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立体几何题型与方法(理科)


立体几何题型与方法(理科)
7.知识网络

考点二 证明空间线面平行与垂直 3. 如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AA1=4,点 D 是 AB 的中点, (I)求证:AC⊥BC1; (II)求证:AC 1//平面 CDB1; A
1

z C
1 1

B E

C

B

y

x ∴; ?

A

4.(2007 武汉 3 月) 如图所示, 四棱锥 P—ABCD 中, ? AD, ? AD, AB CD PA ? 底面 ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M 为 PC 的中点。 (1)求证:BM∥平面 PAD; (2)在侧面 PAD 内找一点 N,使 MN ? 平面 PBD; (3)求直线 PC 与平面 PBD 所成角的正弦。 解法二: (1)? M 是 PC 的中点,取 PD 的中点 E ,则
ME
?

1 2

CD ,又 AB

1 2

CD

四边形 ABME 为平行四边形 ? BM ∥ EA , BM ? 平面 PAD
EA ? 平面 PAD
? BM ∥ 平面 PAD (4 分) (2)由(1)知 ABME 为平行四边形 PA ? 底面 ABCD ? PA ? AB ,又 AB ? AD ? AB ? 平面 PAD 同理 CD ? 平面 PAD , AE ? 平面 PAD ? AB ? AE ? A B M E 为矩形 CD ∥ ME , CD ? PD ,又 PD ? AE
? ME ? PD ? PD ? 平面 A B M E

PD ? 平面 PBD

? 平面 PBD ? 平面 ABME

作 MF ? EB 故 MF ? 平面 PBD
2

MF 交 AE 于 N ,在矩形 ABME 内, AB ? ME ? 1 , AE ?
? MF

?

2 3

, NE

?

2 2

N 为 AE 的中点

? 当点 N 为 AE 的中点时, MN ? 平面 P BD (8 分) (3)由(2)知 MF 为点 M 到平面 PBD 的距离, ? MPF 为直线 PC 与平面 PBD 所成的角,设为 ? ,

sin ? ?

MF MP

?

2 3

?

直线 PC 与平面 PBD 所成的角的正弦值为

2 3

5. (四川省成都市

2007 届高中毕业班第三次诊断性检测) 如图, 四棱锥 P ?
?

侧面 P D C A B C D 中,

是边长为 2 的正三角形,且与底面垂直,底面 A B C D 是 ? A D C ? 6 0 的菱形, M 为 P B 的中点. (Ⅰ)求 P A 与底面 A B C D 所成角的大小; (Ⅱ)求证: P A ? 平面 C D M ; (Ⅲ)求二面角 D ? M C ? B 的余弦值.

6.
? )如图,在长方体 A B C D A D? A 1A ? 1 ,
1

D1

A 1 B 1 C 1D , 中

C1

A B 2 点 E 在线段 A B 上. ? ,

A1

B1

(Ⅰ)求异面直线 D 1 E 与 A1 D 所成的角; (Ⅱ)若二面角 D 1 ? E C ? D 的大小为 4 5 ? ,求 点 B 到平面 D 1 E C 的距离..
A D
C

E

B

V 8. (2007 安徽· 如图, 文) 在三棱锥 V ? A B C 中, C ⊥ 底 面 A B C , C ⊥ B C , 是 A B 的中点, A C ? B C ? a , 且 A D
π ? ? ∠ VDC ? ? ? 0 ? ? ? ? . 2 ? ?

(I)求证:平面 V A B ⊥ 平面 V C D ; (II)试确定角 ? 的值,使得直线 B C 与平面 V A B 所成的角为
π 6




答案:(Ⅰ)∵ A C ? B C ? a ,∴ △ A C B 是等腰三角形,又 D 是 A B 的中点, ∴ C D ? A B ,又 V C ? 底面 A B C .∴ V C ? A B .于是 A B ? 平面 V C D . 又 A B ? 平面 V A B ,∴ 平面 V A B ? 平面 V C D . (Ⅱ) 过点 C 在平面 V C D 内作 C H ? V D 于 H ,则由(Ⅰ)知 C D ? 平面 V A B . 连接 B H ,于是 ? C B H 就是直线 B C 与平面 V A B 所成的角. 依题意 ? C B H ?
π 6


A





,所以
2 2

在 R t△ C H D 中, C H ?

a s in ? ;

在 R t △ B H C 中, C H ? a s in
2 2

π 6

?

a 2



∴ s in ? ?


π 4 π 6

∵ 0 ?? ?

π 2

,∴ ? ?

. .

故当 ? ?

π 4

时,直线 B C 与平面 V A B 所成的角为

考点五 折叠、展开问题 9.(2006 年辽宁高考)已知正方形 A B C D 示,记二面角 A ? D E ? C 的大小为 ? ( 0 ? ? ? ? ) (I) 证明 B F // 平面 A D E ; (II) 若 ? A C D 为 正 三 角 形 , 试 判 断 点 A 在 平 面
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E 、 F 分别是 A B 、 C D 的中点,将 ? A D E 沿 D E 折起,如图所

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B C D E 内的射影 G 是否在直线 E F 上,证明你的结论,并求角 ? 的余弦值

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解: (I)证明:EF 分别为正方形 ABCD 得边 AB、CD 的中点,
?

EB//FD,且 EB=FD,
? ?

四边形 EBFD 为平行四边形 BF//ED.

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? E F ? 平 面 A E D , 而 B F ? 平 面 A E D ,? B F // 平面 A D E

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(II)如右图,点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上,过点 A 作 AG 垂直于平面 BCDE,垂足为 G,连结 GC,GD
? ? ? ?

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ACD 为正三角形,? AC=AD.

CG=GD. G 在 CD 的垂直平分线上, ? 点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上,
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过 G 作 GH 垂直于 ED 于 H,连结 AH,则 A H ? D E ,所以 ? A H D 为二面角 A-DE-C 的平面角

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即?AHG ? ? .

设原正方体的边长为 2a,连结 AF,在折后图的 ? AEF 中,AF= 3 a ,EF=2AE=2a,即 ? AEF 为直角三角形,
AG ? EF ? AE ? AF .
3 2

? AG ?

a

在 Rt ? ADE 中, A H ? D E ? A E ? A D ? A H ?

2 5

a .

? GH ? 2

a 5

, cos ? ?

GH AH

?

1
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4

一、
(一) 选择题

强化训练
, , ,则

2.P 为矩形 ABCD 所在平面外一点,且 PA⊥平面 ABCD,P 到 B,C,D 三点的距离分别是 P 到 A 点的距离是 (A)1 (B)2 (C)
3

5

17

13

( (D)4



3.直角三角形 ABC 的斜边 AB 在平面α 内,直角顶点 C 在平面α 外,C 在平面α 内的射影为 C1,且 C1 ? AB,则△C1AB 为 ( ) (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)以上都不对 4.已知四点,无三点共线,则可以确定( ) A.1 个平面 B.4 个平面 C.1 个或 4 个平面 D.无法确定 7.棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 被以 A 为球心,AB 为半径的球相截,则被截形体的表面积为( A.
5 4



π

B.

7 8

π

C.π

D.

7 4

π )

11.一正四棱锥的高为 2 2 ,侧棱与底面所成的角为 45°,则这一正四棱锥的斜高等于( A.2 6 B.2 3 C.4 3 D.2 2

2.【答案】A 解析:设 AB=a,BC=b,PA=h,则 a2+h2=5, b2+h2=13, a2+b2+h2=17,∴h=1. 2 2 2 2 3.【答案】C 解析:∵C1A +C1B <CA +CB =AB, ∴∠AC1B 为钝角,则△C1AB 为钝角三角形. 4.【答案】C.解析: 因为无三点共线,所以任意三个点都可以确定平面α ,若第四个点也

在α 内,四个点确定一个平面,当第四个点在α 外,由公理 3 知可确定 4 个平面.故选 C. 7.【答案】A.解析:S= 18. 如图, P
? ABCD

1 4

π ·1 ×3+

2

1 8

×4π ·1 =

2

5 4

π。
6

是正四棱锥, A B C D ? A1 B 1 C 1 D 1 是正方体,其中 A B ? 2 , P A ?



(Ⅰ)求证: P A ? B 1 D 1 ; (Ⅱ)求平面 P A D 与平面 B D D 1 B 1 所成的锐二面角 ? 的 tan 大小; (Ⅲ)求 B 1 到平面 P A D 的距离.

19. 在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 PA 垂直于底面,E、F 分别 是 AB、PC 的中点. (1)求证: EF
//

平面 PAD;

(2)当平面 PCD 与平面 ABCD 成多大二面角时, 直线 EF ? 平面 PCD? .

21. 如图,四边形 ABCD 是正方形,PB⊥平面 ABCD,MA//PB,PB=AB=2MA, (Ⅰ)证明:AC//平面 PMD; (Ⅱ)求直线 BD 与平面 PCD 所成的角的大小; (Ⅲ)求平面 PMD 与平面 ABCD 所成的二面角(锐角)的大小。

? 22. 已知斜三棱柱 A B C ? A1 B 1 C 1 , ? B C A ? 9 0 , A C ? B C ? 2 , A 1 在底面 A B C 上的射影恰为 A C 的中点 D ,

又知 B A1 ? A C 1 。 (I)求证: A C 1 ? 平面 A1 B C ; (II)求 C C 1 到平面 A1 A B 的距离;

(二) 创新试题 1.如图,正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,D 是 BC 的中点,AA1=AB=1. (I)求证:A1C//平面 AB1D; (II)求二面角 B—AB1—D 的大小; (III)求点 c 到平面 AB1D 的距离.

2. 如图,已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 的各棱长都为 a,P 为 A1B 上的点。 (1)试确定 A (2)若 A 1 P
PB ?
1

P

的值,使得 PC⊥AB; ,求二面角 P—AB—C 的大小;

PB

2 3

(3)在(2)条件下,求 C1 到平面 PAC 的距离。 2 , 4 , 6


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