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2014-2015学年高二寒假作业 数学(八)含答案


高二数学寒假作业(八) 一、选择题,每小题只有一项是正确的。 1.已知 ?an 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? A、 7 2.下列结论正确的是( B、 5 ) C、 ??

?





D、 ??

A.当 x ? 0 且 x ? 1 时, lg x ? C.当 x ≥ 2 时, x ?

1 ≥2 lg x

B.当 x ? 0 时, x ?

1 x

≥2

1 的最小值为 2 x

D.当 0 ? x ≤ 2 时, x ?

1 无最大值 x

? x ? 2y ? 2 ? 3.设变量 x , y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 4 ,则目标函数 z ? 4 x ? y ? ?1 ?
围是( A. ? ? ) B. ? ? ,?1? ? 2 ?

? 3 x ? y 的取值范

? 3 ? ,6? ? 2 ?

? 3

?

C. ? 1,6

?

?

D. ? ? 6, ? 2

? ?

3? ?


4.已知双曲线 C :

y2 x2 5 ,则 C 的渐近线方程为( ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2 2 a b
B. y ? ?

A. y ? ?2 x

1 x 2

C. y ? ? 4 x

D. y ? ?

1 x 4

5.已知 a ? ?1 ? t,2t ? 1,0? , b ? ?2, t , t ? ,则 b ? a 的最小值为( A.



2

B.

6

C.

5

D.

3

6.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,M、N 分别为棱 AA1 和 BB1 的中点,则 sin ? CM , D1 N ? 的值为( ) A.

1 9

B.

4 5 9

C.

2 5 9

D.

2 3

7.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ,若 S2=4,S4=20,则该数列的公差 d= A.2 B.3 C.6
2

D.7

8.数列 {an } 的通项公式 an =n ? n ,则数列 ?

?1? ? 的前 10 项和为 ? an ?
D.

A.

9 10

B.

10 11

C.

11 10

12 11

-1-

9.已知椭圆的一个焦点为 F ,若椭圆上存在点 P ,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段 PF 相 切于线段 PF 的中点,则该椭圆的离心率为 A. ( )

5 3

B.

2 3

C.

2 2

D.

5 9

二、填空题 10.在 ?ABC中,AB ? 3, BC ? 13, AC ? 4, 则A ? .

3 a ? ? 3, a ? , S k ? ?12 1 k ? 1 S ?a ? 2 11.设等差数列 n 的前 n 项和为 n ,若 ,则正整数
K=____. 12.数列{an}的前 n 项和是 Sn,若数列{an}的各项按如下规则排列: ,…,若存在整数 k,使 Sk<10,Sk+1≥10,则 ak= _________ . 13.已知 ?ABC 的三边 a, b, c 成等差数列,且 a ? b ? c ? 63 ,则 b 的最大值是
2 2 2



.

三、计算题 14.(10 分)在 ΔABC 中 ,已知, A ? 30? , B ? 30?, c ? 3 解三角形 ABC。 15.如图,已知点 H 在正方体 (Ⅰ)求 DH 与

ABCD ? A1B1C1D1

的对角线

B1D1 上,∠HDA= 60 0 .

CC1 所成角的大小;

(Ⅱ)求 DH 与平面

A1BD 所成角的正弦值.

16.(12 分) 已知点 A(0, ?2) , 椭圆 E :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率是 ,F 是椭圆 E 的 2 a b 2

-2-

右焦点,直线 AF 的斜率为 (I)求 E 的方程;

2 3 , O 为坐标原点. 3

(II)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点,当 ?OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

-3-

高二数学寒假生活(八)参考答案 一、选择题 1~5DBAAA 6~9BBBA 二、填空题 10. 60°, 11 .13 ,12. 三、计算题 14. a=b=1,C= 120° 15.解:以 D 为原点,射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D ? xyz .
D?

5 ,13. 7

21

A?
D A x

D z

H

C?
B?
C B y

1)(1 ? m ? 0) 不妨设 AB ? 1 ,另设 H (m,m,

, 0, 0) , CC? ? (0, 01) , .连结 BD , B ?D ? . 则 DA ? (1 1)(m ? 0) ,由已知 ? DH, DA ?? 60 , 设 DH ? (m,m,


DA DH ? DA DH cos ? DA, DH ?

可得 2m ? 2m ?1 .解得
2

m?

2 2 ,

2 2 ?0? ? 0 ? 1? 1 ? 2 2 ? 2 2 2 DH ? ? , , 1 ? ? cos ? DH , CC ?? ? ? 2 2 ? 2 , ? ?. 1? 2 所以 (Ⅰ)因为

CC? ?? 45 .即 DH 与 CC ? 所成的角为 45 . 所以 ? DH,
(Ⅱ)设平面 A?BD 的法向量为 n ? ( x, y, z ), 则

? ?n ? DA? ? ( x, y, z ) ? (1, 0,1) ? 0 ? ? ?n ? DB ? ( x, y, z ) ? (1,1, 0) ? 0



?x ? z ? 0 ? x ? y ? 0 ,令 x ? 1, 得 n ? (1, ?1, ?1) 是平面 A?BD 的一个法向量. ∴?
-4-

2 2 ?1 ? ? (?1) ? 1? (?1) 6 2 cos ? DH, n ?? 2 ?? 6 ,设 DH 与平面 A?BD 所成的角为 ? 2? 3

sin ? ? cos ? DH, n? ?
所以 16.(I) E :

6 6 .

x2 ? y2 ? 1 ; 4

(II)当 l 垂直于 x 轴时,不符合题意.故设 l : y ? kx ? 2, P (x1 , y1 ),Q(x 2 , y 2 ) , 将 l : y ? kx ? 2 代入

x2 ? y 2 ? 1 得: (1 ? 4 k 2 ) x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 ,当 ? ? 16(4 k 2 ? 3) ? 0 时, 4

k2 ?

4 k 2 ? 1 4k 2 ? 3 3 16k 12 | PQ | ? , x1 ? x2 ? , , 从而 , x x ? 1 2 1 ? 4k 2 4 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

所以 S ?OPQ ?

4 4k 2 ? 3 4 4t 4 2 ,设 t ? 4k ? 3 ? 0 ,则 S ?OPQ ? 2 ,因为 t ? ? 4 , ? 2 1 ? 4k t t ?4 t? 4 t
7 时等号成立,且满足 ? ? 0 ,所以 , 当 ?OPQ 的面积最大时, 2

当且仅当 t ? 2 ,即 k ? ?

l 的方程为: y ?

7 7 x?2 或 y ? ? x?2 2 2

-5-


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