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§1&§2 生活中的变量关系 对函数的进一步认识 2.1 生活中的变量关系 函数概念(北师大版)


2.1 生活中的变量关系 函数的概念

引入新课

世界是千变万化的,变量与变量之间有的有依赖关系,

而具有依赖关系的两个变量并不一定具有函数关系.
问题1:某十字路口,通过汽车的数量与时间的关系

是否具有依赖关系?是函数关系吗?
提示:没有依赖关系,不是函数关系.

问题2:某农作物的产量Q与施肥量W的关系是否具有
依赖关系?是函数关系吗? 提示:具有依赖关系,但不是函数关系. 问题3:在公路上匀速行驶的汽车,它行驶的里程 s与 时间t具有依赖关系吗?是函数关系吗? 提示:具有依赖关系,也是函数关系. 问题4:两个变量之间有几种关系? 提示:①不相关 ,②依赖关系,③函数关系.

1. 函数关系
并非有依赖关系的两个变量都有函数关系. 只有 满足对于其中一个变量的每一个值,另一个变量都有 唯一确定 的值时,才称它们之间具有函数关系.

一枚炮弹发射后,经过26 s落在地面击中目标.炮弹 的射高为845 m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)随时间t(

单位:s)变化的规律是h=130 t-5 t2.
问题1:炮弹飞行时间t的变化范围的数集A是什么?

提示:A={t|0≤t≤26}.

问题2:炮弹距地面的高度h的变化范围的数集B是什
么? 提示:B={h|0≤h≤845}. 问题3:高度h与时间t是否具有依赖关系?是函数关 系吗?为什么?

提示:具有,且是函数关系.因为对于数集A中的任
意一个时间t,按照h=130 t-5 t2,在数集B中都有唯一确 定的高度h和它对应.

2. 函数的定义
给定两个非空数集A和B,如果按照某个对应关系f, 对 于集合A中 任何一个 数x,在集合B中都存在 唯一确定 的

数f(x)与之对应,那么就把 对应关系 f叫做定义在集合A上
的函数,记作 f:A→B,或y=f (x) x∈A . 此时,x叫作自 变量,集合A叫做函数的定义域,集合 { f (x)| x∈A} 叫做函 数的值域,习惯上称 y是x的函数 .

一小球在距离地面 98 米高的平台上做自由落体 运动.(g=9.8 米/秒 2) 问题 1:下落时距离 s 与时间 t 的关系式是什么? 1 提示:s=2× 9.8t2=4.9t2.

问题 2:变量 s 和 t 的变化范围是什么? 提示:{s|0≤s≤98},{t|0≤t≤2 5}. 问题 3:如果{x|a≤x≤b}可用[a,b]表示,上面变 量 s 和 t 的变化范围还可怎样表示? 提示:s∈[0,98],t∈[0,2 5].

3.区间
定义 {x|a≤x≤b} {x|a<x<b} {x|a≤x<b}

(1)区间的表示
名称 闭区间 开区间 左闭右 开区间 [a,b) (a,b] 符号 [a,b] (a,b) 几何表示

{x|a<x≤b}

左开右
闭区间

(2)无穷大
概念:实数集R可以用区间表示为 (-∞,+∞) “∞”读作“无穷大”, ,

“-∞”读作“负无穷大”,
“+∞”读作“正无穷大”.

我们可以把满足x≥a,x>a,x≤b,x<b的实数x的集合分别
表示为 [a,+∞),(a,+∞),(-∞,b],(-∞,b) .

定义
{x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤b} {x|x<b}

符号
[a,+∞) (a,+∞) (-∞,b] (-∞,b)

数轴表示

典题精讲
[例 1] 某山海拔7500m,海平面温度为25 ℃气 温是海拔高度的函数,而且高度每升高100m,

气温下降0.6℃.请你用解析表达式表示出气温T
随海拔高度x 变化的函数关系,并指出函数的

定义域和值域.

课堂练习

练习P28:T1, 2.

1.函数关系是特殊的依赖关系,具有依赖关系的两

个变量有的是函数关系,有的不是函数关系.
2.对函数的理解: (1)符号y=f(x)是“y是x的函数”的数学表示, 应理解为 x是自变量,它是对应法则所施加的对象;f是对应法则; y是自变量的函数,当x取某一具体值时, 相应的y值为与该

自变量值对应的函数值.y=f(x)仅仅是函数符号,不表示
“y等于f与x的乘积”.

(2)f(x)与f(a)的区别与联系:f(a)表示当x=a时,函数

f(x)的值,是一个常量,而f(x)是自变量x的函数,一般情
况下,它是一个变量,f(a)是f(x)的一个特殊值. 3.区间是连续数集的另一种表示形式.

典题精讲

[例1] 函数关系?

下列变量之间是否具有依赖关系?其中哪些是

①正方形的面积和它的边长之间的关系; ②姚明罚球次数与进球数之间的关系; ③施肥量与作物产量之间的关系; ④汽车从A地到B地所用时间与汽车速度之间的关系.

[思路点拨]

先分析是否存在依赖关系,再去判

断是否有函数关系.
[精解详析] ①、②、③、④中两个变量都存在

依赖关系,其中①、④是函数关系,②、③中两个变 量间有依赖关系,但不是函数关系.

[一点通]

分析两个变量是否具有函数关系,关

键是看它们的关系是确定的,还是不确定的.

1.张大爷种植了10亩小麦,每亩施肥x千克,小麦总产

量为y千克,则
A.x,y之间有依赖关系 C.y是x的函数

(

)

B.x,y之间有函数关系 D.x是y的函数

解析:小麦总产量与施肥有关系,但这种关系又不是 确定的.

答案:A

2.下列过程中,变量之间的关系是否为函数关系?

(1)公路上行驶的汽车在路程一定的条件下, 时间与平均
车速之间的关系; (2)化学实验中,加入溶液中的溶质的质量与溶液浓度之 间的关系. 解:(1)是函数关系.其中时间是自变量,速度是因变

量;反之也行;
(2)是函数关系.其中溶质是自变量,溶液浓度是因变 量;反之也行.

[例 2] 判断下列函数是否为同一函数: x2-4 (1)f(x)= 与 g(x)=x+2; x-2 (2)f(x)= x x+1与 g(x)= x? ( x+1? ); (3)f(x)=x2-2x-1 与 g(t)=t2-2t-1; (4)f(x)=1 与 g(x)=x0(x≠0).

[思路点拨] [精解详析]

判断函数的定义域和对应关系是否一致. (1) f(x)的定义域中不含有元素2,而g(x)

定义域为R,即定义域不相同,所以不是同一函数. (2)f(x)的定义域为[0,+∞),而g(x)的定义域为(-∞, -1]∪[0,+∞),定义域不相同,所以不是同一函数.

(3)尽管两个函数的自变量一个用x表示,另一个用t表

示,但它们的定义域相同,对应关系相同, 即对定义域内
同一个自变量,根据表达式,都能得到同一函数值, 因此 二者为同一函数. (4)f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≠0},因此不 是同一函数. [一点通] 函数有三个要素:定义域、值域和对应法

则,值域是由定义域和对应法则确定的, 所以只要定义域

和对应法则相同,这两个函数就是同一函数.

3.下列各组中的两个函数是相同函数的是 A.f(x)=(x-1)0 与 g(x)=1 B.f(x)=x 与 g(x)= x2 1-x 1+x C.f(x)= 2 与 g(x)= 2 x +1 x +1 ? x? 4 t 2 D.f(x)= x 与 g(t)=( ) t

(

)

解析:A 中,f(x)=(x-1)0 的定义域是{x|x≠1},g(x)=1 的 定义域为 R,它们的定义域不相同,不是相同函数.B 中, f(x)=x 与 g(x)= x2=|x|的对应关系不同(值域不同),不 1-x 1+ x 是相同函数.C 中,f(x)= 2 与 g(x)= 2 的对应关系 x +1 x +1 ? x?4 不同,不是相同函数.D 中,f(x)= x =x(x>0)与 g(t)= t(t>0)的定义域与对应关系均相同,它们是相同函数.

答案:D

4.如图所示,可表示函数y=f(x)图像的只能是

(

)

解析:判断一个图像是否是某一个函数的图像, 应看它

是否符合函数的概念,即对定义域内的任意数x,按照
某种确定的对应关系,都有唯一确定的数y与它对应. 对于A、C中令x=0,有两个y与之对应.而B中, 当x取 大于0的任意值时,也都有两个y值与之对应. 答案:D

1.求函数定义域的方法: (1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R; (2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不为 0的实数的集合; (3)如果f(x)为偶次根式,那么函数的定义域是使根号 内的式子大于或等于0的实数的集合;

(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函 数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合;

(5)如果函数有实际背景,那么除符合上述要求外, 还
要符合实际情况.

2.函数定义域要用集合或区间形式表示,这一点初学者
易忽视.

[例 3]

求下列函数的定义域.

(1)f(x)=x,x∈{1,2,3,4,5}; 1 (2)f(x)= ; x- 5 (3)y=2 x- 1-7x; ?x+1?0 (4)y= . |x|-x
[思路点拨] 求函数的定义域就是求使函数表达式有意

义的自变量的取值范围,可考虑列不等式或不等式组.

[精解详析] (1)显然定义域为{1,2,3,4,5}; 1 (2)要使 有意义,只要 x-5≠0,即 x≠5,所以函数 f(x)= x-5 1 的定义域为{x|x≠5}; x-5 ? ? ?x≥0, ?x≥0, 1 ? ? (3)令 即 所以 0≤x≤7. 1 ? 1 - 7 x ≥ 0 , x≤7, ? ? ? ? 1? 所以函数的定义域为?x|0≤x≤7?; ? ? ? ? ?x+1≠0, ?x≠-1, (4)令? 即? ? ? ?|x|-x>0, ?x<0, 所以x<0且x≠-1. 所以函数的定义域为{x|x<0,且x≠-1}.

2 5.函数 y= 的定义域为 1- 1-x A.(-∞,1) C.(-∞,0)∪(0,1)
? ?1-x≥0, 解析:由? ? ?1- 1-x≠0, ? ?x≤1, ∴? ? ?x≠0.

(

)

B.(-∞,0)∪(0,1] D.[1,+∞)

答案:B

6.求下列函数的定义域: 5-x (1)f(x)= ; |x|-3 (2)y= x-1+ 1-x.
解(1)要使函数有意义,
? ?5-x≥0, 则? ? ?|x|-3≠0, ? ?x≤5, 即? ? ?x≠±3.

在数轴上标出,

如图,即x<-3,或-3<x<3,或3<x≤5.故函数f(x)的定

义域为(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5].
当然也可以表示为{x|x<-3,或-3<x<3,或3<x≤5}.

(2)要使函数有意义,
? ?x-1≥0, 则? ? ?1-x≥0, ? ?x≥1, 即? ? ?x≤1.

所以 x=1,从而函数的定义域为{1}.

函数的值域就是函数值构成的集合,即{f(x)|x∈A} 其中A为定义域.所以求函数的值域首先确定函数的定义

域.求函数的值域的常用方法有:
(1)观察法: 根据式子的特征直接观察出函数的值域;

1 例如1: 求函数 f ( x) ? 的值域. 2 x ?1
(2)配方法: 利用二次函数的最值确定所给函数的值域;

例如2: 求函数 f ( x) ? x2 ? 2x,?x ?[0,3] 的值域.

(3)换元法: 采用换元之后转化为二次函数型, 再利用
配方法求值域,但换元时一定要注意新元的取值范围. 例如3: 求函数 f ( x) ? x ? 4 1 ? x 的值域.

(4)分离常数法: 把分子配成分母的倍数关系, 分离常 数之后再利用观察法求出函数的值域 ; 例如4: 求函数 f ( x) ? 3 x ? 1 的值域.

x?2

(5)判别式法: 利用二次三项式的判别式求值域;

x2 ? x 例如5: 求函数 f ( x) ? 2 的值域. x ? x ?1

(6)数形结合法: 由函数的图像确定值域. 例如6: (略)

[例 4]

求下列函数的值域:

(1)y=2x+1,x∈{1,2,3,4,5}; (2)y= x+1; 1 - x2 (3)y= 2; 1+ x (4)y=-x2-2x+3(-5≤x≤-2).
[思路点拨] 求值域的方法很多,(1)利用解析式逐 个求;(2)用直接法;(3)分离常数后,逐步求出;(4)利用 二次函数.

[精解详析]

(1)将 x=1,2,3,4,5 分别代入 y=2x+1 计算

得函数的值域为{3,5,7,9,11}; (2)∵ x≥0,∴ x+1≥1, 即所求函数的值域为[1,+∞); 1-x2 2 (3)∵y= =-1+ , 1+x2 1+ x2 ∴函数的定义域为 R, 2 ∵x +1≥1,∴0< ≤2. 1+x2
2

∴y∈(-1,1].∴所求函数的值域为(-1,1];

(4)∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, 又∵-5≤x≤-2,∴-4≤x+1≤-1. ∴1≤(x+1)2≤16. ∴-12≤4-(x+1)2≤3. ∴所求函数的值域为[-12,3].

7.函数 y=x2+x,x∈[-1,1),则 f(x)的值域是 A.[0,2) 1 C.[-4,2) 1 B.[-4,2]

(

)

1 D.[-4,+∞) 12 1 2 解析:∵f(x)=x +x=(x+2) -4,-1≤x<1,

1 ∴-4≤f(x)<2, 1 即值域为[-4,2). 答案:C

8.函数 y=2x- x-1的值域是________.
解析:函数的定义域是{x|x≥1}. 令 x-1=t,则 t∈[0,+∞),x=t2+1, ∴y=2(t +1)-t=2t 15 ∵t≥0,∴y≥ 8 .
?15 ? ∴原函数的值域为? 8 ,+∞?. ? ?
?15 ? 答案:? 8 ,+∞? ? ?
2 2

? 1?2 15 -t+2=2?t-4? + 8 . ? ?

1. 集合表示法和区间表示法都是表示取值范围的 方法.一般地,用哪种方法表示取值范围应该与原题的 表示方法保持一致,在没有明确的要求下,一般选择比 较简便的表示法.

2.根据图形判断对应是否为函数的方法:
①任取一条垂直于x轴的直线l; ②在定义域内移动直线l;

③若l与图形有一个交点,则是函数,若有两个或两 个以上的交点,则不是函数.

3.函数的定义域是使表达式有意义的自变量的取值
集合,一般转化为解不等式或不等式组的问题. 4.求函数的值域方法较多,常用的有配方法、换元 法、分类讨论法和数形结合法.在利用换元法时, 注意新 元的范围.

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