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2017年广东自主招生数学模拟试题三(含答案)


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根据历年单招考试大纲出题

2017 年广东自主招生数学模拟试题二(含答案)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A ? x | x ? 1|? x ? 1 , B ? x x 2 ? x ? 0

,则 A ? B 等于

?

?

?

?





A. ? ?1,0?

B.

(?1, 0)

C. ? ?1 ,? 0

D. ? ?1 ,? 0
( )

2.若曲线 y ? x4 的一条切线 l 的斜率为 4 ,则切线 l 的方程是

A. 4 x ? y ? 3 ? 0
C. 4 x ? y ? 3 ? 0

B. x ? 4 y ? 5 ? 0
D. x ? 4 y ? 3 ? 0

3.已知三条不重合的直线 m, n, l ,两个不重合的平面 ? , ? ,有下列命题 ① m // n , n ? ? ? m // ? ; ② l ? ? , m ? ? , l // m ? ? // ? ;

③ m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? ? ? // ? ; ④? ? ? ,? ? ? ? m , n ? ? , n ? m ? n ? ? . 其中正确的命题个数是 ( )

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

4.从圆 x2 ? 2x ? y 2 ? 2 y ? 1 ? 0 外一点 P ?3,2? 向这个圆作两条切线,则两切线夹角 的余弦值为( )

A. 0

B.

1 2

C.

3 5

D.

3 2

5.若关于 x 的不等式 (1 ? k 2 ) x ? k 4 +4 的解集是 M ,则对任意实常数 k ,总有()

A. 2 ? M ,0 ? M B. 2 ? M ,0 ? M C. 2 ? M ,0 ? M D. 2 ? M ,0 ? M

考单招上高职单招网---6.已知 ? (

根据历年单招考试大纲出题

?
2

?? ?

?
2

,且 sin ? ? cos ? ? a ,其中 a ? (0,1) ,则 tan ? 的值有可能是



A. ?3

B. 3 或

1 3

1 1 C. ? 或 ? 3 2

D. ?3 或 ?

1 3

7.设 P 为 ?ABC 所在平面内一点,且 5 AP ? 2 AB ? AC ? 0 ,则 ?PAB 的面积与

?ABC 的面积之比为
( )

A.

1 5

B.

2 5

C.

1 4

D.

3 5


8.二项式 ? 2 x ?

? ?

1? ? 展开式中,所有有理项(不含 x 的项)的系数之和为 ( x?
310 ? 1 B. 2
C. 210 D. 29

10

310 ? 1 A. 2

9. A, B, C, D, E 五人争夺某项比赛的前三名,组织者对前三名发给不同的奖品,若 A 获奖, B 不是第一名,则不同的发奖方式共有 ( )

A. 72 种

B. 30 种

C. 24 种

D. 14 种

10.数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 ,

1 1 2 2 2 ? 2 ? 4 , Sn ? a12 ? a2 ? a3 ? ?? an ,若 2 an?1 an

S2 n ?1 ? S n ?

m 30
)

对于任意 n ? N ? 都成立,则正整数 m 的最小值为(

A. 10

B. 9

C. 8 D. 7

考单招上高职单招网---11.在直角坐标系 xOy 中,过双曲线

根据历年单招考试大纲出题

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F 作圆 a2 b2 x 2 ? y 2 ? a 2 的一条切线(切点为 T )交双曲线右支于点 P ,若 M 为 FP 的中点。

则 OM ? MT 等于( )

A.

a?b B. a ? b C. b ? a 2

D. a ? b
( )

2 2 12.若实数 x, y 满足 ( 1 ? x ? x)( 1 ? y ? y ) ? 1 ,则

A. x ? y ? 0 B. x ? y ? 0

C. x ? y ? 0

D. x ? y ? 0

第Ⅱ卷(非选择题
?

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上.
13.将函数 y ? sin 2 x 按向量 a ? (?

?
6

, ?3) 平移后得到的函数表达式是;

14.已知点 A,B,C,D 在同一球面上,AB ? 平面 BCD , BC ? CD ,若 AB ? 6 ,

AC ? 2 13 , AD ? 8 ,则 B、C 两点间的球面距离是;
? m ? nx ? y ? 0 ? 15.如果点 (1,1) 在不等式组 ? 2mx ? ny ? 4 ? 0 所表示的平面区域内,则 m2 ? n2 的取值 ? nx ? 3 y ? 3m ?
范围是; 16.已知函数 y ? f ( x) 与 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 的图象关于直线 y ? x 对称, 设 g ( x) ? f 2 ( x) ? ? f (2) ?1? f ( x) ,若 y ? g ( x) 在区间 ? , 2 ? 上是增函数,则实数 2

?1 ?

? ?

a 的取值范围是.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本题满分 12 分)

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根据历年单招考试大纲出题

已知四棱锥 S ? ABCD 的底面 ABCD 是正方形,侧棱 SC 的中点 E 在底面内的射影 恰好是正方形 ABCD 的中心 O ,顶点 A 在截面 SBD 内的射影恰好是 ?SBD 的重心

G.
(1)求直线 SO 与底面 ABCD 所成角的正切值; (2)设 AB ? a ,求此四棱锥过点 C , D,G 的截面面积.

S

A B

G

E D O C

18.(本题满分 12 分) 某工厂由于工作失误,未贴标签前,把 3 箱含“三聚氰胺”的问题牛奶与合格的 3 箱牛 奶混到了一起。对这 6 箱牛奶逐箱进行检测,到确定出 3 箱问题奶粉为止。 (1)求通过 3 次检测,就可以把 3 箱含“三聚氰胺”的牛奶全部筛选出来的概率;

考单招上高职单招网---概率。

根据历年单招考试大纲出题

(2)求最多通过 4 次检测,就可以把 3 箱含“三聚氰胺”的牛奶全部筛选很出来的

19.(本题满分 12 分) 在锐角 ?ABC 中,已知 B ? 600 ,且 A ? B ? C , (1? cos2 A)(1 ? cos2C) ?

3 ?1 . 2
(1)求角 A 与 C 的大小; (2) PQ 是以 B 为圆心, 2 为半径的圆的直径,已知 AC ? 6 ,求 AP ? CQ 的 最大值.

??? ? ??? ?

20.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? (a ? d ) x 2 ? (a ? 2d ) x ? d , g ( x) ? ax2 ? 2(a ? 2d ) x ? a ? 4d ,其中

1 3

a ? 0 , d ? 0 ,设 x0 为 f ( x) 的极小值点, x1 为 g ( x) 的极值点,

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根据历年单招考试大纲出题

g ( x2 ) ? g ( x3 ) ? 0 ,并且 x2 ? x3 ,将点 ( x0 , f ( x0 )) , ( x1 , g ( x1 )) , ( x2 ,0) , ( x3 ,0)
依次记为 A, B, C , D . (1)求 x0 的值; (2)若四边形 APCD 为梯形且面积为 1 ,求 a,d 的值.

21.(本题满分 12 分)

x2 ? y 2 ? 1,双曲线 C2 的左、右焦点分别为 C1 的左、右顶 已知椭圆 C1 的方程为 4
点,而 C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点. (1)求双曲线 C2 的方程; (2)若直线 l : y ? kx ? 2 与椭圆 C1 及双曲线 C2 都恒有两个不同的交点,且 l 与

C2 的两个交点 A 和 B 满足 OA ? OB ? 6 (其中 O 为原点),求 k 的取值范围.

??? ? ??? ?

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根据历年单招考试大纲出题

22.(本题满分 14 分) 数列 ?an ? 的通项是关于 x 的不等式 x ? x ? nx(n ? N ) 的解集中整数的个数,
2 ?

f ( n) ?

1 1 1 ? ??? . an ? 1 an ? 2 an ? n

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 若 bn ?

an ,求 b1 ? b2 ? ? ? bn 的和 Sn ; 2n
7 ? f ( n) ? 1 . 12

(3) 求证:对 n ? 2 且 n ? N ? 恒有

参考答案
一、选择题
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

B

A

B

D

D

C

A

A

B

A

C

D

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根据历年单招考试大纲出题

? 4? ?9 ? ? 1? 二、填空题 13. y ? sin(2 x ? ) ? 3 ; 14. ;15. ? , 61? ;16. ? 0, ? . 3 3 ?10 ? ? 2?
三、解答题
17.(1)? O、E分别是AC、SC的中点, ?SA ? EO ? SA ? 面ABCD

? ?SOA是SO与面ABCD所成的角
? SA, AB, AD 两两相互垂直, 连结 DG 并延长交 SB 于 F.
F

S

H E G A D O C

? SO是?SBD的中线, ? G点在SO上

AD ? 面SAB ? AD ? SB ? ? ? SB ? 面FAD ? DF ? SB AG ? 面SDB ? AG ? SB ?

B

同理可得 SO ? BD , BG ? SD
? G是?SBD的垂心 ? ?SBD又是等边三角形

? SA ? AB ? AD ? tan ?SOA ? 2

------------ (6 分)

(2) G 是 ?SBD 的重心,
? CD ? AB

F 是 SB 的中点
? 过CDG的平面交面SAB于FH

? CD ? 面SAB

? CD ? 面SAD

? 四边形CDHF是直角梯形

梯形的高 DH ?

a2 ?

1 4

a2 ?

5 2

a

a ? S梯形CDHF ? 2

?a 2 ?

5 2

a?

3 5 8

a2

---

(12 分)

【注】可以用空间向量的方法

考单招上高职单招网---18.解:

根据历年单招考试大纲出题

(1)设通过 3 次检测,就可以把 3 箱含“三聚氰胺”的牛奶全部筛选出来的事件为 A

?????1 分
P(A)=
3 2 A3 1 ? ?????5 分 3 A6 10

所以通过 3 次检测,就可以把 3 箱含“三聚氰胺”的牛奶全部筛选出来的概率为

1 . …6 分 10
(2)设最多通过 4 次检测,就可以把 3 箱含“三聚氰胺”的牛奶全部筛选出来的事件 为 B …7 分 P(B)=
3 1 1 3 2 A3 2C3 C3 A3 2 ? ? ?????11 分 3 4 A6 A6 5

所以最多通过 4 次检测,就可以把 3 箱含“三聚氰胺”的牛奶全部筛选出来的概 率为

2 . … 12 分 5

19.(1) (1 ? cos 2 A)(1 ? cos 2C ) ?

3 ?1 3 ?1 . ? cos A cos C ? 2 4
1 3 ?1 . ? sin A sin C ? 2 4

又 cos B ? ? cos( A ? C ) ? sin A sin C ? cos A cos C ?

? cos(C ? A) ?

3 ?1 3 ?1 3 ? ? 2 4 2

? C ? A ? 300 ? C ? 750 , A ? 450 .………6 分
(2)

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AP ? CQ ? ( AB ? BP)(CB ? BQ) ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? AB ? CB ? AB ? BQ ? BP ? CB ? BP ? BQ ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? AB ? CB ? BP(CB ? BA) ? 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? AB ? CB ? BP ? CA ? 2
A

C Q B P

考单招上高职单招网---又

根据历年单招考试大纲出题

AB 6 ? ? 2 2 ? AB ? 3 ? 1 , 0 sin 75 sin 600

AB 6 ? ? 2 2 ? BC ? 2 .从而 0 sin 45 sin 600 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AP ? CQ ? AB ? CB cos B ? BP ? CA ? 2 ??? ? ??? ? ? BP ? CA ? 3 ? 1
当 BP // CA 且同向时, AP ? CQ

??? ? ??? ?

?

??? ? ??? ?

?

max

? 2 ? 6 ? 3 ? 1 ? 3 3 ? 1 .………12 分

20.解:(1) f ' ( x) ? ax2 ? 2(a ? d ) x ? a ? 2d ? ( x ? 1)(ax ? a ? 2d ) ,

令 f ' ( x) ? 0 ,由 a ? 0 得 x ? ?1 或 x ? ?1 ?

2d 2d ? ?1 . .? a ? 0, d ? 0 .? ?1 ? a a

当 ?1 ?

2d ? x ? ?1 时, f '( x) ? 0 ,当 x ? ?1 时, f '( x) ? 0 ,所以 f ( x)在x ? ?1 处取极 a

小值,即 x0 ? ?1. …………4 分 (2) g ( x) ? ax2 ? (2a ? 4d ) x ? a ? 4d

? a ? 0, x ? R, ? g ( x)在x ? ?

2a ? 4d 2d 2d ? ?1 ? .由 处取得极小值,即 x1 ? ?1 ? 2a a a

g ( x) ? 0, 即 (ax ? a ? 4d )( x ? 1) ? 0,

? a ? 0, d ? 0, x2 ? x1, ? x2 ? ?1 ?

4d , x1 ? ?1, a

1 1 ? f ( x0 ) ? f (?1) ? ? a ? (a ? d ) ? (a ? 2d ) ? d ? ? a, 3 3

g ( x0 ) ? g (?1 ?

2d 2d 2d 4d 2 ? a(?1 ? ) 2 ? (2a ? 4d )(?1 ? ) ? a ? 4d ? ? , a a a a

1 2d 4d 2 4d ? A(?1, ? a), B(?1 ? ,? ), C (?1 ? , 0), D(?1, 0). 3 a a a

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根据历年单招考试大纲出题
a 4d 2 ?? , 即 a 2 ? 12d 2 . 3 a

由四边形 ABCD 是梯形及 BC 与 AD 不平行,得 AB // CD .有 ?

由四边形 ABCD 的面积为 1,得 ( AB ? CD ) ? AD ? 1, 即 ( 从而 a2 ? 12, 得

1 2

1 4d 2d a ? ) ? ? 1, 得 d ? 1 , 2 a a 3

a ? 2 3.
21.(1)设双曲线 C2 的方程为

……12 分
x2 y 2 2 2 2 2 ? 2 = 1,则 a = 4 – 1 = 3,再由 a + b = c 得 2 a b

b2 = 1.故 C2 的方程为
(5 分) (2)将 y = kx + 2 代入

x2 ? y 2 = 1. 3

x2 2 2 ? y 2 ? 1 得(1 + 4k )x + 8 2 kx + 4 = 0,由直线 l 与椭 4

圆 C1 恒有两个不同的交点得 ?1 ? (8 2 )2k2– 16 (1 + 4k2) = 16(4k2– 1)>0,即 k2 > .①(7 分)
1 4

将 y = kx +

2 代入

x2 2 2 ? y 2 ? 1 得(1 – 3k )x – 6 2 kx – 9 = 0.由直线 l 与双曲线 3
?1 ? 3k 2 ? 0, ? ??2 ? (?6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0
2 2 2

C2 恒有两个不同的交点 A、B 得 ? ?
且 k2<1.②(9 分)

.即 k≠

1 3

设 A (xA,yA),B (xB,yB),则 xA + xB =

??? ? ??? ? 6 2k ?9 ,xA,xB = ,由 OA?OB ? 6 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 ) (kxb + 2 )= (k2 + 1)

得 xA xB + yA yB<6,而 xA xB + yA yB = xA xB + (kxA +

xA xB +

2 k (xA + xB) + 2 = (k2 + 1)·

?9 6 2k 3k 2 ? 7 3k 2 ? 7 ? 2k ? ?2? 2 ,于是 2 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 3k ? 1 3k ? 1

考单招上高职单招网---<6,即将
1 k2 ? . 3

根据历年单招考试大纲出题

15k 2 ?13 13 ? 0 .解此不等式得 k 2 ? 或 2 3k ? 1 15



(11 分)

由①、②、③得 ? k 2 ? 或

1 4

1 3

13 ? k 2 ? 1, 15

故 k 的取值范围为 (?1, ? (12 分) 22.(1) an ? n . (2) bn ?
1 2 1 2

13 3 1 1 3 13 ) ? (? ,? ) ?( , ) ?( ,1) . 15 3 2 2 3 15

an 1 2 3 n Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ? 2 ? 3 ? ? n , n 2 2 2 2 2 1 1 1 n 1 n ? 3 ? ? n ? n ?1 ? 1 ? n ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2 2

则 Sn ? ?
? Sn ? 2 ?

1 n ? . 2n ?1 2n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? 1 , an ? 1 a n ? 2 an ? n n ? 1 n ? 2 2n ?? n ? n ??? n ?
n项

(3) f (n) ?

即 f ( n) ? 1 又由于 f (n) ? 则 f (n ? 1) ?


1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ? ??? (n ? 2) , an ? 1 an ? 2 an ? n n ? 1 n ? 2 2n

1 1 1 1 1 , ? ??? ? ? n?2 n?3 2n 2n ? 1 2n ? 2 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ?0, 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1 2n ? 2 2n ? 2 n ? 1

两式相减得 f (n ? 1) ? f (n) ?

? f (n ? 1) ? f (n) , ? f (n) 当 n ? 2 且 n ? N ? 时是增函数, ? f (n) 的最小值是 f (2) ?

7 , 12



由①②得:

7 ? f (n) ? 1 成立. 12

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