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2014届高考数学一轮复习 第6章 第4节《基本不等式》名师首选练习题 新人教A版


第六章

第四节

基本不等式

一、 选择题 1. 已知向量 a=(x-1,2), b=(4, y), a⊥b, 9x+3y 的最小值为 若 则 A.2 2 C.12 B.4 D.6 ( )

(

)

1 4 2.已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y= + 的最小值是 a b 7 A. 2 9 C. 2 B.4 D.5

3.函数 y=log2x+logx(2x)的值域是 A.(-∞,-1] C.[-1,3]

( B.[3,+∞) D.(-∞,-1]∪[3,+∞) ( )

)

xz 4.已知 x>0,y>0,z>0,x-y+2z=0,则 的 y2 A.最小值为 8 1 C.最小值为 8 B.最大值为 8 1 D.最大值为 8

1 9 5. a, b, 都是正实数, a, 满足 + =1, 设 c 且 b 则使 a+b≥c 恒成立的 c 的范围是( a b A.(0,8] C.(0,12] B.(0,10] D.(0,16] ( )

)

1 1 k 6.设 a>0,b>0,且不等式 + + ≥0 恒成立,则实数 k 的最小值等于 a b a+b A.0 C.-4 二、填空题 B.4 D.-2

1 1 7.设 x,y∈R,且 xy≠0,则(x2+ )( +4y2)·的最小值为________. y2 x2 2 8. 在平面直角坐标系 xOy 中, 过坐标原点的一条直线与函数 ?(x)= 的图象交于 P, 两点, Q x 则线段 PQ 长的最小值是____. 9.已知二次函数 f(x)=ax2-x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),则 ________. 三、解答题 10.已知 x>0,y>0,且 2x+8y-xy=0, 求(1)xy 的最小值;(2)x+y 的最小值. c+2 a+2 + 的最小值为 a c

1

ad+bc bc+ad 11.已知 a>0, b>0,c>0,d>0.求证: + ≥4. bd ac

12. 某单位决定投资 3 200 元建一仓库(长方体形状), 高度恒定, 它的后墙利用旧墙不花钱, 正面用铁栅, 每米长造价 40 元, 两侧墙砌砖, 每米长造价 45 元, 顶部每平方米造价 20 元. 求: (1)仓库面积 S 的最大允 许值是多少? (2)为使 S 达到最大,而实际投资又不超过预算,那 么正面铁栅应设计为多长?

详解答案 一、选择题 1.解析:由 a⊥b 得 a·b=0,即(x-1,2)·(4,y)=0. ∴2x+y=2. 则 9x+3y=32x+3y≥2 32x·3y=2 32x+y=2 9=6. 1 当且仅当 32x=3y 即 x= ,y=1 时取得等号. 2 答案:D 1 4 1 1 4 1 b 4a 1 2.解析:依题意得 + = ( + )(a+b)= [5+( + )]≥ (5+2 a b 2 a b 2 a b 2 b 4a 9 × )= ,当且仅 a b 2

?a+b=2 ?b 4a 当? = a b ?a>0,b>0 ?

2 4 1 4 9 ,即 a= ,b= 时取等号,即 + 的最小值是 . 3 3 a b 2

答案:C 3.解析:y=log2x+lo gx(2x)=1+(log2x+logx2). 如果 x>1,则 log2x+logx2≥2, 如果 0<x<1,则 log2x+logx 2≤-2, ∴函数的值域为(-∞,-1]∪[3,+∞). 答案:D

2

xz 4.解析: = y2 ?

xz x+2z?

xz 1 1 = = ≤ . 2 x2+4xz+4z2 x 4z 8 + +4 z x

x 4z 当且仅当 = ,x=2z 时取等号. z x 答案:D 1 9 1 9 b 9a 5.解析:∵a,b,c 都是正实数,且 + =1? (a+b)=( + )(a+b)=10+ + ≥10+ a b a b a b 2 b 9a b 9a · =16,当且仅当 = 即 b=3a 时等号成立,此时 a=4,b=12, a b a b

∴a+b≥16.即要使 a+b≥c 恒成立,0<c≤16. 答案:D 1 1 k ? 6. 解析: + + 由 ≥ 0 得 k≥- a b a+b ? a+b? 所以- ab 值等于 -4. 答案:C 二、填空题 1 1 1 7.解析:(x2+ )( +4y2)=1+4+4x2y2+ ≥1+4+2 y2 x2 x2y2 当 1 2 4x2y2= 时等号成立,则|xy|= 时等号成立. x2y2 2 答案:9 8.解析:由题意知:P、Q 两点关于原点 O 对称,不妨设 P(m,n)为第一象限中的点,则 m 2 4 4 >0,n>0,n= ,所以|PQ|2=4|OP|2=4(m2+n2)=4(m2+ )≥16(当且仅当 m2= ,即 m m2 m2 m= 2时,取等号),故线段 PQ 长的最小值是 4. 答案:4 9.解析:由值域可知该二次函数的图象开口向上,且函数的最小值为 0, 4ac-1 1 因此有 =0,从而 c= >0, 4a 4a c+2 a+2 2 1 ∴ + =( +8a)+( +4a2)≥2×4+2=10, a c a 4a2 1 4x2y2· =9,当且仅 x2y2 a+b? 2 ? a+b? , 而 ab ab 2 b a = + +2≥4(a=b 时取等号), a b

2 ? a+b? ≤-4,因此要使 k≥- ab

2 恒成立,应有 k≥-4,即实数 k 的最小

?2=8a, ?a 当且仅当? 1 ?4a2=4a2, ?
答案:10 三、解答题 10.解:(1)∵x>0,y>0,

1 ,即 a= 时取等号.故所求的最小值为 10. 2

3

∴xy=2x+8y≥2 16xy 即 xy≥8 xy,∴ xy≥8, 即 xy≥64. 当且仅当 2x= 8y 即 x=16,y=4 时,“=”成立. ∴xy 的最小值为 64. (2)∵x>0,y>0,且 2x+8y-xy=0, 2 8 ∴2x+8y=xy,即 + =1. y x 2 8 2x 8y ∴x+y=(x+y)·( + )=10+ + ≥10+2 y x y x 2x 8y 当且仅当 = ,即 x=2y=12 时“=”成立. y x ∴x+y 的最小值为 18. ad+bc bc+ad a c b d a b c d 11.证明: + = + + + =( + )+( + )≥2+2=4(当且仅当 a=b,c= bd ac b d a c b a d c ad+bc bc+ad d 时,取“=”),故 + ≥4. bd ac 12. 设铁栅长为 x 米, 解: 一侧砖墙长为 y 米, 则顶部面积为 S= xy.由题意, 40x+2×45y 知 +20xy=3 200,由基本不等式,得 3 200≥2 40x·90y+20xy=120 xy+20xy =120 S+20S, ∴S+6 S-160≤0,即 ( S-10)( S+16)≤0, 故 S≤10,从而 S≤100. (1)所以 S 的最大允许值是 100 平方米. (2 )S 取得最大值 100 的条件是 40x=90y,且 xy=100,求得 x=15,即铁栅的长是 15 米. 2x 8y · =18 y x

4


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