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广东省中山市2012届高三上学期期末试题数学文


祝你成功!~

中山市高三级 2011—2012 学年度第一学期期末统一考试

数学试卷(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1、答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在 答题卡上。 2、每小题选出答案后,用铅笔把答题

卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题上。 3、不可以使用计算器。 4、考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交。

第Ⅰ卷(选择题共 50 分)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.复数 z =

i 在复平面内对应的点位于 1? i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

2.设 m,n 是两条不同直线, α , β 是两个不同的平面,给出下列四个命题 ①若 m ? α , n // α , 则m // n ③若 α ∩ β = n, m / / n, 则m / /α , 且m / / β 其中正确的命题是 A.① B.② 3.已知 sin θ = ? A. ② m ⊥ α,n ⊥

β , m ⊥ n, 则α ⊥ β β , 则α // β

④若 m ⊥ α , m ⊥

C.③④

D.②④

3 2

3 3π sin 2θ 的值等于 , 且 θ ∈ (π , ), 则 5 2 cos 2 θ 3 3 3 B. C.— D.— 4 2 4

* 4 . 设 等 比 数 列 {an }的前n项和为Sn ,已知a1 = 2011, 且an + 2an +1 + an + 2 = 0 ( n ∈ N ) , 则 S 2012 =

B.2012 C.1 D.0 ?2 x ? y ≤ 0 ? 5.已知变量 x, y满足 ? x ? 2 y + 3 ≥ 0 , 则 z = 2 x + y 的最大值为 ?x ≥ 0 ? A.0 B.

A.2011

3 2

C.4

D.5

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6.设 x, y ∈ R ,那么“ x < y < 0 ”是“ A.必要不充分条件 C.充要条件
A.0 B .3 C .6 D.12

x > 1 ”的 y

B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

7.如程序框图:若输入 m = 72 , n = 30 ,则输出 n = 开始

输入 m,n

n= r

求 m除以n的余数 r
m=n
r=0?



是 输出 n (第 10 题) 结束
8.已知函数 f ( x) = lg x .若 0 < a < b ,且 f (a ) = f (b) ,则 a + b 的取值范围是 A. ( 2, +∞ ) 9.定义运算 B. ( 4, +∞ ) C. [ 2, +∞ ) D.R

(第 7 题)

a c

b d

= ad ? bc , 函 数 f ( x) =

x ?1 ?x

2 x+3

图 像 的 顶 点 是 ( m, n ) , 且

k、m、n、r 成等差数列,则 k + r =
A.0 B.-14 C.-9 D.-3 10.如图,将 45° 的直角三角板 ADC 和 30° 的直角三角板 ABC 拼在一起组成平面四边形 ABCD,其中 45° 的直角三角板的斜边 AC 与 30° 的直角三角板的 30° 所对的直角边

重合,若 DB = xDA + yDC ,则 x,y 分别等于
A. 3 , 1 B. 3 ,

uuu r

uuu r

uuu r

3 +1

C. 2 ,

3

D. 3 + 1 ,

3

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第Ⅱ卷(非选择题共 100 分)
二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 11.命题“ ?x ∈ R , cos x ≤ 1 ”的否定是 12.某校共有学生 2000 名,各年级男、女 学生人数如右表所示,已知在全校学生中 随机抽取 1 名,抽到高二级女生的概率是 0.19,现用分层抽样的方法(按年级分层) 女生 男生 . 高一级 375 385 高二级 x 360 . 高三级 y z

在全校学生中抽取 100 人,则应在高三级中抽取的学生人数为

13 . 已 知 关 于 x 的 不 等 式 ( ax ? 1)( x + 1) < 0 的 解 集 是 (?∞, ?1) U ( ?

a=

1 , +∞) . 则 2

.

14. 已知函数 f ( x) = 2 x 的图象与函数 g(x)的图象关于直线 y = x 对称, h( x) = g (1 ? x ) 令 则关于函数 h(x)有下列命题: ① h( x ) 为图象关于 y 轴对称; ③ h( x ) 的最小值为 0; 其中正确命题的序号为 ② h( x ) 是奇函数; ④ h( x ) 在(0,1)上为减函数.
高考资源网

(注:将所有正确命题的序号都填上). ..

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 所对的边,满足 a + c = b + ac.
2 2 2

(1)求角 B 的大小; (2)若 x ∈ [0, π ) ,求函数 f ( x ) = sin( x ? B ) + sin x 的值域。

16. (本小题满分 12 分) 我市某大学组建了 A、B、C、D 四个不同的社团组织,为培养学生的兴趣爱好,要 求每个学生必须参加且只能参加一个社团,假定某寝室的甲、乙、丙三名学生对这四个社 团的选择是等可能的。 (1)求甲、乙两人都参加 C 社团的概率; (2)求甲、乙、丙三名学生中至少有两人参加同一社团的概率。

祝你成功!~

17. (本题满分 14 分) 在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,

D1
E

C1 B1

A1
E 是线段 A1C1 的中点,底面 ABCD 的中心是 F.
(1) 求证: CE ⊥ BD ; (2) 求证: CE ∥平面 A1 BD ; (3) 求三棱锥 D ? A1 BC 的体积。 18. (本小题满分 14 分) 已知数列{ an }满足 a1 = 2 , an = 2an ?1 + 2

D A F
(第 17 题图)

C

B

(n ≥ 2) .

(1)证明:数列{ an +2}是等比数列.并求数列{ an }的通项公式 an ; (2)若数列{ bn }满足 bn = log 2 ( an + 2) ,设 Tn 是数列 { 求证: Tn

bn } 的前 n 项和. an + 2

<

3 2

19. (本小题满分 14 分) 国际上钻石的重量计量单位为克拉.已知某种钻石的价值 y (美元)与其重量 x (克拉) 的平方成正比,且一颗重为 3 克拉的该种钻石的价值为 54000 美元。 (1)写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)若把一颗钻石切割成重量比为 1∶3 的两颗钻石,求价值损失的百分率; (3)把一颗钻石切割成两颗钻石,若两颗钻石的重量分别为 m 克拉和 n 克拉,试证 明:当 m=n 时,价值损失的百分率最大。 (注:价值损失的百分率= 原有价值- 目前价值 ×100% ;在切割过程中的重量损耗忽略不 原有价值 计)

20.(本小题 14 分) 已知函数 f ( x ) = 4 x ? 3 x sin θ +
3 2

(1)当 θ = 0 时,判断函数 f ( x ) 是否有极值,说明理由;

1 ,其中 x ∈ R, θ 为参数,且 0 ≤ θ < π . 32

(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数 θ ,函数 f ( x ) 在区间 (2a ? 1, a ) 内都 是增函数,求实数 a 的取值范围。

(2)要使函数 f ( x ) 的极小值大于零,求参数 θ 的取值范围;

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中山市高三级 2011—2012 学年度第一学期期末统一考试

数学试卷(文科)答案
一、选择题 二、填空题 BDADC BCACB 11. ?x ∈ R, cos x > 1 ; 12.25 ; 13.—2; 14. ①④

三、解答题 15. (本题满分 12 分)

16. (本题满分 12 分) 解法一: (1)由于每人参加其中一个社图的概率是

1 , 4 1 1 1 所以,甲、乙两人都参加 C 社团的概率为 × = ; 4 4 16

………3 分 ………6 分

(2)总的可能情况为 4 × 4 × 4 = 64(种) ………8 分 但由于三人中任何两人都不在同一社图的总数为 4 × 3 × 2 =24(种) ,………10 分 24 5 所以,甲、乙、丙三名学生中至少有两人参加同一社团的概率 1 ? = ……12 分 64 8 解法二:穷举法,分别列出总的基本事件,数数符合的含有多少个基本事件,从而得到答 案。

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17. (本题满分 14 分) 解: (1)证明:根据正方体的性质 BD ⊥ AC ,…………………………………………2 分 因为 AA1 ⊥ 平面ABCD , ? 平面ABCD ,所以 BD ⊥ AA1 ,又 AC ∩ AA1 = A BD 所以 BD ⊥ 平面ACC1 A1 , CE ? 平面ACC1 A1 ,所以 CE ⊥ BD ;……………5 分

AA (2)证明:连接 A1 F ,因为 AA1 // BB1 // CC1 , 1 = BB1 = CC1 ,
所以 ACC1 A1 为平行四边形,因此 A1C1 // AC , 1C1 = AC A 由于 E 是线段 A1C1 的中点,所以 CE // FA1 ,……8 分 因为 FA ? 面 A1 BD , CE ? 平面 A1 BD , 1 所以 CE ∥平面 A1 BD ……………………………10 分 (3) VD ? A1BC = VA1 ? BCD =

D1
E

C1 B1

A1

D A F B

C

1 a3 ? S ?BCD ? A1 A = ……14 分 3 6

18. (本题满分 14 分) 证明: (1)由 an=2an-1+2, ∴an+2=2(an-1+2) ∴

an + 2 = 2. a n ?1 + 2

………………………2 分

又 a1=2, ∴ {an+2}是以 a1+2=4 为首项,以 2 为公比的等比数列. ………………4 分 n-1 ∴an+2=4·2 , ∴an=2n+1-2, …………………………………5 分 (2)证明:由 bn = log 2 (a n + 2) = log 2 2
n +1

= n + 1, 得

bn n +1 = n +1 , ………7 分 an + 2 2





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,④ ③-④,得

……

…………9 分

1 2 1 1 1 n +1 Tn = 2 + 3 + 4 + L + n +1 ? n + 2 2 2 2 2 2 2

…………13 分

Tn =

3 n+3 ? 2 2 n +1

所以:

Tn <

3 .……………………14 分 2

19.(本小题 14 分) 解:(1)依题意设 y=kx 2 , ……………………………………………2 分

当x=3时,y=54000, k=6000 , 故 y=6000x 2 . ……………………… 4 分 ∴
(2)设这颗钻石的重量为 a 克拉, 由(1)可知, 按重量比为 l∶3 切割后的价值为 6000( a ) + 6000( a ) .
2 2

1 4

3 4

价值损失为 6000a ? [6000( a ) + 6000( a ) ] .……
2 2 2

1 4

3 4

…………… 6 分

1 3 6000a 2 ? [6000( a ) 2 + 6000( a )2 ] 价值损失的百分率为 4 4 = 0.375 = 37.5% 2 6000a
∴价值损失的百分率为 37.5%. (3)证明:价值损失的百分率应为
2 2 2

…………………………………9 分

m+n 2 ) 6000(m + n) ? (6000m + 6000n ) 2mn 1 ,等号当且仅当 2 = ≤ = 2 2 2 6000(m + n) (m + n) (m + n) 2 2?(
m=n 时成立. ……………13 分 即把一颗钻石切割成两颗钻石,当两颗钻石的重量相等时,价值损失的百分率达到 最大 . ………………………………………………14 分

祝你成功!~

20. (本小题 14 分) 解: (1)当 θ = 0 即 sin θ = 0 时 f ( x ) = 4 x +
3

1 , 则 f ( x) 在 (?∞, +∞) 内是增函数,故无 32

极值。…………3 分 (2) f '( x) = 12 x 2 ? 6 x sin θ , 令 f '( x) = 0, 得

x1 = 0, x2 =

sin θ . 2
…………5 分

由 0 ≤ θ < π 及(1) ,只需考虑 sin θ > 0 的情况。 当 x 变化时, f '( x) 的符号及 f ( x) 的变化情况如下表:

x
f '( x) f ( x)

(?∞, 0)
+ 增

0 0 极大值

(0,

sin θ ) 2
- 减

sin θ 2
0 极小值

(

sin θ , +∞) 2
+ 增

因此,函数 f ( x) 在 x =

sin θ sin θ 处取得极小值 f ( ), 且 2 2

sin θ 1 1 ) = ? sin 3 θ + . 2 4 32 sin θ 1 1 1 要使 f ( ) > 0, 必有 ? sin 3 θ + > 0, 可得 0 < sin θ < , 所以 2 4 32 2 π 5π 0 <θ < 或 <θ < π …………9 分 6 6 sin θ (3)解:由(2)知,函数 f ( x) 在区间 (?∞, 0) 与 ( , +∞) 内都是增函数。 2 由题设,函数 f ( x) 在 (2a ? 1, a ) 内是增函数,则 a 须满足不等式组 ?2a ? 1 < a ?2a ? 1 < a ? 或? 13 分 ? 1 2a ? 1 ≥ sin θ ?a ≤ 0 ? ? 2 π 5π 1 1 由(2)中 0 < θ < 或 < θ < π 时, 0 < sin θ < . 要使不等式 2a ? 1 ≥ sin θ 关 6 6 2 2 1 于参数 θ 恒成立,必有 2a ? 1 ≥ . 4 f(

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综上所述, a 的取值范围是 ( ?∞, 0] U [ ,1).

5 8

…………14 分


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