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北京市朝阳区2011-2012学年高一下学期期末统一考试(数学)(必修4)


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北京市朝阳区 2011~2012 学年度高一年级第二学期期末统一考试 数学试卷
(考试时间:100 分钟 满分:100 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的。 1. 与-263°角终边相同的角的集合是

A. ? | ? ? k ? 360 ? ? 250 ?, k ? Z ? ? B. ? | ? ? k ? 360 ? ? 197 ?, k ? Z ? ? C. ? | ? ? k ? 360 ? ? 63?, k ? Z ? ? D. ? | ? ? k ? 360 ? ? 263 ?, k ? Z ? ? 2. 已知平面向量 a ? ?1, 2? , b ? ?? 2, m? ,且 a ∥ b ,则 m 的值为 A. 1 B. -1 C. 4 D. -4

3. 已知 ? 是第二象限的角,且 sin ? ? A.

12 13

B. ?

12 13

5 ,则 tan ? 的值是 13 5 C. 12

D. ?

5 12

4. 等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,已知 a3 ? 3 , a10 ? 10 ,则 S 7 的值是 A. 30 5. 不等式 ? B. 29 C. 28 D. 27

?1 ?? 1 ? ? x ?? ? x ? ? 0 的解集是 ?2 ?? 3 ?
B. ? ? ?, ?

A. ? ?

? 1 1? , ? ? 3 2?

? ?

1? ?1 ? ? ? ? , ? ?? 3? ? 2 ? 1? ?1 ? ? ? ? , ? ?? 2? ?3 ?

C. ? ?

? 1 1? , ? ? 2 3?

D. ? ? ?, ?

? ?

.6. 已知直线 mx ? y ? n ? 0 过点(2,1) ,其中 m, n 是正数,则 mn 的最大值为 A.

1 2

B.

1 4

C.

1 8

D.

1 16

7. 为了得到函数 y ? 3 sin? 2 x ?

? ?

??

? 的图象,只要把函数 y ? 3 sin x 的图象上所有点的 5?

A. 横坐标缩短到原来的 单位长度。
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1 ? 倍(纵坐标不变) ,再把所得图象上所有的点向左平移 个 2 10

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? 个 10

B. 横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再把所得图象上所有点的向左平移 单位长度。 C. 向右平移 标不变) D. 向左平移 标不变)

1 ? 个单位长度,再把所得图象上所有的点横坐标缩短到原来的 倍(纵坐 2 5

? 个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐 5

? x ? 0, ? 8. 已知点 P?x, y ? 的坐标满足条件 ? y ? x, ( k 为常数) ,若 z ? x ? y 的最小值 ? 2 x ? y ? k ? 0. ?
为 6,则 k 的值为 A. 9 B. -9 C. 6 D. -6

9. 设向量 a, b, c 满足 | a |?| b |? 1 , a ? b ?

1 , ?a ? c ? ? ?b ? c ? ? 0 ,则 | c | 的最大值是 2
C.

A.

3 ?1 2

B.

3 ?1 2

3

D. 1

10. 等差数列 ?a n ?的公差 d ? ?? 1, 0? ,且

sin 2 a3 ? cos2 a3 ? cos2 a3 cos2 a 6 ? sin 2 a3 sin 2 a 6 ? 1, 仅当 n ? 9 时, 数列 ?a n ?的 sin?a 2 ? a 7 ?
前 n 项和 S n 取得最大值,则首项 a1 的取值范围是 A. ? , ? 3

? 4?

3? ? ? 2 ?

B. ?

? 4? 3? ? , 2 ? ? 3 ?

C. ?

? 4? 3? ? , ? 2 ? ? 3

D. ? , ? 3

? 4?

3? ? 2 ? ?

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分。把答案填在题中横线上。 11. 由正数组成的等比数列 ?a n ?中, a3 ? 2 , a7 ? 8 ,则 a 5 ? __________。 12. 已知 cos?? ? ? ? ? ?

1 ? 3? ? ? ? ? 的值为__________。 ,则 sin? 3 ? 2 ?

13. 已知点 A(-2,2) ,B(4,-2) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程为__________。 14. 如图,一艘船以 20 千米/小时的速度向正北航行,船在 A 处看见灯塔 B 在船的东北方 向,1 小时后船在 C 处看见灯塔 B 在船的北偏东 75°的方向上,这时船与灯塔的距离 BC 等 于__________千米。

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15. 若直线 a ? 2a x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角为钝角,则实数 a 的取值范围是__________。
2

?

?

16. 已知 P,Q 为△ABC 所在平面内的两点,且满足 AP ?

1 1 1 AB ? AC, AQ ? AB ? 2 4 4

S △ APQ 1 ? _____。 AC ,则 S △ ABC 2
三、解答题:本大题共 4 小题,共 36 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 8 分) 在△ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边, cos B ? (I)求 ac 的值及△ABC 的面积; (II)若 a ? 7 ,求角 C 的大小。 18. (本小题满分 8 分) 已知 ?a n ?为等比数列, a1 ? 1 , a 4 ? 27 , S n 为等差数列 ?bn ? 的前 n 项和, b1 ? 3 ,

3 ,且 BA ? BC ? 21 。 5

S 5 ? 35 。
(I)求 ?a n ?和 ?bn ? 的通项公式; (II)设 Tn ? a1b1 ? a 2 b2 ? ... ? a n bn ,求 Tn 。 19. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ?x ? ? sin x ? 2 3 sin x cos x ?
2

1 cos 2 x , x ? R 。 2

(I)求 f ? x ? 的最小正周期和值域; (II)若 x0 ? 0 ? x0 ?

? ?

??

? 为 f ? x ? 的一个零点,求 sin 2 x0 的值。 2?

20. (本小题满分 10 分) 已知数列 ?a n ?中, a1 ? 1 ,且 a n ?

n 。 a n?1 ? 2n ? 3n?2 ( n ? 2, n ? N * ) n ?1

(I)求 a 2 , a 3 的值及数列 ?a n ?的通项公式; (II)令 bn ?
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3 n ?1 ?n ? N *? ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,试比较 S 2n 与 n 的大小; an

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(III) c n ? 令 都有 Tn ? 2 。

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? 2c n ? ? a n?1 * 数列 ? 的前 n 项和为 Tn , 求证: 对任意 n ? N , ?n ? N *? , ? 2 ? n ?1 ? ?c n ? 1? ? ? ?

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【试题答案】

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一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。 1. D 2. D 3. D 4. C 5. A 6. C 7. A 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分。 11. 4 16. 12. ?

8. B

9. B

10. C

1 3

13. 3x ? 2 y ? 3 ? 0

14. 20 2

15. (-2,0)

3 16

三、解答题:本大题共 4 小题,共 36 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 8 分) 解: (I)因为 BA ? BC ? 21 ,所以 ca cos B ? 21 ,所以 ac ? 35 。 分) (2

3 4 ,所以 sin B ? 。 分) (3 5 5 1 1 4 所以 S △ ABC ? ac sin B ? ? 35 ? ? 14 。 2 2 5
又 cos B ? 即△ABC 的面积为 14。 分) (5 (II)因为 a ? 7 ,且 ac ? 35 ,所以 c ? 5 。 又 cos B ?

3 2 2 2 ,由 b ? a ? c ? 2ac cos B ? 32 ,解得 b ? 4 2 (6 分) 5
49 ? 32 ? 25 2?7? 4 2 ? 2 。 2
。 分) (8

所以 cos C ?

因为 0 ? C ? ? ,所以 C ? 18. (本小题满分 8 分)

?
4

解: (I)由 a1 ? 1 , a 4 ? 27 ,可得 q ? 3 。 所以 ?a n ?的通项公式 a n ? 3
n ?1

(2 分)

由 b1 ? 3 , S 5 ? 35 ,可得 d ? 2 。 所以 ?bn ? 的通项公式 bn ? 2n ? 1 。 分) (5 (II) Tn ? 3 ? 1 ? 5 ? 3 ? ... ? ?2n ? 1? ? 3
n?2

? ?2n ? 1? ? 3n ?1 ①

3Tn ? 3 ? 3 ? 5 ? 32 ? ... ? ?2n ? 1? ? 3n?1 ? ?2n ? 1? ? 3n ②
①-②得: ? 2Tn ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? ... ? 3
2

?

n ?1

? ? ?2n ? 1? ? 3

n

(7 分)

整理得: Tn ? n ? 3 (8 分)
n

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19. (本小题满分 10 分) 解: (I) f ?x ? ?

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1 ? cos 2 x 1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x (2 分) 2 2
1 ?? 1 ? (4 ? 2 sin? 2 x ? ? ? , 分) 2 6? 2 ?

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ?

所以 f ? x ? 的最小正周期为 ? 。 分) (5

? 3 5? f ? x ? 的值域为 ?? , ? (6 分) ? 2 2?
(II)由 f ?x0 ? ? 2 sin? 2 x0 ? 又由 0 ? x0 ? 因为 ?

? ?

?? 1

?? 1 ? ? ? ? 0 得 sin? 2 x0 ? ? ? ? ? 0 , 6? 2 6? 4 ?

?
2

得?

?
6

? 2 x0 ?

?
6

?

5? 。 6

?
6

? 2 x0 ?

?

?? 15 ? 。 分) (8 ? 0 ,所以 cos? 2 x0 ? ? ? 6? 4 6 ?
?? ??

此时, sin 2 x0 ? sin ?? 2 x0 ?

?? ??
?? 6 ? 6? ?

?? ? ?? ? ? ? ? sin? 2 x0 ? ? cos ? cos? 2 x0 ? ? sin 6? 6 6? 6 ? ?
1 3 15 1 ?? ? ? ? 4 2 4 2 ? 15 ? 3 (10 分) 8

20. (本小题满分 10 分) (I)解:当 n ? 2 时, a 2 ? 当 n ? 3 时, a3 ? 因为 a n ?

2 (1 a2?1 ? 2 ? 2 ? 32?2 ? 2 ? 4 ? 6 , 分) 2 ?1

3 (2 a3?1 ? 2 ? 3 ? 33?2 ? 9 ? 18 ? 27 。 分) 3 ?1

a a n (3 a n?1 ? 2n ? 3n?2 ,所以 n ? n?1 ? 2 ? 3n?2 。 分) n n ?1 n ?1 a n a1 ? ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 32 ? ... ? 2 ? 3n?2 , n 1
an 2 1 ? 3 n ?1 ? 1? ? 3 n ?1 。 n 1? 3

当 n ? 2 时,由累加法得

因为 a1 ? 1 ,所以 n ? 2 时,有
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?

?

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即 an ? n ? 3
n ?1

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?n ? 2? 。
1?1

又 n ? 1时, a1 ? 1 ? 3 故 an ? n ? 3
n ?1

? 1,

?n ? N *? 。 分) (5
3 n ?1 1 1 1 1 ? ,则 S 2n ? 1 ? ? ? ... ? n 。 an n 2 3 2

(II)解: n ? N * 时, bn ?

记函数 f ?n ? ? S 2n ? n ? ?1 ? 所以 f ?n ? 1? ? ?1 ?

? ?

1 1 ... 1 ? ? ? ? n ??n, 2 3 2 ?

? ?

1 1 ... 1 ? ? ? ? n ?1 ? ? ?n ? 1? 。 2 3 2 ?
1 1 ? 2n ? 1 ? n ? ... ? n ?1 ? ? 1 ? n ? 1 ? 0。 n 2 ? 2 ?1 ? 2 ?1 2 ? 2

则 f ?n ? 1? ? f ?n ? ? ?

所以 f ?n ?1? ? f ?n ? 。 分) (7 由于 f ?1? ? S 21 ? 1 ? ?1 ?

? ?

1? ? ? 1 ? 0 ,此时 S 21 ? 1 ; 2?

? 1 1 1? f ?2? ? S 22 ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? 2 ? 0 ,此时 S 2 2 ? 2 ; ? 2 3 4? ? 1 1 1 1 1 1 1? f ?3? ? S 23 ? 3 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 0 ,此时 S 23 ? 3 ; ? 2 3 4 5 6 7 8?
由于 f ?n ?1? ? f ?n ? ,故 n ? 3 时, f ?n ? ? f ?3? ? 0 ,此时 S 2 n ? n 。 综上所述,当 n ? 1, 2 时, S 2 n ? n ;当 n ? 3?n ? N *? 时, S 2 n ? n 。 分) (8

2c n a n ?1 2 ? 3n n ? (III)证明:对于 c n ? 。 ? 3 ,有 n ?1 ?c n ? 1?2 ?3 n ? 1?2
当 n ? 2 时,

?3

2 ? 3n
n

?1

?

2

?

?

2 ? 3n 2 ? 3 n ?1 1 1 ? n ? n ?1 ? n 。 n n n ?1 3 ?1 3 ? 3 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1

?? ?

? ?

??

?

所以当 n ? 2 时,

Tn ?

3 2 ? 32 2 ? 3n 3 ?1 1 ? ? 1 1 ? ? ? ... ? ? ?? ? 2 ? 3 ??? 2 ? 2 2 2 n 2 3 ?1 2 ? 2 3 ?1? ? 3 ?1 3 ?1? 3 ?1

?

?

?

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1 ? 1 ? 1 ? ... ? ? n ?1 ? n ? 2。 ? ? 2? n 3 ?1 ? 3 ?1 3 ?1?
且 T1 ?

3 ? 2。 2

故对 n ? N * , Tn ? 2 得证。 (10 分)

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