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2012年湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析


2012 年湖北省高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的 1. (5 分) (2012?湖北)方程 x +6x+13=0 的一个根是( A.﹣3+2i B.3+2i C.﹣2+3i 考点: 复数相等的充要条件. 专题: 计算题.

分析: 2 由方程 x +6x+13=0 中,△ =36﹣52=﹣16<0,知
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2

) D.2+3i

=﹣3±2i,由此能求

出结果. 2 解答: 解:∵方程 x +6x+13=0 中, △ =36﹣52=﹣16<0, ∴ =﹣3±2i,

故选 A. 点评: 本题考查在复数范围内求一元二次方程的解,是基础题.解题时要认真审题,仔细解 答. 2. (5 分) (2012?湖北)命题“?x0∈?RQ,x0 ∈Q”的否定是( ) 3 3 A.?x0??RQ,x0 ∈Q B. ?x0∈?RQ,x0 ?Q 3 C. ?x0??RQ,x0 ∈Q D.?x0∈?RQ,x03?Q 考点: 命题的否定. 专题: 应用题. 分析: 根据特称命题“?x∈A,p(A)”的否定是“?x∈A,非 p(A)”,结合已知中命题,即可 得到答案. 解答: 解:∵命题“?x ∈C Q, ∈Q”是特称命题,而特称命题的否定是全称命题,
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3

0

R

∴“?x0∈CRQ,

∈Q”的否定是?x0∈CRQ,

?Q

故选 D 点评: 本题考查的知识点是命题的否定,其中熟练掌握特称命题的否定方法“?x∈A,p(A)” 的否定是“?x∈A,非 p(A)”,是解答本题的关键. 3. (5 分) (2012?湖北)已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 X 轴所围图形的 面积为 ( )

1

A.

B.

C.

D.

考点: 定积分在求面积中的应用. 专题: 计算题. 分析: 先根据函数的图象求出函数的解析式,然后利用定积分表示所求面积,最后根据定积 分运算法则求出所求. 解答: 解:根据函数的图象可知二次函数 y=f(x)图象过点(﹣1,0) , (1,0) , (0,1) 2 从而可知二次函数 y=f(x)=﹣x +1
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∴它与 X 轴所围图形的面积为 ﹣( ﹣1)=

= (



= (﹣ +1)

故选 B. 点评: 本题主要考查了定积分在求面积中的应用, 解题的关键是求出被积函数, 属于基础题. 4. (5 分) (2012?湖北)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.

B.3π

C.

D.6π

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 通过三视图判断几何体的特征,利用三视图的数据,求出几何体的体积即可. 解答: 解:由三视图可知几何体是圆柱底面半径为 1 高为 6 的圆柱,被截的一部分,如图
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所求几何体的体积为: 故选 B.

=3π.

2

点评: 本题考查三视图与几何体的关系,正确判断几何体的特征是解题的关键,考查计算能 力. 5. (5 分) (2012?湖北)设 a∈Z,且 0≤a≤13,若 51 A.0 B.1 C.11
2012

+a 能被 13 整除,则 a=( D.12



考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题. 2012 2012 分析: 由二项式定理可知 51 +a=(52﹣1) +a 的展开式中的项
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含有因数 52,要使得能 51 能被 13 整除,只要 a+1 能被 13 整除,结合已知 a 的范围可求 2012 2012 解答: 解:∵51 +a=(52﹣1) +a = 由于
2012

2012

+a

+…

+

+a

含有因数 52,故能被 52 整除

要使得能 51 +a 能被 13 整除,且 a∈Z,0≤a≤13 则可得 a+1=13 ∴a=12 故选 D 点评: 本题考查的知识点是整除的定义,其中根据已知条件确定 a+1 是 13 的倍数是解答本 题的关键. 6. (5 分) (2012?湖北) 设 a, b, c, x, y, z 是正数, 且 a +b +c =10, x +y +z =40, ax+by+cz=20, 则 A. =( ) B. C. D.
2 2 2 2 2 2

考点: 一般形式的柯西不等式. 专题: 综合题. 分析: 根据所给条件,利用柯西不等式求解,利用等号成立的条件即可. 解答: 2 2 2 2 2 2 2 解:由柯西不等式得, (a +b +c ) ( x + y + z )≥( ax+ by+ cz) ,
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当且仅当
2 2 2 2 2

时等号成立
2

∵a +b +c =10,x +y +z =40,ax+by+cz=20, ∴等号成立 ∴

3



=

故选 C. 点评: 柯西不等式的特点:一边是平方和的积,而另一边为积的和的平方,因此,当欲证不 等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”,再结合不等式另一边的结构特点去尝试 构造. 7. (5 分) (2012?湖北)定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f(x) ,如果对于任意给 定的等比数列{an},{f(an)}仍是等比数列,则称 f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在 2 x (﹣∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数:①f(x)=x ;②f(x)=2 ;③f(x)= ; ④f(x)=ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为( ) A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 考点: 等比关系的确定. 专题: 综合题;压轴题. 分析: 根据新定义,结合等比数列性质
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,一一加以判断,即可得到结论. , =f (an+1) ,故正确; ≠ =
2 2

解答: 解:由等比数列性质知 ① ② ③ ④f(an)f(an+2)=ln|an|ln|an+2|≠

=f (an+1) ,故不正确; =f (an+1) ,故正确;
2

2

=f (an+1) ,故不正确;

故选 C 点评: 本题考查等比数列性质及函数计算,正确运算,理解新定义是解题的关键. 8. (5 分) (2012?湖北)如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作 两个半圆.在扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )

A. 1﹣

B.



C.

D.

考点: 几何概型.

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4

专题: 计算题. 分析: 求出阴影部分的面积即可,连接 OC,把下面的阴影部分平均分成了 2 部分,然后利 用位移割补的方法,分别平移到图中划线部分,那么阴影部分的面积就是图中扇形的 面积﹣直角三角形 AOB 的面积. 解答: 解:设扇形的半径为 r,则扇形 OAB 的面积为 , 连接 OC,把下面的阴影部分平均分成了 2 部分,然后利用位移割补的方法,分别平 移到图中划线部分,则阴影部分的面积为: ﹣ ,

∴此点取自阴影部分的概率是



故选 A.

点评: 本题主要考查了几何概型,解题的关键是求阴影部分的面积,不规则图形的面积可以 转化为几个不规则的图形的面积的和或差的计算,属于中档题. 9. (5 分) (2012?湖北)函数 f(x)=xcosx 在区间[0,4]上的零点个数为( A.4 B.5 C .6 D.7
2



考点: 利用导数研究函数的极值;函数的零点与方程根的关系. 专题: 计算题;压轴题. 2 分析: 令函数值为 0,构建方程,即可求出在区间[0,4]上的解,从而可得函数 f(x)=xcosx 在区间[0,4]上的零点个数 2 解答: 解:令 f(x)=0,可得 x=0 或 cosx =0
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∴x=0 或 x =
2

2

,k∈Z

∵x∈[0,4],则 x ∈[0,16], ∴k 可取的值有 0,1,2,3,4, ∴方程共有 6 个解 2 ∴函数 f(x)=xcosx 在区间[0,4]上的零点个数为 6 个 故选 C 点评: 本题考查三角函数的周期性以及零点的概念,属于基础题 10. (5 分) (2012?湖北)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以 十六乘之, 九而一,所得开立方除之, 即立圆径,“开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V,

5

求其直径 d 的一个近似公式 d≈

. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据 π=3.14159….. ) C.d≈

判断,下列近似公式中最精确的一个是( A.d≈ B. d≈

D.d≈

考点: 进行简单的演绎推理. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据球的体积公式求出直径,然后选项中的常数为 ,表示出 π,将四个选项逐一代
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入,求出最接近真实值的那一个即可. 解答: 解:由 V= ,解得 d= 设选项中的常数为 ,则 π= 选项 A 代入得 π= 选项 C 代入得 π= =3.375;选项 B 代入得 π= =3; =3.14;选项 D 代入得 π= =3.142857

由于 D 的值最接近 π 的真实值 故选 D. 点评: 本题主要考查了球的体积公式及其估算,同时考查了计算能力,属于中档题. 二、填空题: (一)必考题(11-14 题)本大题共 4 小题,考试共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均 不得分. 11. (5 分) (2012?湖北)设△ ABC 的内角 A,B,C,所对的边分别是 a,b,c.若(a+b ﹣c) (a+b+c)=ab,则角 C= .

考点: 余弦定理. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 利用已知条件(a+b﹣c) (a+b+c)=ab,以及余弦定理,可联立解得 cosB 的值,进一 步求得角 B. 2 2 2 解答: 解:由已知条件(a+b﹣c) (a+b+c)=ab 可得 a +b ﹣c +2ab=ab 2 2 2 即 a +b ﹣c =﹣ab
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由余弦定理得:cosC= 又因为 0<B<π,所以 C= 故答案为: .

=

点评: 本题考查了解三角形的知识,对余弦定理及其变式进行重点考查,属于基础题目.

6

12. (5 分) (2012?湖北)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 s=

9 .

考点: 循环结构. 专题: 算法和程序框图. 分析: 用列举法,通过循环过程直接得出 S 与 n 的值,得到 n=3 时退出循环,即可. 解答: 解:循环前,S=1,a=3,第 1 次判断后循环,n=2,s=4,a=5, 第 2 次判断并循环 n=3,s=9,a=7,第 3 次判断退出循环, 输出 S=9. 故答案为:9. 点评: 本题考查循环结构,判断框中 n=3 退出循环是解题的关键,考查计算能力.
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13. (5 分) (2012?湖北)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数.如 22,11, 3443,94249 等.显然 2 位回文数有 9 个:11,22,33…,99.3 位回文数有 90 个:101,111, 121,…,191,202,…,999.则: (Ⅰ)4 位回文数有 90 个; n (Ⅱ)2n+1(n∈N+)位回文数有 9×10 个. 考点: 计数原理的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (I)利用回文数的定义,四位回文数只需从 10 个数字中选两个可重复数字即可,但 要注意最两边的数字不能为 0,利用分步计数原理即可计算 4 位回文数的个数; (II)将(I)中求法推广到一般,利用分步计数原理即可计算 2n+1(n∈N+)位回文 数的个数 解答: 解: (I)4 位回文数的特点为中间两位相同,千位和个位数字相同但不能为零,第一 步,选千位和个位数字,共有 9 种选法;第二步,选中间两位数字,有 10 种选法; 故 4 位回文数有 9×10=90 个 故答案为 90 (II)第一步,选左边第一个数字,有 9 种选法; n 第二步,分别选左边第 2、3、4、…、n、n+1 个数字,共有 10×10×10×…×10=10 种选
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法, 故 2n+1(n∈N+)位回文数有 9×10 个 n 故答案为 9×10 点评: 本题主要考查了分步计数原理的运用,新定义数字问题的理解和运用,归纳推理的运 用,属基础题
n

14. (5 分) (2012?湖北)如图,双曲线



=1(a,b>0)的两顶点为 A1,A2,虚轴两

端点为 B1,B2,两焦点为 F1,F2.若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2,切点分别 为 A,B,C,D.则: (Ⅰ)双曲线的离心率 e= ;

(Ⅱ)菱形 F1B1F2B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S2 的比值

=



考点: 圆锥曲线的综合. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (Ⅰ)直线 B2F1 的方程为 bx﹣cy+bc=0,所以 O 到直线的距离为
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,根据以

A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2, 可得

, 由此可求双曲线的离心率;

(Ⅱ)菱形 F1B1F2B2 的面积 S1=2bc,求出矩形 ABCD 的长与宽,从而求出面积 S2=4mn= ,由此可得结论.

解答: 解: (Ⅰ)直线 B2F1 的方程为 bx﹣cy+bc=0,所以 O 到直线的距离为 ∵以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2, ∴

8

∴(c ﹣a )c =(2c ﹣a )a 4 2 2 4 ∴c ﹣3a c +a =0 4 2 ∴e ﹣3e +1=0 ∵e>1 ∴e=

2

2

2

2

2

2

(Ⅱ)菱形 F1B1F2B2 的面积 S1=2bc 设矩形 ABCD,BC=2n,BA=2m,∴ ∵m +n =a ,∴
2 2 2



∴面积 S2=4mn=



=
2 2

=
2

∵bc=a =c ﹣b ∴



=

故答案为:



点评: 本题考查圆与圆锥曲线的综合,考查双曲线的性质,面积的计算,解题的关键是确定 几何量之间的关系. 二、填空题: (二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定 位置将你所选的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑, 如果全选, 则按第 15 题作答结果计分. ) 15. (5 分) (2012?湖北)如图,点 D 在⊙O 的弦 AB 上移动,AB=4,连接 OD,过点 D 作 OD 的垂线交⊙O 于点 C,则 CD 的最大值为 2 .

考点: 综合法与分析法(选修) . 专题: 计算题;压轴题.

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9

2 2 2 分析: 由题意可得 CD =OC ﹣OD ,故当半径 OC 最大且弦心距 OD 最小时,CD 取得最大 值,故当 AB 为直径、且 D 为 AB 的中点时, CD 取得最大值,为 AB 的一半. 2 2 2 解答: 解:由题意可得△ OCD 为直角三角形,故有 CD =OC ﹣OD ,故当半径 OC 最大且 弦心距 OD 最小时,CD 取得最大值. 故当 AB 为直径、 且 D 为 AB 的中点时, CD 取得最大值, 为 AB 的一半, 由于 AB=4, 故 CD 的最大值为 2, 故答案为 2.

点评: 本题主要考查用分析法求式子的最大值,体现了转化和数形结合的数学思想,判断当 半径 OC 最大且弦心距 OD 最小时, CD 取得最大值,是解题的关键,属于中档题. 16. (2012?湖北) (选修 4﹣4:坐标系与参数方程) : 在直角坐标系 xOy 中, 以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 已知射线 θ=

与曲线 (2.5,2.5) .

(t 为参数)相交于 A,B 来两点,则线段 AB 的中点的直角坐标为

考点: 抛物线的参数方程;简单曲线的极坐标方程;点的极坐标和直角坐标的互化. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 化极坐标方程为直角坐标方程,参数方程为普通方程,联立可求线段 AB 的中点的直 角坐标. 解答: 解:射线 θ= 的直角坐标方程为 y=x(x≥0) ,曲线 (t 为参数)化
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为普通方程为 y=(x﹣2) , 2 联立方程并消元可得 x ﹣5x+4=0,∴方程的两个根分别为 1,4 ∴线段 AB 的中点的横坐标为 2.5,纵坐标为 2.5 ∴线段 AB 的中点的直角坐标为(2.5,2.5) 故答案为: (2.5,2.5) 点评: 本题考查化极坐标方程为直角坐标方程,参数方程为普通方程,考查直线与抛物线的 交点,中点坐标公式,属于基础题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
10

2

17. (12 分) (2012?湖北)已知向量 =(cosωx﹣sinωx,sinωx) , =(﹣cosωx﹣sinωx, 2 cosωx) ,设函数 f(x)= ? +λ(x∈R)的图象关于直线 x=π 对称,其中 ω,λ 为常数,

且 ω∈( ,1) (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)若 y=f(x)的图象经过点( ,0)求函数 f(x)在区间[0, ]上的取值范围.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;数量积的坐标表达式;正弦函数的定义域和值域. 专题: 计算题. 分析: (1)先利用向量数量积运算性质,求函数 f(x)的解析式,再利用二倍角公式和两 角差的余弦公式将函数 f(x)化为 y=Asin(ωx+φ)+k 型函数,最后利用函数的对称 性和 ω 的范围,计算 ω 的值,从而得函数的最小正周期; (2)先将已知点的坐标代入函数解析式,求得 λ 的值,再求内层函数的值域,最后 将内层函数看做整体,利用正弦函数的图象和性质即可求得函数 f(x)的值域. 解答: 解: (1)∵f(x)= ? +λ=(cosωx﹣sinωx)×(﹣cosωx﹣sinωx)+sinωx×2 cosωx+λ
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=﹣(cos ωx﹣sin ωx)+ =

2

2

sin2ωx+λ )+ λ = +kπ,k∈z

sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin(2ωx﹣

∵图象关于直线 x=π 对称,∴2πω﹣ ∴ω= + ,又 ω∈( ,1) ∴k=1 时,ω= ∴函数 f(x)的最小正周期为 =

(2)∵f( ∴2sin(2× × ∴λ=﹣

)=0 ﹣ )+λ=0

∴f(x)=2sin( x﹣ 由 x∈[0, ∴ x﹣ ] ∈[﹣ ,

)﹣

]

∴sin( x﹣

)∈[﹣ ,1]

11

∴2sin( x﹣

)﹣

=f(x)∈[﹣1﹣

,2﹣

] ,2﹣ ]

故函数 f(x)在区间[0,

]上的取值范围为[﹣1﹣

点评: 本题主要考查了 y=Asin(ωx+φ)+k 型函数的图象和性质,向量数量积运算性质,复 合函数值域的求法,整体代入的思想方法,属基础题 18. (12 分) (2012?湖北)已知等差数列{an}前三项的和为﹣3,前三项的积为 8. (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)若 a2,a3,a1 成等比数列,求数列{|an|}的前 n 项和. 考点: 数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: (I)设等差数列的公差为 d,由题意可得,

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,解方程

可求 a1,d,进而可求通项 (II)由(I)的通项可求满足条件 a2,a3,a1 成等比的通项为 an=3n﹣7,则|an|=|3n ﹣7|= ,根据等差数列的求和公式可求

解答: 解: (I)设等差数列的公差为 d,则 a2=a1+d,a3=a1+2d 由题意可得,

解得



由等差数列的通项公式可得,an=2﹣3(n﹣1)=﹣3n+5 或 an=﹣4+3(n﹣1)=3n﹣7 (II)当 an=﹣3n+5 时,a2,a3,a1 分别为﹣1,﹣4,2 不成等比 当 an=3n﹣7 时,a2,a3,a1 分别为﹣1,2,﹣4 成等比数列,满足条件 故|an|=|3n﹣7|= 设数列{|an|}的前 n 项和为 Sn 当 n=1 时,S1=4,当 n=2 时,S2=5 当 n≥3 时,Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=5+(3×3﹣7)+(3×4﹣7)+…+(3n﹣7) =5+ = ,当 n=2 时,满足此式

综上可得

12

点评: 本题主要考查了利用等差数列的基本量表示等差数列的通项, 等差数列与等比数列的 通项公式的综合应用及等差数列的求和公式的应用,要注意分类讨论思想的应用 19. (12 分) (2012?湖北)如图 1,∠ACB=45°,BC=3,过动点 A 作 AD⊥BC,垂足 D 在 线段 BC 上且异于点 B,连接 AB,沿 AD 将△ ABD 折起,使∠BDC=90°(如图 2 所示) , (1)当 BD 的长为多少时,三棱锥 A﹣BCD 的体积最大; (2)当三棱锥 A﹣BCD 的体积最大时,设点 E,M 分别为棱 BC,AC 的中点,试在棱 CD 上确定一点 N,使得 EN⊥BM,并求 EN 与平面 BMN 所成角的大小.

考点: 用空间向量求直线与平面的夹角;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题. 分析: (1)设 BD=x,先利用线面垂直的判定定理证明 AD 即为三棱锥 A﹣BCD 的高,再 将三棱锥的体积表示为 x 的函数,最后利用导数求函数的最大值即可; (2)由(1)可先建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标和相关向量的坐标,设出 动点 N 的坐标,先利用线线垂直的充要条件计算出 N 点坐标,从而确定 N 点位置, 再求平面 BMN 的法向量,从而利用夹角公式即可求得所求线面角 解答: 解: (1)设 BD=x,则 CD=3﹣x ∵∠ACB=45°,AD⊥BC,∴AD=CD=3﹣x ∵折起前 AD⊥BC,∴折起后 AD⊥BD,AD⊥CD,BD∩DC=D ∴AD⊥平面 BCD
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∴VA﹣BCD= ×AD×S△ BCD= ×(3﹣x)× ×x(3﹣x)= (x ﹣6x +9x) 设 f(x)= (x ﹣6x +9x) x∈(0,3) , ∵f′(x)= (x﹣1) (x﹣3) ,∴f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,3)上为减函 数 ∴当 x=1 时,函数 f(x)取最大值 ∴当 BD=1 时,三棱锥 A﹣BCD 的体积最大; (2)以 D 为原点,建立如图直角坐标系 D﹣xyz, 由(1)知,三棱锥 A﹣BCD 的体积最大时,BD=1,AD=CD=2 ∴D(0,0,0) ,B(1,0,0) ,C(0,2,0) ,A(0,0,2) ,M(0,1,1) ,E( , 1,0) ,且 =(﹣1,1,1)
3 2

3

2

13

设 N(0,λ,0) ,则 ∵EN⊥BM,∴ ?

=(﹣ ,λ﹣1,0) =0

即(﹣1,1,1)?(﹣ ,λ﹣1,0)= +λ﹣1=0,∴λ= ,∴N(0, ,0) ∴当 DN= 时,EN⊥BM

设平面 BMN 的一个法向量为 =(x,y,z) ,由



=(﹣1, ,0)



,取 =(1,2,﹣1)

设 EN 与平面 BMN 所成角为 θ,则

=(﹣ ,﹣ ,0)

sinθ=|cos<

, >|=|

|=

=

∴θ=60° ∴EN 与平面 BMN 所成角的大小为 60°

点评: 本题主要考查了线面垂直的判定,折叠问题中的不变量,空间线面角的计算方法,空 间向量、空间直角坐标系的运用,有一定的运算量,属中档题 20. (12 分) (2012?湖北)根据以往的经验,某工程施工期间的将数量 X(单位:mm)对 工期的影响如下表: X≥900 降水量 X X<300 300≤X<700 700≤X<900 2 6 10 工期延误天数 Y 0 历年气象资料表明,该工程施工期间降水量 X 小于 300,700,900 的概率分别为 0.3,0.7, 0.9,求: (I)工期延误天数 Y 的均值与方差; (Ⅱ)在降水量 X 至少是 300 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率. 考点: 概率的应用;离散型随机变量的期望与方差.
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专题: 综合题. 分析: (I)由题意,该工程施工期间降水量 X 小于 300,700,900 的概率分别为 0.3,0.7, 0.9,结合某程施工期间的降水量对工期的影响,可求相应的概率,进而可得期延误天 数 Y 的均值与方差; (Ⅱ)利用概率的加法公式可得 P(X≥300)=1﹣P(X<300)=0.7,P(300≤X<900) =P(X<900)﹣P(X<300)=0.9﹣0.3=0.6,利用条件概率,即可得到结论 解答: (I)由题意,P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)﹣P(X<300)=0.7 ﹣0.3=0.4,P(700≤X<900)=P(X<900)﹣P(X<700)=0.9﹣0.7=0.2,P(X≥900) =1﹣0.9=0.1 Y 的分布列为 Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 ∴E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3 2 2 2 2 D(Y)=(0﹣3) ×0.3+(2﹣3) ×0.4+(6﹣3) ×0.2+(10﹣3) ×0.1=9.8 ∴工期延误天数 Y 的均值为 3,方差为 9.8; (Ⅱ)P(X≥300)=1﹣P(X<300)=0.7,P(300≤X<900)=P(X<900)﹣P(X <300)=0.9﹣0.3=0.6 由条件概率可得 P(Y≤6|X≥300)= .

点评: 本题考查离散型随机变量的均值与方差,考查条件概率,正确理解题意,求出概率是 关键. 21. (13 分) (2012?湖北)设 A 是单位圆 x +y =1 上的任意一点,i 是过点 A 与 x 轴垂直的 直线,D 是直线 i 与 x 轴的交点,点 M 在直线 l 上,且满足丨 DM 丨=m 丨 DA 丨(m>0, 且 m≠1) .当点 A 在圆上运动时,记点 M 的轨迹为曲线 C. (I)求曲线 C 的方程,判断曲线 C 为何种圆锥曲线,并求焦点坐标; (Ⅱ)过原点且斜率为 k 的直线交曲线 C 于 P、Q 两点,其中 P 在第一象限,它在 y 轴上的 射影为点 N, 直线 QN 交曲线 C 于另一点 H, 是否存在 m, 使得对任意的 k>0, 都有 PQ⊥PH? 若存在,求 m 的值;若不存在,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程;圆锥曲线的轨迹问题. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (I)设 M(x,y) ,A(x0,y0) ,根据丨 DM 丨=m 丨 DA 丨,确定坐标之间的关系
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x0=x,|y0|= |y|,利用点 A 在圆上运动即得所求曲线 C 的方程;根据 m∈(0,1)∪ (1,+∞) ,分类讨论,可确定焦点坐标; (Ⅱ)?x1∈(0,1) ,设 P(x1,y1) ,H(x2,y2) ,则 Q(﹣x1,﹣y1) ,N(0,y1) , 利用 P,H 两点在椭圆 C 上,可得 ,从而可得可得

.利用 Q,N,H 三点共线,及 PQ⊥PH,即可求 得结论.
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解答: 解: (I)如图 1,设 M(x,y) ,A(x0,y0) ∵丨 DM 丨=m 丨 DA 丨,∴x=x0,|y|=m|y0| ∴x0=x,|y0|= |y|① ∵点 A 在圆上运动,∴ ②

①代入②即得所求曲线 C 的方程为 ∵m∈(0,1)∪(1,+∞) , ∴0<m<1 时, 曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆, 两焦点坐标分别为 ( ) ,

m>1 时,曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆,两焦点坐标分别为(

) ,

(Ⅱ)如图 2、3,?x1∈(0,1) ,设 P(x1,y1) ,H(x2,y2) ,则 Q(﹣x1,﹣y1) , N(0,y1) , ∵P,H 两点在椭圆 C 上,∴

①﹣②可得



∵Q,N,H 三点共线,∴kQN=kQH,∴

∴kPQ?kPH= ∵PQ⊥PH,∴kPQ?kPH=﹣1 ∴ ∵m>0,∴ 故存在 ,使得在其对应的椭圆 上,对任意 k>0,都有 PQ⊥PH

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点评: 本题考查轨迹方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查代入法求轨迹方程,计算要小 心. 22. (14 分) (2012?湖北) (I)已知函数 f(x)=rx﹣x +(1﹣r) (x>0) ,其中 r 为有理数, 且 0<r<1.求 f(x)的最小值; (II)试用(I)的结果证明如下命题:设 a1≥0,a2≥0,b1,b2 为正有理数,若 b1+b2=1,则 b1 b2 a1 a2 ≤a1b1+a2b2; (III)请将(II)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题.注:当 α 为正有理数时,有求导公式(x ) =αx
α r α﹣1 r



考 数学归纳法;归纳推理. 点: 专 综合题;压轴题. 题: 分 (I)求导函数,令 f′(x)=0,解得 x=1;确定函数在(0,1)上是减函数;在(0,1) 析:上是增函数,从而可求 f(x)的最小值;
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(II)由(I)知,x∈(0,+∞)时,有 f(x)≥f(1)=0,即 x ≤rx+(1﹣r) ,分类讨论: 若 a1,a2 中有一个为 0, 则 a1 a2 ≤a1b1+a2b2 成立;若 a1,a2 均不为 0,
b1 b2 b1 b2

r



可得 a1 a2 ≤a1b1+a2b2 成立 (III) (II)中的命题推广到一般形式为:设 a1≥0,a2≥0,…,an≥0,b1,b2,…,bn 为正 b1 b2 bn 有理数,若 b1+b2+…+bn=1,则 a1 a2 …an ≤a1b1+a2b2+…anbn; 用数学归纳法证明: (1)当 n=1 时,b1=1,a1≤a1,推广命题成立; (2)假设当 n=k 时, b1 b2 bk bk+1 b1 b2 bk 推广命题成立,证明当 n=k+1 时,利用 a1 a2 …ak ak+1 =(a1 a2 …ak )
bk+1 bk+1

ak+1

=


ak+1

,结合归纳假设,即

可得到结论. 解 (I)解:求导函数可得:f′(x)=r(1﹣xr 1) ,令 f′(x)=0,解得 x=1; 答:当 0<x<1 时,f′(x)<0,所以 f(x)在(0,1)上是减函数; 当 x>1 时,f′(x)>0,所以 f(x)在(0,1)上是增函数 所以 f(x)在 x=1 处取得最小值 f(1)=0; r (II)解:由(I)知,x∈(0,+∞)时,有 f(x)≥f(1)=0,即 x ≤rx+(1﹣r)① b1 b2 若 a1,a2 中有一个为 0,则 a1 a2 ≤a1b1+a2b2 成立; 若 a1,a2 均不为 0,∵b1+b2=1,∴b2=1﹣b1,
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∴①中令

,可得 a1 a2 ≤a1b1+a2b2 成立
b1 b2

b1

b2

综上,对 a1≥0,a2≥0,b1,b2 为正有理数,若 b1+b2=1,则 a1 a2 ≤a1b1+a2b2;② (III)解: (II)中的命题推广到一般形式为:设 a1≥0,a2≥0,…,an≥0,b1,b2,…,bn b1 b2 bn 为正有理数,若 b1+b2+…+bn=1,则 a1 a2 …an ≤a1b1+a2b2+…anbn;③ 用数学归纳法证明 (1)当 n=1 时,b1=1,a1≤a1,③成立 (2)假设当 n=k 时,③成立,即 a1≥0,a2≥0,…,ak≥0,b1,b2,…,bk 为正有理数, b1 b2 bk 若 b1+b2+…+bk=1,则 a1 a2 …ak ≤a1b1+a2b2+…akbk. 当 n=k+1 时,a1≥0,a2≥0,…,ak+1≥0,b1,b2,…,bk+1 为正有理数,若 b1+b2+…+bk+1=1, 则 1﹣bk+1>0 b1 b2 bk bk+1 b1 b2 bk 于是 a1 a2 …ak ak+1 =(a1 a2 …ak )
bk+1 bk+1

ak+1 ∵

= + +…+ =1

ak+1







+

+…+

=



ak+1

bk+1



?

(1﹣bk+1)+ak+1bk+1, b1 b2 b bk+1 ∴a1 a2 …ak kak+1 ≤a1b1+a2b2+…akbk+ak+1bk+1. ∴当 n=k+1 时,③成立 由(1) (2)可知,对一切正整数,推广的命题成立. 点 本题考查导数知识的运用,考查不等式的证明,考查数学归纳法,解题的关键是分类讨 评:论,正确运用已证得的结论,掌握数学归纳法的证题步骤,属于难题.

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