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多元函数最值问题的处理策略


中学数学杂志 2 0 1 4年第 3 期  霓   6 璐  6   冤  9   多元 函数 最 值 问题 的处 理 策 略  江苏省常州奔牛高级 中学   最值 问题是高 中数学 的重 点 内容 , 也 是高考 考查  的重 点 内容. 近 年来 江苏 高考 试题 中多 次 出现 多元 函  2 1 3 1 3 1   狄闻于  数最 值问题 , 这些问题字母 多 、 式子繁 、 难度大 、 综 合性  强, 很 多学生感 到无从 下手. 其实 只要把握 整体思维 思  想, 利用 消元 降次 , 数形 结合 等解题 方法 , 许 多问题 往  往 迎 刃 而解 .   — + 2   —   ~ 眦  志   ≤  —   ( 当且仅 当 :   时取等号) , 所 以  一2   +二 1   多元 函数 的定义及有关概 念  。 ≥ 定义 1   平 面点集 : 建立 了坐标 系 的平面称 为 坐  标面. 二元有序实数 组 (  , Y )的全 体 , 即R  =R   X   R=   掣 所 以  : 掣 .   策略 2   确定主元 , 构造函数  { (  , y )  , f Y∈R} —— 坐标面. 坐标平面上具有性质P   的 点 的 集 合 称 为 平 面 点 集,   记 作 E =   侈 0   2 记F (   ,   ) = (   — y )   + ( ÷+  )   ( ) , ≠ 0 ) ,   则V ( x , Y )的最小值为 作 常量 :   知F (   =   +(   一 y ) x+ y 2 +   是关 于 的  Y .  — — { (   , Y )l (   , Y ) 具有性质 P } .   定义2   设 D是 x O y 平面上 的点集 , 若变量 z与 D   分析  首先可 以把 V ( x , y )中的 看成变量 , Y 看  中的变量 , Y 之 间有一个依赖关 系 , 使得在 D内每取一  个点 P(  , Y ) 时按照这个关 系有 唯一确定 的  值 与之  对应 , 则称 z是 , Y的二元 函数 , 记为 z =   , , , ) , 称 ,   Y为 自变量 , 称 Z为应变 量 , 点集 D称为该 函数 的定义  二 次 函 数 , 最 / J 、 / 1  ̄f (   点评  量逐步处理.   +   + 詈 ≥ 2   域, 数集 {  l   z = , (  , Y ) ,   , Y∈D} 称为该函数的值域.   定义 3   类似 的, 可定义“ n 维空间” , “ / / , 元函数” ,   √  ?  + 詈 = 了 1 8 . ( 当 且 仅 当 y   = 9 时 取 等 号 )   如果一 个表 达式 中有多 个变 量无 法 消  二元 及二元 以上的 函数统称为多元 函数.   2   多元函数求解 策略  元时 , 可 以将其 中一个变量看成 主元 , 其余变量看成 常  策略 3   数形结合 , 理解代数式 的几何意义  上述例 2 : 从形式 上讲 F( x , y )的几 何意义表 示两  点 (  ,   )和 (  , 一   )之间距离的平方.   策略 1   通过 “ 整体换元 ” 将 二元函数 转化为一元  函数  例1   若不等式  +2 √  y≤ Ⅱ (  +Y ) , 对任 意的  实数  > 0 , Y > 0恒 成 立 ,

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