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河北正定中学2014届高三上学期第五次月考 数学试题


2013-2014 学年度第五次月考·数学试题
第I卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的)

,, 1. 已知集合 A ? ??11 ? B ? ?m | m ? x ? y, x ? A, y ? A? ,则集合 B 等于
A.

??2, 2?

B.

??2, 0, 2?
2

C.

??2, 0?

D.

?0?

(1 ? i) 的虚部等于 1? i A. i B. ?i C. ?1 D.1 2 2 3. 若点 P(4, 2) 为圆 x ? y ? 6x ? 0 的弦 MN 的中点,则弦 MN 所在直线方程为
2. 已知 i 是虚数单位,则复数 A. 2 x ? y ? 10 ? 0 B. x ? 2 y ? 0 4. 在等差数列 C. x ? 2 y ? 8 ? 0 D. 2 x ? y ? 6 ? 0

?an ? 中, 4 ? a

3

? a4 ? a5 ? ? 3 ? a6 ? a8 ? a14 ? a16 ? ? 36 ,那么该数列
C.42 D.84

的前 14 项和为 A.20 B.21 5. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则称这些函数为 “同簇函数”.给出下列函数: ① f ( x) ? sin x cos x ; ③ f ( x) ? 2sin( x ? 其中“同簇函数”的是 A.①② B.①④ C.②③ D.③④
6.某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为 2 的 正方形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是

② f ( x) ?

2 sin 2 x ? 1 ;
正视图 侧视图

?
4

) ; ④ f ( x) ? sin x ? 3 cos x .

3 7. 如图,矩形 OABC 内的阴影部分是由曲线 f ( x) ? sin x , x ? (0, ? ) 及
直线 x ? a , a ? (0, ? ) 与 x 轴围成,向矩形 OABC 内随机投掷一点, 若落在阴影部分的概率为 A.

20 A. 3

16 B. 3

C. 8 ?

?
6

D. 8 ?

?

俯视图
6 题



7? 12

1 ,则 a 的值是 4 2? 3? B. C. 3 4

D.

5? 6


8. 如图, PA ? PB, ?APB ? 90? ,点 C 在线段 PA 的延长线上, D, E 分别

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ?ABC 的边 AB, BC 上的点.若 PE 与 PA ? PB 共线, DE 与 PA 共线,则

-1-

??? ? ??? ? PD ? BC 的值为
A. ?1 B.0 C .1
0

D.2

9. 在等腰梯形 ABCD 中,AB=2DC=2 ,?DAB=60 ,E 为 AB 的中点, 将 ?ADE 与 ?BEC 分布沿 ED 、

EC 向上折起,使 A、B 重合于点 P ,则三棱锥 P-DCE 的外接球的体积为
A.

4 3 ? 27

B.

6 ? 2

C.

6 ? 8

D.

6 ? 24

?y ? x ? 10. 已知 z ? 2 x ? y , x 、 y 满足 ? x ? y ? 2 ,且 z 的最大值是最小值的 4 倍,则 m 的值是 ?x ? m ?
A.

1 4
2 2 2 2

B.

1 5

C.

1 6

D.

1 7

x y 11. 已知双曲线 ? ? 1(a ? 0, b ? 0), M , N 是双曲线上关于原点对称的两点, P 是双曲线上的动点, a b 且直线 PM , PN 的斜率分别为 k , k , k k ? 0 ,若 | k | ? | k | 的最小值为 1,则双曲线的离心率为
1 2 1 2 1 2

A.

2

B.

5 2

C.

3 2

D.

3 2

12. 可导函数 f ( x) 的导函数为 g ( x) , 且满足: ①

g ( x) ? 1 ② f ( 2 ? x) ? f ( x ) ? 2 ? 2 x , 记 a ? f (2) ? 1 , ? 0; x ?1 b ? f (? ) ? ? ? 1 , c ? f (?1) ? 2 则 a, b, c 的大小顺序为 A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. b ? c ? a D. b ? a ? c
第 II 卷

二、填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在答题纸上) 13. 对大于或等于 2 的正整数的幂运算有如下分解方式:

22 ? 1 ? 3 23 ? 3 ? 5

32 ? 1 ? 3 ? 5 33 ? 7 ? 9 ? 11

42 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7

… …

43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19
3

2 根据上述分解规律,若 m ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 11 , p 的分解中最小的正整数是 21,则 m ? p ? ________.

?2 x ? 3 x ? 1( x ? 0) 14. 若函数 f ( x) ? ? 在 [?2, 2] 上的最大值为2,则实数 a 的取值范围是 ?e ( x ? 0)
3 2 ax

.

0 15. ?ABC 中, ?C ? 90 , M 是 BC 的中点,若 sin ?BAM ?

1 6 ,则 sin ?BAC ? ___ ._____. 3 3

16. 已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ,且对任意的实数 x, y ? R ,等式

f ( x) f ( y) ? f ( x ? y) 成立.若数列 ?an ? 满足 a1 ? f (0) , f (an ?1 ) ?
(n ? N *) ,则 a2009 的值为

-2-

1 f (?2 ? an )

三、解答题(本大题共有 6 各小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 在等差数列 ?a n ? 中,a1 ? 3 , 其前 n 项和为 S n , 等比数列 ?bn ? 的各项均为正数,b1 ? 1 , 公比为 q ,

且 b2 ? S 2 ? 12 , q ?

S2 . b2
1 ,求 ?c n ? 的前 n 项和 Tn . Sn

(1)求 a n 与 bn ; (2)设数列 ?cn ? 满足 cn ?

18. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (1)若 x ? [

3 1 sin 2 x ? cos2 x ? , x ? R . 2 2

5 3 ? , ? ] ,求函数 f ( x) 的最大值和最小值,并写出相应的 x 的值; 24 4

(2)设 ?ABC 的内角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、 c ,满足 c ? 3 , f (C ) ? 0 且 sin B ? 2sin A , 求 a 、 b 的值.

19. (本题满分 12 分) 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? BC ? CA ? AA 1 ? 2 ,侧棱 AA 1 ? 面 ABC , D, E 分别是棱

A1 B1 , AA1 的中点,点 F 在棱 AB 上,且 AF ?
(1)求证: EF // 平面 BDC1 ; (2)求二面角 E ? BC1 ? D 的余弦值. 20.(本小题 12 分)

1 AB . 4

时下,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势,假设某网校的 套题每日的销售量 y (单位:千套)与销售价格 x (单位:元/套)满足的关系式 y ? 其中 2 ? x ? 6 , m 为常数.已知销售价格为 4 元/套时,每日可售出套题 21 千套. (1)求 m 的值; (2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题 2 元(只考虑销售出的套数) ,试确定销售价 格 x 的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留 1 位小数)

m 2 ? 4 ? x ? 6? , x?2

-3-

21. (本小题 12 分) 已知椭圆 C :

6 x y ,短轴一个端点到右焦点的距离为 3 . ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 3 a b
2 2 2 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为

3 ,求 ?AOB 面积的最大值. 2

22. (本小题 12 分) 已知函数 f ( x) ? 处的切线与 x 轴平行. (1)求 k 的值; (2)求 f ( x) 的单调区间; (3)设 g ( x) ? ( x 2 ? x) f ?( x) ,其中 f ?( x) 为 f ( x) 的导函数,证明:对任意 x ? 0 , g ( x) ? 1 ? e?2 .

ln x ? k ( k 为常数,e ? 2.71828……是自然对数的底数) , 曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) ex

高三第五次月考·数学答案
一、选择题:BDCBD ABBCA BC 二、填空题:13.11 14. (??,

1 ln 2] 2

15.

6 3

16.4017

三、解答题: 17.解(1)设 ?a n ? 的公差为 d .

?b2 ? S 2 ? 12, ?q ? 6 ? d ? 12, ? ? S2 6?d 所以 ? q? . q? , ……………………3 分 ? ? q b2 ? ? 解得 q ? 3 或 q ? ?4 (舍) ,d ? 3
因为 ? 故 an ? 3 ? 3 ? n ? 1? ? 3n , bn ? 3 n ?1 ……………………………………5 分 (2)由(1)可知, S n ?

n ? 3 ? 3n ?

2 1 2 2?1 1 ? ? ? ? ? 所以 cn ? ?. S n n ? 3 ? 3n ? 3 ? n n ? 1 ? ……………………8 分
2 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ?1 ?1 ? ? ? ? ? ? ? … ? ? ? ?? ? ? 3 ?? 2 ? ? 2 3 ? ? n n ? 1 ?? 2? 1 ? 2n ?1 ? ?? 3 ? n ? 1 ? 3 ? n ? 1? …………10 分



故 Tn ?

18.解(1) f ( x ) ?

3 1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x ? ? ? sin(2 x ? ) ? 1 .............3 分 2 2 2 6
-4-

? ? 4? ? , t?? , ? 6 ?4 3 ? ? f ?t ? ? sin t ? 1 。
令 t ? 2x ?

?

?当 t ?

时, f ?x ?max ? 0 3 3 4? 3? 当t ? 即x? 时, f ? x ?min ? ? ? 1; 2 3 4

?

2

即x?

?

…………………………6 分

(2) f (C ) ? sin(2C ?

) ?1 ? 0, 6 ? ? 11? , 0 ? C ? ? , 0 ? 2C ? 2? ,所以 ? ? 2C ? ? 6 6 6

?

6

) ? 1 ? 0 ,则 sin(2C ?

?

所以 2C ?

?

3 6 2 因为 sin B ? 2sin A ,所以由正弦定理得 b ? 2a
由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos
2 2 2

?

?

,C ?

?

.....................................9 分

?

解得: a ? 1, b ? 2 .................................................12 分 19.解: (1)证明:取 AB 的中点 M ,? AF ?

3

,即 c 2 ? a 2 ? b2 ? ab ? 3

1 AB , 4

? F 为 AM 的中点,又? E 为 AA1 的中点,? EF // A1 M , 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D, M 分别是 A1 B1 , AB 的中点, ? A1 D // BM ,且 A1 D ? BM , 则四边形 A1 DBM 为平行四边形,? A1 M // BD , ? EF // BD ,又 EF ? 面 BDC1 , BD ? 面 BDC1 , 则 EF // 面 BDC1 ...........................................6 分
(2)空间直角坐标系,则 B(1,0,0) , E (?1,0,1) , D(0,0, 2) , C1 (0, 3, 2) , ??? ? ??? ? ???? ? ∴ BD ? (?1,0, 2) , BE ? (?2,0,1) , BC1 ? (?1, 3, 2) . 设面 BC1D 的一个法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ,面 BC1E 的一个法向量为 n ? ( x2 , y2 , z2 ) , ??? ? ? ? ? m ? BD ? 0, ?? x1 ? 2 z1 ? 0, 则由 ? ???? 得? 取 m ? (2,0,1) , ? C1 ? ?? x1 ? 3 y1 ? 2 z1 ? 0, ? m ? BC1 ? 0, ? ??? ? A1 ? ? ? n ? BE ? 0, ??2 x2 ? z2 ? 0, 又由 ? ???? 得? 取 n ? (1, ? 3, 2) , ? D ? ?? x2 ? 3 y2 ? 2 z2 ? 0, ? n ? BC1 ? 0, ? 则 cos ? m, n ??
m?n 4 10 , ? ? | m || n | 5 5? 8 角 E - BC1 - D
E C

B1

故 二 面 的 10 .............................12 分 5 20.解: (1)因为 x ? 4 时, y ? 21 , 代入关系式 y ?








A F M B

解得 m ? 10 . ………………………………………………………4 分. (2)由(1)可知,套题每日的销售量 y ? 所以每日销售套题所获得的利润
-5-

m m 2 ? 4 ? x ? 6 ? ,得 ? 16 ? 21 , x?2 2

10 2 ? 4 ? x ? 6? , x?2

2? 2 ? 10 f ( x) ? ? x ? 2 ? ? ? 4 ? x ? 6 ? ? ? 10 ? 4 ? x ? 6 ? ? x ? 2 ? ? 4 x3 ? 56 x 2 ? 240 x ? 278 ? 2 ? x ? 6 ? ?x?2 ? … …

………………6 分 ,从而 f ' ? x ? ? 12 x 2 ? 112 x ? 240 ? 4 ? 3x ? 10 ?? x ? 6 ?? 2 ? x ? 6 ? . 令 f ' ? x ? ? 0 ,得 x ?

10 ? 10 ? ? 10 ? ' ' ,且在 ? 2, ? 上, f ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增;在 ? , 6 ? 上, f ( x) ? 0 , 3 ? 3 ? ? 3 ?

函数 f ( x) 单调递减,………………………………………………………10 分.

10 是函数 f ( x) 在 ? 2, 6 ? 内的极大值点,也是最大值点, 3 10 所以当 x ? ? 3.3 时,函数 f ( x) 取得最大值. 3
所以 x ? 故当销售价格为 3.3 元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大. ………………12 分.

?c 6 , ? ? 21.解: (1)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ? a 3 ?a ? 3, ?
∴ b ? 1,∴ 所求椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

(2)设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) . (1)当 AB ⊥ x 轴时, AB ? 3 . (2)当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m .

由已知

m 1? k 2

?

3 3 ,得 m2 ? (k 2 ? 1) . 2 4
2 2 2

把 y ? kx ? m 代入椭圆方程,整理得 (3k ? 1) x ? 6kmx ? 3m ? 3 ? 0 ,

? x1 ? x2 ?

3(m2 ? 1) ?6km , . x x ? 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

? 36k 2 m 2 12(m 2 ? 1) ? 2 ? ? AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ? (1 ? k 2 ) ? 2 2 3k 2 ? 1 ? ? (3k ? 1) ?

?

12(k 2 ? 1)(3k 2 ? 1 ? m 2 ) 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) ? (3k 2 ? 1) 2 (3k 2 ? 1) 2
12k 2 12 12 ? 3? (k ? 0) ? 3 ? ? 4. 4 2 1 9k ? 6k ? 1 2 ? 3 ? 6 2 9k ? 2 ? 6 k
3 1 ,即 k ? ? 时等号成立.当 k ? 0 时, AB ? 3 , 2 3 k
-6-

? 3?

当且仅当 9k 2 ?

综上所述 AB max ? 2 . 所以,当 AB 最大时, △AOB 面积取最大值 S ? 22. 解:(1)由 f ( x) ?

1 3 3 . ? AB max ? ? 2 2 2

1nx ? k 1 ? kx ? x ln x , 得 f ?( x) ? , x ? (0, ??), 由于曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线 x e xe x 与 x 轴平行,所以 f ?(1) ? 0 ,因此 k ? 1 …………………………………………3 分
( 2 ) 由 (1) 得 f ?( x) ?

1 ? (0 ? , ?当) x ? (0,1) 时 , (1 ? x ? x ln x), x ? (0, ??) , 令 h( x)? 1? x ? x l n x , x xe x

; 当 x ?( 所以 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 ;x ? (1 ? ?) 时, f ?( x) ? 0 . 因 h( x ) ? 0 1 ,? ? ) 时,h( x) ? 0. 又 e x ? 0 , 此 f ( x) 的单调递增区间为(0,1) ,单调递减区间为 (1, ??). ………………6 分 (3) 证 明 因 为 g ( x) ? ( x 2 ? x) f ?( x) , 所 以 g ( x) ?

x ?1 ex

(?1 x ? x l n x ? )x ,

此 任. 意 ?因 (?0 , 对 )

x ? 0, g ( x) ? 1 ? e?2 等价于 1 ? x ? x ln x ?

ex (1 ? e?2 ). x ?1

由(2)知 h( x) ? l? x ? x ln x, x ? (0, ??),

所以 h?( x) ? ? ln x ? 2 ? ?(ln x ? ln e?2 ), x ? (0, ??), 因此当 x ? (0, e?2 ) 时, h?( x) ? 0, h( x) 单调递增;当 x ? (e?2 , ??) 时 h?( x) ? 0, h( x) 单调递增. 所以 h( x) 的最大值为 h(e?2 ) ? 1 ? e?2 故 1 ? x ? x ln x ? 1 ? e?2 . 设 ? ( x) ? e x ? ( x ? 1).

因为 ? ?( x) ? e x ? 1 ? e x ? e0 ,所以 x ? (0, ??) 时, ? ?( x) ? 0,? ( x) 单调递增, ? ( x) ? ? (0) ? 0, 故 x ? (0, ??) 时, ? ( x) ? e x ? ( x ? 1), 即

ex ex (1 ? e?2 ). ? 1. 所以 1 ? x ? x ln x ? 1 ? e?2 ? x ?1 x ?1

因此对任意 x ? 0, g ( x) ? 1 ? e?2 . ……………………………………………………………12 分

-7-


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