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2017届高考数学(理)一轮复习讲练测:专题4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式(讲).doc


2017 年高考数学讲练测【新课标版理】 【讲】 第四章 三角函数 第 02 节 同角三角函数的基本关系及诱导公式 【课前小测摸底细】 1. 【课本典型习题,p115A 组 2】已知 tan ? ? ? 【答案】 ?

1 7 sin ? ? 3cos ? ,求 的值. 3 5sin ? ? 4 cos ?

16 7
1 ,知 cos ? ? 0 ,则 3

【解析】由 tan ? ? ?

? 1? 7 sin ? ? 3cos ? 7 ?? ? ? ? 3 7 sin ? ? 3cos ? 7 tan ? ? 3 16 3? cos ? ? ? ? ? ?? = 5sin ? ? 4 cos ? 5sin ? ? 4 cos ? 5 tan ? ? 4 7 ? 1? 5?? ? ? ? 4 cos ? ? 3?
2. 【2016 全国丙理 5】若 tan ? ?

3 ,则 cos 2 ? ? 2sin 2? ? ( 4
C. 1 D.

).

A.

64 25

B.

48 25

16 25

【答案】A 【解析】

cos 2 ? ? 2sin 2? ? cos 2 ? ? 4sin ? cos ? ?
3 1 ? 4 tan ? 4 ? 64 .故选 A. ? 2 2 tan ? ? 1 ? 3 ? 24 ? ? ?1 ?4? 1? 4?

cos 2 ? ? 4sin ? cos ? ? sin 2 ? ? cos 2 ?

3. 【2016 湖北武汉模拟】已知 sin ? ? cos ? ? A.-1 【答案】A B.1 C. ? 3

2, ? ? ? 0, ? ? ,则 tan ? ? (
D. 3



4.【基础经典试题】已知 tan ? ? 2 ,则 (A)

1 3

(B) 3

1 ? 2sin ? cos ? 的值是 sin 2 ? ? cos 2 ? 1 (C) ? 3

(D) ?3

【答案】B 【解析】原式=

sin 2 ? ? cos 2 ? ? 2 sin ? cos ? (sin ? ? cos ? ) 2 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 2 ? 1 ? ? ? ? ?3 2 2 (sin ? ? cos ? )(sin ? ? cos ? ) sin ? ? cos ? tan ? ? 1 2 ? 1 sin ? ? cos ?
答案选 B. 5. 【改编 2012 年高考江西卷理科 4)】 若 tan ? +

? 1 =4,,0 ? ? ? .则 cos2 ? = ( 4 tan ?



A.

1 5

B.

1 4

C.

1 3

D.

3 2

【答案】D 【解析】因为 tan ? ?

1 sin ? cos ? sin 2 ? ? cos 2 ? 1 ? ? ? ? ?4 1 tan ? cos ? sin ? sin ? cos ? sin 2? 2

1 ? ? 3 ? sin 2? ? ,? 0 ? ? ? ? 0 ? 2? ? ,? cos 2? ? 2 4 2 2
【考点深度剖析】 高考对同角三角函数基本关系式和诱导公式的考查主要是小题为主,试题难度不大.主 要从两个方面考查: (1)同角的三个函数值中 sin ? , cos ? , tan ? 知一求二; (2)能灵活运用 诱导公式进行三角函数的求值运算和沟通角度之间的联系. 【经典例题精析】 考点 1 同角三角函数的基本关系式 【1-1】 【2016 浙江杭州模拟】已知 cos ? ? k , k ? R, ? ? ? A. ? 1 ? k 【答案】A 【 解 析 】 由 于
2

?? ? , ? ? ,则 sin ?? ? ? ? ? ( ?2 ?
2



B. 1 ? k

2

C. ? 1 ? k

D. ? k

?? ? cos ? ? k , k ? R, ? ? ? , ? ? ?2 ?

,





sin ?? ? ? ? ? ? sin ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? 1 ? k 2 ,应选 A.
【1-2】(2016.丹东模拟)已知 α 为第三象限角,且 sin α +cos α =2m,sin 2α =m2,则 m 的值为 . 3 3

【答案】 -

【解析】 (sin α +cos α )2=1+sin 2α 1 所以 m2+1=4m2,m2= ,又 α 为第三象限角, 3 所以 sin α <0,cos α <0,m=- 【1-3】若 ? 为第三象限,则 A. 3 【答案】B B. ?3 3 . 3

cos ? 1 ? sin 2 ?
C. 1

?

2 sin ? 1 ? cos 2 ?
D. ?1

的值为(



【课本回眸】 同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1(α∈R). π sin α ? α≠kπ+ ,k∈Z?. (2)商数关系:tan α= 2 ? cos α? 【方法规律技巧】 sin α 1.利用 sin2α+cos2α=1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化,利用 =tan α 可以实现角 α cos α 的弦切互化. 2.注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α. 【新题变式探究】 【变式】已知 sin α=2sin β,tan α=3tan β,则 cos α=________. 6 4 【解析】∵sin α=2sin β,tan α=3tan β, 【答案】± ∴sin2α=4sin2β,① tan2α=9tan2β,②

由①÷ ②得:9cos2α=4cos2β,③ ①+③得:sin2α+9cos2α=4, ∵cos2α+sin2α=1, 3 6 ∴cos2α= ,即 cos α=± . 8 4 考点 2 利用诱导公式化简求值

? ?? ? sin ? cos 3 2 【2-1】若 sin(? ? ? ) ? , ? 是第三象限的角,则 ? ?? ? 5 sin ? cos 2
A.

?? 2 ? ?? 2





1 2

B. ?

1 2

C. 2

D. ?2

【答案】B. 【解析】由题意 sin ? ? ? ,因为 ? 是第三象限的角,所以 cos ? ? ? ,
? sin ) 2 2 2 2 2 2 2 ? 1 ? sin ? ? ? 1 . 因此 ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? cos ? 2 sin ? cos cos ? sin cos 2 ? sin 2 2 2 2 2 2 2 sin cos (cos
3 5 4 5

? ??

? cos

? ??

?

? sin

?

?

?

【2-2】已知 sin(? ? ? ) ? lg

3

1 cos(3? ? ? ) cos(? ? 2? ) ,求 ? cos(?? )[cos(? ? ? ) ? 1] cos ? sin( 3 ? ? ? ) ? cos ? 10 2
1 1 ,? sin ? ? , 3 3

【答案】18 【解析】由题有 ? sin ? ? ? lg 3 10 ? ? 原式 ?

? cos ? cos ? ? cos ? [? cos ? ? 1] cos ? ( ? cos ? ) ? cos ?

?

1 1 2 2 ? ? ? ? 18 2 1 ? cos ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? sin 2 ?

【2-3】化简

sin ? (k ? 1)? ? ? ? cos(k? ? ? )

sin(k? ? ? ) cos ? (k ? 1)? ? ? ?

,k ?Z

【答案】当 k ? 2n, n ? Z 时,原式 ? ?1 当 k ? 2n ? 1, n ? Z 时,原式 ? 1

【课本回眸】 六组诱导公式 角 函数 正弦 余弦 正切 2kπ+α(k∈Z) sin_α cos_α tan_α π+α -sin_α -cos_α tan_α -α -sin_α cos_α -tan_α π-α sin_α -cos_α -tan_α π -α 2 cos_α sin_α π +α 2 cos_α -sin_α

kπ 对于角“ ± α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,“奇变偶不变”是 2 指“当 k 为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦;当 k 为偶数时,函数名不变”.“符号看象限” 是指“在 α 的三角函数值前面加上当 α 为锐角时,原函数值的符号” 【方法规律技巧】 (1)利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数, 其步骤:去负号—脱周期—化锐角.特别注意函数名称和符号的确定. (2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. (3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化. 【新题变式探究】 【变式】在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 2sin(π-B), 3cos A=- 2cos (π-B),求△ ABC 的三个内角. 【解析】 由已知得 sin A= 2sin B, 3cos A= 2cos B 两式平方相加得 2cos2A=1, 即 cos A= 2 2 或 cos A=- . 2 2

三、易错试题常警惕 易错典例: cos(?80?) ? k ,那么 tan100? ? ( )

A.

1? k2 k

1? k2 B. C. k

k 1? k
2

D. -

k 1? k2

易错分析:(1)k 值的正负一撮; (2) tan100? 表达式符号易错 正确解析:

sin 80? ? 1 ? cos 2 80? ? 1 ? cos 2 ? ?80? ? ? 1 ? k 2 ,? tan100? ? ?tan80? ? ?

sin 80? 1? k 2 , ? ? cos80? k

温馨提醒:本题主要考察诱导公式、同角三角函数的基本关系式的知识,注意切弦互化这一 转化 思想的应用 四、注重通解通法,模型化解题 【典例】已知 θ∈(0,π),sinθ+cosθ= A.- 3或- C.- 3 【解析】由 sinθ+cosθ= 两边平方得 sinθ· cosθ=- 3 3 B.- D.- 3 3 3 2 3-1 ,则 tanθ 的值为( 2 )

3-1 , 2 3 , 4

∴(sinθ-cosθ)2=1-2sinθ· cosθ =1+ 3+1 2 3 4+2 3 = =( ). 2 4 2

1 ∵θ∈(0,π),sinθ+cosθ= ( 3-1)<1, 2 π ∴θ∈( ,π),∴sinθ-cosθ>0, 2 ∴sinθ-cosθ= 3+1 . 2 3-1 , 2 3+1 2

? ?sinθ+cosθ= 由? ? ?sinθ-cosθ=
得 sinθ=

3 1 ,cosθ=- . 2 2

∴tanθ=- 3,故选 C. 【反思】 同角中的 sin ? ? cos ? ,sin ? ? cos ? ,sin ? ? cos ? 知一可求二, 将 sin ? ? cos ? 与 sin ? ? cos ? 联立可求 tan ? 以及其二倍角三角函数值.


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