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2012高三数学一轮复习单元练习题:函数与数列(Ⅱ)


2012 高三数学一轮复习单元练习题: 函数与数列(Ⅱ)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。不需要写出解答过程,请把答案直接填空在答题 卷相应位置上。 1、等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n (n ? 1, 2, 3 ? ??) ,当首项 a1 和公差 d 变化时,若 a5 ? a8 ? a11 是一个定 值,则 S n (n ? 1, 2, 3 ? ??) 中为定值的是 ▲ 。 ▲ 。

2、在等比数列{ an }中,若 a7 ? a9 ? 4, a4 ? 1 ,则 a12 的值是

3、已知数列 {an } 是以 ?2 为公差的等差数列, S n 是其前 n 项和,若 S 7 是数列 ? S n ? 中的唯一最大项,则数 列 {an } 的首项 a1 的取值范围是 ▲ 。

4、在等差数列 {a n } 中, a1 ? a 4 ? a7 ? 39 , a3 ? a6 ? a9 ? 27 ,则数列 {a n } 的前 9 项之和 S 9 等于 ▲ 。 ▲ 。

?an ? 1 (an ? 1) 6 5、若数列 {an } 满足 an ?1 ? ? ,若 a1 ? ,则 a2008 = (0 ? an ? 1) 7 ?2an
6、已知数列 {an } 满足 a1 ? 2 , an ?1 ? 3an ? 2 ( n ? N ? ) ,则 an = 7、在等差数列 ?an ? 中, ▲ 。 ▲



a11 ? ?1, 若它的前 n 项和 S n 有最大值,则使 S n 取得最小正数的 n ? a10

8、 S n 为等差数列 { an } 的前 n 项和,若

a2 n 4n ? 1 ? ,则 an 2n ? 1

S2n Sn

=





9、已知数列 an ? ?

? n ? 1, n为奇数 则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? a99 ? a100 ? ? n, n为偶数
a1





1 n 10、已知数列 an ? 2 ? ( ) ,将 ?an ? 的各项排成三角形状: 3
记 A(m, n) 表示第 m 行第 n 列的项,则 A(10,8) = 11、已知数列 {a n } 的通项公式是 a n ? 2
n ?1

a 2 a3 a 4





a5 a6 a7 a8 a9 ? ? ?? ? ?

,数列 {bn } 的通项公





bn ? 3n ,令集合 A ? {a1 , a2 ,?, an ,?} , B ? {b1 , b2 ,?, bn ,?} , n ? N * .将集合 A? B 中的元素按从
小到大的顺序排列构成的数列记为 {c n } .则数列 {c n } 的前 28 项的和 S 28 = ▲ 。

12、设 a1 , a 2 ,…, a n 是各项不为零的 n ( n ? 4 )项等差数列,且公差 d ? 0 .若将此 列删去某一项后, 得到的数列 (按原来顺序) 是等比数列, 则所有数对 ? n,

? ?

a1 ? ? 所组成的集合为 d ?





二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分。请在指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 13、已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 log2(1+Sn)=n+1,求数列的通项公式。

1) 14、数列 {an } 的首项 a1 ? (0,,an ?

3 ? an ?1 ,n ? 2,4,… 3, 2

(1)求 {an} 的通项公式; (2)设 bn ? an 3 ? 2an ,比较 bn , bn ?1 的大小,其中 n 为正整数。 15、已知数列{an}, a1=1, 点 P(an, an+1) (n∈N+)在直线 x-y+1=0 上。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)函数 f (n) ? n ? a ? n ? a ? n ? a ? ? ? n ? a (n∈N+),且 n≥2) ,求函数 f(n)的最小值。 1 2 3 n (3)设 bn ? a ,Sn 表示数列{bn}的前 n 项和,试问:是否存在关于 n 的整式 g(n),使得 S1+S2+S3+……
n

1

1

1

1

1

+Sn-1=(Sn-1) g(n)对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立?若存在,写出 g(n)的解析式,并加以证明; 若不存在,试说明理由。 16、已知 f ( x) ? 横坐标是
1 . 2

1 ( x ? R) ,P1(x1,y1) 、P2(x2,y2)是函数 y ? f ( x) 图象上两点,且线段 P1P2 中点 P 的 4 ?2
x

(1)求证:点 P 的纵坐标是定值;

n ? (2)若数列 ?a n ?的通项公式是 an ? f ( )(m ? N , n ? 1,2, …m),求数列 ?a n ?的前 m 项和 Sm ; m

a m a m ?1 ? (3)在(2)的条件下,若 m ? N 时,不等式 恒成立,求实数 a 的取值范围。 Sm Sm ?1
?

17、第一行是等差数列 0,1,2,3,…,2008,将其相邻两项的和依次写下作为第二行,第二行相邻两项 的和依次写下作为第三行,依此类推,共写出 2008 行. 0,1,2,3,…,2005,2006,2007,2008 1,3,5, …, 4011, 4013, 4015 4,8, …, 8024, 8028 …… (1)由等差数列性质知,以上数表的每一行都是等差数列。记各行的公差组成数列

{di }(i ? 1, 2,3,?, 2008) .求通项公式 d i ;
(2)各行的第一个数组成数列 {bi }(i ? 1, 2,3,?, 2008) ,求数列 {bi } 所有各项的和。

参参考答案 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。不需要写出解答过程,请把答案直接填空在答题 卷相应位置上。 1、等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n (n ? 1, 2, 3 ? ??) ,当首项 a1 和公差 d 变化时,若 a5 ? a8 ? a11 是一个定 值,则 S n (n ? 1, 2, 3 ? ??) 中为定值的是 ▲ 。 S15 ▲ 。4

2、在等比数列{ an }中,若 a7 ? a9 ? 4 , a4 ? 1 ,则 a12 的值是

3、已知数列 {an } 是以 ?2 为公差的等差数列, S n 是其前 n 项和,若 S 7 是数列 ? S n ? 中的唯一最大项,则数 列 {an } 的首项 a1 的取值范围是 ▲ 。

4、在等差数列 {a n } 中, a1 ? a 4 ? a7 ? 39 , a3 ? a6 ? a9 ? 27 ,则数列 {a n } 的前 9 项之和 S 9 等于 99 5、若数列 {an } 满足 an ?1 ? ?2a
?an ? 1 (an ? 1) 6 5 ,若 a1 ? ,则 a2008 =________________________ (0 ? an ? 1) 7 7 ? n

6、如图甲是第七届国际数学教育大会(简称 ICME-7)的会徽图案,会徽的主体图案是由如图乙的一连串直 角三角形演化而成的,其中 OA1=A1A2=A2A3=…A7A8=1,如果把图乙中的直角三角形继续作下去,记 OA1, OA2,…,OAn,…的长度构成数列 {an } ,则此数列的通项公式为 __________ n

7、在等差数列 ?an ? 中, 和 S n 有最大值,则使 S n 取得最小正数的 n ? 19 .

a11 ? ?1, 若它的前 n 项 a10

8、 S n 为等差数列 { an } 的前 n 项和,若

a2 n 4n ? 1 ? ,则 an 2n ? 1

S2n Sn

=

4



9、已知数列 an ? ?

? n ? 1, n为奇数 则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? a99 ? a100 ? _5000;___ ? n, n为偶数
1 3

n 10、已知数列 an ? 2 ? ( ) ,将 ?an ? 的各项排成三角形状:

a1

a 2 a3 a 4 a5 a6 a7 a8 a9

?

?

? ? ?

记 A(m, n) 表示第 m 行第 n 列的项,则 A(10,8) = A. 2 ? ( )88 B. 2 ? ( )89
1 3 1 3

C. 2 ? ( )90

1 3

D. 2 ? ( )161

1 3

n ?1 11 、 已 知 数 列 {a n } 的 通 项 公 式 是 a n ? 2 , 数 列 {bn } 的 通 项 公 式 是 bn ? 3n , 令 集 合

A ? {a1 , a2 ,?, an ,?} , B ? {b1 , b2 ,?, bn ,?} , n ? N * .将集合 A? B 中的元素按从小到大的顺序排列
构成的数列记为 {c n } .则数列 {c n } 的前 28 项的和 S 28 = ▲ 。 820

12.设 a1 , a 2 ,…, a n 是各项不为零的 n ( n ? 4 )项等差数列,且公差 d ? 0 .若将此 列删去某一项后,得到的数列(按原来顺序)是等比数列,则所有数对 ? n,

? ?

a1 ? ? 所组成的集 d ?

合为_____________。

{(4, ?4),(4,1)}

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分。请在指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 15、已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 log2(1+Sn)=n+1,求数列的通项公式. 解 Sn 满足 log2(1+Sn)=n+1,∴1+Sn=2n+1, ∴Sn=2n+1-1. ∴a1=3,an=Sn-Sn-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n (n≥2), ∴{an}的通项公式为 an= ?
?3 ? ?2 n ? (n ? 1), (n ? 2).

1) 16、数列 {an } 的首项 a1 ? (0,,an ?

3 ? an ?1 ,n ? 2,4,… . 3, 2

(1)求 {an} 的通项公式; an

1 ? (a1 ? 1)(? )n ?1 ? 1 2

(2)设 bn ? an 3 ? 2an ,比较 bn , bn ?1 的大小,其中 n 为正整数.

17、已知数列{an}, a1=1, 点 P(an, an+1) (n∈N+)在直线 x-y+1=0 上。 (1)求数列{an}的通项公式;

(2)函数 f (n) ? n ? a ? n ? a ? n ? a ? ? ? n ? a (n∈N+),且 n≥2) ,求函数 f(n)的最小值。 1 2 3 n (3)设 bn ? a ,Sn 表示数列{bn}的前 n 项和,试问:是否存在关于 n 的整式 g(n),使得 S1+S2+S3+……
n

1

1

1

1

1

+Sn-1=(Sn-1) g(n)对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立?若存在,写出 g(n)的解析式,并加以证明; 若不存在,试说明理由。

18、已知 f ( x) ?
1 2

1 ( x ? R) ,P1(x1,y1) 、P2(x2,y2)是函数 y ? f ( x) 图象上两点,且线段 P1P2 中点 P 的横 4 ?2
x

坐标是 .(1)求证:点 P 的纵坐标是定值; (2)若数列 ?a n ?的通项公式是 an ? f ( )(m ? N ? , n ? 1,2, …m),
n m

求数列 ?a n ?的前 m 项和 Sm ; (3)在(2)的条件下,若 m ? N ? 时,不等式 取值范围。 解: (1)由
x1 ? x2 2

a m a m ?1 ? 恒成立,求实数 a 的 Sm Sm ?1

? 1 知,x1+x2=1,则 2
1 x1 4 ?2

y1 ? y 2 ?

?

4

1? x1

1

?2

?

1 x1 4 ?2

?

4 x1 2 ( 4 x1 ? 2 )

?

1 2

故点 P 的纵坐标是 1 ,为定值。 4
? 1 2 (2)已知 S m ?a1 ? a 2 ? …+ a m ? f ( m ) ? f ( m ) ? … ? f ( mm 1 ) ? f (1)

(6 分)

? ? 1 又 S m ? a m?1 ? a m?2 ? … ? a1 ? a m ? f ( mm 1 ) ? f ( mm 2 ) ? … ? f ( m ) ? f (1)

二式相加,得
? ? ? 1 2 1 2S m ? [ f ( m ) ? f ( mm 1 )] ? [ f ( m ) ? f ( mm 2 )] ? … ? [ f ( mm1 ) ? f ( m )] ? 2 f (1) k 因为 m ? m?k m k ? ? 1(k ? 1,2, …m-1),故 f ( m ) ? f ( mm k ) ? 1 , 2

又 f (1) ?
m (3)由 a S m

1 6

,从而 S m ?
m

1 12

(3m ? 1) 。

(12 分)

?

a m ?1 S m ?1

a 1 得 12 a ( 3m?1 ? 3m ? 2 ) ? 0 …①对 m ? N ? 恒成立。

显然,a≠0,
1 (ⅰ)当 a<0 时,由 3m ?1 ? a 3m ? 2

? 0 得 a m ? 0 。而当 m 为偶数时 a m ? 0 不成立,所以 a<0 不合题意;
3m ? 2 3m ?1 3 ? 1 ? 3m?1

(ⅱ)当 a>0 时,因为 a m ? 0 ,则由式①得, a ?

3 又 3 m ?1 随 m 的增大而减小,所以,当 m=1 时, 1 ?

3 3 m ?1

有最大值 5 ,故 a ? 2

5 2



(18 分)

19、 (2008 湖北).已知数列 {an } 和 {bn } 满足:

a1 ? ? , an?1 ?

2 an ? n ? 4, bn ? (?1)n (an ? 3n ? 21), 其中 ? 为实数, n 为正整数. 3

(Ⅰ)对任意实数 ? ,证明数列 {an } 不是等比数列; (Ⅱ)试判断数列 {bn } 是否为等比数列,并证明你的结论; (Ⅲ)设 0 ? a ? b , S n 为数列 {bn } 的前 n 项和.是否存在实数 ? ,使得对任意正整数 n ,都有 a ? Sn ? b ? 若存在,求 ? 的取值范围;若不存在,说明理由. 解(Ⅰ)证明:假设存在一个实数λ ,使{an}是等比数列,则有 a22=a1a3,即

2 4 4 4 ( ? ? 3) 2 ? ? ( ? ? 4) ? ?2 ? 4? ? 9 ? ?2 ? 4? ? 9 ? 0, 矛盾. 3 9 9 9
所以{an}不是等比数列. (Ⅱ)解:因为 bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n-1)+21]=(-1)n+1( =

2 an-2n+14) 3

2 2 (-1)n· (an-3n+21)=- bn 3 3

又 b1x-(λ +18),所以 当λ =-18,bn=0(n∈N+),此时{bn}不是等比数列: 当λ ≠-18 时,b1=(λ +18) ≠0,由上可知 bn≠0,∴

ba ?1 2 ? ? (n∈N+). bn 3

故当λ ≠-18 时,数列{bn}是以-(λ +18)为首项,- (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当λ =-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求. ∴λ ≠-18,故知 bn= -(λ +18)(- ·

2 为公比的等比数列. 3

2 )n-1,于是可得 3

  Sn=- (? ? 18)·?1-(- )?. 5 3
要使 a<Sn<b 对任意正整数 n 成立, 即 a<-

3

? ?

2 n? ?

3 2 (λ +18)· [1-(- )n] 〈b(n∈N+) 5 3



a 2 1 ? (? ) n 3

3 ? ? (? ? 18) ? 5 2

b 2 1 ? (? ) n 3

          


令f (n) ? 1 ? (? ),则

5 5 ;当n为正偶数时, ? f (n) ? 1, 3 9 5 5 ∴f(n)的最大值为 f(1)= ,f(n)的最小值为 f(2)= , 3 9 5 3 3 于是,由①式得 a<- (λ +18),< b ? ?b ? 18 ? ? ? ?3a ? 18. 9 5 5 当 a<b ? 3a 时,由-b-18 ? =-3a-18,不存在实数满足题目要求;
当 n 为正奇数时,1<f(n) ? 当 b>3a 存在实数λ ,使得对任意正整数 n,都有 a<Sn<2.

20、第一行是等差数列 0,1,2,3,…,2008,将其相邻两项的和依次写下作为第二行,第二行相邻两项 的和依次写下作为第三行,依此类推,共写出 2008 行. 0,1,2,3,…,2005,2006,2007,2008 1,3,5, …, 4011, 4013, 4015 4,8, …, 8024, 8028 …… (1)由等差数列性质知,以上数表的每一行都是等差数列。记各行的公差组成数列

{di }(i ? 1, 2,3,?, 2008) .求通项公式 d i ;
(2)各行的第一个数组成数列 {bi }(i ? 1, 2,3,?, 2008) ,求数列 {bi } 所有各项的和。 解. (1) di ?1 ? a(i ?1)?( k ?1) ? a(i ?1)?k ? ai?( k ?1) ? ai?( k ? 2) ? ai?k ? ai?( k ?1) ? ai?( k ? 2) ? ai?k ? 2di ,

?

di ?1 ? 2 ,则 {d i } 是等比数列, di ? d1 ? 2i ?1 ? 2i ?1 . di
i ?1

6′
bi ?1 bi 1 ? ? . 2i ?1 2i 4

(2) bi ?1 ? ai1 ? ai?2 ? ai1 ? ai1 ? di ? 2ai1 ? 2

? 2bi ? 2i ?1 ,?

b b 1 1 i i ?2 ∴数列 { ii } 是等差数列, ii ? (i ? 1) ,所以 bi ? ? (i ? 1) ? 2 ? (i ? 1) ? 2 2 2 4 4

12′

数列 {bi } 所有各项的和 S S=0+1+2×2+3×22+……+2007×22006 用错位相减法,得到 S=1003×22008-119.


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