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第二章 第九节 函数与方程 课下练兵场


第二章

第九节

函数与方程

课下作业
命 题 报 告 难度及题号 知识点 函数零点的判定 二 分 法 函数零点的综合应用 容易题 (题号) 1、 3 2、 4 中等题 (题号) 8、9、10 7 5、 6 11、12 稍难题 (题号)

一、选择题 1.(2009· 衡阳检测)已知函数

则函数 f ( x ) ? ? A.1 B.2

? x 2 ? 2 x ? 3, x ? 0, ? ?2 ? ln x , x ? 0.
C.3

零点个数为 D.4

(

)

解析:只要画出分段函数的图象,就可以知道图象与 x 轴有三个交点,即函数的零点有 3 个. 答案:C 2.下列函数图象与 x 轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是 ( )

解析:能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a,b]上连续不断,并且有 f(a)· f(b)< 0.A、B 中不存在 f(x)<0,D 中函数不连续.故选 C. 答案:C 1 1 3.设 f(x)=x3+bx+c 是[-1,1]上的增函数,且 f(- )· f( )<0,则方程 f(x)=0 在[-1,1]内 2 2 ( A.可能有 3 个实数根 B.可能有 2 个实数根 C.有唯一的实数根 )

D.没有实数根

1 1 1 1 解析:由 f(x)在[-1,1]上是增函数,且 f(- )· f( )<0,知 f(x)在[- , ]上有唯一实数 2 2 2 2

根,所以方程 f(x)=0 在[-1,1]上有唯一实数根. 答案:C 4.若函数 f(x)在(1,2)内有一个零点,要使零点的近似值满足精确度为 0.01,则对区间(1,2) 至少二等分 A.5 次 B.6 次 C.7 次 D.8 次 ( )

1 解析:设对区间(1,2)至少二等分 n 次,此时区间长为 1,第 1 次二等分后区间长为 ,第 2

1 1 1 2 次二等分后区间长为 2, 第 3 次二等分后区间长为 3, …, 第 n 次二等分后区间长为 n 2 2 2
依题意得 答案:C 5.f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数, 且 f(2)=0.则方程 f(x)=0 在区间(0,6)内解的个 数的最小值是 A.5 B.4 C.3 D.2 ( )

1 <0.01,∴n>log2100.由于 6<log2100<7,∴n≥7,即 n=7 为所求. 2n

解析:∵f(x)是定义在 R 上的偶函数,且周期是 3,f(2)=0,∴f(2)=f(5)=f(-2)=f(1) =f(4)=0. 答案:B 1 - 6.设函数 y=x3 与 y=( )x 2 的图象的交点为(x0, y0), 则 x0 所在的区间是 2 A.(0,1) B.(1,2)
3 2-x

(

)

C.(2,3)

D.(3,4)

解析:令 g(x)=x -2

,可求得:g(0)<0,g(1)<0,g(2)>0,g(3)>0,g(4)>0,易知函数

g(x)的零点所在区间为(1,2). 答案:B 二、填空题 7.用二分法研究函数 f(x)=x3+3x-1 的零点时,第一次经计算 f(0)<0,f(0.5)>0,可得 其中一个零点 x0∈ ,第二次应计算 ,这时可判断 x0∈ .

解析:由二分法知 x0∈(0,0.5),取 x1=0.25, 这时 f(0.25)=0.253+3× 0.25-1<0, 故 x0∈(0.25,0.5). 答案:(0,0.5) f(0.25) (0.25,0.5) 8.已知函数 f(x)=2mx+4,若在[-2,1]上存在 x0,使 f(x0)=0,则实数 m 的取值范围 是 .

解析:由题意知 m≠0,∴f(x)是单调函数. 又在[-2,1]上存在 x0,使 f(x0)=0,

∴f(-2)f(1)≤0, 即(-4m+4)(2m+4)≤0,解得 m≤-2,或 m≥1. 答案:m≤-2,或 m≥1 9.(2009· 山东高考)若函数 f(x)=ax-x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围 是 .

解析:令 g(x)=ax(a>0,且 a≠1),h(x)=x+a,分 0<a<1,a>1 两种情况.在同一坐标 系中画出两个函数的图象,如图,若函数 f(x)=ax-x-a 有两个不同的零点,则函数 g(x),h(x)的图象有两个不同的交点.根据画出的图象只有当 a>1 时符合题目要求.

答案:(1,+∞) 三、解答题 x 1 10.已知函数 f(x)=x3-x2+ + . 2 4 1 证明:存在 x0∈(0, ),使 f(x0)=x0. 2 证明:令 g(x)=f(x)-x. 1 1 1 1 1 ∵g(0)= ,g( )=f( )- =- , 4 2 2 2 8 1 ∴g(0)· g( )<0. 2 1 又函数 g(x)在[0, ]上连续, 2 1 所以存在 x0∈(0, ),使 g(x0)=0. 2 即 f(x0)=x0. 11.已知函数 f(x)=4x+m· 2x+1 有且仅有一个零点,求 m 的取值范围,并求出该零点. 解:∵f(x)=4x+m· 2x+1 有且仅有一个零点, 即方程(2x)2+m· 2x+1=0 仅有一个实根. 设 2x=t(t>0),则 t2+mt+1=0. 当 Δ=0,即 m2-4=0, ∴m=-2 时,t=1;m=2 时,t=-1 不合题意,舍去, ∴2x=1,x=0 符合题意. 当 Δ>0,即 m>2 或 m<-2 时, t2+mt+1=0 有一正一负根,

即 t1t2<0,这与 t1t2>0 矛盾. ∴这种情况不可能. 综上可知:m=-2 时,f(x)有唯一零点,该零点为 x=0. 4 12.若函数 f(x)=ax3-bx+4,当 x=2 时,函数 f(x)有极值- . 3 (1)求函数的解析式; (2)若关于 x 的方程 f(x)=k 有三个零点,求实数 k 的取值范围. 解:由题意可知 f′(x)=3ax2-b,

1 ? f′ ? (2) ? 12a ? b ? 0, ? ?a ? , (1)于是 ? 3 ? 3 解得: f (2) ? 8 a ? 2 b ? 4 ? ? , ? ? ?b ? 4. ? 4
1 故所求的解析式为 f(x)= x3-4x+4. 3 (2)由(1)可知 f′(x)=x2-4=(x-2)(x+2), 令 f′(x)=0,得 x=2,或 x=-2. 当 x 变化时 f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示: X f′(x) f(x) (-∞,-2) + 单调递增 -2 0 (-2,2) - 单调递减 2 0 (2,+∞) + 单调递增

28 因此,当 x=-2 时,f(x)有极大值 ; 3 4 当 x=2 时,f(x)有极小值- . 3 所以函数的大致图象如图. 故实数 k 的取值范围是 4 28 - <k< . 3 3


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