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[原创]2012年数学一轮复习精品试题第六、七模块 数列、不等式、推理与证明


第六、七模块

数列 不等式

推理与证明

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. a2 9 1.在等比数列{an}中,若 a3a5a7a9a11=243,则 的值为( a11 A.9 C.2 B.1 D.3 )

a2

(a1q8)2 5 9 5 解析:a3a5a7a9a11=a1q30=243,所以 = =a1q6= 243=3.故选 D. a11 a1q10 答案:D a6 2.在等比数列{an}中,an>an+1,且 a7·11=6,a4+a14=5,则 等于( a a16 2 A. 3 1 C.- 6 3 B. 2 5 D.- 6 )

? ?a7a11=a4a14=6, 解析:? ?a4+a14=5, ?

即 a4,a14 可视为方程 x2-5x+6=0 的两根, a6 a4 3 又 an>an+1,故 a4=3,a14=2,从而 = = .故选 B. a16 a14 2 答案:B an-1 3.在数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时,an= ,则通项公式为 an=( 1+an-1 1 A. 2 n 1 C. n B.n )

D.n2

an-1 1 1 1 1 解析:当 n≥2 时,an= ,取倒数得 = +1,数列{ }是以 为首项,公差为 an an-1 an a1 1+an-1

1 1 1 1 的等差数列,则 =n,an= ,且 a1=1 也适合 an= .故选 C. an n n 答案:C 4. 已知 0<a<b<c<1, a、 c 成等比数列, 为大于 1 的整数, logan, bn, cn( 且 b、 n 则 log log A.成等差数列 B.成等比数列 C.各项倒数成等差数列 D.各项倒数成等比数列 解析:∵b2=ac, ∴ 1 1 2 + =logna+lognc=logn(ac)=lognb2=2lognb= .故选 C. logan logcn logbn )

答案:C 5.已知 a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),则数列{an}的通项公式是( )

A.an=2n-1 C.an=n2 解析:∵an=n(an+1-an), ∴ an+1 n+1 = , an n

B. a n ?

? n ?1 ? ? ? n ?

n-1

D.an=n

n-1 n-2 an an-1 an-2 a3 a2 n 3 2 ∴an= × × ×…× × ×a1= × × ×…× × ×1=n.故选 D. a2 a1 2 1 an-1 an-2 an-3 n-1 n-2 n-3 答案:D

?1? 6. 已知正项数列{an}的前 n 项的乘积等于 Tn= ? ? ?4?
的前 n 项和 Sn 中的最大值是( A.S6 C.S4 B.S5 D.S3 )

n 2 -6n

(n∈N*), n=log2an, b 则数列{bn}

解析:Sn=b1+b2+…+bn=log2(a1a2……an)=log2Tn=12n-2n2=-2(n-3)2+18, ∴n=3 时,Sn 的值最大. 故选 D. 答案:D 7.已知 a,b∈R,且 a>b,则下列不等式中恒成立的是( )

A.a >b

2

2

?1? ?1? B. ? ? < ? ? ?2? ?2?
a D. >1 b

a

b

C.lg(a-b)>0

3 解析:对于 A、D,当 a=0,b=-1 时不成立;对于 C,当 a=2,b= 时不成立,故应 2 选 B. 答案:B 8.设 a>0,b>0,则以下不等式中不恒成立的是( 1 1 A.(a+b)?a+b?≥4 ? ? C.a2+b2+2≥2a+2b B.a3+b3≥2ab2 D. |a-b|≥ a- b )

解析:对于 B,当 a=0,b=-1 时不成立,故应选 B. 答案:B 9.当点 M(x,y)在如图所示的三角形 ABC 内(含边界)运动时,目标函数 z=kx+y 取得最 大值的一个最优解为(1,2),则实数 k 的取值范围是( )

A.(-∞,-1]∪[1,+∞)

B.[-1,1] C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,1) 解析:当 k>0 时,要使函数在 C 点取得最大值只需 kBC+k≤0?-1≤-k<0?0<k≤1, 当 k<0 时同理可得:0<-k≤kAC?0<-k≤1?-1≤k<0, 易知当 k=0 时也适合,故-1≤k≤1.故选 B. 答案:B
?lg|x|(x<0) ? 10.设函数 f(x)=? x ,若 f(x0)>0,则 x0 的取值范围是( ? ?2 -1(x≥0)

)

A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,+∞) C.(-1,0)∪(0,1) D.(-1,0)∪(0,+∞) 解析:当 x0<0 时,则 lg|x0|>0, ∴|x0|>1,∴x0<-1, 当 x0≥0 时,则 2x0-1>0,∴2x0>1, ∴x0>0. 综上知,x0 的范围是(-∞,-1)∪(0,+∞). 答案:B a2+b2 11.已知 a>b>0,ab=1,则 的最小值是( a-b A.2 2 C.2 B. 2 D.1 )

a2+b2 t2+2 6+ 2 2 解析:记 a-b=t,则 t>0, = =t+ ≥2 2(当且仅当 t= 2,即 a= , t t 2 a-b

b=

6- 2 时取等号).故选 A. 2 答案:A 12.下面四个结论中,正确的是( )

A.式子 1+k+k2+…+kn(n=1,2,…)当 n=1 时,恒为 1 B.式子 1+k+k2+…+kn 1(n=1,2…)当 n=1 时,恒为 1+k 1 1 1 1 1 1 1 C.式子 + + +…+ (n=1,2,…)当 n=1 时,恒为 + + 1 2 3 1 2 3 2n+1 1 1 1 1 1 1 D.设 f(n)= + +…+ (n∈N*),则 f(k+1)=f(k)+ + + n+1 n+2 3n+1 3k+2 3k+3 3k+4 答案:C 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上. 13.已知 Sn 是等差数列{an}(n∈N*)的前 n 项和,且 S6>S7>S5,有下列四个命题: (1)d<0;(2)S11>0;(3)S12<0;(4)数列{Sn}中的最大项为 S11 ,其中正确命题的序号是 ________. 解析:由 S6>S7>S5,得 a7=S7-S6<0,a6+a7=S7-S5>0,所以 a6>0,a7<0,所以 d<0, 所以(1)正确; 又 S11=11a6>0,所以(2)也正确; 而 S12=6(a1+a12)=6(a6+a7)>0,所以(3)不正确; 由上知,数列{Sn}中的最大项应为 S6,所以(4)也不正确,所以正确命题的序号是(1)(2). 答案:(1)(2) 14.在数列{an}中,如果对任意 n∈N*都有 数列,k 称为公差比.现给出下列命题: (1)等差比数列的公差比一定不为 0; (2)等差数列一定是等差比数列; (3)若 an=-3n+2,则数列{an}是等差比数列; an+2-an+1 =k(k 为常数),则称{an}为等差比 an+1-an


(4)若等比数列是等差比数列,则其公比等于公差比. 其中正确的命题的序号为________. 解析:若 k=0,{an}为常数,分母无意义,(1)正确;公差为 0 的等差数列不是等差比数 an+2-an+1 an+2-an+1 a1qn 1-a1qn - 列,(2)错误; =3,满足定义,(3)正确;设 an=a1qn 1,则 = - an+1-an an+1-an a1qn-a1qn 1 =q,(4)正确. 答案:(1)(3)(4) 15.不等式 ax <1 的解集为{x|x<1 或 x>2},那么 a 的值为________. x-1


ax-x+1 ax 1 解析:不等式 <1 可化为 <0,即(x-1)[(a-1)x+1]<0,由题意知 =2, x-1 x-1 1-a 1 ∴a= . 2 1 答案: 2

?x≥0 ? 16.已知点 P(x,y)满足条件?y≤x ?2x+y+k≤0 ?
k=________.

(k 为常数),若 z=x+3y 的最大值为 8,则

解析:由题意知 k<0,且当 z=x+3y 经过 A 点时取最大值(如图),

?y=x, ? k 由? 得 x=y=- , 3 ? ?2x+y+k=0,

4 代入 z=x+3y 得 8=- k,即 k=-6. 3 答案:-6 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分)(2011· 天津市质检)已知等差数列{an}的前三项为 a-1,4,2a,记前 n 项和为 Sn. (1)设 Sk=2550,求 a 和 k 的值; Sn (2)设 bn= ,求 b3+b7+b11+…+b4n-1 的值. n 解:(1)由已知得 a1=a-1,a2=4,a3=2a, 又 a1+a3=2a2,∴(a-1)+2a=8, 即 a=3. ∴a1=2,公差 d=a2-a1=2. k(k-1) 由 Sk=ka1+ d, 2 k(k-1) 得 2k+ ×2=2550, 2 即 k2+k-2550=0, 解得 k=50 或 k=-51(舍去). ∴a=3,k=50. n(n-1) (2)由 Sn=na1+ d, 2 n(n-1) 得 Sn=2n+ ×2=n2+n. 2 Sn ∴bn= =n+1. n ∴{bn}是等差数列. (4+4n)n 则 b3+b7+b11+…+b4n-1=(3+1)+(7+1)+(11+1)+…+(4n-1+1)= =2n(n 2

+1). 18.(12 分)已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,首项为 a1,且 2,an,Sn 成等 差数列. (1)求数列{an}的通项公式; bn (2)若 bn=log2an,cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. an 解:(1)由题意知 2an=Sn+2,an>0, 当 n=1 时,2a1=a1+2, ∴a1=2. 当 n≥2 时,Sn=2an-2,Sn-1=2an-1-2,两式相减得 an an=2an-2an-1,整理得 =2. an-1 ∴数列{an}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列. ∴an=2×2n 1=2n. 当 n=1 时,上式亦成立,∴an=2n. n (2)由(1)知 an=2n,∴bn=n,cn= n, 2 1 2 3 n Tn= + + +…+ n,① 2 4 8 2 1 1 2 3 n T = + + +…+ n+1,② 2 n 4 8 16 2 1 1 1 1 1 1 n ①-②得 Tn= + + + +…+ n- n+1, 2 2 4 8 16 2 2 1 1 n ∴ Tn=1- n- n+1, 2 2 2 2+n ∴Tn=2- n . 2 2bx 19.(12 分)已知函数 f(x)(x∈R)满足 f(x)= ,a≠0,f(1)=1,且使 f(x)=2x 成立的实 ax-1 数 x 只有一个.


(1)求函数 f(x)的表达式; 2 1 (2)若数列{an}满足 a1= ,an+1=f(an),bn= -1,n∈N*,证明数列{bn}是等比数列, 3 an 并求出{bn}的通项公式; (3)在(2)的条件下,证明:a1b1+a2b2+…+anbn<1(n∈N*). 2bx 解:(1)由 f(x)= ,f(1)=1,得 a=2b+1. ax-1 2bx 由 f(x)=2x 只有一解,即 =2x, ax-1 也就是 2ax2-2(1+b)x=0(a≠0)只有一解, ∴b=-1. 2x ∴a=-1.故 f(x)= . x+1 2an 1 (2)an+1=f(an)= (n∈N*),bn= -1, an an+1 1 -1 an+1 bn+1 -an+1 1 ∴ = = = , bn 1 2(1-an) 2 -1 an 1 ∴{bn}为等比数列,q= . 2 2 又∵a1= , 3 1 1 ∴b1= -1= , a1 2 1 1 1 - - bn=b1qn 1= ?2?n 1=?2?n(n∈N*). ? ? 2? ? 1 (3)证明:∵anbn=an?a -1?=1-an ? ?
n

2n 1 =1- n = n , 2 +1 2 +1

1 1? 1- n? 1 1 1 1 1 1 2? 2 ? ∴a1b1+a2b2+…+anbn= 1 + 2 +…+ n < 1+ 2+…+ n= 2 1 2 +1 2 +1 2 +1 2 2 1- 2 1 =1- n<1(n∈N*). 2 2x ? ? 20.(12 分)已知集合 A=?x?x-2≤1? ,集合 B={x|x2-(2m+1)x+m2+m<0}
?

?

?

(1)求集合 A,B; (2)若 B?A,求 m 的取值范围. x+2 2x 解:(1) ≤1? ≤0?-2≤x<2, x-2 x-2 即 A={x|-2≤x<2}; x2-(2m+1)x+m2+m<0?(x-m)[x-(m+1)]<0?m<x<m+1,即 B={x|m<x<m+1}.
?m≥-2 ? (2)B?A?? ?-2≤m≤1. ? ?m+1≤2

21.(12 分)解关于 x 的不等式:x|x-a|≤ 解:x≥a 时,不等式可转化为

2a2 (a>0). 9

? ? ?x≥a ?x≥a ? ? 2 , 2 即 2 ? ? ?9x(x-a)≤2a ?9x -9ax-2a ≤0

3+ 17 解得 a≤x≤ a. 6 当 x<a 时不等式可化为
? ?x<a ? 2 ? ?9x(a-x)≤2a ?x<a ? 即? 2 , 2 ? ?9x -9ax+2a ≥0

a 2a 解得 x≤ 或 ≤x<a, 3 3

a ?2a 3+ 17 ? 故不等式的解集为(-∞, ]∪? , a?. 3 ?3 6 ? 22.(12 分)某工厂生产甲、乙两种产品,每生产一吨产品所消耗的电能和煤、所需工人 人数以及所得产值如表所示: 品种 甲 乙 电能(千度) 2 8 煤(吨) 3 5 工人人数(人) 5 2 产值(万元) 7 10

已知该工厂的工人最多是 200 人,根据限额,该工厂每天消耗电能不得超过 160 千度, 消耗煤不得超过 150 吨,怎样安排甲、乙这两种产品的生产数量,才能使每天所得的产值最 大,最大产值是多少. 解: 设甲、 乙两种产品每天分别生产 x 吨和 y 吨, 则每天所得的产值为 z=7x+10y(万元).

?3x+5y≤150, ? 依题意,得不等式组?5x+2y≤200, ?x≥0, ?y≥0.
2x+8y≤160,
? ?2x+8y=160, 由? 解得 ?3x+5y=150, ?

(*)

?x= 7 , ? 90 ?y= 7 .
200

?5x+2y=200, ? 由? 解得 ? ?3x+5y=150,

?x= 19 , ? 150 ?y= 19 .
700

不等式组(*)所表示的平面区域是四边形的边界及其内部(如图中阴影部分),则点 A 的坐 200 90 700 150 标为? 7 , 7 ?,点 B 的坐标为? 19 , 19 ?. ? ? ? ?

7 令 z=0,得 7x+10y=0,即 y=- x. 10 7 作直线 l0:y=- x. 10 700 150 700 150 6400 由图可知把 l0 平移至过点 B? 19 , 19 ?时,即 x= ,y= 时,z 取得最大值 . ? ? 19 19 19 700 150 6400 故每天生产甲产品 吨、乙产品 吨时,能获得最大产值,最大产值为 万元. 19 19 19


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