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7.20—1分段函数的几种常见题型及解法


分段函数的几种常见题型及解法

【关键词】 分段函数; 定义域; 值域或最值; 函数值; 解析式; 图像; 反函数; 奇偶 性; 方程; 不等式.

分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它 是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数 ; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并

集. 分段函数是在其定义域的不同子集上 , 分别用几个不同 的式子来表示对应关系的函数. 它是一类表达形式特殊的函数, 是中学数学中的一种重要 函数模型. 分段函数有关问题蕴含着分类讨论、 数形结合等思想方法. 由于它在理解和掌握 函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮” 登场, 笔者就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下:

一、分段函数的定义域和值域 分段函数的定义域为每一段函数定义域的并集, 在表示每一段函数中 x 的取值范围时, 要确保做到定义域不重不漏, 即交集为空集, 并集为整个定义域.值域应是其定义域内不同 子集上各关系式的取值范围的并集. 例1.

? ? x ? 4, x ? 2 ? 求函数 y ? ? x ? 3, 0 ? x ? 1 的定义域和值域。 ?2 x ? 3, ?1 ? x ? 0 ?

?2 x ? 2 x ? [?1, 0]; ? x ? (0, 2); 的定义域、值域. 例 2.求函数 f ( x) ? ? ? 1 2 x ?3 x ? [2, ??); ?
【解析】 作图, 利 用 “ 数 形 结 合 ” 易 知 f ( x) 的 定 义 域 为
-1

y 3 2
1

o -1

1

2 x

[?1, ??) , 值域为 (?1,3] .

二、分段函数的求值 在求分段函数的值 f ( x0 ) 时, 一定首先要判断 x0 属于定义域的哪个子集, 然后再代相应 的关系式.

本卷第 1 页(共 14 页)

?| x ? 1| ?2, (| x |? 1) ? 例 1. (05 年浙江理)已知函数 f ( x) ? ? 1 求 f [ f (1 . 2 )] , (| x | ? 1) ? 2 ?1 ? x
【解析】
3 1 因为 f ( 1 , 2 ) ?| 2 ? 1| ?2 ? ? 2
3 所以 f [ f ( 1 2 )] ? f ( ? 2 ) ?

1 4 . ? 2 1 ? (? 3 13 2)

例 2、 (辽宁理)设 g ( x) ? ?

? e x , x ? 0. ?lnx, x ? 0.

则 g ( g ( )) ? __________

1 2

?2 x ?1 ( x ? 2), ? e 3、 (2006 山东)设 f ( x) ? ? 2 ( ? 1) ? ?log 3 x
A.0

( x ? 2).
D.3
?1

则 f [ f (2)] ?

B.1 C.2 (x + 1) ? -log3 (x>6) 4、 已知 f ( x) ? ? x-6 ,若记 f ? 3 (x≤6)

1 ( x) 为 f ( x) 的反函数,且 a ? f ?1 ( ), 则 9

f (a ? 4) ?

.

? x ? 2 ?2 ( x 1 ) ? , 1 ? 5 、 设 f ( x) ? ? 1 则 f [ f ( )] ? ( ) 2 ( x ? 1). ? ?1 ? x 2
6、 已知 f ( x) ? ?

A.

1 4 B. 2 13

C. ?

9 5

D.

25 41

?sin ? x ( x ? 0), 11 11 则 f ( ? ) ? f ( ) 的值为 6 6 ? f ( x ? 1) ? 1 ( x ? 0).

.

三、分段函数的单调性 例 1. (2006 北京理) 、 已知 f ( x) ? ? 取值范围是 (A) (0,1) (B) (0, )

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 是 (??, ??) 上的减函数, 那么 a 的 ? log a x, x ? 1
(C) [ , )

1 3

1 1 7 3

(D) [ ,1)

1 7

? 4 x ? 3 ( x ? 0) ? 例 2.求函数 f ( x) ? ? x ? 3 (0 ? x ? 1) 的最大值. ? ? x ? 5 ( x ? 1) ?
【解析】当 x ? 0 时 , 当 x ? 1 时,

fmax ( x) ? f (0) ? 3 , 当 0 ? x ? 1 时,

fmax ( x) ? f (1) ? 4 ,

? x ? 5 ? ?1 ? 5 ? 4 , 综上有 fmax ( x) ? 4 .

本卷第 2 页(共 14 页)

四、分段函数的图象

例 1.作出函数 y ? x ? x ?1? 的图象

例 2. 函数

y?e

ln x

? | x ?1| 的图象大致是
y 1 0 B x 0 C 1 x y 1 0 D 1





y 1 0 A 1 x

y 1 -1

x

例 3.在同一平面直角坐标系中,

函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称,

现将 y ? g ( x) 的图象沿 x 轴向左平移 2 个单位, 再沿 y 轴向上平移 1 个单位, 所得的图 象是由两条线段组成的折线(如图所示), 则函数 f ( x ) 的表达式为( )

?2 x ? 2 (?1 ? x ? 0) A. f ( x) ? ? x ? 2 ? 2 (0 ? x ? 2) ?2 x ? 2 (?1 ? x ? 0) B. f ( x) ? ? x ? 2 ? 2 (0 ? x ? 2) ?2 x ? 2 (1 ? x ? 2) C. f ( x ) ? ? x ? 2 ? 1 (2 ? x ? 4) ?2 x ? 6 (1 ? x ? 2) D. f ( x) ? ? x ? 2 ? 3 (2 ? x ? 4)
【解析】 当 x ? [?2, 0] 时, 轴向下平移 1 个单位,
3
2

y

1 -2
-1

o

1

x

y y?1 2 x ? 1 , 将其图象沿 x 轴向右平移 2 个单位, 再沿
1 得 解 析 式 为 y?1 2 ( x ? 2) ? 1 ? 1 ? 2 x ? 1 ,

所以

f ( x)? 2 x? 2 ( x ? ? [ 1 ,, 0 当]x)? [0,1] 时,
个单位 , 再沿 y 轴向下平移 1 个单位 ,

y ? 2 x ? 1 , 将其图象沿 x 轴向右平移 2
所以

得解析式 y ? 2( x ? 2) ? 1 ? 1 ? 2 x ? 4 ,

本卷第 3 页(共 14 页)

?2 x ? 2 (?1 ? x ? 0) , 综上可得 f ( x) ? ? x , 故选 A. f ( x) ? 1 2 x ? 2 ( x ?[0, 2]) ? 2 ? 2 (0 ? x ? 2)

例 4.函数 y ? e|ln x| ? | x ? 1| 的图像大致是(
y


y

1
1 o
O

x 1

1

x

A
y
y

B

1
1 x O 1 C

x O D 1

五、分段函数的反函数 例 1. (2006 年安徽卷)函数 y ? ?

? 2 x, x ? 0 2 ?? x , x ? 0

的反函数是(



? x ? x ,x ?0 ? ? ? 2 x, x ? 0 ? 2 x, x ? 0 ? ,x ?0 ? A.y ? ? 2 B.y ? ? C. D.y ? ? y?? 2 ? ? ? ?x, x ? 0 ?? ? x , x ? 0 ? ?x, x ? 0 ?? ? x , x ? 0 ? ?
例 2. 已知 y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 得反函数为 y ? g ( x) , 求 g ( x) 的表达式. 【解析】 设x ?0, 则 ?x ? 0 , 所以 f (? x) ? 3 ? 1 ,
?x

且当 x ? 0 时,

f ( x) ? 3x ?1 , 设 f ( x)

又因为 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,
?x

所以 f (? x) ? ? f ( x) ,

且 f (0) ? 0 ,

所以 f ( x) ? 1 ? 3 ,

因此

?3x ? 1 ( x ? 0) ?log 3 ( x ? 1) ( x ? 0) ? ? ( x ? 0) . f ( x ) ? ?0 ( x ? 0) , 从而可得 g ( x) ? ?0 ? ? log (1 ? x) ( x ? 0) ?1 ? 3? x ( x ? 0) 3 ? ?
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六、分段函数的解析式 例 1、在同一平面直角坐标系中,函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称. 现将

y 3 2 1 -2 式 0 为 1 ( x )

y ? g ( x) 的图象沿 x 轴向左平移 2 个单位,再 沿 y 轴向上平移 1 个单位,所得的图象是由两
条线段组成的折线(如图 2 所示) ,则函数

f ( x)







?2 x ? 2, ?1 ? x ? 0, ? A. f ( x) ? ? x ? 2, 0 ? x ? 2. ? ?2
C. f ( x) ? ? x

?2 x ? 2, ?1 ? x ? 0, ? B. f ( x ) ? ? x ? 2, 0 ? x ? 2. ? ?2
D. f ( x ) ? ? x

?2 x ? 2,1 ? x ? 2, ? ? 1, 2 ? x ? 4. ? ?2

?2 x ? 6,1 ? x ? 2, ? ? 3, 2 ? x ? 4. ? ?2
.

例 2、 (2006 年上海春卷)已知函数 f ( x) 是定义在 ( ? ?, ? ? ) 上的偶函数. 当 x ? ( ? ?, 0 ) 时, f ( x) ? x ? x 4 ,则当 x ? ( 0, ? ? ) 时, f ( x) ?

例 3、已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0时, f ( x) ? 析式.

x

2

? 2 x ? 3. 求 f(x)的解

七、分段函数的最值 例 1. (2005 上海高考题)对定义域分别是

D ,D
f

g

的函数 y ? f ( x), y ? g ( x) .规定:

? f ( x) g ( x), 当x ? D 且x ? D , f g ? ? 当x ? D f 且x ? D g 函数 h( x) ? ? f ( x), ? 当x ? D g且x ? D f ? ? g ( x),
(I)若函数 f ( x) ?

1 , g ( x) ? x 2 ,写出函数 h( x) 的解析式; x ?1

(II)求问题(I)中函数 h( x) 的最大值;

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八、分段函数的奇偶性 例 1. 判断函数 f ( x) ? ?

? x(1 ? x) ( x ? 0), 的奇偶性 ( x ? 0). ? x(1 ? x)

2 ? ? x ( x ? 1) ( x ? 0) 例 2.判断函数 f ( x) ? ? 2 的奇偶性. ? ?? x ( x ? 1) ( x ? 0)

【解析】 当 x ? 0 时,

?x ? 0 ,

f (? x) ? ?(? x)2 (? x ? 1) ? x2 ( x ?1) ? f ( x) , 当 x ? 0 时 ,
?x ? 0 ,

f (?0) ? f (0) ? 0 , 当 x ? 0 ,

f (? x) ? (? x)2 (? x ?1) ? ? x2 ( x ? 1) ? f ( x)
所以 f ( x ) 为偶函数.

因此, 对于任意 x ? R 都有 f (? x) ? f ( x) ,

九.判断分段函数的单调性 例 1.判断函数 f ( x) ? ? 【解析】
' 2 显然 f ( x ) 连续. 当 x ? 0 时, f ( x) ? 3x ? 1 ? 1恒成立, 所以 f ( x ) 是单调递增函数, ' 当 x ? 0 时, f ( x) ? ?2 x ? 0 恒成立, f ( x ) 也是单调递增函数, 所以 f ( x ) 在 R 上是单调
3 ? ? x ? x ( x ? 0) 的单调性. 2 ? x ( x ? 0) ? ?

递增函数; 或画图易知 f ( x ) 在 R 上是单调递增函数. 例 2.写出函数 f ( x) ?|1 ? 2 x | ? | 2 ? x | 的单调减区间.
y

??3x ? 1 ( x ? ? 1 2) ? (? 1 【解析】f ( x) ? ?3 ? x 画图易知单调 2 ? x ? 2) , ?3x ? 1 ( x ? 2) ?
减区间为 (??, ? 1 . 2]
1 2

5

5 2

o

2

x

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十.解分段函数的方程 例 1. (01 年上海) 设函数 f ( x) ? ? 【解析】 若 2? x ? 1 , 则2 4
1 4
?x

?2? x

x ? (??,1]

?log81 x x ? (1, ??)

,

则满足方程 f ( x) ?

1 的 x 的值为 4

? 2?2 , 得 x ? 2 ? (??,1] , 所以 x ? 2(舍去) , 若 log81 x ? 1 , 4
所以 x ? 3 即为所求.

则 x ? 81 , 解得 x ? 3 ? (1, ??) ,

十一、与分段函数有关的不等式问题
2 ? ?( x ? 1) .( x ? 1) 例 1 、 设 函 数 f ( x) ? ? , 则 使 得 f ( x) ? 1 的 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是 ? ?4 ? x ? 1.( x ? 1)

__________ 例 2.已知 f ( x) ? ?

( x ? 0) ?1   ,则不等式 x ? ( x ? 2) f ( x ? 2) ? 5 的解集是________ ( x ? 0) ??1  
?2e x ?1 , x ? 2, ? 2 ? ?log 3 ( x ? 1), x ? 2,
则不等式 f(x)>2 的解集为

例 3、 (山东理)设 f(x)= ? (A)(1,2) ? (3,+∞)

(B)( 10 ,+∞) (D)(1,2) )

(C)(1,2) ? ( 10 ,+∞) 例 4、设 f (x)= ? A.g (x)=sinx

?1 ( x为有理数) , 使所有 x 均满足 x·f (x)≤ g (x)的函数 g(x)是 ( ?0 (x为无理数)
B.g (x)=x C.g (x)=x
2

D.g (x)=|x|

? 2? x ? 1 ( x ? 0) ? 例 5.设函数 f ( x ) ? ? 1 , 若 f ( x0 ) ? 1 , 2 ? ( x ? 0) ?x
则 x0 得取值范围是( )
y

A. (?1,1)

B. (?1, ??)
1 x

C. (??, ?2) ? (0, ??) D. (??, ?1) ? (1, ??)
-1

1

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【解析 1】 首先画出 y ? f ( x) 和 y ? 1 的大致图像, 围是 (??, ?1) ? (1, ??) . 【解析 2】 因 为 f ( x0 ) ? 1 ,
1

易知 f ( x0 ) ? 1 时 ,

所对应的 x0 的取值范

当 x0 ? 0 时 ,

2? x0 ? 1 ? 1 ,

解 得 x0 ? ?1 ,

当 x0 ? 0 时 ,

x0 2 ? 1 , 解得 x0 ? 1 , 综上 x0 的取值范围是 (??, ?1) ? (1, ??) . 故选 D.
?( x ? 1) 2 ( x ? 1) ? 例 6. 设函数 f ( x) ? ? , 则使得 f ( x) ? 1 的自变量 x 的取值范围为 ( ) 4 ? x ? 1 ( x ? 1) ? ?
A. (??, ?2] ? [0,10] C. (??, ?2] ? [1,10] 【解析】 当 x ?1 时, 当 x ? 1 时, 上所述, B. (??, ?2] ? [0,1] D. [?2, 0] ? [1,10]

f ( x) ? 1 ? ( x ? 1)2 ? 1 ? x ? ?2或x ? 0 ,

所 以 x ? ?2或0 ? x ? 1 ,

f ( x) ? 1 ? 4 ? x ?1 ? 1 ? x ?1 ? 3 ? x ? 10 , 所以 1 ? x ? 10 , 综

x ? ?2 或 0 ? x ? 10 , 故选 A 项.

十二、分段函数与方程的根 例 1、.函数 f(x)= ? A.a<0

? ? 1 ? x 2 (| x |? 1) ,如果方程 f(x)=a 有且只有一个实根,那么 a 满足 ? | x | (| x | ? 1 ) ?
B.0≤a<1 C.a=1 D.a>1

例 2、设定义为 R 的函数 f ( x) ? ?

? ?lg x ? 1 , x ? 1, 2 则关于 x 的方程 f ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 x ? 0. ? ?0,
( )

有 7 个不同的实数解的充要条件是 A. b ? 0 且 c ? 0 B. b ? 0 且 c ? 0 b ? 0 c ? 0 C. 且 D. b ? 0 且 c ? 0

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例 3、设函数

f ( x) 在 (??, ??) 上满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) , f (7 ? x) ? f (7 ? x) ,
f (1) ? f (3) ? 0 .

且在闭区间 [0, 7] 上,只有 (Ⅰ)试判断函数 y (Ⅱ)试求方程

? f ( x) 的奇偶性;

f ( x) ? 0 在闭区间 [?2005, 2005] 上的根的个数,并证明你的结论.

十三、分段函数与导数 例 1. 一给定函数 y ? f ( x) 的图象在下列图中,并且对任意 a1 ? (0,1) ,由关系式 an ?1 =

f (an ) 得到的数列 {an } 满足 an?1 ? an (n ? N*) ,则该函数的图象是
y 1 y 1 y 1 y 1





0

A

1 x

0

B

1x

0

C

1 x

0

D

1

x

?ax ? b , x ? (?1, 0], ? i l ( f) x 存在, 例 2. 已知函数 f ( x) ? ? x ? b 其中 a ? 0, b ? 0 , 若m 且 f ( x) 在 x?0 , x ? (0,1). ? ?x?a
(?1,1) 上有最大值,则 b 的取值范围是
A. b ? 1 B. ( C. b ? 1 D. 0 ? b ? 1 )

1 ? b ?1 2

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十四、开放性自义分段函数 例 1. 定义在 R 的任意函数 f ( x ) ,都可以表示成一个奇函数 g ( x) 和一个偶函数 h( x) 之和, 如果 f ( x) ? lg(10x ? 1) ,那么 A. g ( x) ? x , h( x) ? lg(10x ? 10? x ? 2) ( )

1 1 [lg(10 x ? 10 ? x] , h( x) ? [lg(10 x ? 1) ? x] 2 2 x x x C. g ( x) ? , h( x) ? lg(10 ? 1) ? 2 2 x x x D. g ( x) ? ? , h( x) ? lg(10 ? 1) ? . 2 2
B. g ( x) ?

【点评: 】 以上分段函数性质的考查中, 不难得到一种解题的重要途径, 若能画出其大致图像,

定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合 思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化, 效果明显.

分段函数练习题精选
x ?1 ? x?2 ? 2e , 1、设 f ( x) ? ? ,则 f ( f (2)) 的值为( ) 2 log x ? 1 , x ? 2 ? ? ? ? 3 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 x?0 ?log2 (4 ? x), 2、(2009 山东卷)定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) = ? , ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0 则 f (3) 的值为( )

A. - 1

B. - 2

C. 1
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D. 2

3、给出函数 f ( x) ? ? 2 A. -

?1 x ?( )

23 8

( x ? 4) ,则 f (log 3) ? ( 2 ? ? f ( x ? 1) ( x ? 4) 1 1 B. C. 11 19



D.

1 24

2 ? ?sin(? x ), ?1 ? x ? 0, 4、函数 f ( x) ? ? x?1 ,若 f ?1? ? f ?a ? ? 2 ,则 a 的所有可能值为( ? ?e , x ? 0.



A. 1

B. ?

2 2

C. 1 , ?

2 2

D.1 ,

2 2

5、 ( 2009 天津卷)设函数 f ( x) ? ? ( ) A. (?3,1) ? (3,??) C. (?1,1) ? (3,??)

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 ,则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是 ? x ? 6, x ? 0

B. (?3,1) ? (2,??) D. (??,?3) ? (1,3)

?2? x ? 1, x ? 0, ? 若f ( x0 ) ? 1 ,则 x 0 的取值范围是( 6、设函数 f ( x) ? ? 1 2 ? x?0 ?x , A. (?1,1) B. (-1,??)
C. (??,?2) ? (0,??) D. (??,?1) ? (1,??)



? x 2 ? bx ? c( x ? 0) f ( x ) ? 7、设函数 ,若 f (?4) ? f (0), f (?2) ? ?2 ,则关于 x 的方程 ? ( x ? 0) ?2

f ( x) ? x 的解的个数为(
A.1 B.2

) C.3 D.4

( x ? 0) ?log2 x ? 8、 (2010 天津卷)设函数 f ( x) ? ? log (? x) ( x ? 0) ,若 f (a) ? f (?a) ,则实数 a 的取值 1 ? ? 2
范围是( ) B. (??,?1) ? (1,??) D. (??,?1) ? (0,1)

A. (?1,0) ? (0,1) C. (?1,0) ? (1,??)

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9、 ( 2010 全 国 卷 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ?

? lg x , (0 ? x ? 10) ? , 若 a, b, c 互 不 相 等 , 且 1 ? x ? 6, ( x ? 10) ? ? 2
) D. (20,24)

f (a) ? f (b) ? f (c) ,则实数 abc 的取值范围是(
A. (1,10) B. (5,6)

C. (10,12)

10、 (2010 天津卷)设函数 g ( x) ? x 2 ? 2( x ? R) , f ( x) ? ?

? g ( x) ? x ? 4 , x ? g ( x) ,则 x ? g ( x) ? g ( x) ? x ,

f ( x) 的值域是(
9 ,0] ? (1,?? ) 4 9 C. [? ,?? ) 4
A. [ ? 11 、设 f ( x) ? ? ( ) A. [1,2]

) B. [0,??) D. [?

9 ,0] ? (2,?? ) 4

? 3? x ? a( x ? 0) ,若 f ( x) ? x 有且仅有三个解,则实数 a 的取值范围是 f ( x ? 1 )( x ? 0 ) ?
B. ?? ?,2? C. ?1,??? D. ?? ?,1?

1 ? , x ? 0, ?log2 12、已知函数 f ( x) ? ? ,则 f ( f (2)) 的值为 x?2 ?3 x , x ? 0, ?



13、设函数 f ( x) ? ?

? x ? 3,( x ? 10) ,则 f (5) = ? f ( f ( x ? 5)),( x ? 10)



? 3 x ? 5 ( x ? 0) ? 14、已知函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? ? x ? 5 (0 ? x ? 1) ? ? 2 x ? 8 ( x ? 1) ?
(1)画出这个函数的图象; (2)求函数 f ( x) 的最大值。

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15、如图,动点 P 从单位正方形 ABCD 顶点 A 开始,顺次经 C 、 D 绕边界一周,当 x 表示 点 P 的行程,y 表示 PA 之长时, 求 y 关于 x 的解析式, 并求 f ( ) 的值.

5 2

?BAD ? 45? , 16、 等腰梯形 ABCD 的两底分别为 AD ? 2 a ,BC ? a , 作直线 MN ? AD
交 AD 于 M ,交折线 ABCD 于 N ,记 AM ? x ,试将梯形 ABCD 位于直线 MN 左 侧的面积 y 表示为 x 的函数,并写出函数的定义域.

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习题参考答案 1~5 12. CBDCA 6~11 13. 8 DCCCDB

1 9

14. 略 15. 解:当 P 在 AB 上运动时, y ? x (0 ? x ? 1) ; 当 P 在 BC 上运动时, y ? 1 ? ( x ? 1) 2 (1 ? x ? 2) 当 P 在 CD 上运动时, y ? 1 ? (3 ? x ) 2 (2 ? x ? 3) 当 P 在 DA 上运动时, y ? 4- x (3 ? x ? 4) (0 ? x ? 1) ? x ? 2 (1 ? x ? 2) ? 1 ? ( x ? 1) 5 5 ∴y ?? ∴ f ( )= 2 2 2 (2 ? x ? 3) ? 1 ? (3 ? x) ? (3 ? x ? 4) ?4 ? x

? 1 2 ? 2x ? 1 a2 ? 16.解: y ? ? ax ? 8 ? 2 2 ?? 1 x 2 ? 2ax ? 5a ? 4 ? 2

a (0 ? x ? ) 2 a 3a ( ?x? ) 2 2 3a ( ? x ? 2a ) 2

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