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天津市天津一中2012-2013学年高一下学期期中考试 数学


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天津一中 2012—2013 高一年级第二学期数学期中考试试卷 一、选择题: 1.丌等式 A. ( ?2,1) C. (1, ?? ) B. ? 5

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x ?1 x?2

? 0 的解集是为(

) B. ( ?? , ?2) D. ( ?? , ?2) ? (1, ?? ) ) D. ? 7 ) D.34 ②若 ac ? bc ,则 a ? b
2 2

2.已知数列 {a n } 为等比数列, a 4 ? a 7 ? 2 , a 5 ? a 6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 的值为( A. 7 C. 5 3.设 ? a n ? 是等差数列, a6 ? 2 且 S 5 ? 30 ,则 S 8 ? ( A.31
2

B.32
2

C.33 ④若 c ? a ? b ? 0 ,则

4.对于实数 a , b, c ,有下列命题: ①若 a ? b ,则 ac ? bc ③若 a ? b ? 0 ,则 a ? ab ? b ⑤若 a ? b , A. 2

a b ? c?a c?b

1 a

?

1 b

,则 a ? 0, b ? 0 其中真命题的个数(



B. 3 C. 4 D. 5 ???? ??? ? ??? ? 5.已知 AB ? ( ?4, 2), C (2, a ), D (b, 4) 是平面上的两个点,O 为坐标原点,若 OC / / AB ,且 ???? ??? ? ??? ? OD ? AB ,则 CD ? ( ) A. ( ?1, 2) B. (2, ?1) C. (2, 4) D. (0, 5) ? ? ? ? ? ? ? 6.已知 a ? 1, b ? 6, a ? (b ? a ) ? 2 ,则 a 不 b 的夹角是( A. ) D.

7.已知数列 ? a n ? 对任意的 p, q ? N 满足 a p ? q ? a p ? aq ,且 a2 ? ?6 ,那么 a10 等于(
*

? 6

B.

? 4

C.

? 3

? 2

) )

A. ?165 A. a2 a4 ? a3
2

B. ?33 B. a2 a4 ? a3
2

C. ?30
?

D. ?21
2

8.在数列 {a n } 中,若 2 an ? an ?1 ? an ?1 , ( n ? N , n ? 2) ,则下列丌等式中成立的是( C. a2 a4 ? a3 D. a2 a4 ? a3
2

9.在等差数列 ? a n ? 中, a1 ? ?2012 ,其前 n 项和为 S n ,若 ( ) B. ?2012
?

S12 12

?

S10 10

? 2 ,则 S 2012 的值等于

A. ?2011 ( A. )

C. ?2010

D. ?2013

10.在△ ABC 中, ?BAC ? 60 , AB ? 2, AC ? 1, E , F 为边 BC 的三等分点,则 AE ? AF ?

??? ??? ? ?

5 3
??? ?

B.

5 4
??? ?
?

C.

10 9

D.

15 8

二、填空题:

11.若向量 BA ? (2, 3) , CA ? (4, 7) ,则 BC ? __________. 12.已知数列 {a n } 满足 an ? 2 ? ? an , ( n ? N ) ,且 a1 ? 1, a2 ? 2 ,则该数列第 2013 项等于 __________.

??? ?

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1

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? ? ? ? ? 13.已知两个单位向量 a 不 b 的夹角为 135 ,若 a ? ? b ? 1 ,则 ? 的取值范围是__________.
14.在数列 ? a n ? 中, a1 ? 2, an ?1 ? an ? 2 n ,则 a n =__________. 15.在等比数列 ? a n ? 中,若 a1 ?

, a4 ? ?4 ,则 a1 ? a2 ? ? ? an ? __________. 2 ? 16.在平行四边形 ABCD 中, ?A ? 60 , 边 AB, AD 的长分别为 2,1 ,若 M , N 分别是边 BC , CD
上的点,且满足 三、解答题: 17.已知等比数列 {a n } 的各项均为正数,且 2 a1 ? 3a2 ? 1, a3 ? 9 a2 a6 .
2

1

| BM | | BC |

?

| CN | | CD |

,则 AM ? AN 的取值范围是__________.

(1)求数列 {a n } 的通项公式. (2)设 bn ? log 3 a1 ? log 3 a2 ? ? ? log 3 an ,求数列 ?

?1? ? 的前 n 项和. ? bn ?

18.解关于 x 的丌等式 ? ? m ? 3 ? x ? 1? ? x ? 1? ? 0 ,其中 m ? R ? ?

19.已知△OAB 的顶点坐标为 O (0, 0) , A(2, 9) , B (6, ?3) , 点 P 的横坐标为 14,且 OP ? ? PB , ???? ??? ? 点 Q 是边 AB 上一点,且 OQ ? AP ? 0 . (1)求实数 ? 的值不点 P 的坐标; (2)求点 Q 的坐标;

??? ?

??? ?

??? ??? ??? ? ? ? (3)若 R 为线段 OQ 上的一个动点,试求 RO ? ( RA ? RB ) 的取值范围.

20.已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且满足 S n ? 2 a n ? n, ( n ? N )
*

(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)若 bn ? (2 n ? 1) an ? 2 n ? 1, 数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , 求满足丌等式 值.

Tn ? 2 2n ? 1

? 128 的最小 n

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2

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21.已知数列 ? a n ? 满足: a1 ? 1 , an ?1 (1)求 a 2 , a3 , a 4 ;

?1 ? an ? n, n 为奇数 ? ? ?2 ,且 bn ? a2 n ? 2, n ? N . ? a ? 2 n, n 为偶数 ? n

(2)求证:数列 ?bn ? 是等比数列,并求其通项公式; (3)求在(2)的情形下,设 ( ) n ? cn ? ? nbn ,设 S n ? c1 ? c2 ? ? ? cn ,求证: S n ? 6

3 4

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3

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参考答案 一、选择题: 1.A 6.C 二、填空题: 11. (-2,-4) 12. 1 13. ( ?? , 0) ? ( 2, ?? ) 14. an ? n ? n ? 2
2

2.B 7.C

3.B 8.A

4.B 9.B

5.D 10.A

15. 2

n?1

?

1 2

16.[2,5] 三、解答题: 17.解: (1)设数列{an}的公比为 q,由 由条件可知 c>0,故 由

a ? 9 a 2 a6
2 3



a ? 9a
3 3

2 4

所以

q2 ?

1 9.

q?

1 3.
,所以

2 a1 ? 3a2 ? 1



2 a1 ? 3a2 q ? 1
1
n

a1 ?

1 3.

故数列{an}的通项式为 an= 3 . (2 )

bn ? log 3 a1 ? log 3 a2 ? ... ? log 3 an

? ? (1 ? 2 ? ... ? n ) ?? n ( n ? 1) 2
?? 1 b2 1 1 ? ? 2( ? ) n ( n ? 1) n n ?1 1 1 1 1 1 2n ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
的前 n 项和为

1


2

bn ?

1 b1

? ... ?

1

所以数列

1 { } bn

?

2n n ?1
4

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18.解: 下面对参数 m 进行分类讨论: ①当 m= ? 3 时,原丌等式为 x+1>0,∴丌等式的解为 x ? ?1 ②当 m ? ?3 时,原丌等式可化为 ? x ?

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? ?

? ?? x ? 1? ? 0 m ? 3? 1

?

1 m?3

? 0 ? ?1

m?3 1 ? ? ③当 m ? ?3 时,原丌等式可化为 ? x ? ?( x ? 1) ? 0 m ? 3? ? 1 m?4 , ? ?1 ? m?3 m?3 1 1 当 ? 4 ? m ? ?3 时, ? ?1 原丌等式的解集为 ? x ? ?1 ; m?3 m?3 1 1 当 m ? ?4 时, ; ? ?1 原丌等式的解集为 ? 1 ? x ? m?3 m?3 1 当 m ? ?4 时, ? ?1 原丌等式无解 m?3
19.解: (1) ? ? ?

∴丌等式的解为 x ? ?1 或 x ?

1

, y ? ?7 , P (14, ?7) 4 (2) Q (4, 3) 25 (3) [ ? , 0] 2
【解析】

7

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (1)设 P (14, y) ,则 OP ? (14, y ), PB ? ( ?8, ?3 ? y ) ,由 OP ? ? PB ,得
7 (14, y ) ? ? ( ?8, ?3 ? y ) ,解得 ? ? ? , y ? ?7 ,所以点 P (14, ?7) 。 4 ???? ??? ? ???? ??? ? (2)设点 Q ( a , b ) ,则 OQ ? ( a , b ) ,又 AP ? (12, ?16) ,则由 OQ ? AP ? 0 ,得 3a ? 4b ①又点 12 b ? 3 ,即 3a ? b ? 15 ? 0 ② Q 在边 AB 上,所以 ? ?4 a ? 6 联立①②,解得 a ? 4, b ? 3 ,所以点 Q (4, 3) ??? ? (3)因为 R 为线段 OQ 上的一个动点,故设 R (4t , 3t ) ,且 0 ? t ? 1 ,则 RO ? ( ?4t , ?3t ) , ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? RA ? (2 ? 4t , 9 ? 3t ) , RB ? (6 ? 4t , ?3 ? 3t ) , RA + RB ? (8 ? 8t , 6 ? 6t ) ,则 ??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? RO ? ( RA ? RB ) ? ?4t (8 ? 8t ) ? 3t (6 ? 6t ) ? 50t 2 ? 50t (0 ? t ? 1) ,故 RO ? ( RA ? RB ) 的取值范 25 围为 [ ? , 0] . 2 20.解:
(1)因为 S n ? 2 an ? n ,

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5

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所以 S n ?1 ? 2 an ?1 ? ( n ? 1), ( n ? 2, n ? N )
*

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两式相减得 a n ? 2 a n ?1 ? 1 所以 a n ? 1 ? 2( a n ?1 ? 1), ( n ? 2, n ? N )
*

又因为 a1 ? 1 ? 2 ,所以 {an ? 1} 是首项为 2,公比为 2 的等比数列 所以 a n ? 1 ? 2 ,所以 an ? 2 ? 1
n
n

…………7 分

(2)因为 bn ? (2 n ? 1) an ? 2 n ? 1 , 所以 bn ? (2 n ? 1) ? 2
n 2 3 n ?1

所以 Tn ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 ? 7 ? 2 ? ? ? (2 n ? 1) ? 2
2 3 n

? (2 n ? 1) ? 2 n ①

n ?1

2Tn ? 3 ? 2 2 ? 5 ? 2 3 ? ? ? (2 n ? 1) ? 2 n ? (2 n ? 1) ? 2 n ?1

①—②得: ?Tn ? 3 ? 2 ? 2(2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? (2 n ? 1) ? 2

1? 2 ? ?2 ? 2 n ? 2 ? (2 n ? 1) ? 2 n ?1 ? ?2 ? (2 n ? 1) ? 2 n ?1
所以 Tn ? 2 ? (2 n ? 1) ? 2 若 则
n ?1

? 6 ? 2?

22 ? 2n ? 2

? (2 n ? 1) ? 2 n ?1

…………10 分

Tn ? 2

? 128, 2n ? 1 2 ? (2 n ? 1) ? 2 n ?1 ? 2
2n ? 1
n?1

? 128,

? 2 7 , 所以 n ? 1 ? 7 ,解得 n ? 6 , T ?2 所以满足丌等式 n ? 128, 的最小 n 值 6, 2n ? 1
即2 21.解: (1) a2 ?
1 2 a1 ? 1 ? 3 2

, a3 ? a2 ? 4 ?

3 2

?4??

5 2

, a4 ?

1 2

a3 ? 3 ? ?

5 4

?3?

7 4

(2) ∵ bn ? a2 n ? 2 ∴
bn ?1 bn ? a2 n ? 2 ? 2 a2 n 1 1 1 a2 n ?1 ? 2n ? 1 ? 2 ( a2 n ? 4 n ) ? 2 n ? 1 a2 n ? 1 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ?2 a2 n ? 2 a2 n ? 2 a2 n ? 2 2

又 b1 = a2 – 2 =

3 2

?2??
1

1 2

∴ 数列{bn}是首项为 ? ∴ bn ? ?
1

1 ? ( ) n ?1 2 3 1 (3) 由 (2) 得 ( ) n ?Cn ? ( ? n)[ ?( ) n ] 4 2 1 4 2 2 2 2 ∴ Cn ? n ( ) n ? ( ) n ? n( ) n ∴ Sn ? C1 ? C2 ? ? ? Cn ? ? 2 ?( ) 2 ? ? ? n ? ( ) n 2 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 S n ? ( ) 2 ? 2( )3 ? ? ? ( n ? 1)( ) n ? n( ) n ?1 3 3 3 3 3 2

2 1 ? ?( ) n 2

,公比为

1 2

的等比数列

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6

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2 2 2 ? ( ) 2 ? ? ? ( ) n ? n( ) n ?1 3 3 3 3 2 2 n [1 ? ( ) ] 2 2 2 3 ? 3 ? n ( ) n ?1 ? 2[1 ? ( ) n ] ? n ( ) n ?1 2 3 3 3 1? 3 2 2 2 ∴ S n ? 6[1 ? ( ) n ] ? 3n( ) n ?1 ? 6 ? (6 ? 2n)( ) n ? 6 ,∴ Sn < 6 成立 3 3 3

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相减得 S n ?
3

1

2

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