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选修2-1圆锥曲线综合测试卷


选修 2-1 圆锥曲线综合测试卷
注意事项: 1.本试题分为第Ⅰ 卷和第Ⅱ 卷两部分,满分 150 分,考试时间为 120 分钟。 2.答第Ⅰ 卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。考试结束,试题和答题卡一并收回。 3.第Ⅰ 卷每题选出答案后,都必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,必须先用橡 皮擦干净,再改涂其它答案。


第Ⅰ 卷(选择题 50 分)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内) 1.已知椭圆的离心率为

1 ,焦点是(-3,0),(3,0),则椭圆方程为 2





x2 y 2 ? ?1 A. 36 27

x2 y2 ? ?1 B. 36 27

x2 y 2 ? ?1 C. 27 36

x2 y 2 ? ?1 D. 27 36

2.当 a 为任意实数时,直线 (2a ? 3) x ? y ? 4a ? 2 ? 0 恒过定点 P,则过点 P 的抛物线的标 准方程是 (
2



1 x 2 1 2 C. y 2 ? 32x 或 x ? ? y 2
A. x 2 ? 32 y 或 y ? ? 3.设双曲线 x2 –y2=1 的两条渐近线与直 线 x=

1 x 2 1 2 D. y 2 ? ?32x 或 x ? y 2
B. x 2 ? ?32y 或 y ?
2

2 围成的三角形区域(包含边界)为 E,P(x,y) 2
( )

为该区域 内的一个动点,则目标函数 z ? 3x ? 2 y 的取值范围为

A.[ 0,

2 ] 2

B .[

2 3 2 ] , 2 2

C .[

2 5 2 ] , 2 2

D. [ 0,

5 2 ] 2

4.短轴长为 2,离心率 e=3 的双曲线两焦点为 F1,F2,过 F1 作直线交双曲线于 A、B 两点,且|AB|=8,则△ ABF2 的周长为 ( ) A.3 B .6 C.12 D.24 5.已知 F1,F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A,B 两点,若△ ABF2 是正三角形,则这个椭圆的离心率是 ( ) A.

3 3

B.

2 3

C.

2 2

D.

3 2

6.过双曲线 x2- ( ) A.1 条

y2 =1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A, B 两点,若|AB|=4,则这样的直线 l 有 2
B.2 条 C.3 条 D.4 条

-1-

7.已知抛物线 x ?

2 2 x2 y2 m ??( 0 ? =1 有一个相同的焦点,则动点 (m, n) 的轨 迹是 y (? nx n)与椭圆 ? 0) m 9 n
B.双曲线的一部分 D.直线的一部分
2 2

A.椭圆的一部分 C.抛物线的一部分

x2 y 2 ? ? 1的 8.若直线 mx- ny = 4 与⊙ O: x +y = 4 没有交点,则过点 P(m,n)的直线与 椭圆 9 4
交点个数是 A.至多为 1
2 2

( B .2 C .1 D.0



9. 若双曲线 是

1 x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距 的 ,则该双曲线的渐近线方程 2 4 a b
( B. 2 x ? y ? 0 ) D. 3x ? y ? 0 C. x ? 3 y ? 0

A. x ? 2 y ? 0

10.过点 P(x,y)的直线分别与 x 轴和 y 轴的正半轴交于 A,B 两点,点 Q 与点 P 关于 y 轴对称,O 为坐标原点,若

BP ? 2 PA 且 OQ ? AB =1,则点 P 的轨迹方程是
A. 3 x ?
2





3 2 y ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

B. 3 x ?
2

3 2 y ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

C.

3 2 x ? 3 y 2 ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

D.

3 2 x ? 3 y 2 ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

第Ⅱ 卷
二、填空题(请把答案填在题中横线上本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分。 ) 11. 点 A(1,2,-3)关于 x 轴的对称点 B 的坐标为 , 点 A 关于坐标平面 xOy 的对称点 C 的坐标为 B,C 两点间的距离为 .
2

,

12. 已知 F 是抛物线 C:y ? 4 x 的焦点, 过 F 且斜率为 3 的直线交 C 于 A,B 两点. 设 FA ? FB , 则 | FA | 的
| FB |

值等于


y2 ? 1 上一点,焦点 F(2,0) ,点 A(3,2) ,使|PA|+ 1 |PF|有最小值时,则点 P 的坐 3 2

13 .设点 P 是双曲线 x 2 ?

标是________________________________. 14.已知两个点 M(-5,0)和 N(5,0),若直线上存在点 P,使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“B 型直线”,给出下列直线: ① y=x+1; ② y ?

4 x ;③ y=2;④ y=2x+1.其中为“B 型直线”的 是 3

. (填上所有正确结论的序号)

三、解答题:(本大题共 5 个大题,共 50 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. (10 分)设 O 是坐标原点,F 是抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,A 是抛物线上的一个动点, FA 与 x 轴正方向的 夹角为 600,求| OA |的值.

-2-

16. (10 分)已知一动圆 M,恒过点 F (1, 0) ,且总与直线 l : x ? ?1 相切. (Ⅰ )求动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ )探究在曲线 C 上,是否存在异于原点的 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点,当 y1 y2 ? ?16 时, 直线 AB 恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.

17. (10 分) 已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为

3 ,两个焦点分别为 F1 和 F2 ,椭 2

2 2 圆 G 上一点到 F1 和 F2 的距离之和为 12.圆 Ck : x ? y ? 2kx ? 4 y ? 21 ? 0 (k ? R) 的圆心为点 Ak .

(1)求椭圆 G 的方程 (2)求 ?Ak F1 F2 的面积 (3)问是否存在圆 Ck 包围椭圆 G?请说明理由.

-3-

18..(10 分)如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1),平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m ? 0) ,l 交椭圆于 A、B 两个不同点. (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围; (3)求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.

19.(10 分) 设椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点,O 为坐标原点. a 2 b2

(Ⅰ )求椭圆 E 的方程; (Ⅱ )是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B, 且 OA ? OB ?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理 由。

-4-

选修 2-1 圆锥曲线综合测试卷详解答案
一、选择题 1.A;解析:已知椭圆的离心率为

1 2 ,焦点是(-3,0),(3,0),则 c=3,a=6, b ? 36 ? 9 ? 27 , 2

椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,选 A. 36 27

2.C;解析:将直线方程化为 (2 x ? 4)a ? 3x ? y ? 2 ? 0 ,可得定点 P(2,-8) ,再设抛物线 方程即可; 3.D;解析:双曲线 x2 –y2=1 的两条渐近线为: x ? y ? 0 ,渐近线 x ? y ? 0 与直线 x=

2 2

的交点坐标分别为(

2 2 2 2 , )和( ,).利用角点代入法得 z ? 3x ? 2 y 的取值范围 2 2 2 2

为[ 0,

5 2 ]. 2
c 2 ? 3 ,∴c ? 3a ,∴9a 2 ? a 2 ? 4 ,∴a ? , a 2

4.B;解析:由于 b ? 2, e ?

由双曲线的定义知: |AF2|- |AF1|= 2 , |BF2|- |BF1|= 2 , ∴ |AF2|+|BF2|- |AB|=2 2 ,∴ |AF2|+|BF2|=8+2 2 , 则△ ABF2 的周长为 16+2 2 . 5. A;解析:由题 | AF1 |?

3 b2 3 2 3 | F1 F2 | ,∴ ? ? 2c 即 a 2 ? c 2 ? ac 3 a 3 3

∴c ?
2

2 3 2 3 3 (负值舍去).故答案选 A. ac ? a 2 ? 0 ,∴e2 ? e ? 1 ? 0 解之得: e ? 3 3 3
2 2 m m m ??( 0 ,其焦点为 ( ,0) ( m ? 0 ), y (? nx n)得 ? 0) y 2 ? nx?x (n ? 0) m 2 8 m x2 y2 ? =1 的一个焦点为( ,0), 8 9 n

6.C; 7.C;解析:由 x ?

因 为抛物线与椭圆有一个相同的焦点,所以椭圆 ∴9 ? n ? ( ?

m 2 ) ,得 m2 ? ?64(n ? 9) . ( m ? 0 , 0 ? n ? 9 ) 8

-5-

8.B;解析:由题意

4 m ?n
2 2

>2 即 m2+n2<4,点(m,n)在以原点为圆心,2 为半径的圆内,

与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的交点个数为 2,故答案选 B. 9 4

9.C;解析:对于双曲线

b 1 x2 y 2 ? ,因此 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点到一条渐近线的距离因为 b ,而 2 2c 4 a b 1 3 b ? c, a ? c 2 ? b 2 ? c, 2 2 b 3 ,因此其渐近线方程为 x ? 3 y ? 0 . ? ? a 3

10.D;解析:设 P(x,y),则 Q (-x,y),

3 33 x, 0 ),B(0,3y), ∴ AB AB ?? ( -( x,3 x,3 y )y ) . 2 22 3 从而由 OQ ? AB =(-x,y )· (- x ,3y)=1. 2 3 2 2 得 x ? 3 y ? 1 其中 x>0,y>0,故答案选 D. 2
由 BP ? 2 PA

? ∴ A(

二、填空题: 11. (1,-2,3 ) (1,2,3) 4 解析:过 A 作 AM⊥ xOy 交平面于 M,并延长到 C,使 CM=AM,则 A 与 C'关于 坐标平面 xOy 对称且 C (1,2,3). 过 A 作 AN⊥ x 轴于 N,并延长到点 B,使 NB=AN,则 A 与 B 关于 x 轴对称且 B(1,-2,3). ∴ A(1,2,-3)关于 x 轴对称的点 B(1,-2,3 ). 又 A(1,2,-3)关于坐标平面 xOy 对称的点 C(1,2,3);
2 2 2 ∴ |BC|= (1 ? 1) ? ( ?2 ? 2) ? (3 ? 3) =4.

12.

3

解析:由题意知,直线的方程为 y ? 3( x ? 1) ,与抛物线 C:y 2 ? 4x 联 立得 3x ? 10x ? 3 ? 0 ,
2

求得交

点的横坐标为 x ? 3 或 x ?
21 , 2) 3

1 4 | FA | ,∵ FA ? FB ,又根据抛物线的定义得 | FA |? 4, | FB |? ,∴ =3. 3 | FB | 3

13. (

14.① ③

x2 y 2 ? ?1 解析:∵ |PM|-|PN|=6 ∴ 点 P 在以 M、N 为焦点的双曲线的右支上,即 9 16

(x>0),将直线方程与其联立,方程组有解,判断其答案为① ③ . 三.解答题 17.解:由题意设 A( x ?

P p , 3 x) 代入 y2=2px 得 ( 3 x) 2 ? 2 p( x ? ) 2 2
6分 12 分
-6-

解得 x=p(负值舍去). ∴ A(

3 3 21 p, 3 p ) ∴| OA |? ( p)2 ? 3 p 2 ? p 2 2 2

18.解: (1) 因为动圆 M,过点 F (1, 0) 且与直线 l : x ? ?1 相切,所以圆心 M 到 F 的距离等于到直线 l 的距离.所以, 点 M 的轨迹是以 F 为焦点, l 为准线的抛物线,且 所以所求的轨迹方程为 y 2 ? 4 x (2) 假设存在 A,B 在 y 2 ? 4 x 上, 所以,直线 AB 的方程: y ? y1 ?

p ? 1, p ? 2 , 2
5分

y2 ? y1 y12 y2 ? y1 ( x ? ) ( x ? x1 ) ,即 y ? y1 ? 2 y2 y12 4 x2 ? x1 ? 4 4

7分

y12 4 即 AB 的方程为: y ? y1 ? ( x ? ) ,即 ( y1 ? y2 ) y ? y12 ? y1 y2 ? 4x ? y12 y1 ? y2 4
即: ( y1 ? y2 ) y ? (16 ? 4 x) ? 0 , 令 y ? 0 ,得 x ? 4 , 所以,无论 y1 , y2 为何值,直线 AB 过定点(4,0) 12 分 10 分

20.解: (1)设椭圆 G 的方程为:

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )半焦距为 c; a 2 b2

? 2a ? 12 ? ? a?6 ? 2 2 2 则?c , ?b ? a ? c ? 36 ? 27 ? 9 3 , 解得 ? ? ?c ? 3 3 ? ? 2 ?a
所求椭圆 G 的方程为:

x2 y 2 ? ?1. 36 9

6分

(2)点 AK 的坐标为 ? ?K , 2? , SV AK F1F2 ?

1 1 ? F1 F2 ? 2 ? ? 6 3 ? 2 ? 6 3 . 2 2

8分

2 2 (3)若 k ? 0 ,由 6 ? 0 ? 12k ? 0 ? 21 ? 5 ? 12k f 0 可知点(6,0)在圆 Ck 外,

2 2 若 k ? 0 ,由 (?6) ? 0 ?12k ? 0 ? 21 ? 5 ?12k f 0 可知点(-6,0)在圆 Ck 外;

? 不论 K 为何值圆 Ck 都不能包围椭圆 G.
21.解: (1)设椭圆方程为

12 分

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

?a ? 2b 2 ? ? ?a ? 8 则? 4 解得 1 ? 2 ? 2 ?1 ? ? ?b ? 2 2 b ?a
-7-

2分

∴ 椭圆方程

x2 y2 ? ?1 8 2

4分

(2)∵ 直线 l 平行于 OM,且在 y 轴上的截距为 m 又 K OM ?

1 2 1 x?m 2

∴ l 的方程为: y ?

1 ? y ? x?m ? ? 2 由? 2 2 ?x ? y ?1 ? 2 ?8

? x 2 ? 2m x ? 2m 2 ? 4 ? 0

6分

∵ 直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点,

? ? ? (2m) 2 ? 4(2m2 ? 4) ? 0,
∴ m 的取值范围是 {m | ?2 ? m ? 2且m ? 0} [来源:状元源] (3)设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1,k2,只需证明 k1+k2=0 即可 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ),则k1 ?

y1 ? 1 y ?1 , k2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2

由x 2 ? 2mx ? 2m 2 ? 4 ? 0 可得

x1 ? x2 ? ?2m, x1 x2 ? 2m 2 ? 4
而 k1 ? k 2 ?

8分

y1 ? 1 y 2 ? 1 ( y1 ? 1)(x2 ? 2) ? ( y 2 ? 1)(x1 ? 2) ,? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)(x2 ? 2)

1 1 ( x1 ? m ? 1)(x 2 ? 2) ? ( x 2 ? m ? 1)(x1 ? 2) 2 ? 2 ( x1 ? 2)(x 2 ? 2) ? ? x1 x 2 ? (m ? 2)(x1 ? x 2 ) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)(x 2 ? 2) 2m 2 ? 4 ? (m ? 2)(?2m) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)(x 2 ? 2)

?

2m 2 ? 4 ? 2m 2 ? 4m ? 4m ? 4 ?0 ( x1 ? 2)(x2 ? 2)

10 分

∴ k1+k2=0 故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 22. 解:(1)因为椭圆 E:

12 分

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点, a 2 b2
-8-

2 ?4 ?1 1 ? 2 ?1 ? 2 ? ? ?a 2 ? 8 x2 y 2 ?a b ? a2 8 所以 ? 解得 ? 所以 ? 2 椭圆 E 的方程为 ? ?1 8 4 ?b ? 4 ? 6 ? 1 ?1 ?1 ?1 ? ? ? a 2 b2 ? b2 4

4分

(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB ,设该圆

的 切 线 方 程 为

? y ? kx ? m ? 得 y ? kx ? m 解 方 程 组 ? x 2 y 2 ?1 ? ? 4 ?8

x2 ? 2(kx ? m)2 ? 8 , 即

(1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 ,
则△ = 16k 2m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 8) ? 8(8k 2 ? m2 ? 4) ? 0 ,即 8k ? m ? 4 ? 0
2 2

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 ? 2 ? x x ? 2m ? 8 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?
22 22 22 22 22 22 (2 m m ?? 8) 8) 44 kk m m m ?? 88 kk 22 2 2 kk (2 22 m y1 yy y ? ? ( kx ( kx ? ? m m )( )( kx kx ? ? m m ) ) ? ? k k x x x x ? ? km km ( x ( x ? ? x x ) ) ? ? m m ? ? ? ? ? ? m m ? ? 12 2 11 22 1 12 2 11 22 22 22 22 11 ?? 22 kk 11 ?? 22 kk 11 ?? 22 kk

要使 OA ? OB ,需使 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即

2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 ? ? 0 ,所以 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

3m2 ? 8k 2 ? 8 ? 0 ,
所以 k ?
2

3m2 ? 8 ? 0 又 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0 , 8

? m2 ? 2 8 2 6 2 6 2 所以 ? 2 ,所以 m ? ,即 m ? 或m? ? , 3 3 3 ? 3m ? 8
因为直线 y ? kx ? m 为圆心在原点的圆的一条切线,

m2 m2 8 2 6 ? ? ,r ? 所以圆的半径为 r ? ,r ? , 2 2 2 3m ? 8 3 1? k 3 1? k 1? 8

m

2

所求的圆为 x ? y ?
2 2

8 2 6 2 6 ,此时圆的切线 y ? kx ? m 都满足 m ? 或m ? ? , 3 3 3

而当切线的斜率不存在时切线为 x ? ?

x2 y 2 2 6 2 6 2 6 ? ?1 的 两 个 交 点 为 ( ,? )或 与椭圆 8 4 3 3 3
-9-

(?

2 6 2 6 ,? ) 满足 OA ? OB , 3 3
2 2

综上 , 存在圆心在原点的圆 x ? y ?

8 ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B, 且 3

OA ? OB .
4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 因为 ? , 2 ? x x ? 2m ? 8 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?

4km 2 2m2 ? 8 8(8k 2 ? m2 ? 4) 所以 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? (? , ) ? 4? ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 (1 ? 2k 2 )2
2 2

| AB |? ( x1 ? x2 ) ? ? y1 ? y2 ?
2

2

8(8k 2 ? m2 ? 4) ? (1 ? k )( x1 ? x2 ) ? (1 ? k ) (1 ? 2k 2 ) 2
2 2 2

?

32 4k 4 ? 5k 2 ? 1 32 k2 ? 4 ? [1 ? ], 3 4k ? 4k 2 ? 1 3 4k 4 ? 4k 2 ? 1
32 1 [1 ? ] 1 3 2 4k ? 2 ? 4 k

8分

① 当 k ? 0 时 | AB |?

因为 4k ?
2

1 ? 4 ? 8 所以 0 ? k2

1 1 ? , 1 4k 2 ? 2 ? 4 8 k

所以

32 32 1 ? [1 ? ] ? 12 , 1 3 3 2 4k ? 2 ? 4 k
4 2 6 ?| AB |? 2 3 当且仅当 k ? ? 时取“=”. 3 2

所以

②k ? 0 时, | AB |?

4 6 .[来源:zyy100.com] 3 2 6 2 6 2 6 2 6 ,? ) 或 (? ,? ), 3 3 3 3

③ 当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为 (

所以此时 | AB |?

4 6 , 3

12 分

综上, |AB |的取值范围为

4 4 6 ?| AB |? 2 3 即: | AB |? [ 6, 2 3] 3 3
- 10 -

14 分

高 考 资


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