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湖北省武汉市武昌区2016届高三5月调研考试数学(理word含答案 )试题


理科数学试题及答案
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项 是符合题目要求的.
1.若复数 A.

1 2

m 1? i ? 是实数,则实数 m ? ( 1? i 2 3 B.1 C. D.2 2


>
? y ? 2x ? 2.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值是( ? y ? ?1 ?
A. ?



5 2

B.0

C.

5 3

D.

5 2

3.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 A 和 B ,系统 A 和系统 B 在任意时刻发生故 障的概率分别为 A.

1 10

1 9 和p. 若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为 , 则p? ( 8 40 2 1 1 B. C. D. 6 5 15
2 2



4.已知双曲线 x ? y ? 1,点 F1 , F2 为其两个焦点,点 P 为双曲线上一点,若 PF1 ? PF2 , 则 PF 1 ? PF 2 的值为( A.2 B. 2 2 ) C. 2 3
? 1 2

D. 2 5 ) D. c ? b ? a )

5.设 a ? log3 2, b ? ln 2, c ? 5 A. a ? b ? c

,则(

B. b ? c ? a

C. c ? a ? b

6.执行如图所示的程序框图,若输中 k 的值为 8,则判断框内可填入的条件是(

第 1 页 共 1 页

A. S ?

3 ? 4

B. S ?
5

11 ? 12

C. S ?

25 ? 24

D. S ?

137 ? 120

7. ? 3 x ? y ?? x ? 2 y ? 的展开式中, x 4 y 2 的系数为( A.100 B.120 C.130 D.150



8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



A.12

B.18
2

C.24
2

D.30

9.动点 A? x, y ? 在圆 x ? y ? 1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12 秒旋转一周.已 知时间 t ? 0 时,点 A 的坐标是 ?

?1 3? 0 ? t ? 12 时,动点 A 的纵坐标 y 关于 t(单 ?2, 2 ? ? ,则当 ? ?
) D. ?0,1? 和 ?7,12?

位:秒)的函数的单调递增区间是( A. ?0,1? B. ?1,7? C. ?7,12?

第 2 页 共 2 页

10.已知命题 p1 : 设函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? ,且 f ?1? ? ?

a ,则 f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 上 2

必有零点; p2 : 设 a, b ? R ,则“ a ? b ”是“ a a ? b b ”的充分不必要条件. 则在命 题 q1 : p1 ? p2 , q2 : p1 ? p2 , q3 : ? ?p1 ? ? p2 和 q4 : p1 ? ? ?p2 ? 中,真命题是( A. q1 , q3 B. q2 , q3 C. q1 , q4 D. q2 , q4 )

M 是 BC 的中点, ?C ? 900 , 11.在 ?ABC 中, 若 sin ?BAM ?

1 , 则 sin ?BAC ? ( 3



A.

6 3

B.

5 3

C.

2 3

D.

3 3
2

2 2 12.设直线 l 与抛物线 y 2 ? 4 x 相交于 A, B 两点,与圆 ? x ? 5 ? ? y ? r ? r ? 0 ? 相切于点

M ,且 M 为线段 AB 的中点,若这样的直线 l 恰有 4 条,则 r 的取值范围是(
A. ?1,3? B. ?1, 4 ? C. ? 2,3? D. ? 2, 4 ?



二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上
13.若向量 a , b 满足: a ? ? 3,1 , ? a ? 2b ? ? a, ? a ? b ? ? b ,则 b ? _____________.

?

?

14.已知

?

?

2 0

sin ? x ? ? ?dx ?

7 ,则 sin 2? ? ____________. 4

15.已知直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的各项点都在同一球面上,若

AB ? AC ? AA1 ? 2, ?BAC ? 1200 ,则该球的表面积等于___________.
16.已知函数 f ? x ? ? ke
x ?1

?x?

1 2 x ( k 为常数) ,曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 0, f ? 0?? 处的切线 2

与 x 轴平行,则 f ? x ? 的单调递减区间为_____________.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 1, an ?1 ? (1)证明:数列 ?

n?2 Sn ? n ? N * ? . n

? Sn ? ? 是等比数列; ?n?

(2)求数列 ?Sn ? 的前 n 项和 Tn . 18.(本小题满分 12 分)
第 3 页 共 3 页

某公司招收大学毕业生, 经过综合测试录用了 14 名男生和 6 名女生, 这 20 名毕业生的测试 成绩如茎叶图所示(单位:分) .公司规定:成绩在 180 分以上者到甲部门工作,在 180 分 以下者到乙部门工作,另外只有成绩高于 180 分的男生才能担任助理工作. (1)现用分层抽样的方法从甲、乙两部门中选取 8 人.若从这 8 人中再选 3 人,求至少有 一人来自甲部门的概率; (2)若从甲部门中随机选取 3 人,用 X 表示所选人员中能担任助理工作的人数,求 X 的 分布列及数学期望.

19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中, SD ? 底面 ABCD ,

AB / / DC, AD ? DC, AB ? AD ? 1, DC ? SD ? 2, E 为棱 SB 上的一点,平面 EDC ? 平
面 SBC .

(1)证明: SE ? 2 EB ; (2)求二面角 A ? DE ? C 的大小. 20.(本小题满分 12 分)

第 4 页 共 4 页

已知 A? 0,1? , B ? 0, ?1? 是椭圆

x2 ? y 2 ? 1的两个顶点,过其右焦点 F 的直线 l 与椭圆交于 2

,直线 AC 与直线 BD 交于 Q 点. C , D 两点,与 y 轴交于 P 点(异于 A, B 两点)

(1)当 CD ?

3 2 时,求直线 l 的方程; 2

(2)求证: OP? OQ 为定值. 21.(本小题满分 12 分) (1)证明:当 x ??0,1? 时,

??? ? ????

2 x ? sin x ? x ; 2

(2) 若不等式 ax ? x ?
2

x2 ? 2 ? x ? 2 ? cos x ? 4 对 x ??0,1? 恒成立, 求实数 a 的取值范围. 2

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ? O 和 ? O? 相交于 A、B 两点,过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C、D 两点,连结

DB 并延长交 ? O 于点 E ,已知 AC ? BD ? 3 .

(1)求 AB ?AD 的值; (2)求线段 AE 的长. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 3 x?? t ? ? 2 l 在直角坐标系 xOy 中,直线 的参数方程为 ? ( t 为参数) .以原点为极点, x 轴 ? y ? ?5 ? 1 t ? ? 2
正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 3 cos? . (1)把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并说明它表示什么曲线;

第 5 页 共 5 页

(2)若 P 是直线 l 上的一点,Q 是曲线 C 上的一点,当 PQ 取得最小值时,求 P 的直角坐 标. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a ? 0, b ? 0 ,函数 f ? x ? ? x ? a ? x ? b 的最小值为 2. (1)求 a ? b 的值; (2)证明: a ? a ? 2 与 b ? b ? 2 不可能同时成立.
2 2

第 6 页 共 6 页

参考答案

一、选择题 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

B

C

B

C

C

B

A

C

D

C

A

D

二、填空题 13.

2

14.

9 16

15. 20?

16.

? ??,0?

三、解答题

n?2 n?2 S n ,及 an?1 ? Sn?1 ? Sn ,得 S n ?1 ? S n ? Sn , n n S S S 整理,得 nSn?1 ? 2 ? n ?1? Sn ,∴ n ?1 ? 2? n ,又 1 ? 1 , n ?1 n 1
17. 解: (1)由 an ?1 ? ∴? 分 (2)由(1) ,得

? Sn ? 2 为公比的等比数列. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 ? 是以 1 为首项, ?n?

Sn ? 2 n ?1 ,∴ Sn ? n?2n ?1 ? n ? N * ? , n

∴ Tn ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3? 22 ? ?? n? 2n?1 ,①

2Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ??? ? n ?1?? 2n?1 ? n? 2n ,②
由②-①,得

Tn ? ? ?1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2

n ?1

1 ? 2n . . . . . . . . . . . . . . . . . ? ? n?2 ? ? 1 ? 2 ? n?2n ? ? n ? 1??2n ? 1 .
n

. . . . . .12 分 18. 解: (1)根据茎叶图可知,甲、乙两部门各有 10 人,用分层抽样的方法,应从甲、乙 两部门中各选取 10 ?

2 ? 4 人. 5
3 C4 13 ? . 3 C8 14

记“至少有一人来自甲部门”为事件 A ,则 P ? A? ? 1 ?

第 7 页 共 7 页

故至少有一人来自甲部门的概率为

13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 14

(2)由题意可知, X 的可能取值为 0,1,2,3.

P ? X ? 0? ?


0 3 1 2 2 1 3 0 C6 C4 C6 C4 C6 C4 1 C6 C4 1 1 3 ? , P X ? 1 ? ? , P X ? 2 ? ? , P X ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 3 3 C10 30 C10 10 C10 2 C10 6

∴ X 的分布列为

X
P

0

1

2

3

1 6 1 3 1 1 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . ∴ E ? X ? ? 0? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 30 10 2 6 5
19. 解: (1)以 D 为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系 D ? xyz ,则

1 30

3 10

1 2

A?1,0,0? , B ?1,1,0? , C ? 0,2,0? , S ?0,0,2? ,∴
??? ? ??? ? ???? SC ? ? 0, 2, ?2 ? , BC ? ? ?1,1, 0 ? , DC ? ? 0, 2, 0 ? .

??? ? ??? ? ??? ? ? m?SC ? 0 ? 设平面 SBC 的法向量为 m ? ? a, b, c ? ,由 m ? SC, m ? BC ,得 ? ??? , ? m?BC ? 0

设平面 EDC 的法向量 n ? ? x, y, z ? ,

???? ??? ? ???? ? n?DE ? 0 由 n ? DE, n ? DC ,得 ? ???? , ?n?DC ? 0

?y 2z ? ?x ? ? ?0 ? ∴ ?1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ,取 n ? ? 2,0, ?? ? . ? 2y ? 0 ?
由平面 EDC ? 平面 SBC ,得 m ? n , ∴ m?n ? 0 ,∴ 2 ? ? ? 0 ,即 ? ? 2 . 故 SE ? 2 EB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分
第 8 页 共 8 页

(2)由(1) ,知 E ?

???? ? 2 2 2 ? ??? ? ? 2 4 2? ?2 2 2? , , ? ,∴ DE ? ? , , ? , EC ? ? ? , , ? ? , ?3 3 3? ?3 3 3? ? 3 3 3?

∴ EC ?DE ? 0 ,∴ EC ? DE . 取 DE 的中点 F ,则 F ? , , ? ,∴ FA ? ? , ? , ? ? , ∴ FA?DE ? 0 ,∴ FA ? DE . ∴向量 FA 与 EC 的夹角等于二面角 A ? DE ? C 的平面角.

??? ? ??? ?

?1 1 1? ? 3 3 3?

??? ?

?2 ?3

1 3

1? 3?

??? ? ??? ?
??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? FA?EC 1 而 cos FA, EC ? ??? ? ??? ? ?? , 2 FA EC
故二面角 A ? DE ? C 的大小为 120°. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 20. 解: (1)由题设条件可知,直线 l 的斜率一定存在, F ?1,0 ? , 设直线 l 的方程为 y ? k ? x ?1? ? k ? 0且k ? ?1? ,

? y ? k ? x ? 1? ? 2 2 2 2 由 ? x2 ,消去 y 并整理,得 ?1 ? 2k ? x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 . 2 ? ? y ?1 ? 2
设 C ? x1, y1 ? ,D ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ?

4k 2 2k 2 ? 2 , x x ? , 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2 2

∴ CD ? 1 ? k ?
2

? x1 ? x2 ?
?

2

2 ? 4k 2 ? 2k 2 ? 2 2 2 ?1 ? k ? . ? 4 x1 x2 ? 1 ? k ? ? ? 4? ? 2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ? 1 ? 2k ?

由已知,得

2 2 ?1 ? k 2 ? 1 ? 2k
2

2 3 2 ,解得 k ? ? . 2 2

故直线 l 的方程为 y ?

2 2 ? x ? 1? 或 y ? ? ? x ? 1? , 2 2

即 x ? 2 y ?1 ? 0 或 x ? 2 y ?1 ? 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 (2)由 C ? x1, y1 ? , D ? x2 , y2 ? , A? 0,1? , B ? 0, ?1? ,得 直线 AC 的方程为 y ?

y1 ? 1 y ?1 x ? 1 ,直线 BD 的方程为 y ? 2 x ?1 , x1 x2

第 9 页 共 9 页

联立两条直线方程并消去 x ,得

y ? 1 x2 ? y1 ? 1? . ? y ? 1 x1 ? y2 ? 1?
4k 2 2k 2 ? 2 , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

由(1) ,知 y1 ? k ? x1 ? 1? , y2 ? k ? x2 ? 1? , x1 ? x2 ?

∴ yQ ?

x1 y1 ? x2 y1 ? x1 ? x2 , x1 y2 ? x2 y1 ? x1 ? x2

x1 y2 ? x2 y1 ? x1 ? x2 ? kx1 ? x2 ? 1? ? kx2 ? x1 ? 1? ? x1 ? x2 ? 2kx1 x2 ? k ? x1 ? x2 ? ? x1 ? x2


2k 2 ? 2 4k 2 4k ? 2k ? ? k ? ? x1 ? x2 ? ? ? x1 ? x2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 2
4k 2 4k ? ?, ? ?k ? ? ? x1 ? x2 ? 2 2 1 ? 2k ? 1 ? 2k ?



x1 y2 ? x2 y1 ? x1 ? x2 ? kx1 ? x2 ? 1? ? kx2 ? x1 ? 1? ? x1 ? x2 ? k ? x2 ? x1 ? ? x1 ? x2 ? k ? x2 ? x1 ? ?
∴ yQ ? ?

1 1? ? ,∴ Q ? xQ , ? ? ,又 P ? 0, ?k ? , k k? ?

∴ OP? OQ ? ? 0, ?k ?? ? xQ , ?

??? ? ????

? ?

1? ? ?1, k?

故 OP? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 OQ 为定值. 21. 解: (1)记 F ? x ? ? sin x ?

??? ? ????

2 2 . x ,则 F ? ? x ? ? cos x ? 2 2

当 x ? ? 0,

? ?

??

? ?? ? 时, F ? ? x ? ? 0 , F ? x ? 在 ?0, ? 上是增函数; 4? ? 4?

当 x ??

?? ? ?? ? ,1? 时, F ? x ? ? 0 , F ? x ? 在 ? ,1? 上是减函数. ?4 ? ?4 ? 2 x. 2

∵ F ? 0? ? 0, F ?1? ? 0 ,∴当 x ??0,1? 时, F ? x ? ? 0 ,即 sin x ? 记 H ? x ? ? sin x ? x ,则当 x ? ? 0,1? 时, H ? ? x ? ? cos x ?1 ? 0 ,

∴ H ? x ? 在 ?0,1? 上是减函数,∴ H ? x ? ? H ? 0? ? 0 ,即 sin x ? x .

综上,

2 x ? sin x ? x, x ? ?0,1? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分 2

第 10 页 共 10 页

(2)∵当 x ??0,1? 时,

ax ? x 2 ?

x2 x2 x ? 2 ? x ? 2 ? cos x ? 4 ? ? a ? 2 ? x ? x 2 ? ? 4 ? x ? 2 ? sin 2 2 2 2
2 2

? 2 ? x2 ? ? a ? 2? x ? x ? ? 4 ? x ? 2? ? ? 4 x? ? ? ? a ? 2? x 2 ? ?
∴当 a ? ?2 时,不等式 ax ? x ?
2

x3 ? 2 ? x ? 2 ? cos x ? 4 ,对 x ??0,1? 恒成立. 2

下面证明: 当 a ? ?2 时,不等式 ax ? x ?
2

x3 ? 2 ? x ? 2 ? cos x ? 4 对 x ??0,1? 不恒成立. 2

x3 x3 x 2 ax ? x ? ? 2 ? x ? 2 ? cos x ? 4 ? ? a ? 2 ? x ? x ? ? 4 ? x ? 2 ? sin 2 2 2 2
2

? ? a ? 2? x ? x2 ? ? ? a ? 2? x ?

x3 x3 ?x? ? 4 ? x ? 2 ? sin ? ? ? ? a ? 2 ? x ? x 2 ? 2 2 ?2?

2

3 2 3 ? 2 ? x ? ? x ? x ? ? a ? 2 ?? 2 2 ? 3 ?
a?2 1 和 中的较小者)满足 3 2

∴存在 x0 ? ? 0,1? (例如 x0 取
2 ax0 ? x0 ?

3 x0 ? 2 ? x0 ? 2 ? cos x0 ? 4 ? 0 , 2

即当 a ? ?2 时,不等式 ax ? x ?
2

x3 ? 2 ? x ? 2 ? cos x ? 4 ? 0 对 x ??0,1? 不恒成立. 2

综上,实数 a 的取值范围是 ? ??, ?2? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 22. 解: (1)∵ AC 切 ? O? 于 A ,∴ ?CAB ? ?ADB , 同理 ?ACB ? ?DAB ,∴ ?ACB ? ?DAB , ∴

AC AB ? ,即 AC ?BD ? AB?AD . AD BD

∵ AC ? BD ? 3 ,∴ AB?AD ? 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 (2)∵ AD 切 ? O 于 A ,∴ ?AED ? ?BAD , 又 ?ADE ? ?BDA ,∴ ?EAD ? ?ABD , ∴

AE AD ? ,即 AE ?BD ? AB ?AD , AB BD

由(1)可知, AC ?BD ? AB?AD ,
第 11 页 共 11 页

∴ AE ? AC ? 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 23. 解: (1)由 ? ? 2 3 cos? ,得 ? 2 ? 2 3? cos? , 从而有 x2 ? y 2 ? 2 3x , ∴ x? 3

?

?

2

? y2 ? 3 .

∴曲线 C 是圆心为

?

3, 0 ,半径为 3 的圆. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分

?

(2)由题设条件知, PQ ? QC ? PC ,当且仅当 P, Q, C 三点共线时,等号成立, 即 PQ ? PC ? 3 ,∴ PQ min ? PC min ? 3 . 设 P??

? ? ?

3 1 ? t , ?5 ? t ? ,又 C 2 2 ? ?
2

?

3, 0 ,

?

2 ? ? ? 3 1 ? 则 PC ? ? ? ?5 ? t ? ? t 2 ? 2t ? 28 ? ? 2 t ? 3? ? ?? 2 ? ? ? ?

?t ? 1?

2

? 27 .

当 t ? 1 时, PC 取得最小值,从而 PQ 也取得最小值, 此时,点 P 的直角坐标为 ? ?

? ? ?

3 9? ,- ? ???????????????10 分 2 2? ?

24. 解: (1)∵ a ? 0, b ? 0 , ∴ f ? x ? ? x ? a ? x ? b ? ? x ? a ? ? ? x ? b ? ? ?a ? b ? a ? b ? a ? b , ∴ f ? x ?min ? a ? b . 由题设条件知 f ? x ?min ? 2 , ∴a?b ? 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 (2)由(1)及基本不等式,得 2 ab ? a ? b ? 2 ,∴ ab ? 1 . 假设 a ? a ? 2 与 b ? b ? 2 同时成立,
2 2 2 则由 a ? a ? 2 及 a ? 0 ,得 a ? 1 .

同理 b ? 1 ,∴ ab ? 1 ,这与 ab ? 1 矛盾. 故 a ? a ? 2 与 b ? b ? 2 不可能同时成
2 2

立. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分
第 12 页 共 12 页

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