例题 例 5(全国卷Ⅰ理) 四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,侧面 SBC ? 底面 ABCD .已知∠ABC ? 45? ,
S

AB ? 2 , BC ? 2 2 , SA ? SB ? 3 .

C D A

B

(Ⅰ)证明 SA ? BC ; (Ⅱ)求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大小. 考查目的:本小题主要考查直线与直线,直线与平面的位置关系, 二面角的大小,点到平面的距离等知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 解:解法一: (Ⅰ)作 SO ⊥ BC ,垂足为 O ,连结 AO ,由侧面 SBC ⊥ 底面 ABCD , 得 SO ⊥ 底面 ABCD . 因为 SA ? SB ,所以 AO ? BO ,
? 又 ∠ABC ? 45 ,故 △ AOB 为等腰直角三角形, AO ⊥ BO ,

由三垂线定理,得 SA ⊥ BC . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 SA ⊥ BC ,依题设 AD ∥ BC , 故 SA ⊥ AD ,由 AD ? BC ? 2 2 , SA ? 3 , AO ? 2 ,得

S

SO ? 1 , SD ? 11 .
C
1 ? △SAB 的面积 S1 ? 1 AB? SA2 ? ? . ? AB ? ? 2 2 ?2 ?
2

O
A

B

D

连结 DB ,得 △ DAB 的面积 S 2 ?

1 AB?AD sin135? ? 2 2
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设 D 到平面 SAB 的距离为 h ,由于 VD?SAB ? VS ? ABD ,得
1 1 h?S1 ? SO?S 2 ,解得 h ? 2 . 3 3

设 SD 与平面 SAB 所成角为 ? ,则 sin ? ? h ? 2 ? 22 . SD 11 11 所以,直线 SD 与平面 SBC 所成的我为 arcsin 22 .
11

解法二: (Ⅰ)作 SO ⊥ BC ,垂足为 O ,连结 AO ,由侧面 SBC ⊥ 底面 ABCD ,得 SO ⊥ 平面 ABCD . 因为 SA ? SB ,所以 AO ? BO .
? 又 ∠ABC ? 45 , △ AOB 为等腰直角三角形, AO ⊥ OB .

z
S

如图,以 O 为坐标原点, OA 为 x 轴正向,建立直角坐标系 O ? xyz ,

??? 0, 1) , SA ? ( 2, A( 2, 0, 0) , B(0,2, 0) , C (0, ? 2, 0) , S (0, 0, ?1) ,

G
C

??? ??? ? ??? ? CB ? 0 ,所以 SA ⊥ BC . CB ? (0, 2 2, 0) , SA?
2 2 ?, (Ⅱ)取 AB 中点 E , E ? , , 0? ? ? ? ? 2 2 ?
2 2 1?. 连结 SE ,取 SE 中点 G ,连结 OG , G ? , ,? ? ? ? ? 4 4 2?

O
A

D

E

B

y

x

? 2 2 1 ?, ? 2 2 ? , AB ? (? OG ? ? 1? ? ? 4 ,4 , ? SE ? ? ? 2 ,2 , ? 2 ? ? ? ?

2,2, 0) .

SE? OG ? 0 , AB? OG ? 0 , OG 与平面 SAB 内两条相交直线 SE , AB 垂直.
所以 OG ? 平面 SAB ,OG 与 DS 的夹角记为 ? ,SD 与平面 SAB 所成的角记为 ? , 则? 与

? 互余.
D( 2, 2 2, 0) , DS ? (? 2, 2 2, 1) .
cos ? ? OG ?DS OG ?DS ? 22 , sin ? ? 22 , 11 11

所以,直线 SD 与平面 SAB 所成的角为 arcsin 22 .
11

小结:求直线与平面所成的角时,应注意的问题是(1)先判断直线和平面的位置关系; ( 2) 当直线和平面斜交时,常用以下步骤:①构造——作出斜线与射影所成的角,②证明——论
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证作出的角为所求的角, ③计算——常用解三角形的方法求角, ④结论——点明直线和平面 所成的角的值. 考点 6 二面角【重点】 此类题主要是如何确定二面角的平面角, 并将二面角的平面角转化为线线角放到一个 合适的三角形中进行求解.二面角是高考的热点 典型例题 例 6. (湖南卷) 如图,已知直角, A ? PQ , B ? ? , C ? ? , CA ? CB , ?BAP ? 45 ,直线 CA 和平面
?

? 所成二面的角为 30? .
? C
P (I)证明 BC ⊥ PQ ; (II)求二面角 B ? AC ? P 的大小. 命题目的:本题主要考查直线与平面垂直、二面角等基本知识,考查空间想象能力、逻辑思 维能力和运算能力. 过程指引: (I)在平面 ? 内过点 C 作 CO ⊥ PQ 于点 O ,连结 OB . 因为 ? ⊥ ? , ? ? ? ? PQ ,所以 CO ⊥ ? , 又因为 CA ? CB ,所以 OA ? OB . 而 ?BAO ? 45 ,所以 ?ABO ? 45 , ?AOB ? 90 ,
? ? ?

A B

Q

?

? C
P B O

H A Q

从而 BO ⊥ PQ ,又 CO ⊥ PQ , 所以 PQ ⊥ 平面 OBC .因为 BC ? 平面 OBC ,故 PQ ⊥ BC . (II)解法一:由(I)知, BO ⊥ PQ ,又 ? ⊥ ? , ? ? ? ? PQ ,

?

BO ? ? ,所以 BO ⊥ ? .
过点 O 作 OH ⊥ AC 于点 H ,连结 BH ,由三垂线定理知, BH ⊥ AC . 故 ?BHO 是二面角 B ? AC ? P 的平面角. 由(I)知, CO ⊥ ? ,所以 ?CAO 是 CA 和平面 ? 所成的角,则 ?CAO ? 30 ,
?

? 不妨设 AC ? 2 ,则 AO ? 3 , OH ? AO sin 30 ?

3 . 2

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在 Rt△OAB 中, ?ABO ? ?BAO ? 45? ,所以 BO ? AO ? 3 , 于是在 Rt△ BOH 中, tan ?BHO ?

BO ? OH

3 ? 2. 3 2

故二面角 B ? AC ? P 的大小为 arctan 2 . 解法二:由(I)知, OC ⊥ OA , OC ⊥ OB , OA ⊥ OB ,故可以 O 为原点,分别以直线

OB,OA,OC 为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系(如图) .
因为 CO ⊥ a ,所以 ?CAO 是 CA 和平面 ? 所成的角,则 ?CAO ? 30? . 不妨设 AC ? 2 ,则 AO ? 3 , CO ? 1 . 在 Rt△OAB 中, ?ABO ? ?BAO ? 45? , 所以 BO ? AO ? 3 . 则相关各点的坐标分别是 P

? C z
A B O y Q

? x
??? ?

O(0, 0, 0) , B( 3, 0, 1) . 0, 0) , A(0,3, 0) , C (0,
所以 AB ? ( 3, ? 3, 0) , AC ? (0, ? 31) ,.

??? ?

?? ??? ? ?? ? ?n1 ?AB ? 0, ? ? 3 x ? 3 y ? 0, 设 n1 ? {x,y,z} 是平面 ABC 的一个法向量,由 ? ?? ???? 得? ? ?? 3 y ? z ? 0 ?n1 ?AC ? 0 ? ?? 取 x ? 1 ,得 n1 ? (11 , ,3) .
易知 n2 ? (1 , 0, 0) 是平面 ? 的一个法向量. 设二面角 B ? AC ? P 的平面角为 ? ,由图可知, ? ?? n1, n2 ? .

?? ?

?? ?? ?

???? ? n1 n2 1 5 ? ? 所以 cos ? ? ?? ?? . ? | n1 |? | n2 | 5 ?1 5
故二面角 B ? AC ? P 的大小为 arccos

5 . 5

小结:本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱,进而找出二面角的平 面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径:①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱, ②由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱, ③补形构造几何体发现棱; 解法二则是利用 平面向量计算的方法, 这也是解决无棱二面角的一种常用方法, 即当二面角的平面角不易作 出时,可由平面向量计算的方法求出二面角的大小. 【课后练习】如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA ? 底面 ABCD, ? DAB 为直角,AB‖CD,
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AD=CD=2AB, E、F 分别为 PC、CD 的中点. (Ⅰ)试证:CD ? 平面 BEF; (Ⅱ)设 PA=k·AB,且二面角 E-BD-C 的平面角大于 30 ? ,求 k 的取值范围. 过程指引:方法一关键是用恰当的方法找到所求的空间距离和角; 方法二关键是掌握利用空间向量求空间距离和角的一般方法.

【高考热点】空间几何体的表面积与体积
(一 )空间几何体的表面积 1 棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 S ? 2?rl ? 2?r 2 3 圆锥的表面积: S

? ? rl ? ? r 2
5 球的表面积 S

4 圆台的表面积

S ? ? rl ? ? r 2 ? ? Rl ? ? R2

? 4? R2

6 扇形的面积 S扇形 ?

n? R 2 1 ? lr (其中 l 表示弧长, r 表示半径) 360 2

注:圆锥的侧面展开图的弧长等于地面圆的周长 (二)空间几何体的体积 1 柱体的体积 3 台体的体积

V ? S底 ? h
1 V ? (S上 ? 3

2 锥体的体积 V ?

1 S ?h 3 底

S上 S下 ? S下 ) ? h

4 球体的体积 V

4 ? ? R3 3

【例题解析】 考点 8 简单多面体的有关概念及应用,主要考查多面体的概念、性质,主要以填空、选择 题为主,通常结合多面体的定义、性质进行判断. 典型例题 例 12 . 如图(1) ,将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚 线折起, 做成一个无盖的正六棱柱容器, 当这个正六棱柱容器的底面边长为 容积最大. [思路启迪]设四边形一边 AD,然后写出六棱柱体积,利用均值不等式,求出体积取最值时 AD 长度即可. 解答过程:如图(2)设 AD=a,易知∠ABC=60°,且∠ABD=30° ? AB= 3 a . BD=2a ? 正六棱柱体积为 V .
2 2 ? 1-2a) ? sin 60? ? 3a = ( 1-2a) ?a V= 6 ? (



1 2

9 2

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9 9 2 3 (1 ? 2a )(1 ? 2a ) 4a ≤ ( ? ) . 8 8 3 1 当且仅当 1-2a=4a ? a= 时,体积最大, 6 1 2 此时底面边长为 1-2a=1-2× = . 6 3 1 ∴ 答案为 . 6
= 考点 9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算 棱柱侧面积转化成求矩形或平行四边形面积,棱柱侧面积转化成求三角形的面积. 直棱柱体积 V 等于底面积与高的乘积. 棱锥体积 V 等于

1 Sh 其中 S 是底面积,h 是棱锥的高. 3

例 15. 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB= 2 a,BC=CA=AA1=a, A1 在底面△ABC 上的射影 O 在 AC 上 ① 求 AB 与侧面 AC1 所成角; ② 若 O 恰好是 AC 的中点,求此三棱柱的侧面积. [思路启迪] ①找出 AB 与侧面 AC1 所成角即是∠CAB; ②三棱锥侧面积转化成三个侧面面积之和, 侧面 BCC1B1 是正 方形,侧面 ACC1A1 和侧面 ABB1A1 是平行四边形,分别求其 面积即可. 解答过程:①点 A1 在底面 ABC 的射影在 AC 上, ∴ 平面 ACC1A1⊥平面 ABC. 在△ABC 中,由 BC=AC=a,AB= 2 a. ∴ ∠ACB=90°,∴ BC⊥AC. ∴ BC⊥平面 ACC1A1. 即 ∠CAB 为 AB 与侧面 AC1 所成的角在 Rt△ABC 中,∠CAB=45°. ∴ AB 与侧面 AC1 所成角是 45°. ② ∵ O 是 AC 中点,在 Rt△AA1O 中,AA1=a,AO= A D B O C B1 A1 C1

1 a. 2

∴ AO1=

3 a. 2 3 2 a . 2

∴ 侧面 ACC1A1 面积 S1= AC ? AO1= 又 BC⊥平面 ACC1A1 , ∴ BC⊥CC1.

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又 BB1=BC=a ,∴ 侧面 BCC1B1 是正方形,面积 S2=a2. 过 O 作 OD⊥AB 于 D ,∵ A1O⊥平面 ABC, ∴A1D⊥AB. 在 Rt△AOD 中,AO=

1 a ,∠CAD=45° 2

∴ OD=

2 a 4

2 在 Rt△A1OD 中,A1D= OD 2+A 1O =(

7 2 2 3 2 a. = a) +( a) 8 4 2

∴ 侧面 ABB1A1 面积 S3= AB ? A1 D= 2a ?

7 7 2 a= a . 2 8



三 棱 柱 侧 面 积

S = S1 + S2 + S3 = A

1 (2+ 3+ 7)a 2 . 2
例 16. 等边三角形 ABC 的边长为 4,M、N 分别为 AB、AC 的中点,沿 MN 将△AMN 折起,使得面 AMN 与面 MNCB 所成的二面角为 30°, 则四棱锥 A—MNCB 的体积为 ( ) B C、 M

K

N

3 A、 2
D、3

3 B、 2

L A

C

3

[思路启迪]先找出二面角平面角,即∠AKL ,再在△ AKL 中求出棱锥的高 h,再利用 V=

1 Sh 即可. 3
M K

N

C L B

解答过程:在平面图中,过 A 作 AL⊥BC,交 MN 于 K,交 BC 于 L. 则 AK⊥MN,KL⊥MN. ∴ ∠AKL=30°. 则四棱锥 A—MNCB 的高 h= AK ? sin 30? =

3 . 2

S MNCB =

2+4 ? KL = 3 ? 3 . 2

13

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∴ VA-MNCB = ? 3 3 ? ∴ 答案 A

1 3

3 3 = . 2 2

【专题综合训练】 一、选择题 1.如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 AB=1,D 在 BB1 上, 且 BD=1,若 AD 与侧面 AA1CC1 所成的角为 ? ,则 ? 的值为 ( A. )

? 3
arctan 10 4

B.

? 4
6 4


C1

A1

B1
D

C.

D. arcsin

2.直线 a 与平面 ? 成 ? 角,a 是平面 ? 的斜线,b 是平面 ? 内与 a 异面的任意直线,则 a 与 b 所成的角( A. 最小值 ? ,最大值 ? ? ? C. 最小值 ? ,无最大值

C A

B

B. 最小值 ? ,最大值

3.在一个 45 ? 的二面角的一平面内有一条直线与二面角的棱成 45 ? 角,则此直线与二面角 的另一平面所成的角为( A. ) B.

? 2 ? D. 无最小值,最大值 4

30 ?

45 ?

C.

60 ?

D. D1 A1 D

90 ?
C1 B1 C B

4.如图,直平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长均为 2,

?BAD ? 60? ,则对角线 A1C 与侧面 DCC1D1 所成
的角的正弦值为( )

14

A

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A.

1 2
2 2

B.

3 2 3 4
) D. 7 ) N D1 M D A B B1 C1

C.

D.

5.已知在 ?ABC 中,AB=9,AC=15, ?BAC ? 120 ? ,它所在平面外一点 P 到 ?ABC 三顶 点的距离都是 14,那么点 P 到平面 ?ABC 的距离为( A. 13 B. 11 C. 9

6.如图,在棱长为 3 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别 是棱 A1B1、A1D1 的中点,则点 B 到平面 AMN 的距离是( A.

9 2
6 5 5

B.

3

A1

C.

D. 2

A

7.将 ?QMN ? 60? ,边长 MN=a 的菱形 MNPQ 沿对角线 NQ 折成 60 ? 的二面角,则 MP 与 NQ 间的距离等于( A. ) D.

3 a 2

B.

3 a 4

C.

6 a 4

3 a 4

8.二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 120 ? ,在 ? 内, AB ? l 于 B,AB=2,在 ? 内,CD ? l 于 D, CD=3,BD=1, M 是棱 l 上的一个动点,则 AM+CM 的最小值为( ) A.

2 5

B.

2 2

C.

26

D.

2 6

9.空间四点 A、B、C、D 中,每两点所连线段的长都等于 a, 动点 P 在线段 AB 上, 动点 Q 在线段 CD 上,则 P 与 Q 的最短距离为( ) A.

1 a 2

B.

2 a 2

C.

3 a 2

D. a

10.在一个正四棱锥,它的底面边长与侧棱长均为 a ,现有一张正方形包装纸将其完全包 住(不能裁剪纸,但可以折叠) ,那么包装纸的最小边长应为( A. ( 2 ? 6 )a B. ) D.

2? 6 a 2

C.

(1 ? 3)a

1? 3 a 2

11.已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A1A=AB=2,若棱 AB 上存在点 P,使 D1 P ? PC ,则 棱 AD 的长的取值范围是 ( A. )

?0,1?


B.

?0, 2 ?
15

C.

?0,2?

D.

?1, 2 ?

12.将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使点 D 在平面 ABC 外,则 DB 与平面 ABC 所成的 角一定不等于(

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A.

30 ?

B.

45 ?

C.

60 ?
D1 A1 B1 E C1

D. 90 ? 二、填空题 1.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E 是 A1B1 的中点,则下列四个命题: ① E 到平面 ABC1D1 的距离是

② 直线 BC 与平面 ABC1D1 所成角等于 45 ? ; ③ 空间四边形 ABCD1 在正方体六个面内的射影围成 面积最小值为

1 ; 2

D A B

C

1 ; 2
10 10
D1 P A1 B1 C1

④ BE 与 CD1 所成的角为 arcsin

2.如图,在四棱柱 ABCD---A1B1C1D1 中,P 是 A1C1 上的动点,E 为 CD 上的动点,四边形 ABCD 满 足___________时,体积 VP ? AEB 恒为定值(写上 你认为正确的一个答案即可) 3.边长为 1 的等边三角形 ABC 中,沿 BC 边高线 AD 折起,使得折后二面角 B-AD-C 为 60°,则点 A 到 BC 的距离为_________,点 D 到平面 ABC 的距离 为__________. 4.在水平横梁上 A、B 两点处各挂长为 50cm 的细绳, AM、BN、AB 的长度为 60cm,在 MN 处挂长为 60cm 的木条,MN 平行于横梁,木条的中点为 O,若木条 绕过 O 的铅垂线旋转 60°,则木条比原来升高了 _________. 5.多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的.如图正 方体的一个顶点 A 在 ? 平面内.其余顶点在 ? 的同侧, 正方体上与顶点 A 相邻的三个顶点到 ? 的距离分别是 A D

E B

C

1、2 和 4. P 是正方体其余四个顶点中的一个,则 P 到平面 ? 的距离可能是: ①3;②4;③5;④6;⑤7. 以上结论正确的为 . (写出所有正确结论的编号 ) .. 6. 如图,棱长为 1m 的正方体密封容器的三个面上有三个锈蚀 的小孔(不计小孔直径)O1、O2、O3 它们分别是所在面的中心. 如果恰当放置容器,容器存水的最大容积是_______m . 三、解答题 1. 在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,底面边长为 a,D 为 BC 为中 点,M 在 BB1 上,且 BM= (1) 求证:CM⊥C1D;
16
3

? O1 ? O3 ? O2

1 B1M,又 CM⊥AC1; 3

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(2) 求 AA1 的长.

2 . 如 图 , 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 , 底 面 是 矩 形 且 AD=2 , AB=PA= 2 ,PA⊥底面 ABCD,E 是 AD 的中点,F 在 PC 上. (1) 求 F 在何处时,EF⊥平面 PBC; (2) 在(1)的条件下,EF 是不是 PC 与 AD 的公垂线段.若是,求 出公垂线段的长度;若不是,说明理由; (3) 在(1)的条件下,求直线 BD 与平面 BEF 所成的角.

3.如图,四棱锥 S—ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,SD 垂直于底面 ABCD,SB= 3 . (1)求证 BC ? SC; (2)求面 ASD 与面 BSC 所成二面角的大小; (3)设棱 SA 的中点为 M,求异面直线 DM 与 SB 所成角的 大小.

4. 在直角梯形 ABCD 中, ?D=?BAD=90?,AD=DC= 1 AB=a,(如图一)将△ADC 沿 AC 折起, 使 D 到 D? .记面 AC D? 为 ?,面 ABC 为 ?.面 BC D? 为 ?. (1)若二面角 ??AC?? 为直二面角(如图二) ,求二面角 ??BC?? 的大小; (2)若二面角 ??AC?? 为 60?(如图三) ,求三棱锥 D? ?ABC 的体积.
2

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5.如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB= 2 ,AF=1,M 是线 段 EF 的中点. (1)求证 AM//平面 BDE; (2)求二面角 A?DF?B 的大小; (3)试在线段 AC 上确定一点 P,使得 PF 与 BC 所成的角是 60?.

【参考答案】 一.选择题 1.D 提示: AD 在面 ACC1A1 上的射影应在 AC 与 A1C1 中点的连线上, 令射影为 E, 则∠EAD

3 3 DE 6 , AD ? 2. ? sin ?EAD ? ? 2 ? . 为所求的角.在 Rt△EAD 中, DE ? 2 AD 4 2
? ?EAD ? arcsin
1 , 3 ? ?? 2.B 提示:由最小角定理知,最小角为 ? ,又异面直线所成角的范围为 ? 0, ? ,? 最大角 , ? 2? 5 为

6 . 4

? . 2

3.A 提示:由最小角定理知,此直线与另一面所成的角应小于等于它与交线所成的角,故 排除 C、 D, 又此二面角为 45°, 则此直线与另一平面所成的角只能小于它与交线所成的角, 故选 A. 4.D 提示:由题意,A1 在面 DCC1D1 上的射影应在 C1D1 延长线 E 上,且 D1E=1,则∠A1CE 为 所 求 角 , 在 Rt △ AA1C 中 ,

AE 3 A1C ? AA12 ? AC 2 ? 4, A1 E ? 3,? s ?A1 iCE ? n 1 ? . A1C 4
5.D 提示:由 P 到△ABC 三个顶点的距离都是 14,知 P 在底面 ABC 的射影是△ABC 的外 心,所以 PO 为所求.由余弦定理得:BC=21.由 2 R ?

BC 21 ? ? 14 3 得外接圆半径 sin 120? 3 2

为 7 3 ,即 OB ? 7 3 ,在 Rt△POB 中, PO ?
18

PB2 ? BO2 ? 7.

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6.D 提示:由题图得 VB ? AMN ? V N ? AMB . ? ? h ? S ?AMN ?

1 3

1 3 ? ? S ?AMB 3 2

?h ?

2 3S?AMB 3 ? 1 2 ?3 ? ? 2. 2S?AMN 2 ? S?AMN

7.B 提示:连结 MP、NQ 交于 O,由四边形 MNPQ 是菱形得 MP⊥NQ 于 O,将 MNQ 折 起后易得 MO⊥QN,OP⊥QN,所以∠MOP=60°,且 QN⊥面 MOP,过 O 作 OH⊥MP, 所以 OH⊥QN,从而 OH 为异面直线 MP、QN 的公垂线,经计算得 OH ?

3 a. 4

8.C 提示:把 ? 半平面展到半平面 ? 内,此时,连结 AC 与棱的交点为 M,这时 AM+CM 取最
2 小值等于 AC. (AM+CM)min= 1 ? (2 ? 3) ?

26 .

9.B 提示:P、Q 的最短距离即为异面直线 AB 与 CD 间的距离,当 P 为 AB 的中点,Q 为 CD 的中点时符合题意. 10.B 提示:将正棱锥展开,设正方形边长为 m,则 2m ? a ? 3a,? m ?

2? 6 2

? D1 P ? PC,? DP ? PC,?在长方形 ABCD 中 AB 边存在 P, 11.A 提示: 作 DP ? PC ,
又因为 AB=2,由对称性可知,P 为 AB 的中点时,AD 最大为 1,? AD ? ?0,1? 故选 A. 12.D 提示:若 BD 与平面 ABC 所成的角为 90 ? ,则 平面ABD ? 平面ABC ,取 AC 的中 点 O,则 BD ? AC ,DO ? AC 且 BO=DO,? BD与BO 不垂直,故 BD 与平面 ABC 所 成的角一定不等于 90 ? . 二.填空题 1.②③④ 提 示 : 对 于 ① , 由 VE ? ABC1 ? VC1 ? ABE 得

1 1 ? h ? S ?ABC1 ? ? 1 ? S ?ABE , 3 3

?h ?

S ?ABE 2 ,①错.对于②连 CB1 交 BC1 于 O,则 O 为 C 在面 ABC1D1 上的射影, ? S ?ABC1 2

? ?CBO ? 45? 为所成的线面角,②正确.作图易知③正确,对于④连 A1B,则 ?A1 BE 为所
成的角,解 ?A1 BE 得 sin ?A1 BE ? 2.AB∥CD 提示: V P ? AEB ?

10 ,④正确. 10

1 ? hP ? S ?ABE ,要使体积为定值,则 S ?ABE 为定值,与 E 3

点位置无关,则 AB∥CD 3.

15 , 4

15 10

提示:作 DE ? BC 与 E,易知 AD ? 平面BCD ,从而 AE ? BC ,

19

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?BDC ? 60? 又由 BD ? DC ?

1 3 3 ,得 DE ? ,又AD ? , 2 4 2

? AE ? DE 2 ? AD2 ?

15 ,由可解的点到平面的距离为 4

15 . 10

' ' 4.10cm 提示:MO=NO=30cm,过 O 作 M N 与旋转前的 MN 平行且相等,所以旋转后

ON ? 的距离为 50 ? 30 ? 40 ,故升高了 50-40=10cm. AB 与平面 M ?
2 2

5.①③④⑤. 6.

5 . 6

三、解答题 1. (1)证明:在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,D 为 BC 中点,则 AD⊥面 BCC1B1,从而 AD ⊥MC 又∵CM⊥AC1,则 MC 和平面 ADC1 内两相交直线 AD,AC1 均垂直 ∴MC⊥面 ADC1,于是 MC⊥DC1. (2)解:在矩形 BB1C1C 中,由 CM⊥DC1 知△DCC1∽△BMC,设 BB1=h,则 BM= ∴

1 h 4

a 1 h:a= :h, 求得h ? 2a 2 4

从而所求 AA1= 2a 2.解:(Ⅰ)以 A 为坐标原点,以射线 AD、AB、AP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐 标系,则 p(0,0, 2 ),A(0,0,0),B(0, 2 ,0),C(2, 2 ,0),D(2,0,0),E(1, 0,0) ∵F 在 PC 上,∴可令 PF ? ? PC, 设 F(x,y,z)
BC ? ?2,0,0?, PC ? 2, 2 ,? 2 , EF ? ?x ? 1, y , z ?

?

?

∵EF⊥平面 PBC,∴ EF ? PC ? 0 且 EF ? BC ? 0 ,又 PF ? ? PC ,
1 2 故 F 为 PC 的中点. , x ? 1, y ? z ? 2 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知:EF⊥PC,且 EF⊥BC 即 EF⊥AD

可得 ? ?

∴EF 是 PC 与 AD 的公垂线段,其长为| EF |=1 (Ⅲ)由(Ⅰ)可知 PC ? 2, 2 ? 2 即为平面 BEF 的一个法向量而 BD ? 2,? 2 ,0 设 BD 与平面 BEF 所成角θ ,则:sinθ =cos BD ? PC ?
BD ? PC 3 ? BD ? PC 6

?

?

?

?

20

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3 3 .故 BD 与平面 BEF 所成角为 arcsin 6 6 3. (1)证法一:如图,∵底面 ABCD 是正方形, ∴BC⊥DC. ∵SD⊥底面 ABCD,∴DC 是 SC 在平面 ABCD 上的射影, 由三垂线定理得 BC⊥SC. 证法二:如图 1,∵底面 ABCD 是正方形, ∴BC⊥DC.∵SD⊥底面 ABCD, ∴SD⊥BC,又 DC∩SD=D,∴BC⊥平面 SDC,∴BC⊥SC. (2)解:如图 2,过点 S 作直线 l // AD, ? l 在面 ASD 上,

∴θ =arcsin

图1

∵底面 ABCD 为正方形,? l // AD // BC,? l 在面 BSC 上,

? l 为面 ASD 与面 BSC 的交线. ? l ? SD ? AD, BC ? SC,? l ? SD, l ? SC,
∴∠CSD 为面 ASD 与面 BSC 所成二面角的平面角. ∵BD= 2 ,SB= 3 ,SAD=1.∴ ?CSD ? 450. (3)解 1:如图 2,∵SD=AD=1,∠SDA=90°, ∴△SDA 是等腰直角三角形.又 M 是斜边 SA 的中点, ∴DM⊥SA.∵BA⊥AD,BA⊥SD,AD∩SD=D,∴BA⊥面 ASD,SA 是 SB 在面 ASD 上 的射影.由三垂线定理得 DM⊥SB. ∴异面直线 DM 与 SB 所成的角为 90°. 解 2: 如图 3, 取 AB 中点 P, 连结 MP, DP. 在△ABS 中, 由中位线定理得 MP//SB, ? ?DMP 是异面直线 DM 与 SB 所成的角.? MP ? 1 SB ? 3 ,又 DM ? 2 , DP ? 1 ? ( 1 ) 2 ? 5 ,
2 2
2 2 2
图2

∴在△DMP 中,有 DP2=MP2+DM2,? ?DMP ? 90? ∴异面直线 DM 与 SB 所成的角为 90°. 4. 解: (1)在直角梯形 ABCD 中, 由已知 ? DAC 为等腰直角三角形, ∴ AC ? 2a, ?CAB ? 45? , 过 C 作 CH⊥AB,由 AB=2 a ,

图3

可推得 AC=BC= 2a. ∴ AC⊥BC .取 AC 的中点 E,连结 D?E , 则 D?E ⊥AC 又 ∵ 二面角 a ? AC ? ? 为直二面角, ∴ D?E ⊥ ? 又 ∵ BC ? 平面 ? ∴ BC⊥ D?E ∴ BC⊥ a ,而 D ?C ? a , ∴ BC⊥ D ?C ∴ ?D ?CA 为二面角 ? ? BC ? ? 的平面角.
?

由于 ?D?CA ? 45 ,

∴二面角 ? ? BC ? ? 为 45 .
?

(2)取 AC 的中点 E,连结 D?E ,再过 D? 作 D?O?? ,垂足为 O,连结 OE. ∵ AC ⊥ D?E , ∴ AC ⊥ OE a ? AC ? ? 的平面角, ∴ ?D ?EO ? 60? . ∴
VD?? ABC ? 1 S ?ABC ? D ?O ? 1 ? 1 AC ? BC ? D ?O ? 1 ? 2a ? 2a ? 6 a ? 6 a 3 . 3 3 2 12 6 4

∴ ?D ?EO 为二面角

在 Rt?D ?OE 中, D?E ? 1 AC ? 2 a ,
2 2

5.解法一: (1)记 AC 与 BD 的交点为 O,连接 OE, ∵O、M 分别是 AC、EF 的中点,ACEF 是矩形,∴四边形 AOEM 是平行四 边形, ∴AM∥OE.∵ OE ? 平面 BDE, AM ? 平面 BDE,∴AM∥ 平面 BDE. (2)在平面 AFD 中过 A 作 AS⊥DF 于 S, 连结 BS, ∵AB⊥AF,AB

21

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⊥AD, AD ? AF ? A, ∴AB⊥平面 ADF,∴AS 是 BS 在平面 ADF 上的射影, 由三垂线定理得 BS⊥DF.∴∠BSA 是二面角 A—DF—B 的平面角. 在 RtΔ ASB 中, AS ? 6 , AB ? 2,
3

∴ tan?ASB ? 3, ?ASB ? 60?, ∴二面角 A—DF—B 的大小为 60?. (3)设 CP=t(0≤t≤2),作 PQ⊥AB 于 Q,则 PQ∥AD, ∵PQ⊥AB, PQ⊥AF,AB ? AF ? A , ∴PQ⊥平面 ABF,QF ? 平面 ABF, ∴PQ⊥QF. 在 RtΔ PQF 中,∠FPQ=60?,PF=2PQ. ∵ Δ PAQ 为 等 腰 直 角 三 角 形 , ∴ PQ ?
PF ? (2 ? t ) 2 ? 1 ,∴ (2 ? t ) 2 ? 1 ? 2 ?
2

2 (2 ? t ). 又 ∵ Δ PAF 为 直 角 三 角 形 , ∴ 2 2 (2 ? t ). 所以 t=1 或 t=3(舍去),即点 P 是 AC 的中点.
2 2 、 (0,0,1), , ,0) 2 2

解法二: (1)建立如图所示的空间直角坐标系. 设 AC ? BD ? N ,连接 NE, 则点 N、E 的坐标分别是( ∴ NE ? ( ? 2 ,? 2 ,1) ,
2 2
( 2 , 2 ,0) ,(

又点 A、 M 的坐标分别是

2 2 , ,1) 2 2

2 2 ,? ,1) ∴ NE ? AM 且 NE 与 2 2 AM 不共线,∴NE ∥AM.又∵ NE ? 平面 BDE, AM ? 平面 BDE,∴AM∥平面 BDF. (2)∵AF⊥AB,AB⊥AD,AF ? AD ? A, ∴AB⊥
∴ AM = ( ? 平面 ADF. ∴ AB ? (? 2 ,0,0) 为平面 DAF 的法向量. ∵ NE ? DB =( ? 2 ,? 2 ,1) · (? 2 , 2 ,0) =0,
2 2 ∴ NE ? NF =( ? 2 ,? 2 ,1) · ( 2 , 2 ,0) =0 得 2 2

NE ? DB , NE ? NF ,∴NE 为平面 BDF 的法向量.
∴cos< AB ? NE ? =

1 ∴AB 与 NE 的夹角是 60?.即所 2

求二面角 A—DF—B 的大小是 60?. (3)设 P(t,t,0)(0≤t≤ 2 )得 PF ? ( 2 ? t , 2 ? t ,1), ∴ BC =( 2 ,0,0) 又∵PF 和 BC 所成的角是 60?.∴ cos60? ? 解得 t ?
( 2 ? t) ? 2 ( 2 ? t)2 ? ( 2 ? t)2 ? 1 ? 2

2或 3 2 (舍去) ,即点 P 是 AC 的中点. t? 2 2

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