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等差数列与等比数列复习 - 副本


新人教版高中学数学必修 5

等差数列与等比数列复习(一)
一、等差数列与等比数列对比 等差数列
1. 等差数列的判断或证明 (1)利用定义: an+1-an=d(与 n 无关的常数). (2)利用等差中项: 2an?1 ? an ? an?2 (3)利用通项: an=pn+q ( p, q ? R) ? {an}是等 差数列(其中 p ?

d , q ? a1 ? d ) (4)利用前 n 项和:Sn=an2+bn (a, b ? R) ? {an} 是等差数列(其中 a ? an+1 (1)利用定义: =q (与 n 无关的常数). an (2)利用等比中项:a2+1=anan+2 ? 0 (n∈N*). n (3) )利用通项: an= kqn (k , q ? 0) ? {an}是等比 数列(其中 k ? a1q ) (4) )利用前 n 项和: n= k (qn ? 1)(k , q ? 0) ? {an} S 是等比数列(其中 k ? ?

a1 ) 1? q

d d , b ? a1 ? ) 2 2

2. 等比中项:a、G、b 成等比数列 ? G 2 ? ab ,反之 不成立。 其中 G 叫做 a 与 b 的等比中项, G=± ab 且 3.三个数成等比数列常设为: a , a, aq ;四个数成等 q a a 差数列常设为: 3 , , aq, aq 3 q q n-1 4.等比数列{an}的通项公式 an=a1q 它的图象是 y ? kqx 上的一列孤立的点. 变形公式: an ? amqn?m 5.等比数列前 n 项和公式:

2.等差中项:a,A,b 成等差数列 ? 2A ? a ? b 。 a+b 其中 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 A= . 2 3.三个数成等差数列常设为:a-d,a,a+d;四个 数成等差数列常设为:a-3d,a-d,a+d,a+3d 4 等差数列{an}的通项公式:an=a1+(n-1)d. 当 d=0 时,an 是关于 n 的常函数;当 d≠0 时,an 是关于 n 的一次函数;点(n,an)分布在以 d 为斜率的直 线上,是这条直线上的一列孤立的点. 变形公式:am=an+(m-n)d. 5.等差数列前 n 项和公式: n?a1+an? 1 1 Sn= =na1+ n(n-1)d= nan- n(n-1)d 2 2 2 6.等差数列前 n 项和的性质 (1).若 m+n=p+q,则 an+am=ap+aq(n,m,p, q∈N*),特别地,若 m+n=2p,则 an+am=2ap. (2).等差数列{an}中,每隔相同的项抽出来的项按 照原来的顺序排列, 构成的新数列仍然是等差数列. (3)Sm,S2m,S3m 分别为等差数列{an}的前 m 项,前 2m 项,前 3m 项的和,则 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 也成等 差数列. (4) .如果{an},{bn}均为等差数列,且公差分别为 d1,d2,那么数列{ kan +m},{pan+qbn}仍是等差数列,且 公差分别为 kd1,pd1+qd2.
?Sn? (5)若数列{an}是公差为 d 的等差数列,则数列? n ?也 ? ?

?a1?1-q ?=a1-anq ?q≠1? ? 1-q (1)公式:Sn=? 1-q . ?na1 ?q=1? ?
n

(2)注意:应用该公式时,一定不要忽略 q=1 的情 况. 6.等比数列前 n 项和的性质: (1).若 m+n=p+q,则 an.am=ap.aq(n,m,p,q ∈N*),特别地,若 m+n=2p,则 an.am=2ap. (2).等比数列{an}中,每隔相同的项抽出来的项按 照原来的顺序排列, 构成的新数列仍然是等比数列. (3)Sm,S2m,S3m 分别为等比数列{an}的前 m 项,前 2m 项,前 3m 项的和,则 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 也成等 比数列.(注意: Sm ? 0 ) (4) .如果{an},{bn}均为等比数列,且公比分别为 1 bn q1,q2,那么数列{ },{an·n},{ },{|an|}仍是等比数 b an an 1 q2 列,且公比分别为 ,q1q2, ,|q1|. q1 q1 a ? 0 ? a1 ? 0 7.单调性:等比数列{an}中,若 ? 1 , 或? ? q ? 1 ?0 ? q ? 1 ? ? a1 ? 0 ?a ? 0 ,则数列 则数列{an}为递增数列;若 ? 或? 1 ?0 ? q ? 1 ? q ? 1 {an}为递减数列.若 q=1 为常数列 二、常用结论 1.前 n 项和 Sn 与 an 之间的关系:

d 是等差数列,且公差为 . 2 (6)设两个等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn、 an S2n-1 Tn,则 = . bn T2n-1 7.单调性:等差数列{an}中,若公差 d>0,则数列 {an}为递增数列; 若公差 d<0, 则数列{an}为递减数列. 若 d=0 为常数列

等比数列
1.等比数列的判断或证明
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对任意数列{an},Sn 是前 n 项和,Sn 与 an 的关系可 ?S1 ?n=1?, ? 以表示为 an=? ?Sn-Sn-1 ?n≥2?. ? 由 Sn 求通项公式 an=f(n)时,要分 n=1 和 n≥2 两 种情况分别计算,然后验证两种情况可否用统一解析式 表示,若不能,则用分段函数的形式表示. 2.求等差数列前 n 项和的最值 (1)二次函数法:用求二次函数的最值方法来求其前 n 项和的最值, 但要注意 n∈N*, 结合二次函数图象的对 称性来确定 n 的值,更加直观. ?an≥0, ? (2)通项法:当 a1>0,d<0,? 时,Sn 取得最 ? ?an+1≤0
? ?an≤0, 大值;当 a1<0,d>0,? 时,Sn 取得最小值. ?an+1≥0 ? 3.求等差数列{an}前 n 项的绝对值之和,关键是找 到数列{an}的正负项的分界点. 4.等差数列与等比数列的相互转化

a7a8a9=10,则 a4a5a6 等于( ) A.5 2 B.7 C.6

D.4 2

6.在由正数组成的等比数列{an}中,若 a4a5a6=3, log3a1+log3a2+log3a8+log3a9 的值为( ) 4 3 4 A. B. C.2 D.3 3 4 3

7.在正项等比数列{an}中,an+1<an,a2·8=6,a4 a a5 +a6=5,则 等于( ) a7 5 6 2 3 A. B. C. D. 6 5 3 2

(1)若{an}是等差数列,则 q an ? ? q ? 1? 是等比数列 (2) 若 {an} 是 等 比 数 列 且 an ? 0 , 则

?

?log

8.已知两个等差数列{an}与{bn}的前 n 项和分别为 An 7n+45 an An 和 Bn,且 = ,则使得 为整数的正整数 n 的 Bn n+3 bn 个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5

m

an ?? m ? 0,m ? 1? 是等差数列
9.在等差数列{an}中,a1=-2 008,其前 n 项和为 S2 008 S2 006 Sn,若 - =2,则 S2 012 等于( ) 2 008 2 006 A.-2 012 B.2 012 C.6 033 D.6 036

巩固练习: 1.在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则 2a9 -a10 的值为( ) A.24 B.22 C.20 D.-8

2.等差数列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+ a20=78,则此数列前 20 项和等于( A.160 ) B.180 C.200 D.220

10.设{an}是公比 q≠-1 的等比数列,它的前 n 项 和,前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X,Y,Z,则下 列等式中恒成立的是 A.X+Z=2Y C.Y =XZ
2

(

)

B.Y(Y-X)=Z(Z-X) D.Y(Y-X)=X(Z-X)

3.若{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 a1>0, d<0,S4=S8,则 Sn>0 成立的最大自然数 n 为( ) A.11 B.12 C.13 D.14 S3 1 11.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 S6 3 S6 等于( S12 3 A. 10 ) 1 B. 3 1 C. 8 1 D. 9

a5 5 S9 4. Sn 是等差数列{an}的前 n 项和, 设 若 = , 则 a3 9 S5 等于( ) 1 A.1 B.-1 C.2 D. 2

12.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S10∶S5= 5.已知各项为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,
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1∶2,则 S15∶S5 等于
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(

)

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A.3∶4 B.2∶3

C.1∶2 D.1∶3 21.在等差数列{an}中,a1=25,S9=S17,则前 n 项和 Sn 的最大值是________. 答案 169 解析 方法一 利用前 n 项和公式和二次函数性 质. 17 9 由 S17=S9,得 25×17+ ×(17-1)d=25×9+ 2 2 ×(9-1)d,解得 d=-2, n 所以 Sn=25n+ (n-1)×(-2) 2 =-(n-13)2+169, 由二次函数性质可知, n=13 时, n 有最大值 169. 当 S 方法二 先求出 d=-2,因为 a1=25>0, 1 n≤13 , ?an=25-2?n-1?≥0, 2 ? 由? 得 1 ? ?an+1=25-2n≤0, n≥12 . 2

13.设数列{an}、{bn}都是等差数列,且 a1=25, b1=75,a2+b2=100,则 a37+b37 等于( ) A.0 B.37 C.100 D.-37

1 14.已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则 a1a2 4 +a2a3+?+anan+1 等于 A.16(1-4 ) 32 - C. (1-4 n) 3
-n

(
-n

)

B.16(1-2 ) 32 - D. (1-2 n) 3

? ? ?

15.已知等比数列{an}的各项均为正数,数列{bn} 满足 bn=ln an,b3=18,b6=12,则数列{bn}前 n 项和的 最大值等于( ) A.126 B.130 C.132 D.134

二、填空题 - 16.若{an}是等比数列,且前 n 项和为 Sn=3n 1+t, 则 t=________.

17.若正项等比数列{an}的公比 q≠1,且 a3,a5, a3+a5 a6 成等差数列,则 等于( ) a4+a6

18.若 a,b,c 成等比数列,m 是 a,b 的等差中项, a c n 是 b,c 的等差中项,则 + =( ) m n A.4 B.3 C.2 D.1

19.三个数成等比数列,它们的和为 14,积为 64, 则这三个数按从小到大的顺序依次为__________.

所以当 n=13 时,Sn 有最大值. 13×?13-1? S13=25×13+ ×(-2)=169. 2 因此 Sn 的最大值为 169. 方法三 由 S17=S9,得 a10+a11+?+a17=0, 而 a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14, 故 a13+a14=0.由方法一知 d=-2<0, 又因为 a1>0,所以 a13>0,a14<0, 故当 n=13 时,Sn 有最大值. 13×?13-1? S13=25×13+ ×(-2)=169. 2 因此 Sn 的最大值为 169. 22.设{an}是等差数列,bn= ( 1 ) an ,已知:b1+b2 2 21 1 +b3= ,b1b2b3= ,求等差数列的通项 an. 8 8 解 设等差数列{an}的公差为 d, ?1? bn+1 ?2?an+1 ? 1 ?an?1 ?an ?1?d 则 = = =?2? . bn ?1?an ? 2 ? ? ? ? 2? 1 ∴数列{bn}是等比数列,公比 q=?2?d. ? ? 1 1 ∴b1b2b3=b3= ,∴b2= . 2 8 2 17 b1+b3= ?b1=1 ?b1=2 8 ? ? 8 或? ∴ ,解得? 1 . 1 ?b3=2 ?b3=8 ? ? b1·3= b 4

? ? ?

20.等比数列{an}中,S3=3,S6=9,则 a13+a14+ a15=________.

?b1=1 ? 8 时,q2=16,∴q=4(q=-4<0 舍去) 当? ? ?b3=2 1 - - - 此时,bn=b1qn 1=?8?·n 1=22n 5. ? ?4

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1 - 1 由 bn=?2?5 2n=?2?an,∴an=5-2n. ? ? ? ?

?b1=2 ? 1 1 1? 2 ? 当? 1 时,q =16,∴q=4?q=-4<0舍去? b3= ? 8 ? 1 - 1 - ?1 - 此时,bn=b1qn 1=2·4?n 1=?2?2n 3=?2?an, ? ? ? ? ? ?
∴an=2n-3. 综上所述,an=5-2n 或 an=2n-3.

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