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高一数学竞赛辅导(一)


高一数学竞赛辅导(一)
例 1 设集合 M=(2,3),x=
1 log 1
2

1 3

?

1 log 1
5

1 3

,判断 x 是否为集合 M 的元素.

例 2 设 M={a|a=x2-y2,x,y∈Z},求证: (1) 一切奇数属于 M; (2) 偶数 4k-2(k∈Z)不属于 M; (3) 属于 M 的两个整数,其积仍属于 M。

1

例 3 判断下面命题是否正确: 设 A、B 是坐标平面上的两个点集,Cr={(x,y)|x2+y2≤r2}.若对任何 r≥0 都 有 Cr ? A ? Cr ? B ,则必有 A ? B.

例 4 设集合 M={u|u=12m+8n+4l,其中 m,n,l∈Z},N={u|u=20p+16q+12r, 其中 p,q,r∈Z}.求证:M=N.

2

例 5 S1,S2,S3 为非空整数集合,对于 1、2、3 的任意一个排列 i, j, k,若 x ∈Si,y∈Sj,则 x-y∈Sk. (1) 证明三个集合中至少有两个相等. (2) 三个集合中是否可能有两个集无公共元素?

例 6 设 A 和 B 是两个集合,又设集合 X 满足 A∩X=B∩X=A∩B, A∪B∪X=A∪B,求集合 X.

3

例 7 已知集合 A={(x,y)|ax+y=1},B={(x,y)|x+ay=1},C={(x,y)|x 2+y2=1},问 (1) 当 a 取何值时,(A∪B)∩C 为含有两个元素的集合? (2) 当 a 取何值时,(A∪B)∩C 为含有三个元素的集合?

例 8 试指出集合 A={有一边长为 4,一内角为 50°的等腰三角形}的元 素个数.

4

例 9 已知集合 A={1,2,3,4,5,6},对 X ? A. 定义 S(X)为 X 中所有元素之 和。求全体 S(X)的总和 S。

例 10 设 函 数 f(x)=x2+ax+b(a 、 b ∈ R), 集 合 A={x|x=f(x),x ∈ R},B={x|x=f[f(x)],x∈R}. (1) 证明:A ? B; (2) 当 A={-1,3}时,求 B.

5

例 11 设集合 A={a1,a2,a3,a4,a5},B={a12,a22,a32,a42,a52},其中 an(1≤n≤5)是 正整数,a1<a2<a3<a4<a5,并满足 A∩B={a1,a4},a1+a4=10,又 A∪B 中所有元 素的和为 224,求集合 A。

例 12 已知集合 A={(x,y)| 取什么实数时,A∩B=φ ?

y ?3 =a+1}, B={(x,y)|(a2-1)x+(a-1) y=15},问当 a x?2

6

例 13 设 M={(x,y,z)|x3+y4=z5,x,y,z∈N},试问 M 是有限集还是无限集?

例 14 设 n∈N 且 n≥15,A,B 都是{1,2,…,n}的真子集,A∩B=φ ,且 {1,2,…,n}=A∪B. 证明:A 或 B 中必有两个不同数的和为完全平方数.

7

习题
1. 选择题 (1)A∪B=A∪C 能够推出( A. B=C B. A∩B=A∩C ) C. A∩ B =A∩ C
1 x ? x2 ? 1

D. A ∩B= A ∩C 的值为有理数的全体 x

(2)已知 x∈R,使代数式 x+ x 2 ? 1 ? 的集合是( A. 整数集 的集合 ) B. 有理数集

C. 实数集

D. 使 x2 ?1 为有理数

E. 使 x+ x2 ?1 为有理数的集合 ).

(3)对集合 M、N,定义 M-N={x|x ? M 且 ? N},则 M-(M-N)等于( A. M∪N B. M∩N C. M ). D. a+b-c∈P∪Q ) D. N

(4) 已知 P={x|x=3k,k∈Z},Q={x|x=3k+1,k∈Z},S={x|x=3k-1,k∈Z},若 a ∈P,b∈Q,c∈s,则有( A. a+b-c∈P B. a+b-c∈Q C. a+b-c∈S B. {(x,y)

(5) 已知 S={(x,y)||x-lgy|=x+lgy},则 S 等于( A. {(x,y) |y=1 且 x≥0} C. {(x,y) |x(y-1)=0 且>0} 2. 填空题

|x=0 且 y≥1}

D. {(x,y)|y=1 且 x≥0}∪{(x,y)|x=0 且 y>0}

(1) 已知 A、B、M、N 为非空集,A∩B=φ ,M={A 的真子集},N={B 的真子集},那么 M∩N=__________. (2) 已知 M={x|x=a2+1,a∈N},P={x|x=b2-4b+5,b∈N},则 M 与 N 的关 系是_______. (3) 设 M={(x,y)|1≤x≤10,1≤y≤10, x≤y, x, y∈Z},则|M|=_______. (4) 已知集合 M={x,xy,lg(xy)}及 N={0,|x|,y} , 并且 M=N。 那么,
1 1 1 1 ( x ? ) ? ( x 2 ? 2 ) ? ( x3 ? 3 ) ? ... ? ( x 2001 ? 2001 ) 的值等于_______. y y y y

8


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