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山西省山大附中2012-2013学年高二10月月考


山西大学附中

2012~2013 学年第一学期高二(10 月)月考

数学试题(理科)
(考试时间:90 分钟 一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 考查内容:立体几何 ) 1.已知点 A(?3,1, ?4) ,则点 A 关于 x 轴对称的点的坐标为 A. (?3,?1,4) B. (?3,?1,?4) C. (3,1,4) D. (3,?1,?4)

2.设棱锥的底面面积是 8cm2,那么这个棱锥的中截面的面积是 A.4cm2 B. 2 2cm
2

C.2cm2

D. 2cm

2

A C D B

3.一个正方体的展开图如图所示, A, B, C , D 为原正方体的顶点, 则在原来的正方体中 A. AB / / CD C. AB ? CD

B. AB 与 CD 相交 D. AB 与 CD 所成的角为 60
?

4.三棱柱的侧棱与底面垂直,且底面是边长为 2 的等边三角形,其正视图 (如图所示)的面积为 8,则侧视图的面积为 A.8 B. 4 3 C.4 D. 3

5.建立坐标系用斜二测画法画正△ABC 的直观图,其中直观图不是全等三角形的一组是

6.已知异面直线 a , b 所成的角为 70 ? ,则过空间任意一点 M 可作与 a , b 所成的角都是 55 ? 的直线有多少条 A.1 条

B.2 条

C.3 条

D.4 条

7.设 ? , ? , ? 是三个互不重合的平面, m, n 是两条不重合的直线,下列命题中正确的是 A.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? ? C.若 ? ? ? , m ? ? ,则 m // ? B.若 m // ? , n // ? , ? ? ? ,则 m ? n D.若 ? // ? , m ? ? , m // ? ,则 m // ?

8.已知某几何体的三视图如右图所示,其中,正(主)视图,侧(左)视图均是由三角形 与半圆构成,俯视图由圆与内接三角形构成,根据图中的数据可 得此几何体的体积为 A.

2? 1 ? 3 2

B.

4? 1 ? 3 6

C.

2? 1 ? 3 2

D.

2? 1 ? 6 6
1

9.如果直角三角形的斜边与平面 ? 平行,两条直角边所在直线与平面 ? 所成角分别为 ? 1 和

? 2 ,那么 ? 1 和 ? 2 满足条件是
A. sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ? 1 C. sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ? 1 B. sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ? 1 D. sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ? 1

10.连接球面上两点的线段称为球的弦.半径为 4 的球的两条弦 AB、CD 的长度分别等于

2 7, 4 3 ,M、N 分别为 AB、CD 的中点,每条弦的两端都在球面上运动,有下列四个命
题: ① 弦 AB、CD 可能相交于点 M;② 弦 AB、CD 可能相交于点 N;③ MN 的最大值为 5; ④ MN 的最小值为 1.其中真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 11.如图(1)所示,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半径为 1cm 和半径为 3cm 的两个圆柱组成的简单几何体.当这个几何体如图(2)水平放置时,液面高度为 20cm,当这 个几何体如图(3)水平放置时,液面高度为 28cm,则这个简单几何体的总高度为

A.29cm

B.30cm

C.32cm

D.48cm
?

12. 如图甲所示, 三棱锥 P ? ABC 的高 PO ? 8, AC ? BC ? 3, ?ACB ? 30 , M 、N 分别在

BC 和 PO 上,且 CM ? x, PN ? 2 x, ? x ? ? 0,3?? ,图乙中的四个图像大致描绘了三棱锥
N ? AMC 的体积 V 与 x 的变化关系,其中正确的是

二、填空题: (每小题 5 分,共 16 分) 13.已知 a ? (2,1,3), b ? (?4, 2, x) ,且 a ? b ,则 x 的值是

?

?



14 .已知平面 ? , ? , ? , 直线 l , m 满足 : ? ? ? , ? ? ? ? m, ? ? ? ? l , l ? m , 那么① m ? ? ; ② l ? ? ;③ ? ? ? ;④ ? ? ? .可由上述条件可推出的结论有 .

(请将你认为正确的结论的序号都填上). 15.如图,半径为 4 的球 O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时, 球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________. A 出发沿棱向前爬行,每走 16.已知 ABCD ? A 1B 1C1D 1 为单位正方体,黑白两只蚂蚁从点
2

完一条棱称为“走完一段”,白蚂蚁爬行的路线是 AA 1 ?A 1D 1 ? ?? ,黑蚂蚁爬行的路线 是 AB ? BB1 ? ??,它们都遵循如下规则:所爬行的第 i ? 2 段与第 i 段所在直线必须是 异面直线(其中 i 是自然数),设黑、白蚂蚁都走完 2012 段后各停止在正方体的某个顶点处, 这时黑、白两只蚂蚁的距离是 . 三、解答题: (每小题 14 分,共 70 分) 17. (本小题满分 14 分) 已知: a ? 3m ? 2n ? 4 p ? 0, b ? ( x ? 1)m ? 8n ? 2 yp, 且 m, n , p 不共面.若 a ∥ b , 求 x , y 的值.

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ?

?

?

18. (本小题满分 14 分) 如图所示,矩形 ABCD 中, AD ? 平面 ABE , AE ? EB ? BC ? 2, F 为 CE 上的点,且

BF ? 平面 ACE . (1)求证: AE ? 平面 BCE ; (2)求三棱锥 C ? BGF 的体积

19. (本小题满分 14 分) 如图所示,已知多面体 PABCD 的直观图(图 1)和它的三视图(图 2) , (1)在棱 PA 上是否存在点 E ,使得 PC / / 平面 EBD ?若存在,求 PE : PA 的值,并证 明你的结论;若不存在,说明理由; (2)求二面角 B ? PC ? D 的余弦值.
P E A D
2 1

2

B

C

图1

1

图2

20. (本小题满分 14 分) ?ABD = 90? , EB ? 平面 ABCD , 在如图所示的几何体中, 四边形 ABCD 为平行四边形,

EF / /AB , AB = 2 , EB = 3, EF =1 , BC = 13 ,且 M 是 BD 的中点.
3

(1)求证: EM / / 平面 ADF ; (2)求二面角 D-AF-B 的大小; (3)在线段 EB 上是否存在一点 P ,使得 CP 与 AF 所成的角为 30 ? ? 若存在,求出 BP 的长度;若不存在,请说明理由. F E

D M A 21. (本小题满分 14 分) B

C

如图, 四边形 ABCD 中 (图 1) ,E 是 BC 的中点,DB ? 2, DC ? 1, BC ? 5 ,AB ? AD ? 2. 将(图 1)沿直线 BD 折起,使二面角 A ? BD ? C 为 60 (如图 2) (1)求证: AE ? 平面 BDC ; (2)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值; D (3)求点 B 到平面 ACD 的距离.
0

C
D

A C

A

E
E

B
图1

B 图2

4

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2012~2013 学年第一学期高二(10 月)月考

数学(理科)试题答案
一、选择题: 1 2 题号 A C 答案 二、填空题: 13.2 14.②④ 三、解答题: 3 D 4 B 5 C 6 C 16. 7 D 8 D 9 B 10 C 11 A 12 A

15.32π

2
? ? ? ? ?

17.解:? a ∥ b ,,且 a ? 0,? b ? ?a, 即 ( x ? 1)m ? 8n ? 2 yp ? 3?m ? 2?n ? 4?p. 又? m, n , p 不共面,?

?

?

?

?

?

?

? ? ?

x ?1 8 2y ? ? ,? x ? ?13, y ? 8. 3 ?2 ?4

18. [解析] (1)∵AD⊥平面 ABE,AD∥BC,

∴BC⊥平面 ABE,∴AE⊥BC,又∵BF⊥平面 ACE,∴AE⊥BF, 又∵BF∩BC=B,∴AE⊥平面 BCE. (2)由题意可得,G 是 AC 的中点,连接 FG, ∵BF⊥平面 ACE,∴CE⊥BF,又∵BC=BE,∴F 是 EC 的中点, 1 ∴在△AEC 中,FG∥AE,FG=2AE=1, 1 ∵AE⊥平面 BCE,∴FG⊥平面 BCF.在 Rt△BEC 中,BF=2CE=CF= 2, 1 1 1 ∴S△BCF=2× 2× 2=1,∴VC-BGF=VG-BCF=3· S△BCF· FG=3. 19.由三视图可知,多面体是四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 是直角梯形,侧棱 PA⊥平面 ABCD. 且 PA=2,AB=BC=1,AD=2. ………2 分 (Ⅰ)在棱 PA 上存在点 E,使得 PC//平面 EBD,且 PE:PA=1:3. …3 分 P (方法一)当 PE:PA=1:3 时.连接AC,交BD于点 O , ∵BC∥AD,且BC=

1 AD, 2
? 1 3 :

CA C : ∴ CO : AO ? 1: 2 , ,O

∴EO//PC,由 OE ? 平面 EBD,PC ? 平面 EBD,∴PC//平面 EBD . 即在棱 PA 上存在点 E,使得 PC//平面 EBD,且 PE:PA=1:3.……7 分 (方法二)若 PC//平面 EBD. 连接 AC,交 BD 于 O ,连接 E O ,平面 EBD ? 平面 ACP= E O ,又 PC//平面 EBD, 所以 PC// E O ,所以 AE:EP=A O : O C. 又在直角梯形 ABCD 中, ?AOD ∽ ?BOC ,所以 A O : O C=AD:BC=2:1, 所以 AE:EP=A O : O C=2:1,所以 PE:PA=1:3. 即在棱 PA 上存在点 E,使得 PC//平面 EBD,且 PE:PA=1:3. ……7 分 (方法三)如图以 A 为原点,AB,AD,AP 分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立坐标系 A-xyz.

OC PE 1 ? ? , ∴在 ?ACP 中, AC PA 3

A O B C

D

z
P E A
5

D C

B

x

由三视图可知,B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2). 设 E(0,0, a ), n ? ?x, y, z ? 为平面 EBD 的法向量, 则 BD ? ?? 1,2,0? , BE ? ?? 1,0, a? ,

…………4 分

? ??? ? ? 2? ?n ? BD ? 0 ?? x ? 2 y ? 0 ? 由 ? ? ??? ,得 ? .令 y=1,则 n ? ? 2,1, ? . ? a? ? ? ?n ? BE ? 0 ?? x ? az ? 0 4 4 又 CP ? ?? 1,?1,2? ,且 n ? CP ,??2 ? 1 ? ? 0 ,∴ a = . a 3

……5 分 …….6 分

∴在棱 PA 上存在点 E,使得 PC//平面 EBD,此时 PE:PA=1:3. ….7 分 又 BP ? ? ?1,0, 2 ? , CP ? ? ?1, ?1, 2 ? ,

(Ⅱ)(方法一)设 m1 ? ?x1 , y1 , z1 ?, m2 ? ?x2 , y2 , z2 ? 分别为平面 BPC 和平面 DPC 的法向量,

??? ?

??? ?

?? ? ??? ? ? m ? BP ? 0 ?? x1 ? 2 z1 ? 0 ? 1 ? ??? ? 则由 ? ?? ,得 ? ,令 z1=1,则 m1 ? ?2,0,1? .………………10 分 ? x ? y ? 2 z ? 0 m ? CP ? 0 1 1 1 ? ? ? 1
?? ? ??? ?? ? ??? m1 ? m2 15 同理 m2 ? ?1,1,1? .∴ cos m1 , m2 ? ?? . ? ??? ? 5 m1 m2
………………………………12 分

15 .………14 分 5 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (方法二) CD ? ? ?1,1,0 ? , PC ? ?1,1, ?2 ? , ?CD ? PC ? ? ?1,1,0? ? ?1,1, ?2 ? ? 0 , ??? ? ??? ? ?CD ? PC …8 分 ???? ??? ? 在平面 PBC 内作 BN ? PC 于 N, 设 N ? x, y, z ? , 则B N ?x y ,z , ? ,PN ? ? x, y, z ? 2? , ? ?1
由图可知二面角 B-PC-D 为钝二面角, ? 二面角 B-PC-D 的大小为 ? ? arccos

?x ?1 ? y ? 2z ? 0 ???? ??? ? ??? ? ??? ? ? ?? x ? 1, y, z ? ? ?1,1, ?2 ? ? 0 ? ? BN ? PC ? 0 ? ?x ? ? , ? , ?? 又 PC 与 PN 共线,? ? ???? , ??? ? ? y ? ? x , y , z ? 2 ? ? 1,1, ? 2 ? ? ? ? PN ? ? PC ? ? ? ? ? ? ? z ? 2 ? ?2? 5 5 1 ???? ? 1 5 1 ? ? x ? , y ? , z ? . ? BN ? ? ? , , ? ………………12 分 6 6 3 ? 6 6 3? ???? ??? ? ???? ??? ? BN ? CD 15 ? cos BN , CD ? ???? ??? , …………………13 分 ? ? 5 BN ? CD
由图可知二面角 B-PC-D 为钝二面角, ? 二面角 B-PC-D 的大小为 ? ? arccos 20. 证明: (Ⅰ)取 AD 的中点 N ,连接 MN,NF . 在△ DAB 中, M 是 BD 的中点, N 是 AD 的中点,所以 MN//AB,MN = 又因为 EF//AB,EF = F 1 AB , 2 E D M

15 ………14 分 5

1 AB , 所以 MN//EF 且 MN = EF . 2

所以四边形 MNFE 为平行四边形,所以 EM//FN . B A 又因为 FN ? 平面 ADF , EM ? 平面 ADF ,故 EM// 平面 ADF .……… 4 分 解法二:因为 EB ? 平面 ABD , AB ? BD ,故以 B 为原点,如图建立坐标系 B - xyz .…1 分

6

由已知可得 B(0,0,0), A(0, 2,0), D(3,0,0), C(3,-2,0), E(0,0, 3), F (0,1, 3), M ( ,0,0) (Ⅰ) EM = ( ,0,- 3) ,AD= (3,-2,0) ,

????

设平面 ADF 的一个法向量是 n ? ( x, y,z ) . ??? ? ? ?n ? AD ? 0, ? ? 3x - 2 y = 0, 由 ? ??? 得? 令 y = 3 ,则 n ? (2,3, 3) ……3 分 ? ? ?-y + 3z = 0. ? n ? AF ? 0, ?

3 2

??? ?

??? ? AF = ( 0 , - 1 , . 3…2 ) 分

3 2

F

z E x D

C

y A B

M

???? 3 又因为 EM ? n ? ( ,0,- 3) ? (2,3, 3) = 3 + 0 - 3 = 0 , 2 ???? 所以 EM ? n ,又 EM ? 平面 ADF ,所以 EM // 平面 ADF .

……………4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知平面 ADF 的一个法向量是 n ? (2,3, 3) . 因为 EB ? 平面 ABD ,所以 EB ? BD . 又因为 AB ? BD ,所以 BD ? 平面 EBAF . ??? ? ??? ? ??? ? BD ? n 1 = , 故 BD ? (3,0,0) 是平面 EBAF 的一个法向量. 所以 cos < BD,n ?? ??? ? BD ? n 2 又二面角 D- AF - B 为锐角,故二面角 D- AF - B 的大小为 60 ? . ……10 分 (Ⅲ)假设在线段 EB 上存在一点 P ,使得 CP 与 AF 所成的角为 30 ? . 不妨设 P(0,0, t) ( 0 ? t ? 3 ) ,则 PC = (3,-2,-t ), AF = (0,-1, 3) .

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? PC ? AF 2 - 3t ??? ? ??? ? 所以 cos < PC,AF ?? ??? , ? ??? ? ? PC ? AF 2 t 2 +13
化简得 ?4 3t ? 35 ,解得 t ? ?

由题意得

2 - 3t 2 t 2 +13

?

3, 2

? 0. 4 3 所以在线段 EB 上不存在点 P ,使得 CP 与 AF 所成的角为 30 ? .…………14 分 21. (1)如图取 BD 中点 M,连接 AM,ME。
因 AB ? AD ?

35

D

C
D

A

? AM ? BD , ME ? BD 且 AM、ME 是平面 AME 内两相交于 M 的直线 ? BD ? 平面AEM ? AE ? 平面 AEM? BD ? AE ……4 分 1 因 AB ? AD ? 2. , DB ? 2 ? ?ABD 为等腰直角三角形? AM ? BD ? 1, 2

2. ? AM ? BD ……1 分 2 2 2 因 DB ? 2 , DC ? 1, BC ? 5 满足: DB ? DC ? BC , 所以 ?BCD 是 BC 为斜边的直角三角形, BD ? DC , 1 因 E 是 BC 的中点,所以 ME 为 ?BCD 的中位线 ME // CD , 2 1 ? ME ? BD , ME ? …… 2 分 2 ? ?AME 是二面角 A ? BD ? C 的平面角? ?AME = 60 0

C

A

E
E

B
图1

B 图2

……3 分

AE 2 ? AM 2 ? ME 2 ? 2 AM ? ME ? cos?AME ? 1 ?

1 1 3 3 ? 2 ? 1 ? ? cos60? ? ? AE ? 4 2 4 2

? AE 2 ? ME 2 ? 1 ? AM 2 ? AE ? ME ? BD ? ME, BD ? 面BDC, ME ? 面BDC? AE ? 平面BDC
则由(1)及已知条件可知 B(1,0,0), E (0, ,0) , A(0,

…… 6 分 …… 7 分 (2)如图,以 M 为原点 MB 为 x 轴,ME 为 y 轴,建立空间直角坐标系,8 分

1 2

1 3 , ) ,D (?1,0,0) ,C (?1,1,0) 2 2
7

1 3 AB ? (1,? ,? ), CD ? (0,?1,0), 2 2

…… 9 分

设异面直线 AB 与 CD 所成角为 ? ,则 cos? ?

AB ? CD AB ? CD

?

1 2 ? 2 ……11 分 2 2 ?1

(3)由 AD ? (?1,?

1 3 ,? ), CD ? (0,?1,0), 可知 n ? ( 3,0,?2) 满足, 2 2
…… 12 分

n ? AD ? 0, n ? CD ? 0, n 是平面 ACD 的一个法向量,
记点 B 到平面 ACD 的距离 d,则 AB 在法向量 n 方向上的投影绝对值为 d 则 d ? AB ? n ……13 分 所以 d ?

n

? 3 ? ? 0 ? ?? 2?
2

3 ?0? 3

?

2

2 21 7

…… 14 分

(2) ,(3)解法二: 取 AD 中点 N,连接 MN,则 MN 是 ?ABD 的中位线,MN//AB,又 ME//CD 所以直线 AB 与 CD 所成角为 ? 等于 MN 与 ME 所成的角, 即 ?EMN 或其补角中较小之一 AE ? 面BCD, DE ? 面BCD ? AE ? DE ,N 为在 Rt ?AED 斜边中点 所以有 NE=

…… 8 分

1 1 2 1 2 ,MN= AB ? ,ME= , AD ? 2 2 2 2 2
2 2 2

2 1 2 ? ? MN ? ME ? NE 4 4 4 ? 2 = ? cos ? ? cos ?EMN ? 2 MN ? ME 4 2 1 2? ? 2 2
(3)记点 B 到平面 ACD 的距离 d,则三棱锥 B-ACD 的体积 V B ? ACD ? 又由(1)知 AE 是 A-BCD 的高、 BD ? CD ?VB ? ACD ? V A? BCD ?

…10 分

1 d ? S ?ACD , 3

……11 分

1 AE ? S ?BCD …..12 分 3

1 3 ?1 3 ? ? ? ? ? ? 2 ?1? ? 3 2 ?2 ? 6 E 为 BC 中点,AE ? BC? AC ? AB ? 2 又, DC ? 1, AD ? 2 , ?ACD为等腰?,
S ?ACD 1 1 ?1 ? ? ? CD ? AD 2 ? ? CD ? ? ? 1 ? 2 2 ?2 ?
2

? 2?

2

7 ?1? ?? ? ? 4 ?2?

2

……13 分

3V ? B 到平面 ACD 的距离 d ? B ? ACD ? S ?ACD

3?

3 6 ? 2 21 7 7 4

……14 分

8


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