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2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标1)


2014 年全国统一高考数学试卷(理科) (新课标Ⅰ )
适用地区: 河南 河北 山西

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分) 2 1. (5 分)已知集合 A={x|x ﹣2x﹣3≥0},B={x|﹣2≤x<2},则 A∩ B=( A.[﹣2,﹣1] B.[﹣1,2) C.[﹣1,1] D.[1,2)


<

br />2. (5 分) A.1+i

=( B.1﹣i

) C.﹣1+i D.﹣1﹣i )

3. (5 分) 设函数 f (x) , g (x) 的定义域都为 R, 且f (x) 是奇函数, g (x) 是偶函数, 则下列结论中正确的是 ( A.f(x)g(x)是B.|f(x)|g(x)是C.f(x)|g(x)| D.|f(x)g(x)| 偶函数 奇函数 是奇函数 是奇函数 4. (5 分)已知 F 为双曲线 C:x ﹣my =3m(m>0)的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为( A. B.3 C. m D.3m
2 2



5. (5 分)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率 为( ) A. B. C. D.

6. (5 分)如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA,终边为射线 OP, 过点 P 做直线 OA 的垂线,垂足为 M,将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f(x) ,则 y=f(x)在[0,π]的图 象大致为( )

A.

B.

C.

D.

7. (5 分)执行如图的程序框图,若输入的 a,b,k 分别为 1,2,3,则输出的 M=(



1

A.

B.

C.

D.

8. (5 分)设 α∈(0, A. 3α﹣β=

) ,β∈(0,

) ,且 tanα= C. 2α﹣β=

,则( D. 2α+β=



B. 3α+β=

9. (5 分)不等式组 p1:?(x,y)∈D,x+2y≥﹣2 p3:?(x,y)∈D,x+2y≤3 其中真命题是( ) A.p2,p3 B.p1,p4
2

的解集记为 D,有下列四个命题: p2:?(x,y)∈D,x+2y≥2 p4:?(x,y)∈D,x+2y≤﹣1 C.p1,p2 D.p1,p3

10. (5 分)已知抛物线 C:y =8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的一个交点,若 则|QF|=( A. ) B.3 C. D.2

=4



11. (5 分)已知函数 f(x)=ax ﹣3x +1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,则 a 的取值范围是( A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(﹣∞,﹣2) D.(﹣∞,﹣1)

3

2



12. (5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最 长的棱的长度为( ) A.6 B.6 C.4 D.4

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分) 8 2 7 13. (5 分) (x﹣y) (x+y) 的展开式中 x y 的系数为 _________ . (用数字填写答案) 14. (5 分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市; 由此可判断乙去过的城市为 _________ .

2

15. (5 分)已知 A,B,C 为圆 O 上的三点,若

= (

+

) ,则



的夹角为 _________ .

16. (5 分)已知 a,b,c 分别为△ ABC 三个内角 A,B,C 的对边,a=2,且(2+b) (sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC, 则△ ABC 面积的最大值为 _________ . 三、解答题 17. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn﹣1,其中 λ 为常数. (Ⅰ )证明:an+2﹣an=λ (Ⅱ )是否存在 λ,使得{an}为等差数列?并说明理由. 18. (12 分)从某企业生产的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分 布直方图:

(Ⅰ )求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 s (同一组中数据用该组区间的中点值作代表) ; 2 2 (Ⅱ )由直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N(μ,σ ) ,其中 μ 近似为样本平均数 ,σ 近 2 似为样本方差 s . (i)利用该正态分布,求 P(187.8<Z<212.2) ; (ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产 品件数,利用(i)的结果,求 EX. 附: ≈12.2. 2 若 Z﹣N(μ,σ )则 P(μ﹣σ<Z<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<Z<μ+2σ)=0.9544.

2

19. (12 分)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形,AB⊥ B1C. (Ⅰ )证明:AC=AB1; (Ⅱ )若 AC⊥ AB1,∠ CBB1=60°,AB=BC,求二面角 A﹣A1B1﹣C1 的余弦值.

3

20. (12 分)已知点 A(0,﹣2) ,椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,F 是椭圆 E 的右焦点,直线 AF

的斜率为

,O 为坐标原点.

(Ⅰ )求 E 的方程; (Ⅱ )设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△ OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.
x

21. (12 分)设函数 f(x)=ae lnx+ (Ⅰ )求 a、b; (Ⅱ )证明:f(x)>1.

,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处得切线方程为 y=e(x﹣1)+2.

四、选做题(22-24 题任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分) 选修 4-1:集合证明选讲 22. (10 分)如图,四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE.
4

(Ⅰ )证明:∠ D=∠ E; (Ⅱ )设 AD 不是⊙ O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ ADE 为等边三角形.

选修 4-4:坐标系与参数方程 23.已知曲线 C: + =1,直线 l: (t 为参数)

(Ⅰ )写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程. (Ⅱ )过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最大值与最小值.

选修 4-5:不等式选讲 24.若 a>0,b>0,且 + =
3 3



(Ⅰ )求 a +b 的最小值; (Ⅱ )是否存在 a,b,使得 2a+3b=6?并说明理由.

5

2014 年全国统一高考数学试卷(理科) (新课标Ⅰ )
参考答案与试题解析
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分) 1. (5 分)已知集合 A={x|x ﹣2x﹣3≥0},B={x|﹣2≤x<2},则 A∩ B=( A.[﹣2,﹣1] B.[﹣1,2) C.[﹣1,1] D.[1,2) 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合的基本运算即可得到结论.
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2



解答: 解:A={x|x ﹣2x﹣3≥0}={x|x≥3 或 x≤﹣1},B={x|﹣2≤x<2}, 则 A∩ B={x|﹣2≤x≤﹣1}, 故选:A 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础.

2

2. (5 分) A.1+i

=( B.1﹣i

) C.﹣1+i D.﹣1﹣i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 由条件利用两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质,计算求得结果.
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解答: 解:

=

=﹣(1+i)=﹣1﹣i,

故选:D. 点评: 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质,属于基础题.

3. (5 分) 设函数 f (x) , g (x) 的定义域都为 R, 且f (x) 是奇函数, g (x) 是偶函数, 则下列结论中正确的是 ( A.f(x)g(x)是B.|f(x)|g(x)是C.f(x)|g(x)| D.|f(x)g(x)| 偶函数 奇函数 是奇函数 是奇函数 考点: 函数奇偶性的判断;函数的定义域及其求法.



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专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得,|f(x)|为偶函数,|g(x)|为偶函数.再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是 偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数,从而得出结论. 解答: 解:∵ f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴ |f(x)|为偶函数,|g(x)|为偶函数. 再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数, 可得 f(x)|g(x)|为奇函数, 故选:C.

6

点评: 本题主要考查函数的奇偶性,注意利用函数的奇偶性规律,属于基础题. 4. (5 分)已知 F 为双曲线 C:x ﹣my =3m(m>0)的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为( A. B.3 C. m D.3m 考点: 双曲线的简单性质.
2 2



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专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 双曲线方程化为标准方程,求出焦点坐标,一条渐近线方程,利用点到直线的距离公式,可得结论. 解答: 解:双曲线 C:x ﹣my =3m(m>0)可化为 ∴ 一个焦点为( ,0) ,一条渐近线方程为 = .
2 2

, =0,

∴ 点 F 到 C 的一条渐近线的距离为

故选:A. 点评: 本题考查双曲线的方程与性质,考查点到直线的距离公式,属于基础题.

5. (5 分)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率 为( ) A. B. C. D.

考点: 等可能事件的概率. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 求得 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况, 利用古典概型概率公式求解即可. 解答: 解:4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,共有 24=16 种情况,
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周六、周日都有同学参加公益活动,共有 2 ﹣2=16﹣2=14 种情况, ∴ 所求概率为 = .

4

故选:D. 点评: 本题考查古典概型,是一个古典概型与排列组合结合的问题,解题时先要判断该概率模型是不是古典概型, 再要找出随机事件 A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数. 6. (5 分)如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA,终边为射线 OP, 过点 P 做直线 OA 的垂线,垂足为 M,将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f(x) ,则 y=f(x)在[0,π]的图 象大致为( )

A.

B.

C.

D.

7

考点: 抽象函数及其应用. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 在直角三角形 OMP 中,求出 OM,注意长度、距离为正,再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得 到 f(x)的表达式,然后化简,分析周期和最值,结合图象正确选择. 解答: 解:在直角三角形 OMP 中,OP=1,∠ POM=x,则 OM=|cosx|, ∴ 点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f(x)=OM|sinx|
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=|cosx|?|sinx|= |sin2x|, 其周期为 T= ,最大值为 ,最小值为 0,

故选 C. 点评: 本题主要考查三角函数的图象与性质,正确表示函数的表达式是解题的关键,同时考查二倍角公式的运用. 7. (5 分)执行如图的程序框图,若输入的 a,b,k 分别为 1,2,3,则输出的 M=( )

A.

B.

C.

D.

考点: 程序框图. 专题: 概率与统计. 分析: 根据框图的流程模拟运行程序,直到不满足条件,计算输出 M 的值. 解答: 解:由程序框图知:第一次循环 M=1+ = ,a=2,b= ,n=2;
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第二次循环 M=2+ = ,a= ,b= ,n=3; 第三次循环 M= + = ,a= ,b= ,n=4. .

不满足条件 n≤3,跳出循环体,输出 M=

故选:D. 点评: 本题考查了当型循环结构的程序框图,根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法. 8. (5 分)设 α∈(0, A. 3α﹣β= ) ,β∈(0,

) ,且 tanα= C. 2α﹣β=

,则( D. 2α+β=



B. 3α+β=

考点: 三角函数的化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 化切为弦,整理后得到 sin(α﹣β)=cosα,由该等式左右两边角的关系可排除选项 A,B,然后验证 C 满足 等式 sin(α﹣β)=cosα,则答案可求.
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8

解答:

解:由 tanα= ,

,得:

即 sinαcosβ=cosαsinβ+cosα, sin(α﹣β)=cosα. 由等式右边为单角 α,左边为角 α 与 β 的差,可知 β 与 2α 有关. 排除选项 A,B 后验证 C, 当 时,sin(α﹣β)=sin( )=cosα 成立.

故选:C. 点评: 本题考查三角函数的化简求值,训练了利用排除法及验证法求解选择题,是基础题.

9. (5 分)不等式组 p1:?(x,y)∈D,x+2y≥﹣2 p3:?(x,y)∈D,x+2y≤3 其中真命题是( ) A.p2,p3 B.p1,p4

的解集记为 D,有下列四个命题: p2:?(x,y)∈D,x+2y≥2 p4:?(x,y)∈D,x+2y≤﹣1 C.p1,p2 D.p1,p3

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组 的表示的区域 D,对四个选项逐一分析即可.
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解答: 解:作出图形如下:

由图知,区域 D 为直线 x+y=1 与 x﹣2y=4 相交的上部角型区域, 显然,区域 D 在 x+2y≥﹣2 区域的上方,故 A:?(x,y)∈D,x+2y≥﹣2 成立; 在直线 x+2y=2 的右上方区域, :?(x,y)∈D,x+2y≥2,故 p2:?(x,y)∈D,x+2y≥2 正确; 由图知,p3:?(x,y)∈D,x+2y≤3 错误; x+2y≤﹣1 的区域(左下方的虚线区域)恒在区域 D 下方,故 p4:?(x,y)∈D,x+2y≤﹣1 错误; 综上所述,p1、p2 正确; 故选:C.

点评: 本题考查命题的真假判断与应用,着重考查作图能力,熟练作图,正确分析是关键,属于难题.
2

10. (5 分)已知抛物线 C:y =8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的一个交点,若 则|QF|=( A. ) B.3 C. D.2

=4



考点:抛物线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:求得直线 PF 的方程,与 y2=8x 联立可得 x=1,利用|QF|=d 可求. 解答:解:设 Q 到 l 的距离为 d,则|QF|=d,
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∵ =4



∴ |PQ|=3d, ∴ 直线 PF 的斜率为﹣2 , ∵ F(2,0) , ∴ 直线 PF 的方程为 y=﹣2 (x﹣2) , 2 与 y =8x 联立可得 x=1, ∴ |QF|=d=1+2=3, 故选:B.
10

点评:本题考查抛物线的简单性质,考查直线与抛物线的位置关系,属于基础题. 11. (5 分)已知函数 f(x)=ax ﹣3x +1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,则 a 的取值范围是( A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(﹣∞,﹣2) D.(﹣∞,﹣1)
3 2



考点: 函数在某点取得极值的条件;函数的零点. 专题: 导数的综合应用. 分析: 分类讨论:当 a≥0 时,容易判断出不符合题意;当 a<0 时,由于而 f(0)=1>0,x→+∞时,f(x)→﹣∞,
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可知: 存在 x0>0, 使得 f (x0) =0, 要使满足条件 f (x) 存在唯一的零点 x0, 且 x0>0, 则必须极小值 >0,解出即可. 解答: 解:当 a=0 时,f(x)=﹣3x +1=0,解得 x= 当 a>0 时,令 f′ (x)=3ax ﹣6x=3ax x (﹣∞,0) 0
2 2

,函数 f(x)有两个零点,不符合题意,应舍去; =0,解得 x=0 或 x= >0,列表如下:

+ 0 0 + f′ (x) ﹣ f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ∵ x→+∞,f(x)→+∞,而 f(0)=1>0,∴ 存在 x<0,使得 f(x)=0,不符合条件:f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,应舍去. 当 a<0 时,f′ (x)=3ax ﹣6x=3ax x f′ (x) f(x) (﹣∞, ) ﹣ 单调递减 0 极小值 + 单调递增
2

=0,解得 x=0 或 x= <0,列表如下: 0 0 极大值 (0,+∞) ﹣ 单调递减
2

而 f(0)=1>0,x→+∞时,f(x)→﹣∞,∴ 存在 x0>0,使得 f(x0)=0, ∵ f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,∴ 极小值 = ,化为 a >4,∵ a

<0,∴ a<﹣2. 综上可知:a 的取值范围是(﹣∞,﹣2) . 故选:C. 点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法,考查了推理能力和计算能力, 属于难题. 12. (5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最 长的棱的长度为( )

A.6

B.6

C.4

D.4

考点: 由三视图求面积、体积.

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专题: 空间位置关系与距离. 分析: 画出图形,结合三视图的数据求出棱长,推出结果即可. 解答: 解:几何体的直观图如图:AB=4,BD=4,C 到 BD 的中点的距离为:4, ∴ 显然 AC 最长.长为 6. 故选:B. .AC= =6,AD=4 ,

点评: 本题考查三视图求解几何体的棱长,考查计算能力. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分) 8 2 7 13. (5 分) (x﹣y) (x+y) 的展开式中 x y 的系数为 ﹣20 . (用数字填写答案) 考点: 二项式定理的应用;二项式系数的性质. 专题: 二项式定理. 分析: 由题意依次求出(x+y)8 中 xy7,x2y6,项的系数,求和即可. 8 7 解答: 解: (x+y) 的展开式中,含 xy 的系数是: =8.
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含 x y 的系数是
8

2 6

=28,
2 7

∴ (x﹣y) (x+y) 的展开式中 x y 的系数为:8﹣28=﹣20. 故答案为:﹣20 点评: 本题考查二项式定理系数的性质,二项式定理的应用,考查计算能力. 14. (5 分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市; 由此可判断乙去过的城市为 A . 考点:进行简单的合情推理. 专题:推理和证明. 分析:可先由乙推出,可能去过 A 城市或 B 城市,再由甲推出只能是 A,B 中的一个,再由丙即可推出结论. 解答:解:由乙说:我没去过 C 城市,则乙可能去过 A 城市或 B 城市, 但甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市,则乙只能是去过 A,B 中的任一个, 再由丙说:我们三人去过同一城市, 则由此可判断乙去过的城市为 A. 故答案为:A. 点评:本题主要考查简单的合情推理,要抓住关键,逐步推断,是一道基础题.
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15. (5 分)已知 A,B,C 为圆 O 上的三点,若

= (

+

) ,则



的夹角为 90° .

12

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据向量之间的关系,利用圆直径的性质,即可得到结论. 解答: 解:在圆中若 = ( + ) ,
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即2 即 +

=

+



的和向量是过 A,O 的直径,

则以 AB,AC 为临边的四边形是矩形, 则 即 ⊥ , 与 的夹角为 90°,

故答案为:90° 点评: 本题主要考查平面向量的夹角的计算,利用圆直径的性质是解决本题的关键,比较基础.

16. (5 分)已知 a,b,c 分别为△ ABC 三个内角 A,B,C 的对边,a=2,且(2+b) (sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC, 则△ ABC 面积的最大值为 . 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 2 2 分析: 由条件利用正弦定理可得 b +c ﹣bc=4.再利用基本不等式可得 bc≤4,当且仅当 b=c=2 时,取等号,此时,
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△ ABC 为等边三角形,从而求得它的面积
2 2 2

的值.

解答: 解:△ ABC 中,∵ a=2,且(2+b) (sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC, ∴ 利用正弦定理可得 4﹣b =(c﹣b)c,即 b +c ﹣bc=4. 再利用基本不等式可得 4≥2bc﹣bc=bc,∴ bc≤4,当且仅当 b=c=2 时,取等号, 此时,△ ABC 为等边三角形,它的面积为 = = ,

故答案为: . 点评: 本题主要考查正弦定理的应用,基本不等式,属于中档题. 三、解答题 17. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn﹣1,其中 λ 为常数. (Ⅰ )证明:an+2﹣an=λ (Ⅱ )是否存在 λ,使得{an}为等差数列?并说明理由. 考点:数列递推式;等差关系的确定. 专题:等差数列与等比数列. 分析:(Ⅰ )利用 anan+1=λSn﹣1,an+1an+2=λSn+1﹣1,相减即可得出; (Ⅱ )对 λ 分类讨论:λ=0 直接验证即可;λ≠0,假设存在 λ,使得{an}为等差数列,设公差为 d.可得 λ=an+2
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﹣an=(an+2﹣an+1)+(an+1﹣an)=2d, 差数列的充要条件是

.得到 λSn=

,根据{an}为等

,解得 λ 即可.

13

解答:(Ⅰ )证明:∵ anan+1=λSn﹣1,an+1an+2=λSn+1﹣1, ∴ an+1(an+2﹣an)=λan+1 ∵ an+1≠0, ∴ an+2﹣an=λ. (Ⅱ )解:① 当 λ=0 时,anan+1=﹣1,假设{an}为等差数列,设公差为 d. 则 an+2﹣an=0,∴ 2d=0,解得 d=0, ∴ an=an+1=1, 2 ∴ 1 =﹣1,矛盾,因此 λ=0 时{an}不为等差数列. ② 当 λ≠0 时,假设存在 λ,使得{an}为等差数列,设公差为 d. 则 λ=an+2﹣an=(an+2﹣an+1)+(an+1﹣an)=2d, ∴ ∴ ∴ λSn=1+ 根据{an}为等差数列的充要条件是 此时可得 ,an=2n﹣1. . , , = ,

,解得 λ=4.

因此存在 λ=4,使得{an}为等差数列. 点评:本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本 技能方法,考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法,属于难题. 18. (12 分)从某企业生产的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分 布直方图:

(Ⅰ )求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 s (同一组中数据用该组区间的中点值作代表) ; 2 2 (Ⅱ )由直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N(μ,σ ) ,其中 μ 近似为样本平均数 ,σ 近 2 似为样本方差 s . (i)利用该正态分布,求 P(187.8<Z<212.2) ; (ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产 品件数,利用(i)的结果,求 EX. 附: ≈12.2. 2 若 Z﹣N(μ,σ )则 P(μ﹣σ<Z<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<Z<μ+2σ)=0.9544. 考点: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义;离散型随机变量的期望与方差.

2

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14

专题: 计算题;概率与统计. 分析: (Ⅰ )运用离散型随机变量的期望和方差公式,即可求出; (Ⅱ ) (i)由(Ⅰ )知 Z~N(200,150) ,从而求出 P(187.8<Z<212.2) ,注意运用所给数据; (ii)由(i)知 X~B(100,0.6826) ,运用 EX=np 即可求得.
2 解答: 解: (Ⅰ )抽取产品的质量指标值的样本平均数 和样本方差 s 分别为: =170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200, 2 2 2 2 2 2 2 s =(﹣30) ×0.02+(﹣20) ×0.09+(﹣10) ×0.22+0×0.33+10 ×0.24+20 ×0.08+30 ×0.02=150. (Ⅱ ) (i)由(Ⅰ )知 Z~N(200,150) ,从而 P(187.8<Z<212.2)=P(200﹣12.2<Z<200+12.2)=0.6826; (ii)由(i)知一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为 0.6826, 依题意知 X~B(100,0.6826) ,所以 EX=100×0.6826=68.26.

点评: 本题主要考查离散型随机变量的期望和方差,以及正态分布的特点及概率求解,考查运算能力.

19. (12 分)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形,AB⊥ B1C. (Ⅰ )证明:AC=AB1; (Ⅱ )若 AC⊥ AB1,∠ CBB1=60°,AB=BC,求二面角 A﹣A1B1﹣C1 的余弦值.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;空间向量的夹角与距离求解公式. 专题: 空间向量及应用. 分析: (1) 连结 BC1, 交 B1C 于点 O, 连结 AO, 可证 B1C⊥ 平面 ABO, 可得 B1C⊥ AO, B10=CO, 进而可得 AC=AB1;
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(2)以 O 为坐标原点,

的方向为 x 轴的正方向,|

|为单位长度,

的方向为 y 轴的正方向,

的方

向为 z 轴的正方向建立空间直角坐标系,分别可得两平面的法向量,可得所求余弦值. 解答: 解: (1)连结 BC1,交 B1C 于点 O,连结 AO, ∵ 侧面 BB1C1C 为菱形, ∴ BC1⊥ B1C,且 O 为 BC1 和 B1C 的中点, 又∵ AB⊥ B1C,∴ B1C⊥ 平面 ABO, ∵ AO?平面 ABO,∴ B1C⊥ AO, 又 B10=CO,∴ AC=AB1, (2)∵ AC⊥ AB1,且 O 为 B1C 的中点,∴ AO=CO, 又∵ AB=BC,∴ △ BOA≌ △ BOC,∴ OA⊥ OB, ∴ OA,OB,OB1 两两垂直, 以 O 为坐标原点, 的方向为 x 轴的正方向,| |为单位长度,

的方向为 y 轴的正方向,

的方向为 z 轴的正方向建立空间直角坐标系,

∵ ∠ CBB1=60°,∴ △ CBB1 为正三角形,又 AB=BC, ∴ A(0,0, ∴ =(0, ) ,B(1,0,0, ) ,B1(0, , ) , = ,0) ,C(0, ) , = ,0) =(﹣1, ,0) ,

=(1,0,

15

设向量 =(x,y,z)是平面 AA1B1 的法向量,



,可取 =(1,



) ,

同理可得平面 A1B1C1 的一个法向量 =(1,﹣ ∴ cos< , >= = ,



) ,

∴ 二面角 A﹣A1B1﹣C1 的余弦值为 点评: 本题考查空间向量法解决立体几何问题,建立坐标系是解决问题的关键,属中档题.

20. (12 分)已知点 A(0,﹣2) ,椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,F 是椭圆 E 的右焦点,直线 AF

的斜率为

,O 为坐标原点.

(Ⅰ )求 E 的方程; (Ⅱ )设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△ OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ )设 F(c,0) ,利用直线的斜率公式可得
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,可得 c.又

,b =a ﹣c ,即可解得 a,b;

2

2

2

(Ⅱ )设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) .由题意可设直线 l 的方程为:y=kx﹣2.与椭圆的方程联立可得根与系数 的关系,再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出 S△OPQ.通过换元再利用 基本不等式的性质即可得出. 解答: 解: (Ⅰ )设 F(c,0) ,∵ 直线 AF 的斜率为 ∴ 又 ,解得 c=
2 2 2





,b =a ﹣c ,解得 a=2,b=1. ;

∴ 椭圆 E 的方程为

(Ⅱ )设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) . 由题意可设直线 l 的方程为:y=kx﹣2. 联立
2 2


2

化为(1+4k )x ﹣16kx+12=0,当△ =16(4k ﹣3)>0 时,即 , ∴ |PQ|= .

时,

16

=

=



点 O 到直线 l 的距离 d=



∴ S△OPQ= 设 ∴

=
2 2



>0,则 4k =t +3, = =1,当且仅当 t=2,即 ,解得 时取等号.

满足△ >0,∴ △ OPQ 的面积最大时直线 l 的方程为:



点评: 本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、 斜率计算公式、 椭圆的方程联立可得根与系数的关系、 弦长公式、 点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法,考查了推理 能力和计算能力,考查了换元法和转化方法,属于难题.
x

21. (12 分)设函数 f(x)=ae lnx+ (Ⅰ )求 a、b; (Ⅱ )证明:f(x)>1.

,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处得切线方程为 y=e(x﹣1)+2.

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程.

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专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ )求出定义域,导数 f′ (x) ,根据题意有 f(1)=2,f′ (1)=e,解出即可; (Ⅱ )由(Ⅰ )知,f(x)>1 等价于 xlnx>xe ﹣ ,设函数 g(x)=xlnx,函数 h(x)= 需证明 g(x)min>h(x)max,利用导数可分别求得 g(x)min,h(x)max;
﹣x

,只

17

解答: 解: (Ⅰ )函数 f(x)的定义域为(0,+∞) , f′ (x)= 由题意可得 f(1)=2,f′ (1)=e, 故 a=1,b=2; (Ⅱ )由(Ⅰ )知,f(x)=e lnx+
﹣x

+



x



从而 f(x)>1 等价于 xlnx>xe ﹣ ,设函数 g(x)=xlnx,则 g′ (x)=1+lnx, ∴ 当 x∈(0, )时,g′ (x)<0;当 x∈( ,+∞)时,g′ (x)>0. 故 g(x)在(0, )上单调递减,在( ,+∞)上单调递增,从而 g(x)在(0,+∞)上的最小值为 g ( )=﹣ . 设函数 h(x)= ,则 h′ (x)=e (1﹣x) .
﹣x

∴ 当 x∈(0,1)时,h′ (x)>0;当 x∈(1,+∞)时,h′ (x)<0, 故 h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 从而 h(x)在(0,+∞)上的最大值为 h(1)=﹣ . 综上,当 x>0 时,g(x)>h(x) ,即 f(x)>1.

点评: 本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等,考查转化思想,考查学生分析解决问 题的能力.

四、选做题(22-24 题任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分) 选修 4-1:集合证明选讲 22. (10 分)如图,四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE. (Ⅰ )证明:∠ D=∠ E; (Ⅱ )设 AD 不是⊙ O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ ADE 为等边三角形.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 选作题;几何证明. 分析: (Ⅰ ) 利用四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形, 可得∠ D=∠ CBE, 由 CB=CE, 可得∠ E=∠ CBE, 即可证明: ∠ D=∠ E; (Ⅱ )设 BC 的中点为 N,连接 MN,证明 AD∥ BC,可得∠ A=∠ CBE,进而可得∠ A=∠ E,即可证明△ ADE 为等 边三角形.
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解答: 证明: (Ⅰ )∵ 四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形, ∴ ∠ D=∠ CBE, ∵ CB=CE, ∴ ∠ E=∠ CBE, ∴ ∠ D=∠ E; (Ⅱ )设 BC 的中点为 N,连接 MN,则由 MB=MC 知 MN⊥ BC, ∴ O 在直线 MN 上, ∵ AD 不是⊙ O 的直径,AD 的中点为 M, ∴ OM⊥ AD, ∴ AD∥ BC, ∴ ∠ A=∠ CBE, ∵ ∠ CBE=∠ E, ∴ ∠ A=∠ E, 由(Ⅰ )知,∠ D=∠ E, ∴ △ ADE 为等边三角形.

点评: 本题考查圆的内接四边形性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

选修 4-4:坐标系与参数方程 23.已知曲线 C: + =1,直线 l: (t 为参数)

(Ⅰ )写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程. (Ⅱ )过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最大值与最小值. 考点:参数方程化成普通方程;直线与圆锥曲线的关系. 专题:坐标系和参数方程. 分析:(Ⅰ )联想三角函数的平方关系可取 x=2cosθ、y=3sinθ 得曲线 C 的参数方程,直接消掉参数 t 得直线 l 的普 通方程; (Ⅱ )设曲线 C 上任意一点 P(2cosθ,3sinθ) .由点到直线的距离公式得到 P 到直线 l 的距离,除以 sin30°进一步得到|PA|,化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值.
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解答: 解: (Ⅰ )对于曲线 C: 故曲线 C 的参数方程为 + =1,可令 x=2cosθ、y=3sinθ, , (θ 为参数) .

对于直线 l:



由① 得:t=x﹣2,代入② 并整理得:2x+y﹣6=0; (Ⅱ )设曲线 C 上任意一点 P(2cosθ,3sinθ) . P 到直线 l 的距离为 则 . ,其中 α 为锐角. . .

当 sin(θ+α)=﹣1 时,|PA|取得最大值,最大值为 当 sin(θ+α)=1 时,|PA|取得最小值,最小值为

点评:本题考查普通方程与参数方程的互化,训练了点到直线的距离公式,体现了数学转化思想方法,是中档题.

选修 4-5:不等式选讲 24.若 a>0,b>0,且 + =
3 3



(Ⅰ )求 a +b 的最小值; (Ⅱ )是否存在 a,b,使得 2a+3b=6?并说明理由. 考点: 基本不等式;基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 不等式的解法及应用. 3 3 分析: (Ⅰ )由条件利用基本不等式求得 ab≥4,再利用基本不等式求得 a +b 的最小值. (Ⅱ )根据 ab≥4 及基本不等式求的 2a+3b>8,从而可得不存在 a,b,使得 2a+3b=6. 解答: 解: (Ⅰ )∵ a>0,b>0,且 + = ,
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= + ≥2



∴ ab≥2, 当且仅当 a=b= ∵ a +b ≥2
3 3 3 3

时取等号. ≥2 =4 ,当且仅当 a=b= 时取等号,

∴ a +b 的最小值为 4 . (Ⅱ )由(1)可知,2a+3b≥2 =2 ≥4 >6, 故不存在 a,b,使得 2a+3b=6 成立. 点评: 本题主要考查基本不等式在最值中的应用,要注意检验等号成立条件是否具备,属于基础题.

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