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【成才之路】高二数学 1、2-1-2椭圆的简单几何性质同步练习 新人教A版选修1-1


2.1.2 椭圆的简单几何性质
一、选择题 1.已知点(3,2)在椭圆 2+ 2=1 上,则( A.点(-3,-2)不在椭圆上 B.点(3,-2)不在椭圆上 C.点(-3,2)在椭圆上 D.无法判断点(-3,-2)、(3,-2)、(-3,2)是否在椭圆上 [答案] C [解析] ∵点(3,2)在椭圆 2+ 2=1 上,∴由椭圆的对称性知,点(-3,2)、(3,-2)、

(-3,-2)都在椭圆上,故选 C. 2.椭圆 2+ 2=1 和 2+ 2=k(k>0)具有( A.相同的长轴 C.相同的顶点 [答案] D [解析] 椭圆 2+ 2=1 和 2+ 2=k(k>0)中,不妨设 a>b,椭圆 2+ 2=1 的离心率 e1 = B.相同的焦点 D.相同的离心率

x2 y2 a b

)

x2 y2 a b

x2 y2 a b

x2 y2 a b

)

x2 y2 a b

x2 y2 a b

x2 y2 a b

a2-b2 x2 y2 k a2-b2 a2-b2 ,椭圆 2 + 2 =1(k>0)的离心率 e2= = . a ak bk a ka
3.椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点,则椭圆离心率为

(

) A. C. 2 2 5 3 B. D. 3 2 6 3

[答案] A [解析] 由题意得 b=c,∴a =b +c =2c ,e= =
2 2 2 2

c a

2 . 2 )

4.椭圆 + =1 与 + =1(0<k<9)的关系为( 25 9 9-k 25-k A.有相等的长、短轴 B.有相等的焦距 C.有相同的焦点 D.x,y 有相同的取值范围

x2

y2

x2

y2

1

[答案] B [解析] ∵0<k<9,∴0<9-k<9,16<25-k<25, ∴25-k-9+k=16, 故两椭圆有相等的焦距. 5.以椭圆两焦点 F1、F2 所连线段为直径的圆,恰好过短轴两端点,则此椭圆的离心率

e 等于(
A. C. 1 2 3 2

) B. 2 2

2 5 D. 5

[答案] B [解析] 由题意得 b=c,∴a =b +c =2c , ∴e= =
2 2 2 2

c a

2 . 2

6.中心在原点、焦点在 x 轴上,若长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此 椭圆的方程是( A. C. + =1 81 72 + =1 81 45 ) B. + =1 81 9 D. + =1 81 36

x2 x2

y2 y2

x2 x2

y2

y2

[答案] A 1 1 [解析] ∵2a=18,∴a=9,由题意得 2c= ×2a= ×18=6, 3 3 ∴c=3,∴a =81,b =a -c =81-9=72,故椭圆方程为 + =1. 81 72 7.焦点在 x 轴上,长、短半轴之和为 10,焦距为 4 5,则椭圆的方程为( A. + =1 36 16 )
2 2 2 2

x2

y2

x

2

y

2

B. + =1 16 36 D. + =1 6 4

x

2

y

2

C. + =1 6 4 [答案] A

x2 y2

y2 x2

[解析] 由题意得 c=2 5,a+b=10, ∴b =(10-a) =a -c =a -20, 解得 a =36,b =16,故椭圆方程为 + =1. 36 16 8.若椭圆的短轴为 AB,它的一个焦点为 F1,则满足△ABF1 为等边三角形的椭圆的离心
2 2 2 2 2 2 2

x2

y2

2

率是( A. C. 1 4 2 2

) 1 B. 2 D. 3 2

[答案] D [解析] 由题意得 a=2b,a =4b =4(a -c ),∴ =
2 2 2 2

c a

3 . 2

9.(2009·浙江文,6)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭 → → 圆上,且 BF⊥x 轴,直线 AB 交 y 轴于点 P.若AP=2PB,则椭圆的离心率是( A. C. 3 2 1 3 B. 2 2 )

x2 y2 a b

1 D. 2

[答案] D [解析] 本小题主要考查椭圆及椭圆的几何性质. 由已知 B 点横坐标为-c,取 B(-c, ). → → → 2→ ∵AP=2PB.∴AP= AB 3 ∵AB 所在直线方程为 y=-

b2 a

a-c (x-a),∴P 点纵坐标为 a-c. a

由△BFA∽△POA 得,

3 2 2 = ,∴2c -3ac+a =0. a-c 2

b2 a

1 2 即 2e -3e+1=0 解得 e= (e=1 舍去).故选 D. 2 10.若椭圆两焦点为 F1(-4,0)、F2(4,0),P 在椭圆上,且△PF1F2 的最大面积是 12,则 椭圆方程是( A. C. )
2

+ =1 36 20 + =1 25 9

x

2

y

B. + =1 28 12 D. + =1 20 4

x2 x2

y2

x2

y2

y2

[答案] C [解析] 由题意得 c=4,∵P 在椭圆上,且△PF1F2 的最大面积为 12, 1 ∴ ×2c×b=12,即 bc=12, 2
3

∴b=3,a=5,故椭圆方程为 + =1. 25 9 二、填空题 11.如图,在椭圆中,若 AB⊥BF,其中 F 为焦点,A、B 分别为长轴与短轴的一个端点, 则椭圆的离心率 e=________.

x2

y2

[答案]

5-1 2

[解析] 设椭圆方程为 2+ 2=1, 则有 A(a,0), (0, ), (c,0), AB⊥BF, kAB·kBF B b F 由 得 =-1,而 kAB= ,kBF=- 代入上式得 ?- ?=-1,利用 b =a -c 消去 b ,得 - =1,
2 2 2 2

x2 y2 a b

b a

b c

b? b? a? c?

a c c a

1 -1± 5 即 -e=1,解得 e= , e 2 ∵e>0,∴e= 5-1 . 2

12.椭圆 2+ 2=1 上一点到两焦点的距离分别为 d1、d2,焦距为 2c,若 d1、2c、d2 成 等差数列,则椭圆的离心率为________. [答案] 1 2

x2 y2 a b

c 1 [解析] 由题意得 4c=d1+d2=2a,∴e= = . a 2
13.经过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为________. [答案] 2b
2

x2 y2 a b

a

[解析] ∵垂直于椭圆长轴的弦所在直线为 x=±c,

?x=±c ? 由?x2 y2 ?a2+b2=1 ?
x2 y2

b b 2b 2 ,得 y = 2,∴|y|= ,故弦长为 . a a a

4

2

2

14.椭圆 + 2 =1 的焦点在 x 轴上,则它的离心率 e 的取值范围________. 5a 4a +1

4

[答案] ?0,

? ?

5? ? 5?

1 2 [解析] 由题意知 5a>4a +1,∴ <a<1, 4 ∴e = “=”). 三、解答题 15.已知 F1、F2 为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点,过 F2 作椭圆的弦 AB,若△AF1B 的 周长为 16,椭圆的离心率 e= 3 ,求椭圆的方程. 2 5a-(4a +1) 5a
2



1 5

1? 1 5 1 ? 5-?4a+ ? ≤ 5-4 = (当且仅当 a= 时,取 a? 5 2 ? 5

x2 y2 a b

?4a=16 ? [解析] 由题意,得?c 3 ?a= 2 ?
2 2 2

,∴a=4,c=2 3.

∴b =a -c =4,所求椭圆方程为 + =1. 16 4 16.已知椭圆 mx +5y =5m 的离心率为 e= [解析] 由已知可得椭圆方程为
2 2

x2

y2

10 ,求 m 的值. 5

x2 y2 + =1(m>0 且 m≠5). 5 m
当焦点在 x 轴上,即 0<m<5 时,有 a= 5,b= m,则 c= 5-m, 依题意得 5-m 10 = ,解得 m=3. 5 5

当焦点在 y 轴上,即 m>5 时,有 a= m,b= 5. 则 c= m-5,依题意有

m-5 10 = . 5 m

25 25 解得 m= .即 m 的值为 3 或 . 3 3

a2 c 17.动点 M 到一个定点 F(c,0)的距离和它到一条定直线 l:x= 的距离比是常数 e= c a
(0<e<1),求动点 M 的轨迹方程. [解析] 设 M(x,y),由题意得 (x-c) +y
2 2

?x-a ? ? c? ? ?

2

= ,

c a

(a -c )x +a y =a (a -c ),
5

2

2

2

2 2

2

2

2

令 a -c =b ,方程化为 2+ 2=1(a>b>0), ∴所求动点的轨迹方程为 2+ 2=1(a>b>0). 18.已知椭圆 + =1 上有一点 P,到其左、右两焦点距离之比为 1?3,求点 P 到 100 36 两焦点的距离及点 P 的坐标. [解析] 设 P(x,y),左、右焦点分别是 F1、F2,

2

2

2

x2 y2 a b

x2 y2 a b

x2

y2

c 4 ∵a=10,b=6,c=8,e= = , a 5
∴|PF1|+|PF2|=2a=20. 又|PF2|=3|PF1|, ∴|PF1|=5,|PF2|=15. 由两点间的距离公式可得
?(x+8) +y =25 ? ? 2 2 ? ?(x-8) +y =225
2 2

25 ,解得 x=- . 4

3 39 代入椭圆方程得 y=± . 4 3 39? ? 25 3 39? ? 25 故点 P 的坐标为?- , ?或?- ,- ?. 4 ? ? 4 4 ? ? 4

6


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