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空间角的计算(luo)


课题:空间的角
一、主要知识及主要方法:

1. 三垂线定理(课本):在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. 2. 三垂线的逆定理(课本):在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.

3.

空间角的计算步骤

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一作、二证、三算.

4. 异面直线所成角:⑴范围: ? 0?,90?? ;⑵计算方法:

①平移法:一般情况下应用平行四边形的对边、梯形的平行对边、三角形的中位线进行平移.②向量法:设 a 、 b 分别为异面直线 a 、

b 的方向向量,则两异面直线所成的角 ? ? arccos a b

;③补体法;

④证明两条异面直线垂直,即所成角为 90 ? .

a b

5. 直线与平面所成的角:①定义: (课本)平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角;
一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角.②范围
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?0?,90?? ;③最小角定理:斜线和平面所成的角,是这条斜线和这个平
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面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.⑤斜线与平面所成角的计算:⑴直接法:关键是作垂线,找射影 可利用面面垂直的性
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质; ⑵平移法:通过三角形的中位线或平行四边形的对边平移,计算其平行线与平面所成的角.也可平移平面⑶通过等体积法求出斜

d 线任一点到平面的距离 d ,计算这点与斜足之间的线段长 l ,则 sin ? ? l ⑷应用结论:如右图所示, PO ? ? , O 为垂足, A 为斜足,

P

.

l
A

n l

AB ? ? , AP 与平面 ? 所成的角为 ?1 , ?BAO ? ?2 , ?PAB ? ? ,
则 cos ?

? ?1

? cos?1 cos?2 .

(模型 1)

?

?2

O

?

B
? arcsin

?
l n . l n

? 5? 向量法:设 l 是斜线 l 的方向向量, n 是平面 ? 的法向量,则斜线 l 与平面 ? 所成的角 ?

6. 二面角:①定义:平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分叫做半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形
叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面 .二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平 面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角,叫做这个二面角的平面角.规定:二面角的两个半平面重合时,二面角为 0 , 当两个半平面合成一个平面时,二面角为 ? ,因此,二面角的大小范围为 其逆定理法;⑶垂面法;⑷射影面积法: cos ?

?0, ? ? .②确定二面角的方法:⑴定义法;⑵三垂线定理及

?

S射影多边形 S原多边形

,此方法常用于无棱二面角大小的计算;无棱二面角也可以先根据线面

性质恢复二面角的棱,然后再用方法⑴、⑵计算大小; 的平面角 ?

? 5? 向量法:法一、在 ? 内 a ? l ,在 ? 内 b ? l ,其方向如左图,则二面
? l ? ? 的平面角

角?

?l ??

? arccos

ab a b

;其方向如右图,则二面角 ?

?
a b a b

?

? ? ? ? arccos

ab a b

(同等异补)

法二、设 n1 , n2 是二面角 ?

? l ? ? 的两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,

?

?

?
n1 n2

另一个指向外侧(同等异补) ,则二面角 ?

? l ? ? 的平面角 ? ? arccos

n1 n2 | n1 || n2 |

?

二、利用平移求异面直线所成角 例 1(1)S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点,如图 SA=SB=SC,且 ? ASB= ? BSC= ? CSA= N 分别是 AB 和 SC 的中点.求异面直线 SM 与 BN 所成的角的余弦值.
N C M A B S

? ,M、 2

(2)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90°,M、N 分别是 A1B1 和 A1C1 的中点,若 BC=CA=CC1,求 BM 与 AN 所成的角.

(3)如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F 分别是 BB1 、CD 的中点. 求 AE 与 D1 F 所成的角。
A1

D1 B1 E D A F B
C? F B?

C1

C

(4)如图 1—28 的正方体中,E 是 A′D (1)图中哪些棱所在的直线与直线 BA′成异面直线? (2)求直线 BA′和 CC′所成的角的大小; (3)求直线 AE 和 CC′所成的角的正切值; (4)求直线 AE 和 BA

D? E A?

D A (图 1-28) B

C

(5)长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,若 AB=BC=3,AA1=4,求异面直线 B1D 与 BC1 所成角的大小。

三、利用模型求异面直线所成角: 例 2 利用模型 1 求(1)如图,MA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是正方形, 且 MA=AB=a,试求异面直线 MB 与 AC 所成的角。

M

D B
C 1 A1 B 1

C

A

(2)已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等, A1 在底面
ABC 上的射影为 BC 的中点,则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余

弦值为(



(A)

3 5 (B) 4 4

(C)

7 4

(D)

3 4
A

C D B

P E

(3)如图,在立体图形 P-ABCD 中,底面 ABCD 是一个直角梯形, ∠BAD=90°,AD//BC,AB=BC=a,AD=2a,且 PA⊥底面 ABCD,PD 与底面成 30°角,AE⊥PD 于 D。求异面直线 AE 与 CD 所成的角的大 小。

A B C

F

D

例 3 模型 2:定理:四面体 ADBCD 两相对棱 AC、BD 间的夹角为?, 则有 证明: ? ? ? ? BD ? AC ? BD BD COS? ? ? ? 而BD ? BA ? AD ? ? ? ? ? ? BD ? AC ? BA ? AD ? AC ? BA ? AC ? AD ? AC

?

?

? ?

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 AD 2 ? AC 2 ? CD 2 ? 2 2

?

AD 2 ? BC 2 ? AB 2 ? CD 2 2

所以有: 练习:长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AA1=2cm,AD=1cm,求异面直线 A1C1 与 BD1 所成的角。

练习:

1.如图,PA ? 矩形 ABCD,已知 PA=AB=8,BC=10,求 AD 与 PC 所成角的余切值为。 P

2.在长方体 ABCD- A1B1C1D1 中,若棱 B B1=BC=1,AB= 3 , 求 D B 和 AC 所成角的余弦值.

A D B E C
D1

3.在正四面体 ABCD 中,已知 E 是棱 BC 的中点, 求异面直线 AE 和 BD 所成角的余弦值。

C1 B1
E

O 是底面 ABCD 的中心, 4.如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
E , F 分别是 CC1 , AD 的中点.那么异面直线 OE 和 FD1 所成角的余弦值等于

A1
D
F A
A

C O
B

5. 如图,四面体 ABCD 中,AC⊥BD,且 AC=4,BD=3, M、N 分别是 AB、CD 的中点,求 MN 和 BD 所成角的正切值
B

M 3 D N

4

(第 5 题)
A

C

6.如图,四面体 ABCD 中,AB⊥BC,AB⊥BD,BC⊥CD, 且 AB=BC=6,BD=8,E 是 AD 中点,求 BE 与 CD 所成角的余弦值

6

E
8 6

B

D

(第 6 题)
A1 N B1 A A
4

C C1

7.如图,正三棱柱的九条棱都相等,三个侧面都是正方体, M、N 分别是 BC 和 A1C1 的中点。求 MN 与 CC1 所成角的余弦值。

C M B E

(第 7 题)
4

8.如图,四面体 ABCD 中,E 为 AD 中点,若 AC=CD=DA=8, AB=BD=5,BC=7,求 BE 与 CD 所成角的余弦值。
C

8 5 8

D
5

7

(第 8 题)

B

四、利用向量法求异面直线所成的角 例 4、 (1)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是相邻两侧面 BCC1B1 及 CDD1C1 的中心。求 A1E 和 B1F 所成的角的大小。
A1 H B1 Q G A B E R C1 F D C B A C S B1 E C1 F D D1 A1 D1

P

(2)已知空间四边形 ABCD 中,AB=BC=CD=DA=AC=BD=a,E、F 分别为 BC 和 AD 的中点,设 DE 和 CF 所 成的角为α ,求 cosα 的值。 (平移法也可)
A F D B E C

(3) 已知空间四边形 ABCD 中, AB=CD=3, E、 F 分别是 BC、 AD 上的点, 且 BE: EC=AF: FD=1: 2, EF= 7 , 求 AB 和 CD 所成的角的大小。
A F G D B E C

(4)如图,已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧棱 AA1 长为 b,且 AA1 与 AB、AD 的夹角都是 120°. 求:(1)AC1 的长; (2)直线 BD1 与 AC 所成的角的余弦值.

五、直线与平面所成角: 例 1. ( 07 全国Ⅰ) 四棱锥 S ? ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形, 侧面 SBC ? 底面 ABCD . 已知∠ABC ? 45? ,

AB ? 2 , BC ? 2 2 , SA ? SB ? 3 . ?1? 证明: SA ? BC ; ? 2 ? 求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大小. (本小 S
题要求用多种方法解答,包括向量法).

C
D P 是棱 CC1 上任一点, 例 2. 边长为 1 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, A

B

C1
D1
P C

1 时,求证:面 BPD1 ? 面 BDD1B1 ; 2 ? 2 ? 试确定 m 值,使直线 AP 与平面 BDD1B1 所成的角的正切值为 3 2 .
CP ? m ( 0 ? m ? 1 ). ?1? 若 m ?

B1 A1
B A

D

例 3.如图, PCBM 是直角梯形,?PCB ? 90? , PM ∥ BC , PM ? 1 , BC ? 2 ,又 AC ? 1 ,?ACB ? 120? , AB ? PC ,直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60 ? . M P

?1? 求证:平面 PAC ⊥平面 ABC ; ? 2 ? 求二面角 M ? AC ? B 的大小;
? 3? 求三棱锥 P ? MAC 的体积.(要求第 ? 2 ? 小题用多种方法解答,包括向量法)
A

C

B

AD ∥ BC , ?ABC ? 90° , 例 4. 如图, 在底面为直角梯形的四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD . PA ? 4 , AD ? 2 ,

AB ? 2 3 , BC ? 6 ?1? 求证: BD ? 平面 PAC ;

P

? 2 ? 求二面角 A ? PC ? D 的大小.(要求第 ? 2 ? 小题用多种方法解答,包括向量法).
A E D

B

C

例 5 .如图,在三棱锥 V 中, VC⊥底面 ABC , A , D 是 AB 的中点,且 A ? A B C C ⊥ B C CB ?Ca ?,

π? ? V D C ? ?? ?0 ?? ? ?. 2? ? (I)求证:平面 V A B⊥ VCD ;
(II)试确定 ? 的值,使得直线 B C 与平面 VAB 所成的角为

V

(Ⅲ)当解 ? 变化时,求直线 B C 与平面 VAB 所成的角的取值范围. A

? 。 6

C D

B

练习 1. 在三棱锥 P ? ABC 中, AB ? BC , AB ? BC ?

1 PA , 2

P

点 O 、 D 分别是 AC 、 PC 的中点, OP ? 底面 ABC .

?1? 求证: OD ∥ 平面 PAB ; ? 2 ? 求直线 PA 与平面 PBC 所成角的大小
D

F
A

O

C

E
B

练习2. 如图, △ ABC 的边长为 2 , AD , BB1 , CC1
都垂直于平面 ABC ,且 BB1 ? CC1 ? 2 , AD ? 1 , 点 E 为 DB1 的中点,求直线 C1E 与平面 ABC 所成的角.

C1 A1
F

B1

E D

C
A B

六、平面与平面所成二面角: 例 1.如图,在二面角 ? ? l ? ? 中, A, B ? ? , C, D ? l , ABCD 为矩形, P ? ? , PA ? ? , PA ? AD.M , N 依次是 AB,PC 的中点,①求二面角 ? ? l ? ? 的大小;②求证:MN ? AB ;③求异面直线 PA 与 MN 所成角的大小.

P

例 2.如图,三棱锥 P—ABC 中, PC ? 平面 ABC,PC=AC=2,AB=BC,D 是 PB 上一 点,且 CD ? 平面 PAB.(I) 求证:AB ? 平面 PCB;(II) 求二面角 C-PA-B 的大小.
C

D

E B A

F

例 3.如图,在直四棱柱 ABCD—A B C D 中,AB=AD=2,DC=23,AA =3,AD⊥DC, 1 1 1 1 1 AC⊥BD,垂足为 E. (1)求证:BD⊥A1C;(2)求二面角 A1-BD-A 的大小

练习:1、如图,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,MD⊥平面 ABCD,NB⊥平面 ABCD,且 MD=NB=1,E 为 BC 的中点. (1)求异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值; (2)在线段 AN 上是否存在点 S,使得 ES⊥平面 AMN?若存在,求线段 AS 的长;若不存在,请说明理由.

2、如图,已知四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,PA⊥平面 ABCD,∠ABC=60°, E、F 分别是 BC、PC 的中点.(1)证明:AE⊥PD; (2)若 H 为 PD 上的动点,EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为

6 ,求二面角 2

E-AF-C 的余弦值.

七、图像的翻折问题: 例 1、在直角梯形 ABCD 中,∠D=∠BAD=90°,AD=DC= AB=a(如图①) ,将△ADC 沿 AC 折起,使 D 到 D′,记平面 ACD′为α,平面 ABC 为β,平面 BCD′为γ(如图②).(1)若二面角α-AC-β为直二面角,求二面角β-BC-γ 的大小; (2)若二面角α-AC-β为 60°,求三棱锥 D′-ABC 的体积.

例 2、一副三角板拼成一个四边形 ABCD,设 BC=6,∠A=90°,AB=AC,∠BCD=90°,∠D=60°,再将它沿 BC 折成 直二面角.(1)求证:平面 ABD⊥平面 ACD;(2)求 AD 与 BC 所成的角;(3) 求 AD 和面 BCD 所成角的大小;(3)求二面 角 A—BD—C 的大小. (5)求直线 AD 与 BC 间的距离。

例 3、如图,在边长为 4 的菱形 ABCD 中, ?BAD ? 60 ,点 E 、 F 分别在边 CD 、 CB 上.点 E 与点 C 、 D 不 重合, EF ? AC , EF AC ? O ,沿 EF 将 ?CEF 翻折到 ?PEF 的位置,使平 面 PEF ? 平 面 ABFED . ( 1 ) 求 证 : BD ? 平 面 P O A; (2)记 三 棱 锥 P ? A B D 的 体 积 为 V1 , 四 棱 锥 P ? B D E F 的 体 积 为 V2 , 且

V1 4 ? ,求此时线段 PO 的长. V2 3

P
D E A O F B C

D A B F O

E C

跟踪训练: 1、如图,已知四边形 ABCD 是上、下底边长分别为 2 和 6,高为 3 的等腰梯形(如图①).将它沿对称轴 OO 折成 1 直二面角(如图②).(1)证明:AC⊥BO ; (2)求二面角 O—AC—O 的正弦值. 1 1 M A D F
A N F E C D

B

E

C

B

2、 如图, 矩形 ABCD 中, AB ? 3 ,BC ? 4 .E ,F 分别在线段 BC 和 AD 上,EF ∥ AB , 将矩形 ABEF 沿 EF 折起.记折起后的矩形为 MNEF ,且平面 MNEF ? 平面 ECDF . (1)求证: NC ∥平面 MFD ; (2)若 EC ? 3 ,求证: ND ? FC ; (3)求四面体 NFEC 体积的最大值.

空间中的角与距离一
班级__________ 学号________姓名__________

1.三棱锥 P ? ABC 内接于球 O ,如果 PA,PB,PC 两两垂直且 PA ? PB ? PC ? a ,则球 心 O 到平面 ABC 的距离为_________________ 2、 如图, 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1, O 是底面 A1B1C1D1 的中心, 则异面直线 A1C1, AD 1 所成的角为 度;点 O 到平面 AB C1D1 的距离为 . ?BOC ? 90? , OA ? 平面 BOC , 3. 已知三棱锥 O ? ABC , 其中 OA ? 1, OB ? 2, OC ? 3 ,

D1 O A1 D A
A1
A1 A1

C1 B1 C
A1

O, A, B, C 四点均在球 S 的表面上,则球 S 的表面积为 __________ __ . 4 、 如 图 , 边 长 为 2 的 等 边 ?P C D 所 在 的 平 面 垂 直 于 矩 形 A B C D所 在 的 平 面 , BC ? 2 2 ,M 为 BC 的中点.(Ⅰ)证明: AM ? PM ;(Ⅱ)求二面角 P ? AM ? D 的 大小;(Ⅲ)求点 D 到平面 AMP 的距离.

B P
A1

D M A
o

C B

5、如图:在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, ?ABC ? 60 , PA ? 平面ABCD ,点 M 、N 分别为 BC、 PA 的中点,且 PA ? AB ? 2 (Ⅰ)求二面角 N ? BC ? A 的大小; (Ⅱ)在线段 PD 上是否存在一点 E ,使 得 NM // 平面 ACE ;若存在,求出 PE 的长,若不存在,说明理由. P M D A N C

B 6、如图(1)是一正方体的表面展开图, MN 和 PB 是两条面对角线,请在图(2)的正方体中将 MN 和 PB 画 出来,并就这个正方体解决下面问题.(Ⅰ)求证: MN // 平面 PBD ; (Ⅱ)求证: AQ ⊥平面 PBD ; (Ⅲ)求二面角 P ? DB ? M 的大小.
Q N D C M P A A B 图(1) 图(2) D C Q

7、如图,四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90° (1)求证:PC⊥BC(2)求点 A 到平面 PBC 的距离.

8、如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC⊥BC,AB⊥BB1,AC=BC=BB1=2,D 为 AB 的中点,且 CD⊥DA1. (1)求证: BB1⊥平面 ABC; (2)求证: BC1∥平面 CA1D; (3)求三棱锥 B1-A1DC 的体积.

空间中的角与距离二
班级__________ 1、如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为 学号________姓名__________

D1 O
D1

C1 B1

A.

6 3 15 5

B.

2 6 5 10 5

A1C1
B1

A1

A1

D
D A B

C
A1

C.

D.

A
A1

C

A1

B
A1

2、已知三棱柱

ABC ? A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等, A1 在底面 ABC 内的射影为 △ ABC 的中心,则 AB1 与底面 ABC 所


成角的正弦值等于(

A.

1 3

B.

2 3

C.

3 3

D.

2 3
,M 是

3. 在如图所示的几何体中, EA ? 平面 ABC , DB ? 平面 ABC , AC ? BC ,且 AC ? BC ? BD ? 2 AE
中点.

AB 的

?1? 求证: CM ? EM ; ? 2 ? 求 CM 与平面 CDE 所成的角.

D E

A M A

C
B

π ,斜边 AB ? 4 . Rt△ AOC 可以通过 Rt△ AOB 6 以直线 AO 为轴旋转得到,且二面角 B ? AO ? C 是直二面角.动点 D 的斜边 AB 上.
4. 如图,在 Rt△ AOB 中, ?OAB ?

D

?1? 求证:平面 COD ? 平面 AOB ; ? 2 ? 当 D 为 AB 的中点时,求异面直线 AO 与
CD 所成角的大小; ? 3? 求 CD 与平面 AOB 所成角的最大值.

O
C

B

5. ( 07 福建)如图,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都为 2 , D 为 CC1 中点. ; ?1? 求证: AB1 ⊥平面 A1BD (此小题这里略去不做) A 求二面角 的大小; A ? A D ? B 2 ? ? 1 C 求点 到平面 A 3 ? ? 1BD 的距离.
C D B

A1

C1 B1

6.( 08 陕西)三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图所示,截面为 A1B1C1 ,?BAC ? 90

,A 1 A ? 平面

ABC ,

A1 A ? 3 , AB ? 2 , AC ? 2 , AC 1 1 ?1,
(Ⅰ)略 (Ⅱ)求二面角

BD 1 ? . DC 2
A1 C1 B1

A ? CC1 ? B 的大小.

A B D

C

2. ( 08 安徽)如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 四边长为

1 的菱形, ?ABC

?

?
4

,

OA ? 底面ABCD ,

OA ? 2 , M

为 OA 的中点, N 为 BC 的中点

O

(Ⅰ)略(Ⅱ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (Ⅲ)略

M

A B N C

D

参考答案:

9. 如图,MA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是正方形,且 MA=AB=a,试求异面直线 MB 与 AC 所成的角。
M

解:由图可知,直线 MB 在平面 ABCD 内的射影为 AB, 直线 MB 与平面 ABCD 所成的角为 45°, 直线 AC 与直线 MB 的射影 AB 所成的角为 45°, 所以直线 AC 与直 MB 所成的角为θ ,满足 A 1 cosθ =cos45°· cos45°= ,所以直线 AC 与 MB 所成的角为 60°。 2

D B

C

13. 已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等, A1 在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点,则异 面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为( D )
3 (A) 4 5 (B ) 4
C 1

7 ( C) 4

3 (D) 4
C

A1

B 1

D A B

解:设 BC 的中点为 D,连结 A1 D,AD,易知 ? ? ?A1 AB 即为异面直线 AB 与 CC1 所成的角,由三角余弦 定理,易知 cos ? ? cos ?A1 AD ? cos ?DAB ?

AD AD 3 ? ? .故选 D A1 A AB 4

14. 如图, 在立体图形 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是一个直角梯形, ∠BAD=90°, AD//BC, AB=BC=a, AD=2a, 且 PA⊥底面 ABCD,PD 与底面成 30°角,AE⊥PD 于 D。求异面直线 AE 与 CD 所成的角的大小。 解:过 E 作 AD 的平行线 EF 交 AD 于 F,由 PA⊥底面 ABCD 可知,直线 P AE 在平面 ABCD 内的射影为 AF,直线 AE 与平面 ABCD 所成的角为∠ E DAE,其大小为 60°, 射影 AF 与直线 CD 所成的角为∠CDA,其大小为 45°,所以直线与直线 所成 的 角 θ 满 足 cos θ =cos60 °· cos45 ° =
2 arccos 。 4 2 ,所以其大小为 4
A B C F D

练习:长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AA1=2cm,AD=1cm,求异面直线 A1C1 与 BD1 所成的角。

解:连结 BC1、A1B 在四面体为 ,易求得 由定理得:

所以

二、向量法求异面直线所成的角 16. 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是相邻两侧面 BCC1B1 及 CDD1C1 的中心。求 A1E 和 B1F 所成的角的大小。 解法一: (作图法)作图关键是平移直线,可平移其中一条直线,也可平移两条直线到某个点上。 作法:连结 B1E,取 B1E 中点 G 及 A1B1 中点 H, A1 D1 连结 GH,有 GH//A1E。过 F 作 CD 的平行线 RS, H 分别交 CC1、DD1 于点 R、S,连结 SH,连结 GS。 C1 B1 S 由 B1H//C1D1//FS,B1H=FS,可得 B1F//SH。 在△GHS 中,设正方体边长为 a。 Q G F
6 GH= a(作直线 GQ//BC 交 BB1 于点 Q, 4 连 QH,可知△GQH 为直角三角形) ,
E A B R D C

26 6 a(连 A1S,可知△HA1S 为直角三角形) ,GS= a(作直线 GP 交 BC 于点 P,连 PD,可知四 4 2 1 边形 GPDS 为直角梯形) 。∴Cos∠GHS= 。 6 1 A1 D1 所以直线 A1E 与直线 B1F 所成的角的余弦值为 。 6 解法二: (向量法) C

P

HS=

分析:因为给出的立体图形是一个正方体, 所以可以在空间建立直角坐标系,从而可以利用 点的坐标表示出空间中每一个向量,从而可以用 向量的方法来求出两条直线间的夹角。 以 B 为原点,BC 为 x 轴,BA 为 y 轴,BB1 为 z 轴,设 BC 长度为 2。 则点 A1 的坐标为(0,2,2) ,点 E 的坐标为(1,0,1) , 点 B1 的坐标为(0,0,2) ,点 F 的坐标为(2,1,1) ;

B1

1

E A B C

F D

所以向量 EA ,向量 B1 F 的坐标为(2,1,-1) , 1 的坐标为(-1,2,1)

所以这两个向量的夹角θ 满足 cosθ =
EA1 ? B1 F | EA1 | ? | B1 F |

=

(?1) ? 2 ? 2 ? 1 ? 1? (?1) (?1) 2 ? (2) 2 ? (1) 2 ? (2) 2 ? (1) 2 ? (?1) 2
1 6

=-

1 。 6

所以直线 A1E 与直线 B1F 所成的角的余弦值为

17. 已知空间四边形 ABCD 中,AB=BC=CD=DA=AC=BD=a,M、N 分别为 BC 和 AD 的中点,设 AM 和 CN 所 成的角为α ,求 cosα 的值。 (平移法也可)
A

解:由已知得,空间向量 AB , AC , AD 不共面, 且两两之间的夹角均为 60°。由向量的加法可以得到 1 1 , NC = ? AD + AC AM = ( AB + AC ) 2 2 所以向量 AM 与向量 NC 的夹角θ (即角α 或者α 的补角) 满足 cosθ =
AM ? NC | AM | ? | NC |
B M C

N D

,其中

1 1 · ( ? AD + AC ) AM · NC = ( AB + AC ) 2 2 1 1 1 = ( ? AB · AD + AB · AC +( ? AD ) · AC + AC · AC ) 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 = a ( ? + ? +1)= a ; 2 2 4 2 4 1 1 1 3 2 | AM |2= ( AB + AC ) · ( AB + AC )= (1+1+1)a2= a; 2 2 4 4 1 2 1 1 1 2 3 2 | NC |2=( ? AD + AC ) · ( ? AD + AC )= +1 ? a= a 。所以 cosα =| cosθ |= 。 4 4 3 2 2 2

18. 已知空间四边形 ABCD 中, AB=CD=3, E、 F 分别是 BC、 AD 上的点, 且 BE: EC=AF: FD=1: 2, EF= 7 , 求 AB 和 CD 所成的角的大小。 解:取 AC 上点 G,使 AG:GC=1:2。连结 EG、FG, 可知 EG//AB,FG//CD,3EG=2AB,3FG=CD。 1 2 由向量的知识可知 EF = EG + GF = BA + CD , 3 3
A F G D

设向量 BA 和 CD 的夹角为θ 。 B 1 1 2 2 2 E 则由| EF | =( BA + CD ) · ( BA + CD )=4+1+4cosθ =7, 3 3 3 3 C 1 得 cosθ = ,所以 AB 和 CD 所成的角为 60°。 2 19. (思考题)如图,已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧棱 AA1 长为 b,且 AA1 与 AB、AD 的夹角都是 120°. 求:(1)AC1 的长; (2)直线 BD1 与 AC 所成的角的余弦值.

技巧与方法:数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用.
解 : (1) | AC1 |2 ? AC1 ? AC1 ? ( AA1 ? AC )( AA1 ? AC ) ? ( AA1 ? AB ? AD )( AA1 ? AB ? AD ) ?| AA1 |2 ? | AB |2 ? | AD |2 ?2 AA1 ? AB ? 2 AA1 ? AD ? 2 AB ? AD 由已知得 :| AA1 |2 ? b 2 , | AB |2 ?| AD |2 ? a 2 ? AA1 , AB ??? AA1 , AD ?? 120?, ? AB, AD ?? 90? 1 1 ? AA1 ? AB ? b ? a cos120? ? ? ab, AA1 ? AD ? b ? a cos120? ? ? ab, AB ? AD ? 0, 2 2 ?| AC1 |2 ? 2a 2 ? b 2 ? 2ab,?| AC1 |? 2a 2 ? b 2 ? 2ab . ( 2)依题意得, | AC |? 2a , AC ? AB ? AD BD1 ? AD ? BA ? AA1 ? AD ? AB ? AC ? BD1 ? ( AB ? AD )( AA1 ? AD ? AB ) ? AB ? AA1 ? AD ? AA1 ? AB ? AD ? AD 2 ? AB 2 ? AB ? AD ? ? ab | BD1 |2 ? BD1 ? BD1 ? ( AA1 ? AD ? AB )( AA1 ? AD ? AB ) ?| AA1 |2 ? | AD |2 ? | AB |2 ?2 AA1 ? AD ? 2 AB ? AD ? 2 AA1 ? AB ? 2a 2 ? b 2

? | BD1 |? 2a 2 ? b2

cos ? BD1 , AC ??
b

BD1 ? AC | BD1 | | AC |

?

?b 4a 2 ? 2b 2

∴BD1 与 AC 所成角的余弦值为

4a ? 2b 2
2

.

判断是非:(1)(3)(8)(10)正确,其余错; 选择:1(C);2(D);3(D);4(D). 9(E);10(D);11(C); 三. ,取 AD 中点 E,则∠MEN=90 四. 五.
7 5

5.(2)相交,(5)平行,其余异面;(6):(D),取 AB 中点 M,

CC1 中点 N, 连 B1E 和 B1F; (7) 答案: (A), 延长 B1A1 至 M, 使 A1M=A1D1, 连 MA, 取 AB 中点 N. 8(D);
4 3

,取 AC 中点 F,连 EF、BF,求得 BE= AD=5,BF= AC=3 2 ;

1 2

1 2

1 2 5 ,分别取 AC、B1C1 的中点 P、Q,则 PMQN 是矩形,设 CC1=MQ=a,则 MP= a; 2 5 1 六. ,取 AC 中点 F,连 EF、BF,则 EF=4,BE=BF=3. 6

7.(★★★★★)一副三角板拼成一个四边形 ABCD,如图,然后将它沿 BC 折成直二面角.

(1)求证:平面 ABD⊥平面 ACD; (2)求 AD 与 BC 所成的角; (3)求二面角 A—BD—C 的大小. 7.(1)证明:取 BC 中点 E,连结 AE,∵AB=AC,∴AE⊥BC ∵平面 ABC⊥平面 BCD,∴AE⊥平面 BCD, ∵BC⊥CD,由三垂线定理知 AB⊥CD. 又∵AB⊥AC,∴AB⊥平面 BCD,∵AB ? 平面 ABD. ∴平面 ABD⊥平面 ACD. (2)解:在面 BCD 内,过 D 作 DF∥BC,过 E 作 EF⊥DF,交 DF 于 F,由三垂线定理知 AF⊥DF,∠ADF 为 AD 与 BC 所 成的角. 设 AB=m,则 BC= 2 m,CE=DF=

2 6 m,CD=EF= m 2 3

? tan ADF ?

AF ? DF

AE 2 ? EF 2 21 21 ? ,? ?ADF ? arctan DF 3 3

21 3 (3)解:∵AE⊥面 BCD,过 E 作 EG⊥BD 于 G,连结 AG,由三垂线定理知 AG⊥BD, ∴∠AGE 为二面角 A—BD—C 的平面角
即 AD 与 BC 所成的角为 arctan

2 2 m,∴EG= m 2 4 2 AE 又 AE= m,∴tanAGE= =2,∴∠AGE=arctan2. 2 GE 即二面角 A—BD—C 的大小为 arctan2. 8.(★★★★★)设 D 是△ABC 的 BC 边上一点,把△ACD 沿 AD 折起,使 C 点所处的新位置 C′在平面 ABD 上的射影 H 恰好在 AB 上. (1)求证:直线 C′D 与平面 ABD 和平面 AHC′所成的两个角之和不可能超过 90°; (2)若∠BAC=90°,二面角 C′—AD—H 为 60°,求∠BAD 的正切值.
∵∠EBG=30°,BE=

8.(1)证明:连结 DH,∵C′H⊥平面 ABD,∴∠C′DH 为 C′D 与平面 ABD 所成的角且平面 C′HA⊥平面 ABD,过 D 作 DE⊥AB,垂足为 E,则 DE⊥平面 C′HA. 故∠DC′E 为 C′D 与平面 C′HA 所成的角 ∵sinDC′E=

DE DH ≤ =sinDC′H C ?D C ?D

∴∠DC′E≤∠DC′H, ∴∠DC′E+∠C′DE≤∠DC′H+∠C′DE=90° (2)解:作 HG⊥AD,垂足为 G,连结 C′G, 则 C′G⊥AD,故∠C′GH 是二面角 C′—AD—H 的平面角

即∠C′GH=60°,计算得 tanBAD=

2 . 2

例题 2.如图, ?

? l ? ? 为 60°的二面角,

等腰直角三角形 MPN 的直角顶点 P 在 l 上,

M ? ? , N ? ? ,且 MP 与β 所成的角等于 NP 与α 所成
的角. (1)求证:MN 分别与α 、β 所成角相等; (2)求 MN 与β 所成角. 解:(1)证明:作 NA⊥α 于 A,MB⊥β 于 B,连接 AP、 PB、 MD. ∵NA⊥α ,MB⊥β ,∴∠MPB、∠NPA 分别是 MP 与β 所成角及 NP 与α 所成角,∠MNB,∠NMA 分别是 MN 与β , α 所成角, ∴∠MPB=∠NPA. 在 Rt△MPB 与 Rt△NPA 中,PM=PN,∠MPB=∠NPA, ∴△MPB≌△NPA,∴MB=NA. 在 Rt△MNB 与 Rt△NMA 中,MB=NA,MN 是公共边, ∴△MNB≌△NMA,∴∠MNB=∠NMA,即(1)结论成立. (2)解:设∠MNB=θ ,MN= 2 a,则 PB=PN=a,MB=NA= 2 asinθ ,NB= 2 acosθ , ∵MB⊥β ,BD⊥l,∴MD⊥l,∴∠MDB 是二面角α —l—β 的平面角, ∴∠MDB=60°,同理∠NCA=60°, ∴BD=AC= BN、AM,再作 AC⊥l 于 C,BD⊥l 于 D,连接 NC、

3 6 MB 2 MB ? asinθ ,CN=DM= ? 6 asinθ , 3 3 6 sin 60? 3

∵MB⊥β ,MP⊥PN,∴BP⊥PN

∵∠BPN=90°,∠DPB=∠CNP,∴△BPD∽△PNC,∴

PC BD ? PN PB

a 2 ? CN 2 即 ? a

DB BN 2 ? a 2

a2 ? ( ,?

2 6a sin? ) 2 6 sin? 3 ? a 3 ( 2a cos? ) 2 ? a 2

整理得,16sin4θ -16sin2θ +3=0

1 3 3 1 3 解得 sin2θ = 或 ,sinθ = 或 ,当 sinθ = 时, 2 2 2 4 4

2 6 asinθ = 2 a>PN 不合理,舍去. 3 1 ∴sinθ = ,∴MN 与β 所成角为 30°. 2
CN= 例1 如图,在二面角 ? ? l ? ? 中, A, B ? ? , C, D ? l , ABCD 为矩形, P ? ? , PA ? ? , PA ? AD.M , N 依次是 AB,PC 的中点, ①求二面角 ? ? l ? ? 的大小; ②求证: MN ? AB ; ③求异面直线 PA 与 MN 所成角的大小. 解:①连结 PD, ∵PA⊥ ? ,AD⊥CD, ∴PD⊥CD, ∴∠PDA 是二面角 ? —l— ? 的平面角, 又 PA=AD, ∴∠PDA=45o ②取 CD 的中点 Q,连结 NQ,MQ ∵M,N 分别是 AB,PC 的中点,且 PD⊥CD, ∴NQ⊥ CD,MQ⊥CD, ∴CD⊥平面 MNQ, ∴CD⊥MN, 又 AB∥CD,∴MN⊥ AB ③取 AC 中点 O,则 O ? MQ 且 NO∥PA , ∴∠MNO 是直线 PA 与 MN 所成的角, ∵PA⊥ ? ,∴NO⊥ ? . 在直角三角形 MON 中,MO=NO, ∴∠MNO=45o, 即直线 PA 与 MN 所成的角为 45o.

例2 如图,正三棱柱 ABC—A1B1C1 的各棱长都相等,D、 E 分别是 CC1 和 AB1 的中点,点 F 在 BC 上且满 足 BF∶FC=1∶3. ①若 M 为 AB 中点,求证:BB1∥平面 EFM; ②求证:EF⊥BC; ③求二面角 A1-B1D-C1 的大小. 解:① ∵M 为 AB 中点,E 是 AB1 的中点, ∴ME//BB1,又 ME ? 平面 EFM. ∴BB1∥平面 EFM. ② ∵BB1⊥平面 ABC, ME//BB1, ∴ME⊥平面 ABC, ∴ME ? BC, 在 ? ABC 中,BF∶FC=1∶3,M 为 AB 中点, ∴MF ? BC, ∴BC ? 平面 EMF, ∴ EF⊥BC. ③取 B1C1 的中点 N,则 A1N⊥平面 BC1,过 N 作 NG ? B1D,连结 A1G, 由三垂线定理,A1G⊥B1D,则 ? A1GN 是二面角 A1-B1D-C1 的平面角. 在 Rt ? A1GN 中,A1N=

1 3 a, a ,GN= 2 2 5

则 tan A1GN=

A1 N ? 15 GN

因此二面角 A1-B1D-C1 的大小为 arctan 15 .

(2012 汕头二模)如图,在边长为 4 的菱形 ABCD 中, ?BAD ? 60 ,点 E 、 F 分别在边 CD 、 CB 上.点 E 与 点 C 、 D 不重合, EF ? AC , EF AC ? O ,沿 EF 将 ?CEF 翻折到 ?PEF 的位置,使平 面 PEF ? 平 面 ABFED . (1)求 证 : BD ? 平 面 P O A; (2)记 三 棱 锥 P ? A B D 的 体 积 为 V1 ,四 棱 锥 P ? B D E F 的 体 积 为 V2 ,且

V1 4 ? ,求此时线段 PO 的 V2 3

P
D E

长.

【解析】 (1)证明:在菱形 ABCD 中, ∵ BD ? AC ,∴ BD ? AO . ∵ EF ? AC ,∴ PO ? EF , ∵平面 PEF ⊥平面 ABFED , 平面 PEF 平面 ABFED ? EF ,且 PO ? 平面 PEF ,

∴ PO ? 平面 ABFED , ∵ BD ? 平面 ABFED ,∴ PO ? BD . ∵ AO (2)设 AO
PO ? O ,∴ BD ? 平面 POA . BD ? H .

由(1)知, PO ? 平面 ABFED , ∴ PO 为三 棱 锥 P ? A B D 及四棱锥 P? BDEF 的高,

V 4 1 1 ∴ V1 ? S?ABD ? PO , V2 ? S梯形BFED ? PO ,∵ 1 ? , 3 3 V2 3
3 3 1 ∴ S梯形BFED ? S?ABD ? S?CBD ,∴ S?CEF ? S?CBD , 4 4 4
∵ BD ? AC, EF ? AC , ∴ EF / / BD ,∴ ?CEF ∽ ?CBD . ∴(
CO 2 S ?CEF 1 ) ? ? , CH S ?CBD 4

1 1 1 ∴ CO ? CH ? AH ? ? 2 3 ? 3 , 2 2 2
∴ PO ? OC ? 3 . 4. (2012 西城一模)如图,矩形 ABCD 中, AB ? 3 , BC ? 4 . E , F 分别在线段 BC 和 AD 上, EF ∥ AB , 将矩形 ABEF 沿 EF 折起.记折起后的矩形为 MNEF ,且平面 MNEF ? 平面 ECDF . (1)求证: NC ∥平面 MFD ; (2)若 EC ? 3 ,求证: ND ? FC ;

(3)求四面体 NFEC 体积的最大值.
A F D
N

M

A

F E C

D

B

E

C

B

【解析】 (1)证明:∵四边形 MNEF , EFDC 都是矩形, ∴ MN ∥ EF ∥ CD , MN ? EF ? CD . ∴ 四边形 MNCD 是平行四边形, ∴ NC ∥ MD , ∵ NC ? 平面 MFD ,∴ NC ∥平面 MFD . (2)证明:设 ED

FC ? O .

M

∵平面 MNEF ? 平面 ECDF ,且 NE ? EF , ∴ NE ? 平面 ECDF , ∴ FC ? NE . 又 EC ? CD , ∴四边形 ECDF 为正方形, ∴ FC ? ED . ∴ FC ? 平面 NED , ∴ ND ? FC . (3)设 NE ? x ,则 EC ? 4 ? x ,其中 0 ? x ? 4 . 由(1)得 NE ? 平面 FEC , ∴四面体 NFEC 的体积为
B A N F O E C D

1 1 VNFEC ? S?EFC ? NE ? x(4 ? x) . 3 2 1 x ? (4 ? x) 2 ] ? 2. ∴ VNFEC ? [ 2 2
当且仅当 x ? 4 ? x ,即 x ? 2 时,取等号, ∴ x ? 2 时,四面体 NFEC 的体积最大.


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