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2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修1-1课件:1-1-2 四种命题及其相互关系


成才之路· 数学
人教A版 ·选修1-1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第一章
常用逻辑用语

第一章

常用逻辑用语

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第一章
1.1 命题及其关系

第一章

常用逻辑用语

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第一章
第 2 课时 四种命题及其相互关系

第一章

常用逻辑用语

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学习要点点拨 课堂巩固练习 课前自主预习 课后强化作业 课堂典例讲练

第一章

1.1

第2课时

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课程目标解读

第一章

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1.了解四种命题的概念,并会判断命题的真假. 2.了解命题的逆命题,否命题、逆否命题,能写出原命 题的其他三种命题. 能利用四种命题间的相互关系判断命题的真假.

第一章

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重点难点展示

第一章

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本节重点:了解命题的逆命题、否命题、逆否命题. 本节难点:分析四种命题的相互关系以及四种命题的真假 之间的关系.

第一章

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学习要点点拨

第一章

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1.四种命题的概念 关于原命题的逆命题、否命题和逆否命题的写法: 首先:把原命题整理成“若 p,则 q”的形式. 其次:(1)“换位”(即交换命题的条件与结论)得到“若 q, 则 p”,即为逆命题; (2)“换质”(即将原命题的条件与结论分别否定后作为条 件和结论)得到“若非 p,则非 q”即为否命题;

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(3)既“换位”又“换质”(即把原命题的结论否定后作为 新命题的条件,条件否定后作为新命题的结论)得到“若非 q, 则非 p”即为逆否命题. 注意:①非 p 常记作綈 p.②只有“若 p,则 q”形式的命

题才研究它的逆命题、否命题、逆否命题.

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2. 要注意否命题与命题的否定是不同的, “命题的否定” 只否定结论,而否命题要对条件和结论分别进行否定.“若 p, 则 q”形式的命题其否命题为“若綈 p,则綈 q”.在写一个命

题的否定或否命题时要注意一些关键词的否定,后面学习逻辑 联结词时还要详加讨论.

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3.命题的四种形式间的关系 (1)命题的四种形式中,哪个是原命题是相对的,不是绝对 的; (2)四种命题间有两对互逆关系,两对互否关系,两对互为 逆否的关系,互为逆否的两命题同真同假,在判断和证明中要 注意它们之间的相互转化. 要通过实例去发现四种命题间的关系,并能用命题间的关 系去验证写出的命题是否正确.

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4.间接证明有关问题 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性,所以在直接 证明一个命题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真来间 接证明原命题为真,即正难则反的思想.

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课前自主预习

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1.一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论 分别是另一个命题的结论和条件,那么我们把这样的两个命题

互逆命题 原命题 叫做__________,其中一个命题叫做________,另一个叫做原 逆命题 命题的________.
2.一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论 分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定,我们把这样的

互否命题 原命题 两个命题叫做_________,其中一个命题叫做_______,另一个 否命题 叫做原命题的_________.

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3.一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论 恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,我们把这样的

原命题 互为逆否命题 两个命题叫做_____________,其中一个命题叫做________, 逆否命题 另一个叫做原命题的_________. 不一定 4.原命题为真,它的逆命题________为真. 不一定 5.原命题为真,它的否命题_______为真. 一定 6.原命题为真,它的逆否命题______为真.

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即互为逆否的命题是等价命题,它们同____同____,同一 真 假

逆否 个命题的逆命题和否命题是一对互为______的命题,它们同__ 真 假 同_____.

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7.命题“若 p,则綈 q”的逆否命题是( A.若 p,则 q C.若 q,则綈 p

)

B.若綈 p,则 q D.若綈 q,则綈 p

[答案] C

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课堂典例讲练

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思路方法技巧
命题方向
[例 1]

命题的四种形式之间的转换
写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题.

(1)负数的平方是正数; (2)正方形的四条边相等. [分析] 此题的题设和结论不很明显, 因此首先将命题改写 成“若 p,则 q”的形式,然后再写出它的逆命题、否命题与逆 否命题.

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[解析] 数”.

(1)改写成“若一个数是负数,则它的平方是正

逆命题:若一个数的平方是正数,则它是负数. 否命题:若一个数不是负数,则它的平方不是正数. 逆否命题:若一个数的平方不是正数,则它不是负数.

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(2)原命题可以写成:若一个四边形是正方形,则它的四条 边相等. 逆命题:若一个四边形的四条边相等,则它是正方形. 否命题: 若一个四边形不是正方形, 则它的四条边不相等. 逆否命题:若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方 形.

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[点评]

写出一个命题的逆命题、 否命题、 逆否命题的关键

是分清原命题的条件和结论,然后按定义来写.在判断原命题 及逆命题的真假时,常借助原命题与其逆否命题同真假,逆命 题和否命题同真假进行判断.

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写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题. (1)若 x2+y2=0,则 x,y 全为 0. (2)若 a+b 是偶数,则 a,b 都是偶数.

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[解析]

(1)逆命题:若 x,y 全为 0,则 x2+y2=0;

否命题:若 x2+y2≠0,则 x,y 不全为 0; 逆否命题:若 x,y 不全为 0,则 x2+y2≠0. (2)逆命题:若 a,b 都是偶数,则 a+b 是偶数; 否命题:若 a+b 不是偶数,则 a,b 不都是偶数; 逆否命题:若 a,b 不都是偶数,则 a+b 不是偶数.

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建模应用引路
命题方向 四种命题的关系及真假判断

[例 2]

写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,然

后判断真假. (1)菱形的对角线互相垂直; (2)等高的两个三角形是全等三角形; (3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧.

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[解析]

(1)逆命题: 若一个四边形的对角线互相垂直, 则

它是菱形.是假命题. 否命题:若一个四边形不是菱形,则它的对角线不互相 垂直.是假命题. 逆否命题:若一个四边形的对角线不互相垂直,则这个 四边形不是菱形.是真命题.

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(2)逆命题: 若两个三角形全等, 则这两个三角形等高. 是 真命题. 否命题:若两个三角形不等高,则这两个三角形不全 等.是真命题. 逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等 高.是假命题.

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(3)逆命题:若一条直线平分弦所对的弧,则这条直线是弦 的垂直平分线.是假命题. 否命题:若一条直线不是弦的垂直平分线,则这条直线不 平分弦所对的孤.是假命题. 逆否命题:若一条直线不平分弦所对的孤,则这条直线不 是弦的垂直平分线.是真命题.

第一章

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[点评]

①四种命题具有两对互为逆否的关系,所以,判

断四种命题的真假时,只需判断出原命题与其逆命题的真假, 即可得其他命题的真假. ②当一个命题是否定性命题且不易判断真假时, 可通过判 断其逆否命题的真假以达到目的.

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(2012~2013 学年度宁夏宁大附中高二期末测试)已知一个 命题与它的逆命题、 否命题、 逆否命题, 在这四个命题中( A.真命题个数一定是奇数 B.真命题个数一定是偶数 C.真命题个数可能是奇数,也可能是偶数 D.以上判断都不对
[答案] B

)

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[解析]

因为原命题是真命题,则它的逆否命题一定是真

命题,一个命题的逆命题是真命题,则它的否命题一定是真命 题,故选 B.

第一章

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探索延拓创新
命题方向
[例 3]

互为逆否命题同真同假的应用
判断命题“若 m>0,则方程 x2+2x-3m=0 有实数

根”的逆否命题的真假. [分析] 解答本题可以直接进行逻辑推理判断; 可以从逆否

命题直接判断;也可以先判断原命题的真假,然后利用等价命 题的同真同假判断.

第一章

1.1

第2课时

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[解析]

解法一:∵m>0,∴12m>0,∴12m+4>0.

∴方程 x2+2x-3=0 的判别式 Δ=12m+4>0. ∴原命题“若 m>0,则方程 x2+2x-3m=0 有实数根”为 真. 又因原命题与它的逆否命题等价,所以“若 m>0,则方程 x2+2x-3m=0 有实数根”的逆否命题也为真.

第一章

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解法二:原命题“若 m>0,则方程 x2+2x-3m=0 有实数 根”的逆否命题为“若方程 x2 +2x-3m=0 无实数根,则 m≤0”. 方程 x2+2x-3m=0 无实数根, 1 ∴Δ=4+12m<0.∴m<-3≤0. ∴“若方程 x2+2x-3m=0 无实数根,则 m≤0”为真.

第一章

1.1

第2课时

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[点评]

本题中解法一利用了原命题与它的逆否命题同真

同假的方法解决;解法二是先写出原命题的逆否命题,再判断 其真假.

第一章

1.1

第2课时

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有下列四个命题: (1)“若 x+y=0,则 x、y 互为相反数”的否命题; (2)“对顶角相等”的逆命题; (3)“若 x≤-3,则 x2-x-6>0”的否命题; (4)“直角三角形的两锐角互为余角”的逆命题. 其中真命题的个数是( A.0
[答案] B
第一章 1.1 第2课时

) C.2 D.3

B.1

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[解析] 题.

(1)“若 x+y≠0,则 x 与 y 不是相反数”是真命

(2)“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”是 假命题. (3)“若 x>-3, x2-x-6≤0”, 则 解不等式 x2-x-6≤0 可得-2≤x≤3,当 x=4 时,x>-3 而 x2-x-6=6>0,故是 假命题.

第一章

1.1

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(4)“若一个三角形的两锐角互为余角,则这个三角形是 直角三角形”,真命题. [点评] 本题的解法中运用了举反例的办法,如(2)、(3)

的解法.举出一个反例说明一个命题不正确是以后经常用到 的方法.

第一章

1.1

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名师辨误做答

[例 4]

写出命题“已知 a、b、c、d 是实数,如果 a=b,c

=d,则 a+c=b+d”的逆命题、否命题,并证明它们的真假. [错解] 逆命题:如果 a+c=b+d,则 a、b、c、d 是实数,

且 a=b,c=d.假命题. 否命题: 如果 a、 c、 不是实数, b、 d a≠b, c≠d, a+c≠b 则 +d.假命题.

第一章

1.1

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[辨析]

上述解法没有弄清命题的条件,将大前提“a、b、

c、d 是实数”充当了条件.
[正解] 逆命题:已知 a、b、c、d 是实数,如果 a+c=b

+d,则 a=b,c=d.假命题. 否命题:已知 a、b、c、d 是实数,如果 a≠b,或 c≠d, 则 a+c≠b+d.假命题.

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课堂巩固练习

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一、选择题 1.(2012· 重庆文)命题“若 p,则 q”的逆命题是( A.若 q,则 p C.若綈 q,则綈 p B.若綈 p,则綈 q D.若 p,则綈 q )

[答案] A

[解析]

命题“若 p,则 q”的逆命题是“若 q,则 p”.

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2. (2012~2013 学年度云南昆明三中期中测试)命题: “若 a2+b2=0(a,b∈R),则 a=b=0”的逆否命题是( A.若 a≠b≠0(a,b∈R),则 a2+b2≠0 B.若 a=b≠0(a,b∈R),则 a2+b2≠0 C.若 a≠0 且 b≠0(a,b∈R),则 a2+b2≠0 D.若 a≠0 或 b≠0(a,b∈R),则 a2+b2≠0
[答案] D

)

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[解析]

命题中的条件及结论的否定分别是 a2 +b2≠0,

a≠0 或 b≠0(a,b∈R),所以命题的逆否命题是“若 a≠0 或 b≠0(a,b∈R),则 a2+b2≠0”.

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3. (2012~2013 学年度浙江宁波市重点中学高二期末测试) 若直线 a⊥平面 α 内两条直线,则直线 a⊥平面 α;则它和它的 逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是( A.0 C.2 B.1 D.3 )

[答案] C

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[解析]

原命题是假命题,故其逆否命题是假命题,而原

命题的逆命题是真命题,故其否命题是真命题.

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二、填空题 4.(2012· 许昌高二检测)命题“若 a>3,则 a>5”的逆命题 是________.

[答案] 若 a>5,则 a>3
[解析] 将原命题的条件改为结论,结论改为条件,即得

原命题的逆命题.

第一章

1.1

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5.“若 x≠1,则 x2-1≠0”的否命题是________.

[答案] [解析]

若 x=1,则 x2-1=0 “若 x≠1,则 x2-1≠0”的否命题是“若 x=1,

则 x2-1=0”.

第一章

1.1

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课后强化作业(点此链接)

第一章

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