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行列式习题讲解


1.计算下列三阶行列式.
2 0 ?4 8 1 ?1 3 3 2 3 2 1 2 3

(1)

1 ?1

(2)
c c 1? c

2 1

1? a

b 1? b b

a

b a?b a

a?b a b

(3)

2

a a

(4)

b a?b

0 ?4 8

1 ?1 3

(1) 1
?1

? 2 ? ( ? 4 ) ? 3 ? 1 ? 8 ? 1 ? ( ? 1) ? ( ? 1) ? 0 ? 1 ? ( ? 4 ) ? ( ? 1) ? ( ? 1) ? 8 ? 2 ? 3 ? 1 ? 0

? ?24 ? 8 ? 0 ? 4 ? 16 ? 0 ? ?4 .

3

2 3 2

1 2 3
b 1? b b c c 1? c 1? a ? b ? c c1 ? c 2 ? c 3 1 ? a ? b ? c 1? a ? b ? c b 1? b b c c 1? c

(2) 2
1

? 27 ? 4 ? 4 ? 3 ? 12 ? 12 ? 8 .

1? a

(3)

a a

1 ? (1 ? a ? b ? c ) 1 1
a b a?b a

b 1? b b
a?b a b

c c 1? c

1 ? (1 ? a ? b ? c ) 1 1
3

0 1 0

0 0 1 ? 1? a ? b ? c .

(4)

b a?b

? 3ab (a ? b ) ? (a ? b ) ? a ? b ? ?2(a ? b ) .
3 3 3 3

2.求解下列线性方程组. (1) ?
? x1 ? 2 x 2 ? 3, ? 2 x1 ? 3 x 2 ? 4 .

(2) ?

? x c o s ? ? y s in ? ? a , ? x s in ? ? y c o s ? ? b .

? x1 ? 2 x 2 ? x 3 ? ? 2 , ? (3) ? 2 x1 ? x 2 ? 3 x 3 ? 1, ? ? ? x1 ? x 2 ? x 3 ? 0 .

? x 3 ? 1, ? 2 x1 ? (4) ? 2 x1 ? 4 x 2 ? x 3 ? 1, ? ? ? x1 ? 8 x 2 ? 3 x 3 ? 2 .
1 2 2 3 ? ? 1 ? 0 ,从而计算



(1)因为系数行列式 D ?
D1 ? 3 4

2 3

? 1 , D2 ?

1 2

3 4

? ?2 ,

所以,方程组的唯一解为 x1 ? (2)因为系数行列式 D ?

D1 D

? ? 1 , x2 ?

D2 D

? 2.
? c o s ? ? s in ? ? 1 ? 0 ,
2 2

cos ? s in ?

? s in ? cos ?

D1 ?

a b

? s in ? cos ?

? a c o s ? ? b s in ? , D 2 ?
D1 D

cos ? s in ?

a b

? b c o s ? ? a s in ? ,
D2 D ? b c o s ? ? a sin ? .

所以,方程组的唯一解为 x ?

? a c o s ? ? b s in ? , y ?

1

?2 1 1
?2 1 1

1 ? 3 ? ? 1 ? 2 ? 6 ? 1 ? 3 ? 4 ? ? 5 ? 0 ,从而计算 ?1
1 ?3 ?1 ? 2 ? 1 ? 0 ? 0 ? 6 ? 2 ? ?5 ,

(3)因为系数行列式 D ? 2
?1
?2 D1 ? 1 0

1 D2 ? 2 ?1
1 D3 ? 2 ?1

?2 1 0
?2 1 1
D2 D

1 ?3 ?1
?2 1 0
? 2 , x3 ? D3 D ?1.

? ?1 ? 0 ? 6 ? 1 ? 0 ? 4 ? ?10 ,

? 0 ? 4 ? 2 ? 2 ? 1 ? 0 ? ?5 ,

所以,方程组的解为 x1 ?

D1 D

? 1 , x2 ?

2

0 4 8
0 4 8

?1 ? 1 ? 2 4 ? 1 6 ? 0 ? 4 ? 1 6 ? 0 ? 2 0 ? 0 ,从而计算 3
?1 0 0 4 8 ?1 ?1 ? 5 ? 3 0 4 ? 1 c1 ? c 3 0 3 5 ?1 ?1 ? 20 ,

(4)因为系数行列式 D ?

2 ?1
1

D1 ?

1 2

2 D2 ? 2 ?1 2 D3 ? 2 ?1

1 1 2 0 4 8

?1 ?1 ? 0 , 3 1 1 r2 ? r1 2
D2 D

2 0 ?1
? 0 , x3 ?

0 4 8
D3 D

1 0 2
?1.

? 4?

2 ?1

1 2

? 20 ,

所以,方程组的解为 x1 ?

D1 D

? 1 , x2 ?

3.确定下列排列的逆序数,并确定排列的奇偶性. (1)1 4 2 3; (2)2 5 1 4 3; 2; (4)1 3 5
?

(3)6 5 7 3 4 1

(2 n -1)2 4 6

?

(2 n ).

解 (1) ? (1 4 2 3) ? 0 ? 0 ? 1 ? 1 ? 2 ,偶排列. (2) ? (2 5 1 4 3) ? 0 ? 0 ? 2 ? 1 ? 2 ? 5 ,奇排列. (3) ? (6 5 7 3 4 1 2) ? 0 ? 1 ? 0 ? 3 ? 3 ? 5 ? 5 ? 1 7 ,奇排列.
? ? ? (4) (1 3 5 ?(2 n -1) 4 6 ?(2 n ) ? n ? 1 ? n ?2 ? n 3 ? ? ?2 ?1 ? ? 2 ) n(n ? ) 1 2



当 n ? 4 k 或 4 k ? 1 时,为偶排列;当 n ? 4 k ? 2 或 n ? 4 k ? 3 时,为奇排列.

4.下列乘积中,哪些可以构成相应阶数的行列式的项? (1) a 3 4 a 2 1 a 4 3 a1 2 ; (2) a1 2 a 2 3 a 3 4 a1 4 ; (3) a 4 1 a 3 2 a 2 3 a1 4 a 5 5 ; (4) a 4 1 a 3 2 a 2 3 a1 2 a 5 5 .
解 因为 n 阶行列式的项是一切可能取自不同行不同列的 n 个元素的乘积,所以(1), (3)可以构成,(2),(4)不可以.

5.确定下列五阶行列式的项所带的符号. (1) a1 2 a 2 3 a 3 4 a 4 1 a 5 5 ; (2) a 3 1 a 4 2 a 2 4 a 1 3 a 5 5 .
解 因为 n 阶行列式 D ?

?
i1 i 2 ? i n

( ? 1)

? ( i1 i 2 ? i n )

a 1 i a 2 i ? a n i ,所以 1 2 n

(1) a 1 2 a 2 3 a 3 4 a 4 1 a 5 5 所带的符号为 ( ? 1)
( ? 1)
? (3 4 1 2 5)

? (2 3 4 1 5)

= ( ? 1)

0+0+0+3+0

? ( ? 1) ? ? 1 ;
3

(2) a 3 1 a 4 2 a 2 4 a 1 3 a 5 5 ? a 1 3 a 2 4 a 3 1 a 4 2 a 5 5 所带的符号为
? ( ? 1)
0+0+2+2+0

? ( ? 1) ? 1 .
4

x

x x 3 1

1 2 x 2

0 3 2 x
3

6.在函数

f (x) ?

1 2 1

中, x 3 的系数是什么?



根据行列式的定义,仅当 a 1 2, a 2 1, a 3 3, a 4 4 四个元素相乘才能出现 x ,此时该项
3

列标排列的逆序数为 ? (2 1 3 4) ? 0 ? 1 ? 0 ? 0 ? 1 ,故 x 的系数是(-1) .

7.写出四阶行列式含有 a 2 3 且带正号的项.
a1 1 a1 2 a 22 a 32 a 42 a1 3 a 23 a 33 a 43 a1 4 a 24 a 34 a 44 a 21 a 31 a 41



D4 ?

中含有 a 2 3 的项为 a 1 1 a 2 3 a 3 2 a 4 4 , a 1 1 a 2 3 a 3 4 a 4 2 ,

a1 2 a 2 3 a 3 1 a 4 4 , a1 2 a 2 3 a 3 4 a 4 1 , a1 4 a 2 3 a 3 1 a 4 2 , a1 4 a 2 3 a 3 2 a 4 1 , 其 中 带 正 号 的 项 为
a1 1 a 2 3 a 3 4 a 4 2 , a1 2 a 2 3 a 3 1 a 4 4 , a1 4 a 2 3 a 3 2 a 4 1 .

8.用定义计算行列式.
?1 2 0 0 2 3 0 0 6 3 0 0 5
? ( n , n ? 1,? ,1 )

a1 n

(1)

1 6 9

(2)
a n1

a 2 n ?1 ?

解 (1) 考虑非零项, 第二行中, 仅有 a 2 1 不为零, 第三行中, 仅有 a 3 1 不为零, 从而 D ? 0 . (2)考虑非零项, D ? ( ? 1)
? ( ? 1) a1 n a 2 n ?1 ? a n 1 a1 n a 2 n ?1 ? a n 1

1? 2 ? 3 ?? ? n ?1

n ( n ?1 )

? ( ? 1)

2

a1 n a 2 n ?1 ? a n 1 .

9.利用行列式的性质证明:

a?b

b?c c?a a?b

c?a a?b b?c ? 0

(1)

b?c c?a


a1 b1 b2 b3 ? ?4 c1 c2 c3 1
2 2

c1

a 1 ? k c1 a2 ? kc2 a3 ? kc3 a
2 2 2

b1 ? la 1 b 2 ? la 2 b 3 ? la 3 b
2 2 2

(2)

c2 c3

?

a2 a3


1 b b
2

c

2

1 c c
2

(3)

( a ? 1) (a ? 2) s in ?
2

( b ? 1) (b ? 2 ) cos ?
2

( c ? 1) (c ? 2) c o s 2?

a a
2



(4)
证明

s in ?
2

cos ?
2

c o s 2 ? =0 cos 2?



s in ?
2

cos ?
2

a?b

b?c c?a a?b

c?a

0

0 c?a a?b

0 a?b b?c ? 0;

(1) b ? c
c?a

a ? b r1 ? r2 ? r3 b ? c b?c c?a

c1

a 1 ? k c1 a2 ? kc2 a3 ? kc3 a1 a2 a3 a
2 2 2

b1 ? la 1 b 2 ? la 2 b 3 ? la 3 c1 ? c2 c3 b
2 2 2

c1 ? c2 c3 la 1 la 2 la 3 c
2 2 2

a1 a2 a3 a1 ? a2 a3 ?

b1 ? la 1 b 2 ? la 2 b 3 ? la 3 b1 b2 b3 a
2 2 2

c1 ? c2 c3

k c1 kc2 kc3

b1 ? la 1 b 2 ? la 2 b 3 ? la 3

(2) c 2
c3 c1 ? c2 c3

b1 b2 b3

a1 a2 a3

c1 c2 c3 b
2 2


2

c

(3) ( a ? 1)
(a ? 2) r2 ? r1 r3 ? r1 a
2

( b ? 1) (b ? 2 ) b
2

( c ? 1) (c ? 2) c
2

a ? 2a ? 1 a ? 4a ? 4
2

b ? 2b ? 1 b ? 4b ? 4
2 2

c ? 2c ? 1 c ? 4c ? 4
2

a

2

b

c

2

2a ? 1 4a ? 4 a
2

2b ? 1 4b ? 4 b
2

2 c ? 1 r3 ? 2 r2 4c ? 4 c
2

2a ? 1 2

2b ? 1 2 b
2

2c ? 1 2

r3 ?

1 2

2 2a ? 1 1 s in ?
2

2b ? 1 1 cos ?
2

2c ? 1 1 c o s 2? cos 2 ? co s 2?

r2 ? r3 r2 ?
1 2

a 4

2

c

2

1 r1 ? r3 ( ? 4 ) c o s 2? cos 2 ? co s 2? ? 0. a a
2

1 b b
2

1 c c
2

a 1 s in ?
2

b 1

c 1



c o s 2? cos 2 ? co s 2?

(4) s in ?
2

cos ?
2

c 2 ? c1 s in ?
2

s in ?
2

cos ?
2

s in ?
2

10.计算行列式
1 1 ?1 1 1 1 1 ?1 1 1 1 1 ?1 1 3 1 2 1 2 3 1 0 4 1 4 1

(1)

1 1 1

(2)

2 3 2

1

2 ?2 ?1 3
2 2 2 ? 2 2 2 3 ? 2

?3 5 2 ?5
? ? ?

?4 ?8 ?1 10
2 2 2 ?

a

b d d b

c c a a

d b b d
a2 a2 ? ? a2 ? a2 a3 a3 a3 ? ? ? a3 ? ? ? ? an an an ? an ? ?

(3)

?1 0 1
1 2

(4)

a c c

a1 ? ? a1

(5)

2 ? 2

(6)

a1 ? a1

?

n


1 1 ?1 1 1
3 1 2 1
2?3

1 1 ?1 1
2 3 1 0
?5 ?1

1 1 1 ?1
4

(1)

1 1 1
1

r2 ? r1 r3 ? r1 r4 ? r1

1 0 0 0
?5 0 ?1 0

1 ?2 0 0
?1 0 ?2 0

1 0 ?2 0
2 3 1 0 4 1 4 1

1 0 0 ?2
?5 ? 0 ?1 ?1 0 ?2 2 3 1

? (?2) ? ?8 ;
3

(2)

2 3 2

1 c1 ? 2 c 2 4 c2 ? c4 1
?1 ?2

? 3 ? ( ? 1)

? ( ? 3) ? (1 0 ? 1) ? ? 2 7 ;

1 ?1

2 ?2 ?1 3
2 2 ?2

?3 5 2 ?5
?12 ?1 14

?4

1

2 0 ?1 1
?12 13 14

?3 2 2 ?2

?4 ?12 ?1 14

? 8 r2 ? r1 0 ? 1 r4 ? r1 0 10
0 r2 ? r3 0 1

(3) 0
1
0 ? ?1 1

1
2 0 ?2

? 1?

2 0

?12 13

? 26 ;

a

b d d b
2 2 2 ? 2

c c a a
2 2 3 ? 2

d b c1 ? c 3

a?c a?c

b?d b?d b?d b?d
0 2 0 ? 0 0 2 1 ? 0

c c a a
? ? ?

d b b d
0 2 0 ?

(4)

a c c
1 2

b c2 ? c4 a ? c d
? ? ? 2 2 2 ? ? n

? 0;

a?c
r1 ? r2 r3 ? r2 ? rn ? r2 ?1 2 0 ? 0

(5) 2
? 2

?

n?2

2 0 ? ( ? 1) ? 0 ? 0

2 1 0 ? 0

2 0 2 ? 0

? ? ?

2 0 0 ? ? ( ? 1) ? 2 ? ( n ? 2 ) ! ? ( ? 2 )( n ? 2 ) ! ;

?

n?2

a1 ? ? a1

a2 a2 ? ? a2 ? a2
a2 a2 ? ? a3

a3 a3 a3 ? ? ? a3
?

? ? ?

an an an ? an ? ?
an

(6)

a1 ? a1

c1 ? c 2 ? c 3 ? ? ? c n

?

? ? ? ? ? ?

?
i ?1

n

ai

?
i ?1

n

ai

a3 a3 ? ? ? a3

?

an

?
i ?1

n

ai

a2 ?

?

an ?

?

? ?

?
i ?1

n

ai

a2

?

an ? ?

1 1 ? (? ?

a2 a2 ? ? a2 ? a2
1 a2

a3 a3 a3 ? ? ? a3
a3 0

? ? ?

an an an ? an ? ?
an 0 0 ?
? (? ?

?a
i ?1

n

i

) 1 ? 1

?
? ? ?

r2 ? r1 r3 ? r1 ? rn ? r1 (? ?

?a
i ?1

n

0
i

?
0 ? 0

) 0 ? 0

?
? 0

?a
i ?1

n

i

)?

n ?1



?

?
? 3 x1 ? 2 x 2 ? x 3 ? 5, ? (2) ? 2 x1 ? 3 x 2 ? x 3 ? 1, ? ? 2 x1 ? x 2 ? 3 x 3 ? 1 .

11.用克拉默法则求解下列线性方程组.
? x 1 ? 2 x 2 ? 4 x 3 ? 3 1, ? (1) ? 5 x1 ? x 2 ? 2 x 3 ? 2 9 , ? ? 3 x1 ? x 2 ? x 3 ? 1 0 .

? x1 ? 4 x 2 ? 7 x 3 ? 6 x 4 ? 2 x2 ? x3 ? x4 ? (3) ? x2 ? x3 ? 3 x 4 ? ?x ? x3 ? x 4 ? 1

? 0, ? ? 8, ? ? 2, ? 1.

? x1 ? x 2 ? 3 x 3 ? 2 x 4 ? ? 6 x4 ? x ? 2 x2 (4) ? 1 x2 ? 2 x3 ? 3 x 4 ? ?4x ? 3x ? 5x ? x 2 3 4 ? 1

? 2, ? 1 3, ? 8, ? 1.



(1)计算系数行列式

1 D ? 5 3

2 1 ?1

4 2 1 ? 1 ? 2 0 ? 1 2 ? 1 2 ? 2 ? 1 0 ? ? 2 7 ? 0 ,故方程组有唯一解.

31 D1 ? 29 10 1 D2 ? 5 3
1 D3 ? 5 3

2 1 ?1 31 29 10
2 1 ?1

4 2 1 4 2 1
31 7

?9 ? 9 10 ?11 ? ?1 3
0 0 ?1
D1 D

6 3 ?1 ?9 9 10
51

0 0 ? ?27 ? 54 ? ?81 , 1 0 0 ? ?99 ? 9 ? ?108 , 1
7 8 51 39
D3 D ? 5.

29 ? 8 10 3

3 9 ? ( ? 1) ? ( ? 1) 10
D2 D

3? 2

?

? 273 ? 408 ? ?135 ,

所以,方程组的解为: x1 ? (2)计算系数行列式
3 D ? 2 2 2 3 1 1

? 3 , x2 ?

? 4 , x3 ?

1 ? 2 7 ? 2 ? 4 ? 6 ? 3 ? 1 2 ? 1 2 ? 0 ,故方程组有唯一解. 3

5 D1 ? 1 1 3 D2 ? 2 2
3 D3 ? 2 2

2 3 1 5 1 1
2 3 1

1 1 ? 45 ? 1 ? 2 ? 3 ? 5 ? 6 ? 34 , 3 1 1 ? 9 ? 2 ? 10 ? 2 ? 3 ? 30 ? ?14 , 3
5 1 ? 9 ? 10 ? 4 ? 30 ? 3 ? 4 ? ?14 , 1
D1 D ? 17 6

所以,方程组的解为: x1 ? (3)计算系数行列式
1 D ? 0 0 1 0 D1 ? ?8 ?2 1 4 2 1 0 4 2 1 0 ?7 1 1 1 ?7 1 1 1 6 1 3 ?1 6 1 3

, x2 ?
4 2 1 0 0

D2 D

? ?

7 6

, x3 ?

D3 D

? ?

7 6



0 r1 ? r4 0 0 1

?8 1 1 1 4 2 1 0

7
4

?8 1 1

7 1 3

1 3 ?1 ?7 9 3 0

? 1 ? ( ? 1)

4 ?1

? 2 1

? ? (1 2 ? 1 4 ? 8 ? 7 ? 4 ? 4 8) ? ? 5 5 ? 0 ,故方程组有唯一解.

6 ?7 1 0
4 ? 1 ? ( ? 1)
4 ?1

c 3 ? c1

?8

?7 9 3

6 ?7 1

c 4 ? c1 ? 2 1

? 2 1

?1

? ? (3 6 ? 3 6 ? 4 9 ? 5 4 ? 8 4 ? 1 4 ) ? ? 1 6 5 ,

1 D2 ? 0 0 1 1 D3 ? 0 0 1 1 D4 ? 0 0 1

0 ?8 ?2 1 4 2 1 0 4 2 1 0

?7 1 1 1 0 ?8 ?2 1 ?7 1 1 1

6 1 3 ?1 6 1 3 ?1 0 ?8 ?2 1
D1 D

1 r4 ? r1 0 0 0 0 r1 ? r4 0 0 1 1 r4 ? r1 0 0 0 4 2 1 0 4 2 1

0 ?8 ?2 1 ?1 ?8 ?2 1

?7 1 1 8 7

6 1 3 ?7
?

?8 ?2 1

1 1 8

1 3 ?7

? 56 ? 16 ? 3 ? 1 ? 192 ? 14 ? 220 ,

4

?1 ?8 ?2

7 1 3

1 3 ?1 0 ?8 ?2 1

? 1 ? ( ? 1)

4 ?1

? 2 1

? ? (?96 ? 28 ? 1 ? 56 ? 8 ? 6) ? 55 ,

?7 1 1 8
D2 D

2 ? 1 ?4

1 1 8

?8 ?2 1

?4

? 2 ? 64 ? 8 ? 32 ? 32 ? 1 ? ?55 ,

所以,方程组的解为: x1 ? (4)计算系数行列式
1 D ? 1 0 4 ?1 2 1 ?3
?1 2 1 ?3

? 3 , x2 ?

? ? 4 , x3 ?

D3 D

? ?1 , x4 ?

D4 D

? 1.

3 0 ?2 5

2

1

?1 2 1 ?3

1 4 0 ?1

5
1 1 4 ?1 5 0 10

6 c3 ? 2 c 2 1 3 c4 ? 3c2 1 0 4

0 0 10

= 1 ? ( ? 1)

3? 2

? 1 4

= ? ( 4 0 ? 5 ? 0 ? 8 0 ? 0 ? 1 0 ) ? 5 5 ? 0 ,故方程组有唯一解.
2 D1 ? 13 8 1 3 0 ?2 5
1? 2

2 6 3 1
17

c1 ? 2 c 2 c3 ? 3c2 c4 ? 2c2

0 17 10 ?5

?1 2 1 ?3
7

0 6 1 ?4
?2 ?3 ?4

0 10 5 ?5
0 0 ?5

6 1 ?4

10 5 ?5

= ( ? 1) ? ( ? 1)

? 10 ?5

= 5
?5

= ( ? 5) ? ( ? 1)
1 D2 ? 1 0 4 2 13 8 1

3? 3

? (?21 ? 10) ? 55 ,

3 0 ?2 5

2 6 r2 ? r1

1 0

2 11 8 ?7
1 ? 7? 0 0

3 ?3 ?2 ?7
1

2
11

?3 ?2 ?7

4 3 ?7

4 3 ?7

3 r4 ? 4 r1 0 1
1 1 ?2 ?3 1 3 4

?

8 ?7

0

1 ?5 ?7 ? 7?0 ? 0 ,

? ( ? 7 ) ? ( ? 1) ?

8 11

?10 ?14

1 D3 ? 1 0 4 1 D4 ? 1 0 4

?1 2 1 ?3 ?1 2 1 ?3

2 13 8 1 3 0 ?2 5

2 6 r2 ? r1

1 0

?1 3 1 1 1 0 ?1 3 1 1
D2 D

2 11 8 ?7 3 ?3 ?2 ?7

2
3 11 8 ?7 4 3 ?7

3 ? 1 1

7 5 0

25 10 0

4 3 ?7 2

3 r4 ? 4 r1 0 1 2 1 3 r2 ? r1 8 1
D1 D

?

1 1

0

? 70 ? 125 ? ?55 ,

3

?3 ?2 ?7

11 8 ?7

0 ? 0 1

18 5 ?7

32 15 ?7

11 8 ?7

r4 ? 4 r1 0 0

?

1 1

? 270 ? 160 ? 110 ,

所以,方程组的解为: x1 ?

? 1 , x2 ?

? 0 , x3 ?

D3 D

? ? 1 , x4 ?

D4 D

? 2


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