当前位置:首页 >> 数学 >>

【创新设计】2015-2016学年高中数学 第三章 3.4基本不等式(二)课时作业 新人教A版必修5


§3.4

基本不等式: ab≤

a+b (二) 2

课时目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用; 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 1.设 x,y 为正实数 (1)若 x+y=s(和 s 为定值),则当 x=y 时,积 xy 有最大值,且这个值为 . 4 (2)若 xy=p(积 p 为定值),则当 x=y 时,和 x+y 有最小值,且这个值为 2 p. 2.利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时,需满足: (1)x,y 必须是正数; (2)求积 xy 的最大值时,应看和 x+y 是否为定值;求和 x+y 的最小值时,应看积 xy 是否为定值. (3)等号成立的条件是否满足. 利用基本不等式求最值时,一定要注意三个前提条件,这三个前提条件概括为“一正、 二定、三相等”.

s2

一、选择题 1.函数 y=log2?x+

? ?

1

x-1

+5? ? (x>1)的最小值为(

?

)

A.-3 B.3 C.4 D.-4 答案 B x y 2.已知点 P(x,y)在经过 A(3,0),B(1,1)两点的直线上,则 2 +4 的最小值为( A.2 2 B.4 2 C.16 D.不存在 答案 B 解析 ∵点 P(x,y)在直线 AB 上,∴x+2y=3. 3 3 x y x y x+2y ∴2 +4 ≥2 2 ·4 =2 2 =4 2(x= ,y= 时取等号). 2 4 5 x2-4x+5 3.已知 x≥ ,则 f(x)= 有( ) 2 2x-4 5 5 A.最大值 B.最小值 C.最大值 1 D.最小值 1 2 4 答案 D x2-4x+5 ?x-2?2+1 解析 f(x)= = 2x-4 2?x-2? 1 ? 1? = ??x-2?+ ≥1. x-2? 2? ? 1 当且仅当 x-2= ,即 x=3 时等号成立. x-2 x2+5 4.函数 y= 2 的最小值为( ) x +4 5 A.2 B. C.1 D.不存在 2

)

1

答案 解析
2

B

y=

x2+5 1 2 = x +4+ 2 2 x +4 x +4
1 ≤ ,所以不能用基本不等式求最小值,用函数的单调性求最 x +4 2
2

∵ x +4≥2,而

1

1 值,函数 y=x+ 在(1,+∞)上是增函数,∴在[2,+∞)上也是增函数.

x

5 2 ∴当 x +4=2 即 x=0 时,ymin= . 2 5.已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( 9 11 A.3 B.4 C. D. 2 2 答案 B x+2y 2 解析 ∵8-(x+2y)=2xy=x·(2y)≤( ). 2 2 ∴原式可化为(x+2y) +4(x+2y)-32≥0. ∵x>0,y>0,∴x+2y≥4. 当 x=2,y=1 时取等号. 1 ?2 ? 1 ?2 ? 6.若 xy 是正数,则?x+ ? +?y+ ? 的最小值是( ) 2 y 2 x? ? ? ? 7 9 A.3 B. C.4 D. 2 2 答案 C 1 ?2 ? 1 ?2 ? 解析 ?x+ ? +?y+ ? ? 2y? ? 2x? 1? 1 1 ? x y 2 2 =x +y + ? 2+ 2?+ + 4? x y ? y x ? 2 1 ? ? 2 1 ? ?x y? =?x + 2?+?y + 2?+? + ?≥1+1+2=4. 4x ? ? 4y ? ?y x? ? 当且仅当 x=y= 二、填空题 2 2 或 x=y=- 时取等号. 2 2

)

?x+5??x+2? 7.设 x>-1,则函数 y= 的最小值是________. x+1 答案 9 解析 ∵x>-1,∴x+1>0, 设 x+1=t>0,则 x=t-1, 2 ?t+4??t+1? t +5t+4 4 于是有 y= = =t+ +5≥

t

t

t

2

t· +5=9, t t

4

4 当且仅当 t= ,即 t=2 时取等号,此时 x=1. ∴当 x=1 时, ?x+5??x+2? 函数 y= 取得最小值为 9. x+1 8.已知正数 a,b 满足 a+b-ab+3=0,则 ab 的最小值是________. 答案 9 解析 ∵a+b-ab+3=0,
2

∴ab=a+b+3≥2 ab+3. 2 令 ab=t,则 t ≥2t+3. 解得 t≥3(t≤-1 舍).即 ab≥3. ∴ab≥9.当且仅当 a=b=3 时,取等号. 3 9.建造一个容积为 8 m ,深为 2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方 米分别为 120 元和 80 元,那么水池的最低总造价为________元. 答案 1 760 2 解析 设水池的造价为 y 元,长方形底的一边长为 x m,由于底面积为 4 m ,所以另一 4 边长为 m.那么

x

y=120·4+2·80·?2x+2· ?=480+320?x+ ? x? ? ? x?
≥480+320·2

?

4?

?

4?

x· =1 760(元). x

4

当 x=2,即底为边长为 2 m 的正方形时,水池的造价最低,为 1 760 元. 10.函数 y=loga(x+3)-1 (a>0,a≠1)的图象恒过点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1=0 1 2 上,其中 mn>0,则 + 的最小值为________.

m n

答案 8 解析 ∵A(-2,-1)在直线 mx+ny+1=0 上, ∴-2m-n+1=0, 即 2m+n=1,mn>0,∴m>0,n>0. 1 2 2m+n 4m+2n n 4m ∴ + = + =2+ + +2≥4+2·

m n m n n 4m 1 1 当且仅当 = ,即 m= ,n= 时等号成立. m n 4 2
1 2 故 + 的最小值为 8.

m n

n 4m · =8. m n

m n

三、解答题 1 9 11.已知 x>0,y>0,且 + =1,求 x+y 的最小值.

x y



1 9 方法一 ∵ + =1,

x y

y 9x ?1 9? ∴x+y=(x+y)·? + ?=10+ + .

?x y?
y

x

y

y 9x ∵x>0,y>0,∴ + ≥2 x
当且仅当 =

y 9x · =6. x y

y 9x ,即 y=3x 时,取等号. x y

1 9 又 + =1,∴x=4,y=12.

x y ∴当 x=4,y=12 时,x+y 取最小值 16. 1 9 y 方法二 由 + =1,得 x= , x y y-9 ∵x>0,y>0,∴y>9. y y-9+9 9 x+y= +y=y+ =y+ +1 y-9 y-9 y-9
=(y-9)+ 9

y-9

+10.
3

∵y>9,∴y-9>0, 9 9 ∴y-9+ +10≥2 ?y-9?· +10=16, y-9 y-9 9 当且仅当 y-9= ,即 y=12 时取等号. y-9 1 9 又 + =1,则 x=4,

x y

∴当 x=4,y=12 时,x+y 取最小值 16. 12.某种生产设备购买时费用为 10 万元,每年的设备管理费共计 9 千元,这种生产设 备的维修费各年为:第一年 2 千元,第二年 4 千元,第三年 6 千元,而且以后以每年 2 千元 的增量逐年递增,问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用 最少)? 解 设使用 x 年的年平均费用为 y 万元. 2 0.2x +0.2x 10+0.9x+ 2 由已知,得 y= ,

x

10 x * 即 y=1+ + (x∈N ). x 10 10 x 10 x · =3,当且仅当 = ,即 x=10 时取等号.因此 x 10 x 10 使用 10 年报废最合算,年平均费用为 3 万元. 能力提升 2 4 13.若关于 x 的不等式(1+k )x≤k +4 的解集是 M,则对任意实常数 k,总有( ) A.2∈M,0∈M B.2?M,0?M C.2∈M,0?M D.2?M,0∈M 答案 A k4+4 2 4 解析 ∵(1+k )x≤k +4,∴x≤ 2. 1+k k4+4 ?1+k2?2-2?1+k2?+5 5 2 ∵ =(1+k )+ 2= 2 2-2≥2 5-2. 1+k 1+k 1+k 由基本不等式知 y≥1+2 ∴x≤2 5-2,M={x|x≤2 5-2},∴2∈M,0∈M. 14.设正数 x,y 满足 x+ y≤a· x+y恒成立,则 a 的最小值是______. 答案 2 x+ y x+y 解析 ∵ ≤ 成立, 2 2 ∴ x+ y≤ 2· x+y,∴a≥ 2. 1.利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件,并且和为定值, 积有最大值;积为定值,和有最小值. 2.使用基本不等式求最值时,若等号取不到,则考虑用函数单调性求解. 3.解决实际应用问题,关键在于弄清问题的各种数量关系,抽象出数学模型,利用基 本不等式解应用题,既要注意条件是否具备,还要注意有关量的实际含义.

4


赞助商链接
相关文章:
2015-2016学年高中数学 3.4.1基本不等式的证明练习 苏...
2015-2016学年高中数学 3.4.1基本不等式的证明练习 苏教版必修5_初中教育_教育专区。3.4.1 2 2 2 基本不等式的证明 2 2 1.(a-b) ≥0? a +b ≥...
2016年高二人教A版必修5系列教案:3.4基本不等式2
2016年高二人教A版必修5系列教案:3.4基本不等式2_高二数学_数学_高中教育_教育专区。课题: §3.4 基本不等式 ab ? 第 1 课时 a?b 2 授课类型:新授课 ...
【学案】3.4基本不等式
【学案】3.4基本不等式_数学_高中教育_教育专区。2016 届文科人教版数学不等式教案 姓 名: 沈金鹏 数学学院 院、系: 专 业: 数学与应用数学 2015 年 11 ...
最新人教A版必修5高中数学 3.4基本不等式教案(精品)
最新人教A版必修5高中数学 3.4基本不等式教案(精品)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。章节标题 第三章 不等式 3.4 基本不等式(1) 计划学时 2 一、 创设...
最新人教A版必修5高中数学 3.4《基本不等式》(3)教案(...
必修 5:3.4基本不等式》 (3)教案 一、教学内容分析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学 5》 (人教版)第三章不等式第四基本 不等式第三课时...
...学期新人教A版高中数学必修5教案 3.4 基本不等式3
基本不等式》 一、内容与内容解析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学人教 A 版必修 5 第三章《不等式》中 3.4 节 《基本不等式》的第一课时,...
最新人教A版必修5高中数学《3.4基本不等式》教案(精品)
最新人教A版必修5高中数学3.4基本不等式》教案(精品)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修五《3.4 基本不等式》教案 教学要求: 通知识与技 能:...
高中数学人教A版必修五基本不等式教案
高中数学人教A版必修五基本不等式教案_数学_高中教育_教育专区。人教A版数学 2016届复习资料 姓 名: 沈金鹏 数学学院 数学与应用数学 院、系: 专业: 2015 年 ...
【素材】3.4基本不等式 说课教案
【素材】3.4基本不等式 说课教案_其它课程_高中...系: 专 业: 数学与应用数学 2015 年 11 月 2 2016 届文科人教版数学集合、常用逻辑用语、不等式、...
【数学】3.4《基本不等式》教案(新人教A版必修5)(3课时)
【数学】3.4《基本不等式》教案(新人教A版必修5)(3课时) 隐藏>> 知识改变命运, 知识改变命运,学习成就未来课题: §3.4 基本不等式 ab ≤第 1 课时 授课...
更多相关标签:

相关文章