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2013辽宁数学理工类-无答案清晰打印版


2013 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)

数学(供理工考生使用)
注意事项: 1. 本考卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己 的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4. 考试结束后,将本卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一 选择题 1.复数 z ?

1 的模长为 i ?1
B.

A.

1 2

2 2

C.

2

D. 2

2.已知集合 A ? {x 0 ? log4 x ? 1 , B ? {x x ? 2} ,则 A ? B ? }

A. (0,1)

B. (0,2]

C. (1,2)

D. (1,2]

3.已知点 A(1,3) , B(4,?1) ,则与向量 AB 同方向的单位向量为

3 4 A. ( ,? ) 5 5

4 3 B. ( ,? ) 5 5

3 4 C. (? , ) 5 5

4 3 D. (? , ) 5 5

4.下列关于公差 d ? 0 的等差数列 {an } 的四个命题:

p1 : 数列 {an } 是递增数列

p2 : 数列 {nan } 是递增数列 p4 : 数列 {an ? 3nd}是递增数列

p3 :数列 {

an } 是递增数列 n

其中真命题是

A. p1 , p2

B. p3 , p4

C . p 2 , p3

D. p1 , p4

5.某班全体学生参加英语测试,成绩分布的频率分布直方图如图,数据的分组依次为:

[20,40) , [40,60) , [60,80) , [80,100] 。若低于 60 分的人数是 15,则该班级的学生人数


A. 45

B. 50

C. 55

D. 60

频率/组距 0.020 0.015 0.010 0.005 O 成绩/分
1 b, 2

6.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a sin B cos C ? c sin B cos A ? 且 a ? b ,则 ?B ?

A.

? 6
1 x x

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

7.使 (3x ?

) n (n ? N ? ) 的展开式中含有常数项的最小 n 为
B. 5 D. 7

C. 6 8.执行如图所示的程序框图,若输入 n ? 10 ,则输出 S ? 5 10 36 A. B. C. 11 11 55

A. 4

D.

72 55

9.已知点 O(0,0), A(0, b), B(a, a ) ,若 ?AOB 为直角三角形,则必有
3

A. b ? a 3

B. b ? a 3 ?

1 a

1 C. (b ? a 3 )( b ? a 3 ? ) ? 0 a

D. b ? a 3 ? b ? a 3 ?

1 ?0 a

10. 已 知 直 三 棱 柱 ABC? A1 B1C1 的 6 个 顶 点 都 在 球 O 的 球 面 上 , 若

AB ? 3, AC ? 4 , AB ? AC , AA1 ? 12,则球 O 的半径为
A.

3 17 2

B. 2 10

C.

13 2

D. 3 10

11.已知函数 f (x) 满足 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 2) x ? a 2 , g ( x) ? ? x 2 ? 2(a ? 2) x ? a 2 ? 8 。设 ( H1 ( x) ? max{f ( x), g ( x)} ,H 2 ( x) ? min{f ( x), g ( x)} max(p, q) 表示 p, q 中的较大值,

min(p, q) 表示 p, q 中的较小值) ,记 H 1 ( x) 的最小值为 A , H 2 ( x) 的最大值为 B ,则
A? B ?

A. 16

B. ? 16
2 '

C. a 2 ? 2a ? 16

D. a 2 ? 2a ? 16

12.设函数 f (x) 满足 x f ( x) ? 2 xf ( x) ?

ex e2 , f ( 2) ? ,则 x ? 0 时, f (x) x 8
B. 有最小值,无极大值 D. 既无极大值,也无极小值

A. 有最大值,无极小值 C. 既有极大值,也有极小值

第Ⅱ卷
二、填空题 13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是
1 2 1


1 2 1

4

14.已知等比数列 {an } 是递增数列,S n 是 {an } 的前 n 项和, a1 , a3 是方程 x ? 5x ? 4 ? 0 若
2

的两个根,则 S 6 =



15.已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点 F , C 过原点的直线相交于 A, B 两点, a2 b2

连结 AF, BF ,若 AB ? 10, AF ? 6 , cos ?ABF ?

4 ,则 C 的离心率 e ? 5



16.为了考察某校各班参加课外小组的人数,从全校随机抽取 5 个班级,把每个班级参加该 小组的人数作为样本数据,已知样本平均数为 7,样本方差为 4,且样本数据互不相同,则 样本数据中的最大值为 。 三、解答题 17.设向量 a ? ( 3 sin x, sin x) , b ? (cosx, sin x) , x ? [0, (1)若 a ? b ,求 x 的值; (2)设函数 f ( x) ? a ? b ,求 f (x) 的最大值。

?
2

]。

18.如图, AB 是圆的直径, PA ? 圆所在的平面, C 是圆上的点。 (1)求证:平面 PAC ? 平面 PBC ; (2)若 AB ? 2, AC ? 1, PA ? 1 ,求二面角 C ? PB ? A 的余弦值。

P

A C

B

19.现有 10 道题,其中 6 道甲类题,4 道乙类题,张同学从中任取 3 道题解答。 (1)求张同学至少取到一道乙类题的概率; (2)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题,1 道乙类题。设张同学答对没道甲类题的概率都

3 4 ,答对每道乙类题的概率都是 ,且各道题答对都互相独立,用 X 表示张同学答对题 5 5 的个数,求 X 的分布列和数学期望。


20.如图, 抛物线 C1 : x ? 4 y , 2 : x ? ?2 py( p ? 0) 点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线 C 2 上, M 过 C
2 2

作 C1 的切线, 切点为 A, B( M 为原点 O 时,A, B 重合于 O ) 当 x0 ? 1 ? 2 时, 。 切线 MA 的歇斜率为 ?

1 。 2

(1)求 p 的值; (2) M 在 C 2 上运动时, 当 求线段 AB 中点 N 的轨迹方程 A, B 重合于 O 时, ( 中点为 O ) 。
A y

B O x

M

21.已知函数 f ( x) ? (1 ? x)e ?2 x , g ( x) ? ax ? (1)求证: 1 ? x ? f ( x ) ?

x3 ? 1 ? 2 x cos x ,当 x ? [0,1] 时, 2

1 ; x ?1

(2)若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围。

22.(选修 4 ? 1 几何证明选讲)如图, AB 为⊙ O 的直径,直线 CD 与⊙ O 相切于 E , AD 垂直 CD 于 D , BC 垂直 CD 于 C , EF 垂直于 AB 于 F ,连接 AE, BE ,证明: (1) ?FEB ? ?CEB ; (2) EF ? AD ? BC
2

D

E

C A O F B

23.(选修 4-4 极坐标与参数方程) 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系,圆 C1 ,直线 C 2 的 极坐标方程分别为 ? ? 2 sin ? , ? sin(? ? (1) 求 C1 与 C 2 交点的极坐标; (2) 设 P 为 C1 的圆心, Q 为 C1 与 C 2 交点连线的中点,已知直线 PQ 的参数方程为

?
4

) ? 2 2。

?x ? t 3 ? a ? ( t ? R 为参数) ,求 a, b 的值。 ? b y ? t3 ?1 ? 2 ?

24. (选修 4-5 不等式选讲) 已知函数 f ( x) ? x ? a ,其中 a ? 1 (1) 当 a ? 2 时,求不等式 f ( x) ? 4 ? x ? 4 的解集; (2) 已知关于 x 的不等式 f (2x ? a) ? 2 f ( x) ? 2 的解集 {x 1 ? x ? 2},求 a 的值。


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