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湖北省华师一附中荆州中学2011届高三5月模拟(数学理)


华师一附中荆州中学 2011 届高三五月模拟考试

数学(理)试题
命题人:李祥知 全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。

☆祝考试顺利☆
注意事项: 1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号 条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2. 选择题在每小题选出答案后,用 2B 铅

笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;完成 句子和书面表达题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上相对应的答题区域内 答在试题卷 。 上无效。 3. 考试结束,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求的。 1.在复平面内,复数 (1 ? 3i ) 2 对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 ) C.第三象限 D.第四象限 )

2. 已知集合 A = { y | y = lg x, x > 1}, B = {?2, ?1,1, 2} , 全集 U=R, 则下列结论正确的是 ( A. A I B = {?2, ?1} C. A U B = (0, +∞ ) 3.若点 P 分有向线段 AB 所成的比为 ? A.3 B. B. (CU A) U B = ( ?∞, 0) D. (CU A) I B = {?2, ?1}

uuu r

1 2

uuu r 1 ,则点 B 分有向线段 PA 所成的比为( 3 1 3 C. ? D. ? 2 2
) D. cos β



4.已知角 α 的终边与角 β 的终边关于直线 y = ? x 对称,则 sin α =( A. ? sin β 5.已知 p : “ a = B. ? cos β C. sin β

2 ”, q : “直线 x + y = 0 与圆 x 2 + ( y ? a ) 2 = 1 相切,则 p 是 q 的(
B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件



A.必要不充分条件 C.充要条件

6. 已知数列 {an } 的通项为 an = 2n ? 1, S n 为数列 {an } 的前 n 项和, bn = 令 的前 n 项和的取值范围为( A. ? ,1? )

1 , 则数列 {bn } Sn + n

?1 ? ?2 ?

B. ( ,1)

1 2

C. ? ,

?1 3 ? ? ?2 4 ?

D. ? ,1?

?2 ? ?3 ?

7.已知函数 f ( x ) = ?

? x2 + 2 x ? 1 ? 2 ?x ? 2x ?1 ?


( x ≥ 0) ( x < 0)

,则对任意 x1 , x2 ∈ R ,若 0 <| x1 |<| x2 | ,下列不

等式恒成立的是( A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) > 0 C. f ( x1 ) + f ( x2 ) < 0

B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) < 0 D. f ( x1 ) + f ( x2 ) > 0

8.某班有 9 名学生,按三行三列正方形座次表随机安排他们的座位,学生张明和李智是好朋 友,则他们相邻而坐(一个位置的前后左右位置叫这个座位的邻座)的概率为( ) A.

2 3

B.

1 2

C.

1 3

D.

1 4

9. 在平面直角坐标系 xOy 中, A 点 (5, , 0) 对于某个正实数 k, 存在函数 f ( x ) = ax 2 ( a > 0) ,

uuu r uuur uuu r OA OQ r 使 得 OP = λ ? ( uuu + uuur ) ( λ 为 常 数 ) 这 里 点 P 、 Q 的 坐 标 分 别 为 , | OA | | OQ |
P (1, f (1)), Q (k , f (k )) ,则 k 的取值范围为 (
A. (2, +∞ ) B. (3, +∞) ) D. [8, +∞ )

C. [ 4, +∞ )

1 ? ?x + , x > 0 10.已知函数 f ( x ) = ? ,则方程 f (2 x 2 + x ) = a ( a > 2 )的根的个数不可能为 x ? x3 + 3, x ≤ 0 ?
( ) A.3 B. 4 C. 5 D. 6

二、填空题:本大题共 5 小题,共 25 分,把答案填写在答题卡相应位置上。 11.在一次数学考试中,随机抽取 100 名同学的成绩作为一个样本,其成绩的分布情况如下: 成绩 人数 分布

(10,50]
9

( 50,60]
18

( 60, 70]
23 。

( 70,80]
27

( 80,90]
15

( 90,100]
8

则该样本中成绩在 ( 80,100] 内的频率为

12.已知函数 为 . 13.对于函数 f ( x ) = 的取值范围为

在点 x = 2 处连续,则 ( x ?

1 6 ) 的展开式中常数项 ax 2

1 3 a | x | ? x 2 + (3 ? a ) | x | +b ,若 f (x ) 有六个不同的单调区间,则 a 3 2
.

14.过抛物线 y 2 = 4 x 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A,B 两点,若 线 l 的倾斜角 θ (0 < θ <

1 1 1 ? = , 则直 | AF | | BF | 2

π
2

) 等于

.

15.已知球 O 的半径为 2,圆 O1 , O2 , O3 为球 O 的三个小圆,其半径分别为 1,1, 2 ,若三个 小圆所在的平面两两垂直且公共点为 P 则 OP = . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本题满分 12 分) 在 ?ABC 中,已知 AB ? AC = 9,sin B = cos A sin C ,面积 S ?ABC = 6 (1)求 ?ABC 的三边的长; (2)设 P 是 ?ABC (含边界)内一点, P 到三边 AC , BC , AB 的距离分别为 x, y 和 z , 求 x + y + z 的取值范围.

uuu uuur r

17. (本小题满分 12 分) 研究室有甲、乙两个课题小组,根据以往资料统计,甲、乙两小组完成课题研究各项任 务的概率依次分别为 P = 1

2 , P2 ,现假设每个课题研究都有两项工作要完成,并且每项工 3

作的完成互不影响,若在一次课题研究中,两小组完成任务项数相等且都不少于一项, 则称该研究为“先进和谐室”。 (Ⅰ)若 P2 =

1 ,求该研究室在完成一次课题任务中荣获“先进和谐室”的概率; 2

(Ⅱ)设在完成 6 次课题任务中该室获得“先进和谐室”的次数为 ξ , 求Eξ ≥ 2.5 时,P2 的 取值范围。

18. (本小题满分 12 分) 在三棱锥 P ? ABC 中, AC = a , BC = 2a , AB = 3a ,侧棱 PA 、
PB 、 PC 与底面 ABC 所成的角相等,点 P 到平面 ABC 的距离为 3a . 2
P

(Ⅰ)求二面角 P ? AC ? B 的大小; (Ⅱ)求点 B 到平面 PAC 的距离.
A C

B

19. (本小题满分 12 分) 如图,斜率为 1 的直线过抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 的焦点,与抛物线交于两点 A、B,将直 线 AB 按向量 a = ( ? p, 0) 平移得直线 l ,N 为 l 上的动点。 (1)若|AB|=8,求抛物线的方程; (2)求 NA ? NB 的最小值。

r

uuu uuu r r

20. (本小题满分 13 分) 设函数 y = 1 ?

2x +1? n (n ∈ N * ) 的最小值为 an ,最大值为 bn ,又 Cn = 3(an + bn ) ? 9 2 x + x +1

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求 lim

n →∞

C 1 + C2 +L Cn Cn

(n ∈ N * ) 的值

(3)设 S n =

1 1 1 + + L + , d n = S 2 n +1 ? S n ,是否存在最小的整数 m ,使对任意的 C1 C2 Cn
m 成立?若存在,求出 m 的值;若不存在请说明理由. 25

n ∈ N * 都有 d n <

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) = e x ? ex. (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ)求证: 1 +

1 1 1 1 + +L + + > ln(n + 1), (n ∈ N * ) ; 2 3 n ?1 n 1 2 (Ⅲ)对于函数 h( x ) = x 与g ( x ) = e ln x ,是否存在公共切线 y = kx + b (常数 k , b ) 2
使得 h( x) ≥ kx + b和g ( x) ≤ kx + b 在函数 h( x ), g ( x ) 各自定义域上恒成立?若存在,求 出该直线的方程;若不存在,请说明理由。

参考答案
一、选择题 1-10 DDDBA 11. 0.23 12.

ABCAA

5 3

13.(2,3)

14.

π
3

15. 2 2

16.解:设 AB = c, AC = b, BC = a

(1) ?

?bc cos A = 9 4 4 3 ? tan A = , sin A = , cos A = , bc = 15 3 5 5 ?bc sin A = 12

?bc = 15 sin B b 3 ? = cos A ? = ,由 ? b 3 ? b = 3, c = 5 ,用余弦定理得 a = 4 …………6 分 sin C c 5 ?c = 5 ?
(2) 2 S ?ABC = 3 x + 4 y + 5 z = 12 ? x + y + z =

12 1 + (2 x + y ) 5 5

?3x + 4 y ≤ 12 ? 由线性规划得 0 ≤ t ≤ 8 设 t = 2x + y , ?x ≥ 0 ?y ≥ 0 ?
∴ 12 ≤ x + y + z ≤ 4 …………12 分 5

17.解: (1) P = (C2

1

2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 ? )(C2 ? ? ) + ( ? )( ? ) = 3 3 2 2 3 3 2 2 3

(6 分)

(2)突击队在一次任务中荣获“先进和谐队”的概率为

2 2 8 1 2 1 1 P = (C2 ? ? )[C2 P2 (1 ? p2 )] + ( ? ) P22 = P22 3 3 3 3 9
而 ξ ~ B (6 ? P ) 所以 Eξ = 6 P 由 Eξ ≥ 2.5 知 ( P2 ? (10 分)

(8 分)

8 9

4 2 P2 ) × 6 ≥ 2.5 9

解得

3 5 ≤ P2 ≤ 4 4

又 P2 ≤ 1

3 ∴ ≤ P2 ≤ 1 4

(12 分)

18.解法一: (Ⅰ)Q AC = a , BC = 2a , AB = 3a , ∴ AC 2 + AB 2 = BC 2 , ∴ ?ABC 是 ∠BAC = 90° 的直角三角形, Q 侧棱 PA 、 PB 、 PC 与底面 ABC 所成的角相等, ∴ 点 P 在平面 ABC 内的射影是 Rt ?ABC 的外心, ……2 分 即斜边 BC 的中点 O 取 AC 的中点 D ,连 PD , DO , PO , 则 PO = 3 a , DO AB 且 DO = AB = 3 a . 2 2 2
∴ AC ⊥ DO .又Q DO 是 PD 在平面 ABC 内的射影, ∴ AC ⊥ PD .∴ ∠PDO 为二面角 P ? AC ? B 的平面角.

……4 分

在 Rt ?POD 中, tan ∠PDO = PO = 3 ,∴∠PDO = π , 3 DO 故二面角 P ? AC ? B 的大小为 π . 3 (Ⅱ)Q AC = a , PD = PO 2 + DO 2 = 3a ,∴ S?APC = 1 AC ? PD = 3 a 2 . 2 2 设点 B 到平面 PAC 的距离为 h ,则由 VP ? ABC = VB? APC 得:
3 2 1S ? PO = 1 S?APC ? h ? 1 × 1 ? a ? 3a × 3 a = 1 × a ×h 3 ?ABC 3 3 2 2 3 2

……7 分

(

)

……10 分 ……13 分

解方程得 h = 3 a ,∴ 点 B 到平面 PAC 的距离等于 3 a . 2 2

解法二: Q AC = a , BC = 2a , AB = 3a , ∴ AC 2 + AB 2 = BC 2 , ∴ ?ABC 是 ∠BAC = 90° 的直角三角形, z P Q 侧棱 PA 、 PB 、 PC 与底面 ABC 所成的角相等, ∴ 点 P 在平面 ABC 内的射影是 Rt ?ABC 的外心,即斜边 BC 的 中点 O . ……2 分 B uuur uuu r 以 O 为原点, OC 、 OP 分别为 x 轴、 z 轴正向,以 BC 的 A O y 垂直平 , 分线为 y 轴建立空间直角坐标系(如图)
? ? ∴ B ( ?a,0,0 ) , C ( a,0,0 ) , A ? 1 a, ? 3 a,0 ? , P 0,0, 3 a . 2 2 ?2 ? uuur ? r ? uuu ∴ AC = ? 1 a, 3 a,0 ? , PC = a, 0, ? 3 a 2 ?2 2 ?

(

)

xC

(

)

……4 分

uu r r ? uu 1 设平面 PAC 的一个法向量为 n1 = ( x, y, z ) ,则 ? nr ? n1

uuur AC uuu = 0 , r PC = 0

?1 3 ?x = 3 uu r ? ? 2 ax + 2 ay = 0 ∴? ,令 z = 2 得 ? y = ? 3 , ∴ n1 = ( 3, ? 3, 2 ) 3 ?z = 2 ? ax ? az = 0 ? ? 2

……7 分

uu r (Ⅰ)Q 面 ABC 为 xoy 面,法向量为 n2 = ( 0, 0,1) ,二面角 P ? AC ? B 为锐角,记为 θ

uu uu r r n1 n2 uu uu r r 0+0+2 ∴ cos θ = cos < n1 , n2 > = uu uu = = 1 ,即 θ = π r r 3 9 + 3 + 4 ?1 2 n1 ? n2

故二面角 P ? AC ? B 的大小为 π . 3
uu r uuu r (Ⅱ)Q BC = ( 2a, 0, 0 ) ,平面 PAC 的一个法向量 n1 = ( 3, ? 3, 2 ) uuu uu r r PB n1 6a + 0 + 0 3 = a. ∴ 点 B 到平面 PAC 的距离 d = uu = r 9+3+4 2 n1

……10 分

即点 B 到平面 PAC 的距离等于 3 a . 2

……13 分

p ? P ?y = x ? 19.解(1)由条件知直线 AB 方程: y = x ? ,由 ? 2 消去 y 得 2 ? y 2 = 2 px ? x 2 ? 3 px +
∴p=2

1 2 p = 0 则 x1 + x2 = 3 p ,由抛物线定义得 | AB |= x1 + x2 + p = 4 p = 8 4

故抛物线的方程为 y 2 = 4 x. ……………………5 分

(2)直线 l 的方程为 y = x +

p p ,设 N ( x0 , x0 + ) A( x1 y1 ) B ( x2 , y2 ) 2 2 uuu r uuu r p p 则 NA = ( x1 ? x0 , y1 ? x0 ? ) NB = ( x2 ? x0 , y2 ? x0 ? ) 2 2 uuu uuu r r p p 2 2 即 NA ? NB = x1 x2 ? x0 ( x1 + x2 ) + x0 + y1 y2 ? ( x0 + )( y1 + y2 ) + ( x0 ? ) 2 2
由(1)知: x1 + x2 = 3P

x1 x2 =

p2 4 p p y1 y2 = ( x1 ? )( x2 ? ) = ? p 2 2 2

且 y1 + y2 = x1 + x2 ? p = 2 p

uuu uuu r r 7 ∴ NA ? NB = 2( x0 ? p ) 2 ? p 2 2 uuu uuu r r p 7 2 当 x0 = 时 NA ? NB 的最小值为 ? p ……………………12 分 2 2

20.解: (1)函数可变形为 ( y ? 1) x 2 + ( y + 1) x + y ? n = 0 ①当 y = 1 时不符合题意 当 y ≠ 1 时,方程①为二次方程,由 ? = ( y + 1) 21 ? 4( y ? 1)( y ? n) ≥ 0 得 ?3 y 2 + (4n + 6) y + 1 ? 4n ≥ 0 且 y ≠ 1 ② 由 题 意 知 an , bn 是 方 程

3 y 2 ? (4n + 6) y ? 1 + 4n = 0 的两根, an + bn = 则


4n + 6 于是 Cn = 4n ? 3 ( n ∈ N * ) …………4 3

(2)设 Tn = C1 + C2 + L + Cn

由(1)可知 Tn = n(2n ? 1)

∴ lim

x →∞

Tn 2n 2 ? n 2 = lim = ………………8 分 2 x →∞ 16n ? 24n + 9 Cn 4
1 1 1 1 1 1 + + L + , d n = S 2 n +1 ? S n = + +L+ C1 C2 Cn Cn +1 Cn + 2 C2 n +1

(3)Q S n =

1 1 1 1 1 1 1 + ? =( ? )+( ? )<0 8n + 5 8n + 9 4 n + 1 8n + 5 8n + 2 8n + 9 8n + 2 14 m ∴ 数列 {d n } 为递减数列,从而数列 {d n } 的最大项为 d1 = ,即 d n < 恒成立,只需 45 25 14 m 70 < 得m > ,故 m = 8. ……………………13 分 45 25 9 ∴ d n +1 ? d n =
21.(1)解:Q f ′( x ) = e x ? e 令 f ′( x ) = e x ? e = 0 得 x = 1 当 x > 1 时, f ′( x ) > 0 ,当 x < 1 时, f ′( x ) < 0. 所以函数 f ( x ) 在 ( ?∞,1) 上递增 所以 f ( x ) 的最小值为 f (1) = 0 (3 分)
x

(2)证明:由(1)知 f ( x ) 在 x = 1 取得最小值,所以 f ( x ) ≥ f (1) ,即 e ≥ ex 当 x > 0 时由 e ≥ ex 得 x ≥ 1 + ln x, x ? 1 ≥ ln x ,当且仅当 x = 1 时等号成立.
x

令 x ?1 =

1 1 1 1+ t 1 3 1 4 1 n +1 得 ≥ ln(1 + ) = ln ,1 > ln 2 , > ln , > ln …… > ln t t t t 2 2 3 3 n n

将上式相加得

1 1 1 1 3 4 n n +1 + +L + > ln(2 × × × L x × ) = ln(n + 1) …………8 分 2 3 n ?1 n 2 3 n ?1 n 1 2 (3)设 F ( x ) = ln( x) ? g ( x ) = x ? e ln x 2 1+
则 F ′( x) = x ? 所以当 0 < x < 所以当 x =

e x 2 ? e x 2 ? e ( x + e )( x ? e ) = = = x x x x e 时 F ′( x) < 0 ,当 x > e 时, F ′( x) > 0

e 时 F ( x) 取得最小值 0. 1 e 处有公共点 ( e , e) 2

则 h( x ) 与 g ( x ) 的图象在 x =

由 h( x ) ≥ kx +
2

1 e ? k e 在 x ∈ R 恒成立 2

则 x ? 2kx ? e + 2k e ≥ 0 在 x ∈ R 恒成立 所以 ? = 4k + 4e ? 8k e = 4(k ? 3) ≤ 0
2 2

因此 k =

3

下面证明 g ( x ) ≤

1 ex ? e( x > 0) 成立 2

设 G ( x ) = e ln x ? ex + 所以当 0 < x < 因此 x =

1 e e ? ex e, G′( x) = ? e = 2 x x

e 时 G ′( x) > 0 ,当 x > e 时, G ′( x) < 0
(14 分)

1 e , b = ? e ,故所求公共切线为 2 ex ? 2 y ? e = 0 2


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