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湖北省孝感市汉川市四校联考2016届中考数学模拟试题(含解析)


湖北省孝感市汉川市四校联考 2016 届中考数学模拟试题
一、选择题(共 10 题,每小题 3 分,共 30 分) 1.下列判断中,正确的是( ) A.相似图形一定是位似图形 B.位似图形一定是相似图形 C.全等的图形一定是位似图形 D.位似图形一定是全等图形 2 2.抛物线 y=ax +bx﹣3 过点(2,4),则代数式 8a+4b+1 的值为( A.﹣2 B.2 C.15 D.﹣15 3.在△ABC 中,(2cosA﹣ ) +|1﹣tanB|=0,则△ABC 一定是(
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A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 4.小江玩投掷飞镖的游戏,他设计了一个如图所示的靶子,点 E、F 分别是矩形 ABCD 的两边 AD、 BC 上的点,EF∥AB,点 M、N 是 EF 上任意两点,则投掷一次,飞镖落在阴影部分的概率是( )

A.

B.

C.

D. ,AE=BE,则有( )

5.如图,在正三角形 ABC 中,D,E 分别在 AC,AB 上,且

A.△AED∽△BED B.△AED∽△CBD C.△AED∽△ABD D.△BAD∽△BCD 6.设一元二次方程(x﹣1)(x﹣2)=m(m>0)的两实根分别为 α ,β ,且 α <β ,则 α ,β 满 足( ) A.1<α <β <2 B.1<α <2<β C.α <1<β <2 D.α <1 且 β >2 7.如图,在正方形 ABCD 中,E 为 DC 边上的点,连接 BE,将△BCE 绕点 C 顺时针方向旋转 90°得到 △DCF,连接 EF,若∠BEC=60°,则∠EFD 的度数为( )

A.10° B.15° C.20° D.25° 8.已知一次函数 y=2x+2 与 x 轴 y 轴分别交于 A、B 两点,另一直线 y=kx+3 交 x 轴正半轴于 E、交 y 轴于 F 点,如△AOB 与 E、F、O 三点组成的三角形相似,那么 k 值为( ) A.﹣0.5 B.﹣2 C.﹣0.5 或﹣2 D.以上都不对

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9.二次函数 y=ax +bx+c(a、b、c 为常数且 a≠0)中的 x 与 y 的部分对应值如下表: x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 y 12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12 给出了结论: 2 (1)二次函数 y=ax +bx+c 有最小值,最小值为﹣3; (2)当 时,y<0; 2 (3)二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴有两个交点,且它们分别在 y 轴两侧.则其中正确结论的 个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 10. 如图, 已知第一象限内的点 A 在反比例函数 y= 的图象上, 第二象限内的点 B 在反比例函数 y= 的图象上,且 OA⊥OB,cosA= ,则 k 的值为( )

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A.﹣3 B.﹣4 C.﹣

D.﹣2

二、填空题(共 6 题,每小题 3 分,共 18 分) 11.计算 tan1°?tan2°?tan3°?…?tan88°?tan89°= . 12.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=1,E 为 BC 边上的一点,以 A 为圆心,AE 为半径的 2 圆弧交 AB 于点 D,交 AC 的延长于点 F,若图中两个阴影部分的面积相等,则 AF 为 .

13.一圆锥的侧面展开后是扇形,该扇形的圆心角为 120°,半径为 6cm,则此圆锥的底面圆的面积 2 为 cm . 14.如图,在平行四边形 ABCD 中,E、F 分别是边 AD、BC 的中点,AC 分别交 BE、DF 于点 M、N.给 出 下 列 结 论 : ①△ABM≌△CDN ; ②AM= AC ; ③DN=2NF ; ④S△AMB= (只填序号) S△ABC . 其 中 正 确 的 结 论 是

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15.由若干个相同的小立方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示,俯视图的方格中的字 母和数字表示该位置上小立方体的个数,求 x= ,y= .

16.如图,AB 为半⊙O 的直径,C 为半圆弧的三等分点,过 B,C 两点的半⊙O 的切线交于点 P,若 AB 的长是 2a,则 PA 的长是 .

三、解答题(本大题共 9 题,共 72 分) 17.计算:|﹣3|+ ?tan30°﹣
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﹣(2008﹣π ) .

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18.用适当的方法解方程:x +4x﹣1=0. 19.现有形状、大小、颜色完全一样的三张卡片,上面分别标有数字“1”、“2”、“3”,第一次 从这三张卡片中随机抽取一张,记下数字后放回;第二次在从这三张卡片中随机抽取一张并记下数 字.请用列表或画树状图的方法表示出上述试验所有可能的结果,并求第二次抽取的数字大于第一 次抽取的数字的概率. 2 2 20.设 a,b 是方程 x +x﹣2017=0 的两个实数根,则 a +2a+b 的值为多少. 21.如图所示,AB 是⊙O 的直径,AD 是弦,∠DAB=20°,延长 AB 到点 C,使得∠ACD= 50°,求证:CD 是⊙O 的切线.

22.一艘观光游船从港口 A 以北偏东 60°的方向出港观光,航行 80 海里至 C 处时发生了侧翻沉船 事故,立即发出了求救信号,一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号,测得事故船在它的北偏 东 37°方向, 马上以 40 海里每小时的速度前往救援, 求海警船到达事故船 C 处所需的大约时间. (温 馨提示:sin53°≈0.8,cos53°≈0.6)

23.如图,A、B、C、D 为矩形的四个顶点,AB=16cm,AD=6cm,动点 P、Q 分别从点 A、C 同时出发,

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点 P 以 3cm/s 的速度向点 B 移动,一直到达 B 为止,点 Q 以 2 cm/s 的速度向 D 移动. 2 (1)P、Q 两点从出发开始到几秒?四边形 PBCQ 的面积为 33cm ; (2)P、Q 两点从出发开始到几秒时?点 P 和点 Q 的距离是 10cm.

24.如图,矩形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x 轴和 y 轴上,点 B 的坐标为(2,3).双曲线 y= (x> 0)的图象经过 BC 的中点 D,且与 AB 交于点 E,连接 DE. (1)求 k 的值及点 E 的坐标; (2)若点 F 是 OC 边上一点,且△FBC∽△DEB,求直线 FB 的解析式.

25.如图,已知抛物线 y=ax ﹣4x+c 经过点 A(0,﹣6)和 B(3,﹣9). (1)求出抛物线的解析式; (2)写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标; (3)点 P(m,m)与点 Q 均在抛物线上(其中 m>0),且这两点关于抛物线的对称轴对称,求 m 的 值及点 Q 的坐标; (4)在满足(3)的情况下,在抛物线的对称轴上寻找一点 M,使得△QMA 的周长最小.

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2016 年湖北省孝感市汉川市四校联考中考数学模拟试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(共 10 题,每小题 3 分,共 30 分) 1.下列判断中,正确的是( ) A.相似图形一定是位似图形 B.位似图形一定是相似图形 C.全等的图形一定是位似图形 D.位似图形一定是全等图形 【考点】位似变换. 【分析】根据位似图形是特殊的相似可以得到位似图形一定是相似图形. 【解答】解:A、如果两个图形是位似图形,那么这两个图形必是相似图形,但是相似的两个图形不 一定是位似图形,故此选项错误; B、利用位似的定义可知,位似图形一定是相似图形,故正确; C、全等的图形不一定是位似图形,故此选项错误; D、位似图形是特殊的相似图形,相似图形不一定全等,故此选项错误, 故选 B. 【点评】此题主要考查了位似的性质,以及位似图形的画法,难度不大,考查知识比较全面. 2.抛物线 y=ax +bx﹣3 过点(2,4),则代数式 8a+4b+1 的值为( ) A.﹣2 B.2 C.15 D.﹣15 【考点】二次函数图象上点的坐标特征;代数式求值. 【分析】根据图象上点的性质,将(2,4)代入得出 4a+2b=7,即可得出答案. 2 【解答】解:∵y=ax +bx﹣3 过点(2,4), ∴4=4a+2b﹣3, ∴4a+2b=7, ∴8a+4b+1=2×7+1=15, 故选:C. 【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征以及代数式求值,根据题意得出 4a+2b=7 是 解决问题的关键.
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3.在△ABC 中,(2cosA﹣

) +|1﹣tanB|=0,则△ABC 一定是(

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A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 【考点】特殊角的三角函数值;非负数的性质:绝对值;非负数的性质:偶次方. 【分析】根据非负数的和为零,可得每个非负数同时为零,根据特殊角三角函数值,可得 A、B 的值, 根据直角三角形的判定,可得答案. 【解答】解:由,(2cosA﹣ 2cosA= ,1﹣tanB=0. ) +|1﹣tanB|=0,得
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解得 A=45°,B=45°, 则△ABC 一定是等腰直角三角形, 故选:D.

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【点评】本题考查了特殊角三角函数值,熟记特殊角三角函数值是解题关键. 4.小江玩投掷飞镖的游戏,他设计了一个如图所示的靶子,点 E、F 分别是矩形 ABCD 的两边 AD、 BC 上的点,EF∥AB,点 M、N 是 EF 上任意两点,则投掷一次,飞镖落在阴影部分的概率是( )

A. B. C. D. 【考点】几何概率. 【分析】 将图形分为四边形 ABFE 和四边形 DCFE 两部分, 可得四边形 ABFE 内阴影部分是四边形 ABFE 面积的一半,四边形 DCFE 内阴影部分是四边形 DCFE 面积的一半,从而可得飞镖落在阴影部分的概 率. 【解答】解:∵四边形 ABFE 内阴影部分面积= ×四边形 ABFE 面积, 四边形 DCFE 内阴影部分面积= ×四边形 DCFE 面积, ∴阴影部分的面积= ×矩形 ABCD 的面积, ∴飞镖落在阴影部分的概率是 . 故选:C. 【点评】此题考查同学的看图能力以及概率计算公式,从图中找到题目中所要求的信息.用到的知 识点为:概率=相应的面积与总面积之比.

5.如图,在正三角形 ABC 中,D,E 分别在 AC,AB 上,且

,AE=BE,则有(



A.△AED∽△BED B.△AED∽△CBD C.△AED∽△ABD D.△BAD∽△BCD 【考点】相似三角形的判定;等边三角形的性质. 【专题】压轴题. 【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似,可判定△AED∽△CBD. 【解答】解:∵AD:AC=1:3, ∴AD:DC=1:2; ∵△ABC 是正三角形, ∴AB=BC=AC; ∵AE=BE, ∴AE:BC=AE:AB=1:2

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∴AD:DC=AE:BC; ∵∠A 为公共角, ∴△AED∽△CBD; 故选 B. 【点评】考查相似三角形的判定定理: (1)两角对应相等的两个三角形相似; (2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似; (3)三边对应成比例的两个三角形相似. 6.设一元二次方程(x﹣1)(x﹣2)=m(m>0)的两实根分别为 α ,β ,且 α <β ,则 α ,β 满 足( ) A.1<α <β <2 B.1<α <2<β C.α <1<β <2 D.α <1 且 β >2 【考点】抛物线与 x 轴的交点;根与系数的关系. 【专题】压轴题;数形结合. 【分析】先令 m=0 求出函数 y=(x﹣1)(x﹣2)的图象与 x 轴的交点,画出函数图象,利用数形结 合即可求出 α ,β 的取值范围. 【解答】解:令 m=0, 则函数 y=(x﹣1)(x﹣2)的图象与 x 轴的交点分别为(1,0),(2,0), 故此函数的图象为: ∵m>0, ∴原顶点沿抛物线对称轴向下移动,两个根沿对称轴向两边逐步增大, ∴α <1,β >2. 故选 D.

【点评】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点,能根据 x 轴上点的坐标特点求出函数 y=(x﹣1)(x ﹣2)与 x 轴的交点,画出函数图象,利用数形结合解答是解答此题的关键. 7.如图,在正方形 ABCD 中,E 为 DC 边上的点,连接 BE,将△BCE 绕点 C 顺时针方向旋转 90°得到 △DCF,连接 EF,若∠BEC=60°,则∠EFD 的度数为( )

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A.10° B.15° C.20° D.25° 【考点】旋转的性质;正方形的性质. 【分析】由旋转前后的对应角相等可知,∠DFC=∠BEC=60°;一个特殊三角形△ECF 为等腰直角三 角形,可知∠EFC=45°,把这两个角作差即可. 【解答】解:∵△BCE 绕点 C 顺时针方向旋转 90°得到△DCF, ∴CE=CF,∠DFC=∠BEC=60°,∠EFC=45°, ∴∠EFD=60°﹣45°=15°. 故选:B. 【点评】本题考查旋转的性质和正方形的性质:旋转变化前后,对应线段、对应角分别相等,图形 的大小、形状都不改变.要注意旋转的三要素:①定点﹣旋转中心;②旋转方向;③旋转角度. 8.已知一次函数 y=2x+2 与 x 轴 y 轴分别交于 A、B 两点,另一直线 y=kx+3 交 x 轴正半轴于 E、交 y 轴于 F 点,如△AOB 与 E、F、O 三点组成的三角形相似,那么 k 值为( ) A.﹣0.5 B.﹣2 C.﹣0.5 或﹣2 D.以上都不对 【考点】相似三角形的判定;一次函数图象上点的坐标特征. 【分析】根据直线解析式求出点 A、B、F 的坐标,再根据相似三角形对应边成比例分 OE 和 OA、OB 是对应边两种情况讨论求出 OE 的长,然后求出直线 y=kx+3 的解析式,即可得解. 【解答】解:∵一次函数 y=2x+2 与 x 轴 y 轴交于 A、B 两点, ∴A(﹣1,0),B(0,2), ∴OA=1,OB=2, ∵直线 y=kx+3 交 y 轴于 F 点, ∴F(0,3), ∴OF=3, ∵△AOB 与 E、F、O 三点组成的三角形相似, ∴ 即 = 或 = = , ,

= 或

解得 OE= 或 OE=6, 当 OE= 时,y=﹣2x+3, 或 OE=6 时,y=﹣ x+3, 所以,k=﹣2 或﹣ . 故选:C. 【点评】本题考查了相似三角形对应边成比例的性质,两直线相交的问题,难点是要分情况讨论. 9.二次函数 y=ax +bx+c(a、b、c 为常数且 a≠0)中的 x 与 y 的部分对应值如下表: x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 y 12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12 给出了结论: 2 (1)二次函数 y=ax +bx+c 有最小值,最小值为﹣3;
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(2)当 时,y<0; 2 (3)二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴有两个交点,且它们分别在 y 轴两侧.则其中正确结论的 个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 【考点】二次函数的最值;抛物线与 x 轴的交点. 【专题】压轴题. 【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线 x=1,然后根据二次函数的性质对各小题分析 判断即可得解. 【解答】解;由表格数据可知,二次函数的对称轴为直线 x=1, 2 所以,当 x=1 时,二次函数 y=ax +bx+c 有最小值,最小值为﹣4;故(1)小题错误; 根据表格数据,当﹣1<x<3 时,y<0, 所以,﹣ <x<2 时,y<0 正确,故(2)小题正确; 2 二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴有两个交点,分别为(﹣1,0)(3,0),它们分别在 y 轴两侧, 故(3)小题正确; 综上所述,结论正确的是(2)(3)共 2 个. 故选 B. 【点评】本题考查了二次函数的最值,抛物线与 x 轴的交点,仔细分析表格数据,熟练掌握二次函 数的性质是解题的关键.

10. 如图, 已知第一象限内的点 A 在反比例函数 y= 的图象上, 第二象限内的点 B 在反比例函数 y= 的图象上,且 OA⊥OB,cosA= ,则 k 的值为( )

A.﹣3 B.﹣4 C.﹣

D.﹣2

【考点】反比例函数综合题. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】过 A 作 AE⊥x 轴,过 B 作 BF⊥x 轴,由 OA 与 OB 垂直,再利用邻补角定义得到一对角互余, 再由直角三角形 BOF 中的两锐角互余,利用同角的余角相等得到一对角相等,又一对直角相等,利 用两对对应角相等的三角形相似得到三角形 BOF 与三角形 OEA 相似,在直角三角形 AOB 中,由锐角 三角函数定义, 根据 cos∠BAO 的值, 设出 AB 与 OA, 利用勾股定理表示出 OB, 求出 OB 与 OA 的比值, 即为相似比,根据面积之比等于相似比的平方,求出两三角形面积之比,由 A 在反比例函数 y= 上, 利用反比例函数比例系数的几何意义求出三角形 AOE 的面积,进而确定出 BOF 的面积,再利用 k 的 集合意义即可求出 k 的值. 【解答】解:过 A 作 AE⊥x 轴,过 B 作 BF⊥x 轴,

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∵OA⊥OB, ∴∠AOB=90°, ∴∠BOF+∠EOA=90°, ∵∠BOF+∠FBO=90°, ∴∠EOA=∠FBO, ∵∠BFO=∠OEA=90°, ∴△BFO∽△OEA, 在 Rt△AOB 中,cos∠BAO= 设 AB= = , ,

,则 OA=1,根据勾股定理得:BO= :1,

∴OB:OA=

∴S△BFO:S△OEA=2:1, ∵A 在反比例函数 y= 上, ∴S△OEA=1, ∴S△BFO=2, 则 k=﹣4. 故选:B.

【点评】此题属于反比例函数综合题,涉及的知识有:相似三角形的判定与性质,锐角三角函数定 义,勾股定理,以及反比例函数 k 的几何意义,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键. 二、填空题(共 6 题,每小题 3 分,共 18 分) 11.计算 tan1°?tan2°?tan3°?…?tan88°?tan89°= 1 . 【考点】互余两角三角函数的关系. 【分析】根据一个角的正切函数等于它余角的余切函数,根据同一个正切乘以余切的乘积为 1,可 得答案. 【解答】解:原式=cot89°?cot88°?cot87°?cot86°?…?tan86°?tan87°?tan88°?tan89° =(tan89°?cot89°)?(tan88°?cot88°)?(tan87°?cot87°)?tan45° =1. 故答案为:1. 【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系,利用一个角的正切函数等于它余角的余切函数是解 题关键. 12.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=1,E 为 BC 边上的一点,以 A 为圆心,AE 为半径的 圆弧交 AB 于点 D,交 AC 的延长于点 F,若图中两个阴影部分的面积相等,则 AF 为
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【考点】扇形面积的计算. 【分析】若两个阴影部分的面积相等,那么△ABC 和扇形 ADF 的面积就相等,可分别表示出两者的 面积,然后列出方程即可求出 AF 的长度. 【解答】解:∵图中两个阴影部分的面积相等,

∴S 扇形 ADF=S△ABC,即: 又∵AC=BC=1, ∴AF =
2

= ×AC×BC,

. .

故答案为:

【点评】此题主要考查了扇形面积的计算方法及等腰直角三角形的性质,能够根据题意得到△ABC 和扇形 ADF 的面积相等,是解决此题的关键,难度一般. 13.一圆锥的侧面展开后是扇形,该扇形的圆心角为 120°,半径为 6cm,则此圆锥的底面圆的面积 2 为 4π cm . 【考点】圆锥的计算. 【专题】计算题. 【分析】设圆锥的底面圆的半径为 r,根据圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥 底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到 2π r= 的面积公式求解. 【解答】解:设圆锥的底面圆的半径为 r, ,然后求出 r 后利用圆

根据题意得 2π r= ,解得 r=2, 2 2 所以圆锥的底面圆的面积=π ?2 =4π (cm ). 故答案为 4π . 【点评】本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周 长,扇形的半径等于圆锥的母线长.

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14.如图,在平行四边形 ABCD 中,E、F 分别是边 AD、BC 的中点,AC 分别交 BE、DF 于点 M、N.给 出下列结论:①△ABM≌△CDN;②AM= AC;③DN=2NF;④S△AMB= S△ABC.其中正确的结论是 (只填序号) ①②③

【考点】平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质. 【分析】关键是证明四边形 BFDE 是平行四边形?BE∥DF,就可以利用平行线等分线段定理或利用相 似推出其他结论了. 【解答】解:在?ABCD 中,AD∥BC,AD=BC, 又 E、F 分别是边 AD、BC 的中点, ∴BF∥DE,BF=DE, ∴四边形 BFDE 是平行四边形, ∴BE∥DF, ∴∠AMB=∠ANF=∠DNC, ∵∠BAM=∠DCN,AB=CD, ∴△ABM≌△CDN; E 是 AD 的中点,BE∥DF, ∴M 是 AN 的中点, 同理 N 是 CM 的中点, ∴AM= AC, ∵DN=BM=2NF; ∴S△AMB= S△ABC.不成立, ∴正确的结论是①②③, 故答案为:①②③. 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形全等的判定,还考查了平行线等分线段定理等, 难度中等. 15.由若干个相同的小立方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示,俯视图的方格中的字 母和数字表示该位置上小立方体的个数,求 x= 1 或 2 ,y= 3 .

【考点】由三视图判断几何体. 【分析】俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数,结合主视图 2 列中的个数,分析其中的数 字,从而求解.

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【解答】解:由俯视图可知,该组合体有两行两列, 左边一列前一行有两个正方体,结合主视图可知左边一列叠有 2 个正方体,故 x=1 或 2; 由主视图右边一列可知,右边一列最高可以叠 3 个正方体,故 y=3. 故答案为:1 或 2;3. 【点评】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力.注意找到该几何体的主 视图中每列小正方体最多的个数. 16.如图,AB 为半⊙O 的直径,C 为半圆弧的三等分点,过 B,C 两点的半⊙O 的切线交于点 P,若 AB 的长是 2a,则 PA 的长是 .

【考点】切线的性质;圆心角、弧、弦的关系;切线长定理. 【分析】连接 OC、OP;由于 C 是半圆的三等分点,那么∠BOC=120°,进而可由切线长定理求得 ∠POB=60°;在 Rt△POB 中,根据半径 OB 的长以及∠POB 的度数,可求得 PB 的值,进而可由勾股 定理求得 AP 的长. 【解答】解:连接 OC、OP; ∵C 为半圆弧的三等分点, ∴∠BOC=120°; 已知 PC、PB 都是⊙O 的切线, 由切线长定理知:∠POB= ∠BOC=60°; 在 Rt△POB 中,OB=a,∠POB=60°,则 PB= 在 Rt△ABP 中,由勾股定理得: AP= = = a. a;

【点评】此题主要考查的知识点是:圆心角、弧、弦的关系,切线的性质、切线长定理以及解直角 三角形的应用等知识,难度不大. 三、解答题(本大题共 9 题,共 72 分) 17.计算:|﹣3|+ ?tan30°﹣ ﹣(2008﹣π ) .
0

【考点】特殊角的三角函数值;绝对值;立方根;零指数幂. 【专题】计算题.

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【分析】按照实数的运算法则依次计算:|﹣3|=3,tan30°=



=2,(2008﹣π ) =1.

0

【解答】解:原式= =3+1﹣2﹣1=1. (注:只写后两步也给满分.) 【点评】本题重点考查有理数的绝对值和求代数式值.涉及知识:负指数为正指数的倒数;任何非 0 数的 0 次幂等于 1;绝对值的化简;二次根式的化简. 18.用适当的方法解方程:x +4x﹣1=0. 【考点】解一元二次方程-配方法. 【分析】可用配方法求解,把常数项﹣1 移项后,应该在左右两边同时加上 4. 2 【解答】解:∵x +4x﹣1=0 2 ∴x +4x+4=1+4 2 ∴(x+2) =5 ∴x+2=± , 【点评】配方法的一般步骤: (1)把常数项移到等号的右边; (2)把二次项的系数化为 1; (3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方. 选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为 1,一次项的系数是 2 的倍数. 19.现有形状、大小、颜色完全一样的三张卡片,上面分别标有数字“1”、“2”、“3”,第一次 从这三张卡片中随机抽取一张,记下数字后放回;第二次在从这三张卡片中随机抽取一张并记下数 字.请用列表或画树状图的方法表示出上述试验所有可能的结果,并求第二次抽取的数字大于第一 次抽取的数字的概率. 【考点】列表法与树状图法. 【分析】首先根据题意画出树状图,由树状图即可求得所有等可能的结果与第二次抽取的数字大于 第一次抽取的数字的情况,然后由概率公式即可求得答案. 【解答】解:画树状图得: ∵共有 9 种等可能的结果,第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的有 3 种情况, ∴第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率为: = .
2

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所 有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;解题时 要注意此题是放回实验还是不放回实验.

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20.设 a,b 是方程 x +x﹣2017=0 的两个实数根,则 a +2a+b 的值为多少. 【考点】根与系数的关系;一元二次方程的解. 2 2 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到 a =﹣a+2017,则 a +2a+b=2017+a+b,然后根据根与系 数的关系得到 a+b=﹣1,再利用整体代入的方法计算. 2 【解答】解:∵a 是方程 x +x﹣2017=0 的根, 2 ∴a +a﹣2017=0, 2 ∴a =﹣a+2017, 2 ∴a +2a+b=﹣a+2017+2a+b=2017+a+b, 2 ∵a,b 是方程 x +x﹣2017=0 的两个实数根, ∴a+b=﹣1, 2 ∴a +2a+b=2017﹣1=2016. 2 【点评】 本题考查了根与系数的关系: 若 x1, x2 是一元二次方程 ax +bx+c=0 (a≠0) 的两根时, x1+x2= ﹣ ,x1x2= .也考查了一元二次方程的解. 21.如图所示,AB 是⊙O 的直径,AD 是弦,∠DAB=20°,延长 AB 到点 C,使得∠ACD= 50°,求证:CD 是⊙O 的切线.

2

2

【考点】切线的判定. 【专题】证明题. 【分析】连接 DO ,根据等腰三角形的性质得到∠DAO=∠ADO=20°,根据外角的性质性质得到 ∠DOC=40°,由∠ACD=50°,根据三角形的内角和得到∠ODC=90°.即可得到结论. 【解答】证明:连接 DO, ∵AO=DO, ∴∠DAO=∠ADO=20°, ∴∠COD=∠A+∠ADO=40°, ∵∠ACD=50°, ∴∠ODC=90°. ∴CD 是⊙O 的切线.

【点评】本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即 为半径),再证垂直即可. 22.一艘观光游船从港口 A 以北偏东 60°的方向出港观光,航行 80 海里至 C 处时发生了侧翻沉船

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事故,立即发出了求救信号,一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号,测得事故船在它的北偏 东 37°方向, 马上以 40 海里每小时的速度前往救援, 求海警船到达事故船 C 处所需的大约时间. (温 馨提示:sin53°≈0.8,cos53°≈0.6)

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题. 【专题】几何图形问题. 【分析】过点 C 作 CD⊥AB 交 AB 延长线于 D.先解 Rt△ACD 得出 CD= AC=40 海里,再解 Rt△CBD 中, 得出 BC= ≈50,然后根据时间=路程÷速度即可求出海警船到达事故船 C 处所需的时间. 【解答】解:如图,过点 C 作 CD⊥AB 交 AB 延长线于 D. 在 Rt△ACD 中,∵∠ADC=90°,∠CAD=30°,AC=80 海里, ∴CD= AC=40 海里. 在 Rt△CBD 中,∵∠CDB=90°,∠CBD=90°﹣37°=53°, ∴BC= ≈ =50(海里),

∴海警船到达事故船 C 处所需的时间大约为:50÷40= (小时).

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,难度适中,作出辅助线构造直角三角形是 解题的关键. 23.如图,A、B、C、D 为矩形的四个顶点,AB=16cm,AD=6cm,动点 P、Q 分别从点 A、C 同时出发, 点 P 以 3cm/s 的速度向点 B 移动,一直到达 B 为止,点 Q 以 2 cm/s 的速度向 D 移动. 2 (1)P、Q 两点从出发开始到几秒?四边形 PBCQ 的面积为 33cm ; (2)P、Q 两点从出发开始到几秒时?点 P 和点 Q 的距离是 10cm.

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【考点】一元二次方程的应用. 【专题】几何动点问题;压轴题. 2 【分析】(1)设 P、Q 两点从出发开始到 x 秒时四边形 PBCQ 的面积为 33cm ,则 PB=(16﹣3x)cm, QC=2xcm,根据梯形的面积公式可列方程: (16﹣3x+2x)×6=33,解方程可得解; (2)作 QE⊥AB,垂足为 E,设运动时间为 t 秒,用 t 表示线段长,用勾股定理列方程求解. 2 【解答】解:(1)设 P、Q 两点从出发开始到 x 秒时四边形 PBCQ 的面积为 33cm , 则 PB=(16﹣3x)cm,QC=2xcm, 根据梯形的面积公式得 (16﹣3x+2x)×6=33, 解之得 x=5, (2)设 P,Q 两点从出发经过 t 秒时,点 P,Q 间的距离是 10cm, 作 QE⊥AB,垂足为 E, 则 QE=AD=6,PQ=10, ∵PA=3t,CQ=BE=2t, ∴PE=AB﹣AP﹣BE=|16﹣5t|, 2 2 2 由勾股定理,得(16﹣5t) +6 =10 , 解得 t1=4.8,t2=1.6. 2 答:(1)P、Q 两点从出发开始到 5 秒时四边形 PBCQ 的面积为 33cm ; (2)从出发到 1.6 秒或 4.8 秒时,点 P 和点 Q 的距离是 10cm.

【点评】(1)主要用到了梯形的面积公式:S= (上底+下底)×高;(2)作辅助线是关键,构成 直角三角形后,用了勾股定理.

24.如图,矩形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x 轴和 y 轴上,点 B 的坐标为(2,3).双曲线 y= (x> 0)的图象经过 BC 的中点 D,且与 AB 交于点 E,连接 DE.

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(1)求 k 的值及点 E 的坐标; (2)若点 F 是 OC 边上一点,且△FBC∽△DEB,求直线 FB 的解析式.

【考点】反比例函数综合题. 【分析】(1)首先根据点 B 的坐标和点 D 为 BC 的中点表示出点 D 的坐标,代入反比例函数的解析 式求得 k 值,然后将点 E 的横坐标代入求得 E 点的纵坐标即可; (2)根据△FBC∽△DEB,利用相似三角形对应边的比相等确定点 F 的坐标后即可求得直线 FB 的解 析式. 【解答】解:(1)∵BC∥x 轴,点 B 的坐标为(2,3), ∴BC=2, ∵点 D 为 BC 的中点, ∴CD=1, ∴点 D 的坐标为(1,3), 代入双曲线 y= (x>0)得 k=1×3=3; ∵BA∥y 轴, ∴点 E 的横坐标与点 B 的横坐标相等,为 2, ∵点 E 在双曲线上, ∴y= ∴点 E 的坐标为(2, );

(2)∵点 E 的坐标为(2, ),B 的坐标为(2,3),点 D 的坐标为(1,3), ∴BD=1,BE= ,BC=2 ∵△FBC∽△DEB, ∴

即: ∴FC=

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∴点 F 的坐标为(0, ) 设直线 FB 的解析式 y=kx+b(k≠0)

则 解得:k= ,b= ∴直线 FB 的解析式 y= 【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式,以及矩形的性质,解题时注意点的坐标与线段 长的相互转化. 25.如图,已知抛物线 y=ax ﹣4x+c 经过点 A(0,﹣6)和 B(3,﹣9). (1)求出抛物线的解析式; (2)写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标; (3)点 P(m,m)与点 Q 均在抛物线上(其中 m>0),且这两点关于抛物线的对称轴对称,求 m 的 值及点 Q 的坐标; (4)在满足(3)的情况下,在抛物线的对称轴上寻找一点 M,使得△QMA 的周长最小.
2

【考点】二次函数综合题. 【专题】综合题. 2 【分析】(1)把把 A 点和 B 点坐标代入 y=ax ﹣4x+c 得关于 a 和 c 的方程组,然后解方程求出 a 和 c 即可得到抛物线解析式; (2)把(1)中的解析式配成顶点式即可得到抛物线的对称轴方程和顶点坐标; 2 (3)把 P(m,m)代入 y=x ﹣4x﹣6 得 m 的一元二次方程,解方程求出 m 得到 P 点坐标,然后利用 对称性确定 Q 点坐标; (4)连结 AP 交直线 x=2 于点 M,如图,利用两点之间线段最短可判断此时 MQ+MA 最小,则△QMA 的 周长最小,再利用待定系数法求出直线 AP 的解析式,然后计算自变量为 2 的函数值即可得到满足条 件的 M 点坐标.

【解答】解: (1)把 A(0,﹣6),B(3,﹣9)代入 y=ax ﹣4x+c 得 所以抛物线解析式为 y=x ﹣4x﹣6; 2 2 (2)因为 y=x ﹣4x﹣6=(x﹣2) ﹣10, 所以抛物线的对称轴方程为 x=2,抛物线的顶点坐标为(2,10); 2 2 (3)把 P(m,m)代入 y=x ﹣4x﹣6 得 m ﹣4m﹣6=m, 2 整理得 m ﹣5m﹣6=0,解得 m1=﹣1(舍去),m2=6,则 P 点坐标为(6,6),
2

2

,解得



19

点 P(6,6)关于直线 x=2 的对称点为(﹣2,6), 即点 Q 的坐标为(﹣2,6); (4)连结 AP 交直线 x=2 于点 M,如图, ∵P 点和 Q 点关于抛物线的对称轴对称, ∵MA=MP, ∴MQ+MA=MP+MP=AP, ∴此时 MQ+MA 最小,则△QMA 的周长最小, 设 AP 的解析式为 y=kx+b,

把 A(0,﹣6),P(6,6)代入得 ∴直线 AP 的解析式为 y=2x﹣6, 当 x=2 时,y=2x﹣6=﹣2, ∴当 M(2,﹣2)时,△QMA 的周长最小.

,解得



【点评】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质; 会运用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式;会利用两点之间线段最短解决最短路径问题; 理解坐标与图形的性质.

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