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第六章 不等式


第一章 集合 一.集合的概念与运算 1.常用数集:自然数集 N;正整数集 N*(或 N+);整数集 Z;有理数集 Q;实数集 R.

? ?A是B的真子集 A是B的子集 ? 2.2.集合间的基本关系: ? ? ? A与B相等 ? A不是B的子集 ?

A(B)

B

A

(1)

A 是 B 的子集:集合 A 中的任意元素,都在集合 B,记为 A?B(或 B?A). (2)A 是 B 的真子集:若 A?B,且 A≠B, ,则说 A 是 B 的真子集. 特殊的集合:空集,规定空集是任意一个集合的子集,是任何非空集合的真子集 若 A 含有 n 个元素, 则 A 的子集有 2n 个, A 的非空子集有 2n-1 个, A 的非空真子集合有 2n -2。 3.集合的运算有三种:交集、并集、补集. (1)并集:A∪B={集合 A 与 B 的所有元素构成,重复的只写一次}. (2)交集:A∩B={集合 A 与 B 的相同元素构成}. (3)补集:?UA={集合 U 中除掉集合 A 中的元素构成}

A

B

A

B

第二章 函数 一.函数的性质: 1.单调性:如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,①若

f(x1)<f(x2),则 f(x)在区间 D 上是增函数;②若 f(x1)>f(x2),则 f(x)在区间 D 上是减函
数.

y y=f(X)
f(x1 )

f(x2)

y
f(x )
1

y=f(X)
f(x )
2

o

x1

x2

x

o

x1

x2

x

增函数 2.奇、偶函数

减函数

(1)如果对 D 内的任意一个 x,f(-x)=-f(x),这个函数叫做奇函数.图象关于原点对称

1

(2)如果对 D 内的任意一个 x,f(-x)=f(x),则这个函数叫做偶函数.图象关于 y 轴对称.

奇函数图象

偶函数图象

3.周期性:于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,都有 f(x+T)=f(x).那么就称函 数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期.如正弦函数. 二.常见函数的图像和性质: 1、特殊幂函数 (1.)一次函数:y=kx+b 解析式 y=kx+b(k>0) y=kx+b(k<0)

图象

单调性 定义域 值域

增函数 R R

减函数 R R

(2.)二次函数: y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 解析式 图象

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)

x

定义域 值域

R

R

ymin ?

4ac ? b 2 4a
直线 x ? ?

ymax ?
b 2a

4ac ? b 2 4a

对称轴

2

顶点

(?
对称轴左边为减,右边为增

b 4ac ? b 2 , ) 2a 4a
对称轴左边为增,右边为减

单调性

(3.)反比例函数: 解析式

y?

k (k ? 0) x k y ? (k ? 0) x k y ? (k ? 0) x

图象

y x

y x

定义域 值域 对称性 单调性

{x|x ? 0}

{x|x ? 0}

{y|y ? 0}
关于原点对称

{y|y ? 0}
(-?,0),(0, +?) 为增

(-?,0),(0, +?) 为减

2.幂函数 (1)幂函数的定义:形如 y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 为常数. (2)幂函数的图象

2.指数函数 n n n n n ?n ( 1 )运算公式① ? ? a? = a. ;②当 n 为奇数时, a = a. 当 n 为偶数时, a = |a| =
? ?a≥0?, ?a ? ?-a ?a<0?. ?

(2) .有理数指数幂
* 0 ①正整数指数幂:an=a· a· ?· na 个 (n∈N ).②零指数幂:a =1(a≠0).

3

1 m n - ③负整数指数幂:a p= p(a≠0,p∈N*).④正分数指数幂:a = am(a>0,m、n∈ N*, a n m 1 1 且 n>1).⑤负分数指数幂:a- = = (a>0,m、n∈N*,且 n>1). n m n a am n ⑥0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. (3)有理数指数幂的性质 ①aras=ar s(a>0,r、s∈Q).②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q).


③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). (3)指数函数 y ? a 的图象与性质
x

y=ax

a>1

0<a<1

图象

定义域 值域

R (0,+∞) 过定点(0,1)

性质

底数、真数同范围对数值为正,底数、真 数异范围对数值为负 增函数 减函数

3.对数函数 y ? logb a 的图像与性质 (1)对数的性质 ①ax=N?x=logaN(a>0,a≠1). ;②loga1=0(a>0,a≠1); ③logaa=1(a>0,a≠1);④alogaN=N(a>0,a≠1);⑤logaam=m(a>0,a≠1). (2)对数的运算性质 如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 M ①loga(M· N)=logaM+logaN;②loga =logaM-logaN;③logaMn=nlogaM(n∈R). N (3)将以 10 为底的对数叫常用对数,记为 lg N,次 e=2.718 28?为底的对数叫自然对数,记 作 ln N. (4)对数函数 y ? logb a 的图像与性质

4

y ? logb a
图象
y
x?1

a>1
y ? loga x

0<a<1
y
x?1

y ? loga x

O

(1, 0)

1

(1,0)

0

x

O

1 0

x

性质

定义域:(0,+∞) 值域:R 过点(1,0),即 x=1 时,y=0

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)
在(0,+∞)上是增函数 三.函数图像变换: 1、平移变换

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)
在(0,+∞)上是减函数

①水平平移: y=f(x± a)(a>0)的图象, 可由 y=f(x)的图象向左(+)或向右(-)平移 a 个单位而 得到. ②竖直平移: y=f(x)± b(b>0)的图象, 可由 y=f(x)的图象向上(+)或向下(-)平移 b 个单位而 得到. 2.伸缩变换 ①y=af(x)(a>0)的图象,可将 y=f(x)图象上每点的纵坐标伸(a>1 时)缩(a<1 时)到原来的 a 倍. ②y=f(ax)(a>0)的图象, 可将 y=f(x)的图象上每点的横坐标伸(a<1 时)缩(a>1 时)到原来的 1 . a

第三章 三角函数 一-任意角三角函数: 1.α 是一个任意角,角 α 的终边上任意一点 P(x,y),它与原点的距离为 r(r>0),那么角 α y 的正弦 sin α= = r

y x ?y
2 2

x 余弦:cos α= = r

x x2 ? y 2

y ,正切:tan α= x

2.同角三角函数的基本关系

5

sin α (1)平方关系:sin2α+cos2α=1;(2)商数关系: =tan α. cos α 3.象限角符号:三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦. 1 1 4.弧长公式:l=|α|r,扇形面积公式:S 扇形= lr= |α|r2. 2 2 5.特殊角的三角函数值: 二-三角公式 1.诱导公式:与 ? 有关的函数名不变,符合看象限,与 2.诱导公式的运用:(sin θ± cos θ)2=1± 2sin θcos θ; 三角形中的诱导公式: :sin(A+B)==sin C,cos(A+B)=-cos C, A B? C C ?π C? ? A B? ?π C? sin? ? 2 + 2 ?=sin?2- 2 ?=cos 2 ,cos? 2 + 2 ?=cos?2- 2 ?=sin 2 . 3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1) cos(α-β)=cos_αcos_β+sin_αsin_β;(2) cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β; (3) sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β;(4) sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β; tan α+tan β tan α-tan β (5) tan(α+β)= ;(6) tan(α-β)= . 1-tan αtan β 1+tan αtan β 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1) sin 2α=2sinαcosα;(2) cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; 2tan α (3) tan 2α= . 1-tan2α 3.有关公式的逆用、变形等 1+cos 2α 1-cos 2α (1)cos2α= ,sin2α= ; 2 2 (2)1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2, π? sin α±cos α= 2sin? ?α±4?.

? 有关的函数名要变,符号看象限; 2

? 4.函 f(x)=acos ? x bsin

? x (a,b,? 为常数),可以化为 f(x)= a 2 ? b2 sin (? x ? ? ) )

或 f(x)= a 2 ? b2 cos(? x ? ? ) ),如:

sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ); sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? ); 4 3
3 sin x ? cos x ? 2sin( x ? ); 6

?

?

?

f(x)= a 2 ? b2 sin (? x ? ? ) 的最大值为 a 2 ? b2 ,最小值为 - a 2 ? b2 ,周期为

2? ?

6

三.三角函数的图象与性质 1.三角函数的图象和性质 y=sin x 定义域 R y=cos x R y=tan x π {x|x≠kπ+ ,k∈Z} 2

图象

值域

[-1,1] π 对称轴:x=kπ+ (k∈Z) 2

[-1,1] 对称轴:x=kπ(k∈ Z) 对称中心:

R 无对称轴

对称性 对称中心:(kπ,0)(k∈Z) 周期 2π π π? 单调增区间? ?2kπ-2 ,2kπ+ 2? 单调性 π 2kπ+ , (k∈Z);单调减区间? 2 ? 3π 2kπ+ 2 ? ?(k∈Z) 奇偶性 奇

?kπ+π,0?(k∈Z) 2 ? ?
2π 单调增区间[2kπ- π, 2kπ](k∈Z) 单调 减区间[2kπ,2kπ+ π](k∈Z); 偶

kπ ? 对称中心:? ? 2 ,0?(k∈Z) π

π π? 单调增区间? ?kπ-2 ,kπ+ 2? (k∈Z)



2.正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 (1)用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点 如下表所示 x 0-φ ω 0 0 π -φ 2 ω π 2 A π-φ ω π 0 3π -φ 2 ω 3π 2 -A 2π-φ ω 2π 0

ωx+φ y=Asin(ωx+φ)

(2)函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤
1 横坐标缩短到原来的 倍

??? ?? y ? sin(x ? ? ) ????????? 法一: y ? sin x ????
A倍 y ? sin(?x ? ? ) ?纵坐标伸长为原来的 ???????? ?? y ? A sin(?x ? ? )

图象左移?

7

? ??? y ? sin(?x) ????? ?? 法二: y ? sin x ?????????
1 横坐标缩短到原来的 倍 图象左移

A倍 y ? sin(?x ? ? ) ?纵坐标伸长为原来的 ???????? ?? y ? A sin(?x ? ? )

重点:把 f ( x) ? Asin(? x+?1 ) 平移得到 g ( x) ? Asin(? x+?2 ) ,要平移 ? = 当 ? ? 0 向左平移,当 ? ? 0 向左平移;函数名是 cos 时也一样的道理; 若平移前后的函数名不同,则用下列公式先把名变相同:

?2 -?1 个单位, ?

y ? Asin(? x+? )=Acos(? x+? ? ) ; y ? Acos(? x+? )=Asin(? x+? ? ) 2 2
(3)应用

?

?

①y=Asin(ωx+φ)要为偶函数,则 φ=

(k∈Z),φ=kπ 为奇函数。y=Acos(ωx+φ)要

为奇函数,则

φ=



φ=kπ(k∈Z)是偶函数.

② 对于 y=Asin(ωx+φ)与 y=Acos(ωx+φ)的函数周期为

2? ; 最大值为 |A| , 最小值为- |A| ; ?

两相邻对称轴或相邻高点与低点之间是 1/2 个周期;函数在对称轴处取得最值,对称中心处 的函数值是 0. 四.正弦定理和余弦定理 a b c 1.正弦定理: = = =2R,其中 R 是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变 sin A sin B sin C 形为: (1)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (2)a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C;sin A= 决不同的三角形问题. 如: a ? b ? sin A ? sin B; ab ? c ? sin Asin B ? sin C sin C ? sin C
2 2

a b c ,sin B= ,sin C= 等形式,以解 2R 2R 2R

2.余弦定理:a2=b2+c2-2bccos_A,b2=a2+c2-2accos_B,c2=a2+b2-2abcos_C.余 b2+c2-a2 a2+c2-b2 a2+b2-c2 弦定理可以变形为:cos A= ,cos B= ,cos C= . 2bc 2ac 2ab 1 1 1 3.S△ABC= absin C= bcsin A= acsin B,具体要选择哪个公式由已知的角确定. 2 2 2 4.解三角形的方法: 若已知条件为两角一边或若已知条件为两边和一对角:用正弦定理; 若已知条件为两边和夹角或已知三边:用余弦定理.
8

具体步骤你会吗? 5.两条规律: (1)在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较 大, 即在△ABC 中, A>B?a>b?sin A>sin B.注意用正弦定理解出的三角形要满足此条件; (2)在解三角形问题时,若已知条件中边角都有,那么要根据所求,用正弦定理或余弦定 理统一画出边和角.

第四章 平面向量 一.平面向量的概念:既有大小又有方向的量叫向量 1.相等向量: a ? b ? 坐标分别相等; 2.相反向量: a ? -b ? 坐标分别相反; 3.平行向量(共线向量) : a // b ?

x1 y1 ? x2 y2

4.垂直向量: a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ? a ? b ? 0 ? 两向量夹角等于 90 → → 5.向量的夹角: (1)定义:已知两个非零向量 a 和 b(如图),作OA=a,OB=b,则∠AOB= θ(0°≤θ≤180°)叫做向量 a 与 b 的夹角,当 θ=0° 时,a 与 b 同向;当 θ=180° 时,a 与 b 反向;如果 a 与 b 的夹角是 90° ,我们说 a 与 b 垂直,记作 a⊥b.

x1x2+y1y2 a· b (2)夹角公式:cos θ= = 2 2 2 (θ 为 a 与 b 的夹角). |a||b| x1+y1 x2 2+y2 (3)应用:在 ?ABC 中, AB 与 AC 的夹角为 A , BA 与 C A 的夹角为 A ;

BA与AC 的夹角为 ? -A , AB与CA 的夹角为 ? -A .
6.向量的模长: (1)表示 a 的有向线段的长度,叫 a 的模,记为:| a |.
2 (2)模长公式: | a | = x2 1+y1= a ? a

(3)应用: | a ? b |? | a | ? | b | ?2a ? b ? | a | ? | b | ?2|a||b |cos ?
2 2 2 2

二.平面向量的运算: 1.数乘向量: (1)定义:实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫向量的数乘,记作 λa,它的长度 与方向规定如下:

9

①|λa|=|λ||a|; ②当 λ>0 时,λa 与 a 的方向相同;当 λ<0 时,λa 与 a 的方向相反;当 λ=0 时,λa=0. (2)计算公式:若 a ? ( x, y), 则 ? a ? (? x, ? y) ;|λa|=|λ||a| 2.平面向量的数量积: (1)定义:已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹角为 θ,则数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积),记作 a·b,即 a·b=|a||b|cos θ,规定零向量与任一向量的数量积为 0,即 0·a=0. 3.向量的和差: (1)定义: 向量运 算 定 义 法则(或几何意义) 坐标运算

加法

求两个向量 和的运算

三角形法则

若 a=(x1,y1),b=(x2,y2) 则: a+b=(x1+x2,y1+y2)

平行四边形法则

求 a 与 b 的相反向 减法 量-b 的和的运 算叫做 a 与 b 的差 三角形法则 (2)性质: AB+BC= AC;AB ? AC=CB

若 a=(x1,y1),b=(x2,y2) 则: a-b=(x1-x2,y1-y2)

(2)计算公式:a· b=|a||b|cos θ= x1 x2 ? y1 y2 (其中:a=(x1,y1),b=(x2,y2))

第五章数列 1. 等差数列的定义与性质
10

定义: an?1 ? an ? d ( d 为常数) , an ? a1 ? ? n ?1? d 等差中项: x,A,y 成等差数列 ? 2 A ? x ? y 前 n 项和 Sn ?

? a1 ? an ? n ? na
2

1

?

n ? n ? 1? d 2

(1)若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq; (2)数列 ?a2n?1 ?, ?a2n ?, ?a2n?1 ?仍为等差数列, Sn,S2n ? Sn,S3n ? S2n…… 仍为等差 数列,公差为 n d ; (3)若三个成等差数列,可设为 a ? d,a,a ? d (4)若 an,bn 是等差数列,且前 n 项和分别为 Sn,Tn ,则
2

am S2 m?1 ? bm T2 m?1

(5) ?an ? 为等差数列 ? Sn ? an2 ? bn ( a, b 为常数,是关于 n 的常数项为 0 的二 次函数)

Sn 的最值可求二次函数 Sn ? an2 ? bn 的最值;或者求出 ?an ? 中的正、负分界项,
即:当 a1 ? 0,d ? 0 ,解不等式组 ?

?an ? 0 可得 Sn 达到最大值时的 n 值. ?an ?1 ? 0

当 a1 ? 0,d ? 0 ,由 ?

?an ? 0 可得 Sn 达到最小值时的 n 值. ?an ?1 ? 0
, 有

(6)项数为偶数 2 n 的等差数列 ?an ?

S 2n ? n(a1 ? a2n ) ? n(a2 ? a2n?1 ) ? ? ? n(an ? an?1 )(an , an?1为中间两项 )

S偶 ? S 奇 ? nd ,

S奇 S偶

?

an . a n ?1
, 有

(7)项数为奇数 2n ? 1 的等差数列 ?an ?

S 2n?1 ? (2n ? 1)an (an为中间项) ,

S 奇 ? S 偶 ? an ,
2. 等比数列的定义与性质

S奇 S偶

?

n . n ?1

11

定义:

an ?1 , an ? ? q ( q 为常数, q ? 0 ) a q1 an

n ?1

.

等比中项: x、G、y 成等比数列 ? G 2 ? xy ,或 G ? ? xy

.

?na1 (q ? 1) ? 前 n 项和: S n ? ? a1 ?1 ? q n ? (要注意! ) (q ? 1) ? ? 1? q
(1)若 m ? n ? p ? q ,则 am · an ? a p · aq (2) Sn,S2n ? Sn,S3n ? S2n…… 仍为等比数列,公比为 q .
n

注意:由 Sn 求 an 时应注意什么?

n ? 1 时, a1 ? S1 ;

n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1

.

3.求数列通项公式的常用方法 (1)求差(商)法 如:数列 ?an ? , 解 n ? 1 时,

1 1 1 a1 ? 2 a2 ? …… ? n an ? 2n ? 5 ,求 an 2 2 2
① ②

1 a1 ? 2 ? 1 ? 5 ,∴ a1 ? 14 2 1 1 1 n ? 2 时, a1 ? 2 a2 ? …… ? n ?1 an ?1 ? 2n ? 1 ? 5 2 2 2

①—②得:

?14 (n ? 1) 1 a ? 2 ,∴ an ? 2n?1 ,∴ an ? ? n?1 n n 2 ?2 (n ? 2)
5 an ?1,a1 ? 4 ,求 an 3

[练习]数列 ?an ? 满足 S n ? S n ?1 ?

注意到 an?1 ? Sn?1 ? Sn ,代入得

Sn ?1 ? 4 又 S1 ? 4 ,∴ ?Sn ? 是等比数列, Sn ? 4n Sn ;

n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? …… ? 3 · 4n?1
(2)叠乘法 如:数列 ?an ? 中, a1 ? 3,n ?1 ?

a an

n ,求 an n ?1

12



3 a a 1 a2 a3 1 2 n ?1 ,∴ n ? 又 a1 ? 3 ,∴ an ? · …… n ? · …… n. a1 n a1 a2 an?1 2 3 n

(3)等差型递推公式 由 an ? an?1 ? f (n),a1 ? a0 ,求 an ,用迭加法

? a3 ? a2 ? f (3) ? ? n ? 2 时, ? 两边相加得 an ? a1 ? f (2) ? f (3) ? ……? f (n) …… …… ? an ? an ?1 ? f (n) ? ?
∴ an ? a0 ? f (2) ? f (3) ? ……? f (n) [练习]数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,an ? 3n?1 ? an?1 ? n ? 2? ,求 an (4)等比型递推公式

a2 ? a1 ? f (2)



an ?

1 n ? 3 ? 1? 2 )

an ? can?1 ? d ( c、 d 为常数, c ? 0,c ? 1,d ? 0 )
可转化为等比数列,设 an ? x ? c ? an?1 ? x ? ? an ? can?1 ? ? c ?1? x 令 (c ? 1) x ? d ,∴ x ?

d d d ? ? ,c 为公比的等比数列 ,∴ ?an ? ? 是首项为 a1 ? c ?1 c ?1 c ? 1? ?

∴ an ?

d d ? n ?1 d ? n ?1 d ? ? ? ? a1 ? · c ,∴ an ? ? a1 ? ? ?c ? c ?1 ? c ?1 ? c ?1 ? c ?1 ?

(5)倒数法

,an ?1 ? 如: a1 ? 1

2an ,求 an an ? 2

由已知得:

a ?2 1 1 1 1 1 1 ? n ? ? ,∴ ? ? an?1 2an 2 an an?1 an 2

∴?

?1? 1 1 1 1 1 · ? ? n ? 1? , ? 为等差数列, ? 1 ,公差为 ,∴ ? 1 ? ? n ? 1? 2 a1 an 2 2 ? an ?
2 n ?1

∴ an ?

a ? (附:公式法、利用 n

?

S1 ( n? 1)

Sn ? Sn?1 ( n ? 2 ) 、 累 加 法 、 累 乘 法 . 构 造 等 差 或 等 比

13

an?1 ? pan ? q 或 an?1 ? pan ? f (n) 、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、
换元法) 4. 求数列前 n 项和的常用方法 (1) 裂项法 把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项. 如: ?an ? 是公差为 d 的等差数列,求

?a a
k ?1 k

n

1
k ?1

解:由

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? d ? 0? ak· ak ?1 ak ? ak ? d ? d ? ak ak ?1 ?



?a a
k ?1 k

n

1
k ?1

n ?1 1? 1 1 ? 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? …… ? ? ? ?? ak ?1 ? d ?? a1 a2 ? ? a2 a3 ? k ?1 d ? ak ? an an ?1 ? ?

?

1? 1 1 ? ? ? ? d ? a1 an?1 ?

[练习]求和: 1 ?

1 1 1 ? ? …… ? 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? …… ? n 1 an ? …… ? ……,Sn ? 2 ? n ?1

(2)错位相减法 若 ?an ? 为等差数列, ?bn ? 为等比数列,求数列 ?anbn ? (差比数列)前 n 项和,可由

Sn ? qSn ,求 Sn ,其中 q 为 ?bn ? 的公比.
如: Sn ? 1 ? 2x ? 3x2 ? 4x3 ? ……? nxn?1 ① ②

x · Sn ? x ? 2x2 ? 3x3 ? 4x4 ? ……? ? n ?1? xn?1 ? nxn
①—② ?1 ? x ? Sn ? 1 ? x ? x ? ……? x
2 n?1

? nxn
n ? n ? 1? 2

x ? 1 时, S n ?

?1 ? x ? ? nx
n

n

?1 ? x ?

2

1? x

, x ? 1 时, Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? …… ? n ?

(3)倒序相加法 把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加.

Sn ? a1 ? a2 ? …… ? an ?1 ? an ? ? 相加 2Sn ? ? a1 ? an ? ? ? a2 ? an?1 ? ? …? ? a1 ? an ?… Sn ? an ? an ?1 ? …… ? a2 ? a1 ?
14

[练习]已知 f ( x) ?

x2 ,则 1 ? x2

?1? f (1) ? f (2) ? f ? ? ? f (3) ? ?2?

?1? f ? ? ? f (4) ? ? 3?
2

?1? f ? ?? ?4?

?1? ? ? 2 2 x ?1? ? x ? ? x ? 1 ?1 由 f ( x) ? f ? ? ? ? 2 2 2 2 ? x ? 1? x ? 1 ? 1? x 1? x 1? ? ? ? x?
∴原式 ? f (1) ? ? f (2) ? f ? ?? ? ? f (3) ? f ? ?? ? ? f (4) ? f ? ?? ?

? ?

? 1 ?? ? ? 2 ?? ?

? 1 ?? ? ? 3 ?? ?

? 1 ?? ? 4 ??

1 1 ?1?1?1 ? 3 2 2

第六章 不等式 一.基本不等式: 1.公式: ab≤ a+b a?b 2 ? a ? b ? 2 ab ? ab ? ( ) ,即:积为常数,和取得最小值;和 2 2

为常数,积取得最大值。满足条件:一正二定三相等. 2.一个技巧:做比较大小的题用特殊值法. 二.一元二次不等式 1.一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零, 左边化为二次项系数大于零的不等式 ax2+bx+c>0(a>0)或 ax2 +bx+c<0(a>0). (2)求出相应的一元二次方程的根. (3)利用二次函数的图象与 x 轴的交点确定一元二次不等式的解集. 2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 如下表: 判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 Δ>0 Δ=0 Δ<0

15

一元二次方程 ax +bx+c=0 (a>0)的根
2

有两相异实根 x1, x2(x1<x2)

有两相等实根 b x1=x2=- 2a

没有实 数根

ax2+bx+c>0 (a>0)的解集

{x|x>x2 或 x<x1}

b? ? ?x|x≠- ? 2a? ?

R

ax2+bx+c<0 (a>0)的解集

{x|x1<x<x2}

?

?

三.二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 1. 一元二次不等式表示的平面区域 一条直线 l :Ax+By+C=0 把平面直角坐标系分成三部分:直线 l 上的点(x,y)满足足 ax+

C ? 0 ,那么另一侧的点(x,y)使 by+c=0 ,若直线 l 一侧的点 (x,y)使 Ax ?By ?
+by+c<0.,异侧 异号。取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域” 注意:对应不等号画实线或虚线。 2.求线性目标函数(即截距型)最值的技巧:

同侧 ax

解方程: 有已知不等式组得到对应的方程, 两两联立解方程组, 把方程组的解带人目标函数, 比较大小得最值。 四.绝对值不等式 1.绝对值不等式的解法 (1)公式法:只有一个绝对值 |f(x)|>a(a>0)?f(x)>a 或 f(x)<-a;|f(x)|<a(a>0)?-a<f(x)<a. (2)分段讨论法:含有多个绝对值。是通法.。解的过程中先交集后并集. (3)几何意义法:形如|x-a|+|x-b|≤c,|x-a|+|x-b|≥c 的不等式 ①步骤: 第一步:求 | a ? b | ;第二步:判断写解集. 若 | a ? b | > c,则|x-a|+|x-b|≤c 的解集为:空集,|x-a|+|x-b|≥c 解集为:R; 若 | a ? b | ? c,则|x-a|+|x-b|≤c(其中 a>b)的解集为: {x| |x-a|+|x-b|≥c 的解集为: {x|x ?

a ?|a ? b| b+|a ? b| ?x? } 2 2

a ? | a ? b| b+|a ? b| ,或x ? } 2 2
16

(5)平方法:|f(x)| |f(x)>|g(x)| ? (f(x))2 ? (g (x))2 ;|f(x)<|g(x)|? (f(x ))2 ? ( g (x))2 2. 几个结论 (1) 若 f(x)=|x-a|+|x-b|, 则函数的最小值为|a ? b | , 函数没有最大值, 函数图象为 “倒 梯形” ; (2) 若 f(x)=|x-a|-|x-b|,则函数的最大值为|a ? b | ,函数的最小值为-|a ? b | , 函数图象为“Z”形; (3)若 f(x)=|x-a|,则函数图象为“V”形.

第七章 解析几何 一.直线方程 1. 直线的倾斜角与斜率: 直线的倾斜角 ? 范围是[0,π ],直线的斜率: k ? tan? , 2. 直线方程的几种形式: 点斜式: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ; 斜截式: y ? kx ? b ;两点式: 截距式:

k?

y 2 ? y1 , x2 ? x1

k ??

A B

y ? y1 x ? x1 ; ? y 2 ? y1 x2 ? x1

x y ? ? 1 (求截距的方法:令 x=0 或 y=0);一般式: Ax ? By ? C ? 0 a b 特别地:直线垂直于 x 轴 ? x ? a ? ? =90 ? 斜率k不存在 ;
直线垂直于 y 轴 ? y ? b ? ? =0 ? 斜率k=0 求直线方程的方法:待定系数法. 3.两条直线的位置关系 (1)平行: 若斜率存在:l1:y=k1x+b1;l2:y=k2x+b2 有 l1∥l2 ? k1=k2 且 b1≠b2; 若 l1: A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ;l A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 2:有 l1∥l2 ? A1 ? B1 ? C1 ; A2 B2 C2 与直线 Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行直线方程设:为 Ax+By+m=0; (2)垂直:若斜率存在:l1:y=k1x+b1;l2:y=k2x+b2 有 l1⊥l2 ? k1·k2=-1 特别的直线 x ? a与y ? b 垂直. 与直线 Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直直线方程的设法:设为 Bx-Ay+n=0.

17

? ?A1x+B1y+C1=0, (3)相交:解方程组? 方程组的解为交点坐标. ?A2x+B2y+C2=0 ?

4.几个公式 (1)线段的中点坐标公式 若点 P1 、 P2 的坐标分别为 (x1 , y1) 、 (x2 , y2) ,线段 P1P2 的中点 M 的坐标为 (x , y) ,则 x , ?x=x + 2 ? y +y ?y= 2 ,
1 2 1 2

(2)平面上的两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式|P1P2|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2. 特别地,原点 O(0,0)与任一点 P(x,y)的距离|OP|= x2+y2. |Ax0+By0+C| (3)点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d= . A2+B2 (4)两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 间的距离为 d= 二.圆 1.圆的定义及方程 (1)圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.定点解是圆心,定长就是 半径 (2)圆的标准方程 (1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)表示圆心为(a,b),半径为 r 的圆的标准方程. (2)特别地,以原点为圆心,半径为 r(r>0)的圆的标准方程为 x2+y2=r2. (3)圆的一般方程 D?2 ? E?2 D +E -4F 方程 x +y +Dx+Ey+F=0 可变形为? .故有: ?x+ 2 ? +?y+ 2 ? = 4
2 2 2 2

|C1-C2|

. A2+B2

D E D2+E2-4F - ,- ?为圆心,以 (1)当 D2+E2-4F>0 时,方程表示以? 为半径的圆; 2? ? 2 2 确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为: (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于 a,b,r 或 D、E、F 的方程组; (3)解出 a、b、r 或 D、E、F 代入标准方程或一般方程. 2.点 P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系 (1)若(x0-a)2+(y0-b)2>r2,则点 P 在圆外; (2)若(x0-a)2+(y0-b)2=r2,则点 P 在圆上;

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(3)若(x0-a)2+(y0-b)2<r2,则点 P 在圆内. 3.直线与圆的位置关系:位置关系有三种:相离、相切、相交 (1)几何法:利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系:d<r?相交,d=r?相切, d>r?相离. (2)直线与圆相关的最值问题:最大值为圆心到直线的距离加圆半径,最大值为圆心到直 线的距离减圆半径.

第八章 立体几何 一.空间几何体及三视图 1. 两个概念 (1)正棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.反 之,正棱柱的底面是正多边形,侧棱垂直于底面,侧面是矩形. (2)正棱锥:底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱 锥.特别地,各棱均相等的正三棱锥叫正四面体.反过来,正棱锥的底面是正多边形,且顶 点在底面的射影是底面正多边形的中心 (3) 三视图的长度特征:“长对正,宽相等,高平齐”,即正视图和侧视图一样高,正视图和 俯视图一样长,侧视图和俯视图一样宽.若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分 界线,在三视图中,要注意能看到的轮廓线或边界画出实线、看不见的画出虚线或不画. 2. 柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式 圆柱侧面积= 2?rl ,表面积= 2?rl ? 2?r 圆椎侧面积= ?rl ,表面积= ?rl ? ?r
2 2

1 V柱体 ? Sh ( S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高). 3 1 V锥体 ? Sh ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高). 3 4 3 2 球的半径是 R ,则其体积 V ? ? R ,其表面积 S ? 4? R 3 1 V台体 ? ( S上 ? S下 ? S上 S下 )h 3
二.位置关系: 1. 空间两条直线的位置关系:位置关系:平行、相交、异面 2. 直线与平面:位置关系:在面内、相交、平行
19

3. 平面与平面:位置关系:平行 ,相交 三.两个角一个距离 1. 异面直线所成的角:设 a,b 是两条异面直线,经过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥ π? b,把 a′与 b′所成的锐角或直角叫做异面直线 a,b 所成的角(或夹角).范围:? ?0,2?.求 此角的方法:构造三角形,从而解三角形. 2. 斜线和平面所成的角:斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫斜线和平面所成的角.求 此角的方法:构造直角三角形,解三角形 3.点到平面的距离:构造三棱锥,用等积法. 四.两类证明 1.证明直线与直线平行的方法 (1)三角形中位线 (2)平行四边形(一组对边平行且相等) 2. 证明直线与平面平行的方法 (1)直线与平面平行的判定定理(证平面外一条直线与平面内的一条直线平行) (2)先证面面平行 3. 证明平面与平面平行的方法 平面与平面平行的判定定理(一个平面内的两条相交 直线分别与另一平面平行) .... 4. 证明直线与直线垂直的方法 (1)两直线不相交:转化为证明直线与平面垂直 (2)两直线相交:构造三角形,用勾股定理证明此三角形是直角三角形. 5. 证明直线与平面垂直的方法 (1)直线与平面垂直的判定定理(直线与平面内两条相交 直线垂直) .... (2)平面与平面垂直的性质定理(两个平面垂直,一个平面内垂直交线的直线垂直另 一个平面) 6. 证明平面与平面垂直的方法 平面与平面垂直的判定定理(一个平面内有一条直线与另一个平面垂直)

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