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(课标通用)高考数学一轮复习第三章导数及其应用第3节导数的应用


第三章 导数及其应用 第三节 导数的应用(二)——极值与最值 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件; 2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不 超过三次);3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项 式函数一般不超过三次). 知 识 梳 理 诊 断 1.函数的极值与导数 极 x0 为函数 y=f(x)定义域内一点,如果对 x0 附 极值 的概 念 f(x)<f(x0) , 大 近所有的 x 都有________ 则 f(x)在 x0 处取得 值 极大值 f(x0), 称 x0 为函数 f(x)的一个极大值点 极 x0 为函数 y=f(x)定义域内一点,如果对 x0 附 f(x)>f(x0) , 小 近所有的 x 都有________ 则 f(x)在 x0 处取得 值 极小值 f(x0), 称 x0 为函数 f(x)的一个极小值点 极大 导数 与极 值 极小 值 值 函数 y=f(x)在点 x0 处连续且 f ′(x0)=0, f ′(x)>0 若在点 x0 附近左侧___________ ,右侧 f ′(x)<0 ,则 x0 为函数的极大值点 _______ 函数 y=f(x)在点 x0 处连续且 f ′(x0)=0, f ′(x)<0 ,右侧 若在点 x0 附近左侧 _________ f ′(x)>0 ,则 x0 为函数的极小值点 _______ 2.函数的最值 (1) 如 果 在 区 间 [a , b] 上 函 数 y = f(x) 的 图 象 是 一 条 连续不断 ____________ 的曲线,那么它必有最大值和最小值. (2)求函数 y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤 极值 ①求函数 y=f(x)在(a,b)内的______. 端点处的函数值 f(a)、f(b) ②将函数 y = f(x) 的各极值与 _______________________ 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 1. 判断下列结论的正误 .( 正确的打“√”,错误的打 “×”) (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.( (2)函数的极大值不一定比极小值大.( ) ) (3)对可导函数 f(x),f ′(x0)=0 是 x0 点为极值点的充要条 件.( ) (4)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一 定是极小值.( ) ) (5)√ (5)连续函数在闭区间上必有最值.( [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2.已知函数 y=f(x),其导函数 y=f ′(x) 的图象如图所示,则 y=f(x)( A.在(-∞,0)上为减函数 B.在 x=0 处取极小值 C.在(4,+∞)上为减函数 D.在 x=2 处取极大值 ) [解析] 使导函数 y=f ′(x)>0 的 x 的取值范围为函数 f(x) 的增区间;使导函数 y=f ′(x)<0 的 x 的取值范围为函数 f(x) 的减区间. [答案] C x 3.对于函数 f(x)= x,下列结论正确的是( e 1 A.有最小值 e 1 C.有最大值 e 1 B.有最小值- e 1 D.有最大值- e ) [解析] 1-x f ′ ( x) = ex , 当 x<1 时, f ′(x)>0; 当 x=1 时, f ′ ( x) =0;当 x>1 时 f ′(x)<0,故 x=1 是函数 f(x)的极大值点,也 1 是最大值点,故函数 f(x)的最大值为 f

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