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广东省普宁英才华侨中学2015-2016学年高一数学下学期第二次调研考试试题 理


广东省普宁英才华侨中学 2015-2016 学年高一数学下学期第二次调 研考试试题 理
一、选择题(每小题 5 分,满分 60 分。把答案填在答题纸上相应的表格中) 1.集合 M={y|y=lg(x +1)},N={x|4 <4},则 M∩N 等于( A.[0,+∞) B.[0,1) C.(1,+∞) D.(0,1]
2 x


>
2.已知 a,b 是直线, ? 、 ? 、 ? 是不同的平面,有以下四个命题:① a ? ? , b ? ? , a ? b ,

? ?? ? a , 则? ? ? ; ② ? ? ?,? ? ? , 则 ? // ? ; ③ b ? ?, ? ? ? , 则 b // ? ; ④ ? // ? , ? ? ? ? b ,则 a // ? ,期中正确的命题序号是( )
A.①④ B.①③ C.①②④ D.③④

3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 , 3 , 6 ,则这个长方体的对角线的 长为( A. 2 3 ) B.3 2 C.6 D. 6

4.直线 l 经过点 A(1,2) ,且与 x 轴交点的横坐标的取值范围是(-3,3) ,则其斜率 k 的取 值范围是( A.-1<k< )

1 5

B.k>1 或 k<

1 2

C.k>

1 或 k<1 5

D.k>

1 或 k<-1 2

5.已知棱锥的顶点为 P,P 在底面上的射影为 O,PO=a,现用平行于底面的平面去截这个棱 锥,截面交 PO 与 M,并使截得的两部分侧面积相等,设 OM=b,则 a,b 的关系是( A. b ? )

?

2 ?1 a

?

B. b ?

?

2 ?1 a

?

C. b ?

2? 2 a 2

D. b ?

2? 2 a 2

6.一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面积为 ? ,则球的表面积为( ) A. 8 2? B.8 ? C. 4 2? D. 4?

7.设三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积为 V,P,Q 分别是侧棱 AA 1 , CC1 上的点,且 PA= QC 1 ,则 四棱锥 B-APQC 的体积为 A. V

1 6

B. V

1 4

C. V

1 3

D. V

1 2

1

8. 若 函 数 f ( x) ? ( A.1 9.函数 y ? A. C. )

? (1

?o x? 3 x t a n, x ) 0c s

?
2

, 则 f ( x) 的 最 大 值 为

B. 3

C. 2 ) B. D. [2k ? ?

D.

3 ?1

2sin x ?1 的定义域是(

5 , 2k? ? ? ](k ? z ) 6 6 2 10.记 a, b 分别是投掷两次骰子所得的数字,则方程 x ? ax ? 2b ? 0 有两个不同实根的概
率为( A. )

?

1 3 9 C. D. 4 10 10 ? y ? x ? 1, ? ? y ? ? x ? 1, ? } ,向区域 ? 内随机投一 11.已知区域 ? ? {( x, y ) ? y ? 0, } , M ? {( x, y ) ? y ? 0, ? ? ? x ? 1, ? 点 P ,点 P 落在区域 M 内的概率为( ) 1 1 1 2 A. B. C. D. 4 3 2 3 4 1 12.若 A.B 为一对对立事件, 其概率分别为 P( A) ? , P( B) ? , 则x ? y 的最小值为 ( x y
B. A.6 B.8 C.9 D.10 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为 14.正六棱柱 ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1 的底面边长为 到点 D1 时的最短的路程是 . .

5 18



, 侧棱长为 1, 则动点从 A 沿表面移动

15.甲、乙两个圆锥的底面积分别为 S1,S2,母线长分别为 L1,L2,若它们的侧面积相等,且 = ,则 的值是 .

16.为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一部分跳绳次数测试,将所得数 据整理后,画出频率分布直方图(如图所示) ,图中从左到右各小长方形面积之比为 2:4: 17:15:9:3,第二小组频数为 12,若次数在 110 以上(含 110 次)为达标,试估计该学 校全体高一学生单调达标率是 .

2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 在 △ ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c , tan C ? 3 7 .(1)求 cos C ; (2)若 CB ? CA ?

??? ? ??? ?

5 ,且 a ? b ? 9 ,求边 c . 2

18.(本小题满分 12 分) 数列 ?bn ? n ? N

?

?

? 是递增的等比数列,且 b ? b
1

3

? 5 , b1 ? b3 ? 4 .

(1)若 an ? log2 bn ? 3 ,求证:数列 ?an ? 是等差数列; (2)若 a1 ? a2 ? a3 ? ?? ? am ? a46 ,求 m 的最大值.
2

19. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 f ( x) ? ax2 ? bx ?

1 的最低点为 ?? 1,0? , 4

(1)求不等式 f ?x ? ? 4 的解集; (2)若对任意 x ? [1, 9] ,不等式 f ( x ? t ) ? x 恒成立,求实数 t 的取值范围.

3

20.. (本题 12 分)计算: (1)已知全集为 R ,集合 A ? x ? 2 ? x ? 5 , B ? x 1 ? x ? 6 ,求
2

?

?

?

?

U

A?

U

B.

(2) 3

log 3 4

? 27 3 ? lg 0.01 ? ln e3

21. (本小题满分 12 分)如图所示,在矩形 ABCD 中,已知 AB ? a, BC ? b ? a ? b ? ,在

AB、AD、CD、CB 上分别截取 AE、AH、CG、CF 都等于 x ,当 x 取何值时,四边形 EFGH 的面积最大?并求出这个最大面积.

22. (本小题满分 12 分)若在定义域内存在实数 x0 ,使得 f ? x0 ? 1? ? f ? x0 ? ? f ?1? 成立, 则称函数有“飘移点” x0 . (1)函数 f ? x ? ?

1 是否有“飘移点”?请说明理由; x
2 x

1? 上有“飘移点” (2)证明函数 f ? x ? ? x ? 2 在 ? 0, ;
(3)若函数 f ? x ? ? lg ?

? a ? ,求实数 a 的取值范围. ? 在 ? 0, ?? ? 上有“飘移点” 2 ? x ?1?

4

普宁市英才华侨中学 2015—2016 学年下学期第二次调研考试 高一理科数学答案 一、选择题(每小题 5 分,满分 60 分。 ) 1~5 BADDC 6~10 BCCDB 11~12 CC 二、.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡 的相应位置。 13. 14. 15. 16..0.88

三.解答题

? 17. .解: (1)? tan C ? 3 7,
解得 cos C ? ?

sin C ?3 7 cos C

又? sin C ? cos C ? 1
2 2

1 .? tan C ? 0 ,? C 是锐角. 8 1 ? cos C ? . 8 ??? ? ??? ? 5 5 (2)? CB ? CA ? ,? ab cos C ? ,? ab ? 20 . 2 2
又? a ? b ? 9 ? a ? 2ab ? b ? 81 .? a ? b ? 41 .
2 2 2 2

?c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? 36 .? c ? 6 .

18. 解:(1)由 ?

?b1b3 ? 4 2 知 b1 , b3 是方程 x ? 5x ? 4 ? 0 的两根, ?b1 ? b3 ? 5

注意到 bn?1 ? bn 得 b1 ? 1, b3 ? 4 . ? bn ? 2n?1

? an ? n ? 2 ,故数列 ?an ? 是等差数列
由(1) a1 ? a2 ? a3 ? ? ? am ? 9 ?
2

? a2 ? am ?? m ? 1? ? 48
2

(2)即 9 ?

? 4 ? m ? 2 ?? m ? 1? ? 48 ? m2 ? 5m ? 84 ? 0 ? ?12 ? m ? 7
2

由于 m ? N * ? mmax ? 7

1 ? b ? ? ? ?1 a? ? ? ? 2a ? 4 ?? 19. 解: (1)依题意,有 ? . 1 1 ? f ?? 1? ? a ? b ? ? 0 ?b ? ? ? 2 ? 4 ?
5

? x ?1? 因此, f ( x) 的解析式为 f ( x) ? ? ? ; ? 2 ?
故 f ? x ? ? 4 ? x2 ? 2x ?15 ? 0 ? x ? ? ??, ?5? ? ?3, ???

2

? x ? t ?1? (2)由 f ( x ? t ) ? x ( 1 ? x ? 9 )得 ? ,解之得 ? ? x (1 ? x ? 9 ) ? 2 ?

2

( x ? 1)2 ? t ? ( x ? 1)2 ( 1 ? x ? 9 )
由此可得 t ? [( x ? 1)2 ]min ? 4 且 t ? [( x ? 1)2 ]max ? 4 , 所以实数 t 的取值范围是 {t | t ? 4} .

20. (1)
U

U

A ? x x ? ?2或x ? 5

?

? ?

2分

B ? x x ? 1或x ? 6
U

?

?

4分 6分 10 分

?

A?
2

U

B ? x x ? ?2或x ? 6

?

3log 3 4 ? 27 3 ? lg 0.01 ? ln e3 ? 4 ? 9 ? ?? 2 ? ? 3 ? 0
21. S? EHA ? S? CGF ?

1 2 x 2

S? BEF ? S? DHG ?

1 ? a ? x ?? b ? x ? 2

1 ?1 ? ? S? EFGH ? ab ? 2 ? x 2 ? ? a ? x ?? b ? x ? ? 2 ?2 ? ? ?2 x 2 ? ? a ? b ? x ?0 ? x ? b?

a ? b ? ?a ? b? ? S ? ?2 ? x ? ? ? 4 ? 8 ?
2

2

由0 ? x ? b及a ? b ? 0 得 0 ? b ?

a?b 2
2

?a ? b? a?b a?b ? b, 即a ? 3b时, x? 时 S 取得最大值 (ⅰ) 若 4 4 8
(ⅱ) 若

a?b ? b, 即a ? 3b, 函数S ? x ? 在 ? 0, b ? 上是增函数, 4

因此,当x ? b时,面积 S 取得最大值ab-b2

6

22(1)假设函数 f ( x) ?

1 1 1 有“飘移点” x0 ,则 ? ? 1 即 x0 2 ? x0 ? 1 ? 0 由此方程 x x0 ? 1 x0 1 没有飘移点。 x

无实根,矛盾,所以函数 f ( x) ?

(2)

令h( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x) ? f (1) ? 2 ? 2 x ?1 ? x ? 1? 又h(0) ? ?1,h(1) ? 2, ? h(0)h(1) ? 0
x 2

(9分)

即函数f ( x)=2 ? x 有“飘移点” 所以 h( x)=0在 ? 0,1? 上至少有一实根x0 ,
(3) 若f ( x)=1g ?

? a ? ? 在 ? 0, ?? ? 上有飘移点 x0 ,即有 2 ? x ?1?

1g

? a ? a a a a ? 1g ? 2 ? 2 ? ? ? 1g 成立,即 2 2 2 ? x0 ? 1? ? 1 ? x0 ? 1 ? ? x0 ? 1? ? 1 x0 ? 1 2 a
2

整理得 ? 2 ? a ? x0 ? 2ax0 ? 2 ? 2a ? 0 ,从而关于 x的方程
2

g ( x) ? ? 2 ? a ? x 2 ? 2ax ? 2 ? 2a ? 0在 ? 0, ?? ? 上应有实数根x0
当0 ? a ? 2时,由于函数g ( x)的对称轴x ?
可知,只需 4a ? 4 ? 2 ? a ?? 2 ? 2a ? ? 0 ,
2

a ?0 2?a

?3 ? 5 ? a ? 3 ? 5

即有3 ? 5 ? a ? 2

? a的取值范围是 ? 2 ?3 ? 5 ,
.

?

( 14分)

.

7


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